前言 人类区别于地球其他生物的显著特征是具有创造并使用工具的能力。这是人类智慧的象征，也是人类智能的体现。通常，人类对于自己拥有的智能习以为常，并将其称为本能或潜意识。除此之外，人类对于自己表现出的智能一无所知。我们无法解释人类智能是如何得来的，更无法讲清楚自己是如何处理日常生活及做出正确决策的。 但是，我们可以通过人类固有的创造工具、使用工具的智慧，改造机器，特别是计算机程序，使其针对某一特定问题尽可能地产生与人类智能决策相似的结果。在早期很长一段时间内，人工智能被定义为具有一定逻辑推理能力的计算机程序。我们将这一时期称为前人工智能时代。时至今日，我们将当前这一基于数据统计分析从历史数据中发现规律、规则、模式的时代称为弱人工智能时代。这一时代的智能可以归纳为以数据分析为基础的辅助人类决策的自动化程序。可以预见，在不久的将来，可将人类知识用于约束机器经验知识的学习过程，从而增强结果的可解释性，进入使计算机具有与人类大脑相匹配的逻辑分析能力的强人工智能时代。即便是强人工智能时代，机器的逻辑分析能力仍然建立在人类先验知识的指导下，是对人类大脑分析处理问题能力的近似模拟，这也正是人工智能中“人工”二字的真正含义。 正因如此，有研究认为，人工智能就是用于模仿人类思考、行为、感知、学习的计算程序。实际上，人工智能不只是计算机程序，还应该包括工业自动化控制、机器人学等。在不考虑伦理学束缚的情况下，只有多个学科通力合作，赋予机器更多的除计算分析以外的行为能力、情感能力，甚至于使其产生一定的自我意识，才能实现真正的机器智能。 作为基础学科，数学在人工智能领域，特别是智能算法领域，起着举足轻重的作用。这是因为，数学是人类智慧的精华，是人类表达自己思维方式的有效手段，是当前以统计与计算为基础的弱人工智能发展与进步的基石。人工智能领域的数学涵盖微积分、线性代数与矩阵分析、概率论与数理统计、泛函分析、最优化理论等多个数学分支。只有打好扎实的数学基础，才能深入理解智能算法的本质，正确运用已有的智能算法，发现其中可能存在的问题，并将自己的聪明才智引入其中，从而推动学科的发展。冯朝路副教授自2007年跟随我攻读硕士学位以来，一直在人工智能领域从事相关研究工作。众多门生中，他最喜欢刨根问底，对问题的理解也最深入。这一优秀品质使得他在相关领域取得了一系列代表性成果。本书基本上涵盖了人工智能领域涉及的数学知识，并结合实例对相关知识点进行了深入浅出的讲解。本书必将成为其在相关领域的又一代表性著作，也必将对人工智能相关专业的人才培养起到积极的推动作用。 教授于2022年2月8日〖3〗人工智能的数学基础 对于多数人来说，数学枯燥无味，却又不得不学。从小到大，总有人在耳边不断强调其重要性。回忆童年，除了对父母的第一声呼唤以外，我们被教授的第一个概念就是有与无，然后是对自然数的认知。上小学后，数学老师教我们加减乘除运算。背诵九九乘法口诀是每个人童年回忆中不可或缺的元素。读初中后，包括有理数、无理数、一元二次方程、平面几何在内的数学知识步入我们的学习生活。到了高中，三角函数、复数、不等式、数列、解析几何不知让多少学生为之抓狂。更有甚者，不少学生因数学成绩不好而影响高考择校。步入大学，包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计在内，数学门类更多、知识点更宽更深，为大学生挂科率做出了突出“贡献”。直到毕业前，甚至于参加工作以后，很多人仍然迷茫“数学有用”是不是亲爱的老师们编织的“谎言”。 本书作者还是要继续强调数学的重要性。这是因为，数学是人类智慧的结晶，是人类智慧皇冠上璀璨的明珠，是人类科技进步的根基。数学基础理论的稳步发展或者某个数学难题的突破性进展往往会推动多个相关学科的飞跃式发展，人工智能也不例外。起源于20世纪50年代的人工智能技术，经历了两次高潮、两次低谷。第一次高潮以智力游戏为代表的逻辑推理智能为主。第二次高潮以机器翻译为代表的知识库智能为主。早在第一次高潮时期，就有“二十年内，机器将能完成人能做到的一切”的激进论断。但是，计算机计算性能的不足、人工智能算法的普适性不强、数据量不足是导致人工智能在前两次高潮后均遭遇低谷的重要原因。随着7nm晶体管的商业化，特别是通用可编程图形硬件的发展，计算机的计算能力得到飞跃式提升。另外，网络化、数字化的生活为数据的产生提供了温床。由此产生的数据包含大量有用但需要挖掘的信息。基于此，人工智能人工智能包括: 工业智能与智能算法。本书的人工智能均指的是智能算法。自21世纪第一个10年以来，正处于依模式识别为代表的基于经验数据的第三次高潮期。2019年，我国第一批35所高校获批“人工智能”本科专业，并开始招生。火热的高潮吸引着诸多科研工作者、程序员、学生的眼球，使他们心生向往。更有观点认为人工智能超过人类智能的时间点，又称奇点，为2045年。但接触过相关知识的初学者往往因其涉及较多数学门类、知识过于繁杂，望而却步。曾经的踌躇满志、信心满怀，被数学的现实打击得支离破碎。多数人半途而废，倒在探索的路上。坚持下来的人只能独立在多个数学门类中穿梭，结合人工智能算法涉及的知识点，重拾那些曾经让自己“魂牵梦萦”的数学原理。数学门类的多样性、知识点的发散性，大大阻碍了学习效果。书籍是知识传播的最佳途径之一。基于此，本书着眼于人工智能核心算法涉及的数学知识，立足于为读者全面系统地进行梳理，提供深入浅出的讲解，希望起到抛砖引玉的作用，让数学的学习变得有针对性，使读者觉得学习数学是有趣的，而不是枯燥乏味的。 鉴于时间仓促且作者自识水平有限，本书内容难免存在疏漏与不足之处，若蒙读者不吝告知，甚是感激。相关内容请发电子邮件到fengchaolu@cse.neu.edu.cn，以便再版时修正或补充。 感谢我的母亲帮忙照顾我可爱的女儿，为我解决了生活的后顾之忧！感谢岳母的唠叨，给了我写作之外的生活的真实！计划编写本书时值我女儿百天之日。编写过程中，感谢我的妻子与女儿近五百个日日夜夜的陪伴。多少个夜晚想要放弃编写，她们安然熟睡的笑脸，给了我提起精神、继续写作的动力。谨以此书献给我的妻子和女儿。 副教授2022年2月8日

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