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目录

第1章数值计算导论1

1.1概述1

1.1.1数值计算与数值算法1

1.1.2数值计算的问题与策略2

1.1.3数值计算软件4

1.2误差分析基础6

1.2.1数值计算的近似6

1.2.2误差及其分类7

1.2.3问题的敏感性与数据传递误差估算11

1.2.4算法的稳定性13

1.3计算机浮点数系统与舍入误差15

1.3.1计算机浮点数系统15

1.3.2舍入与机器精度18

1.3.3浮点运算的舍入误差19

1.3.4抵消现象21

1.4保证数值计算的准确性22

1.4.1减少舍入误差的几条建议22

1.4.2影响结果准确性的主要因素24

评注25

算法背后的历史: 浮点运算的先驱——威廉·卡亨26

练习题28

上机题29

第2章非线性方程求根30

2.1引言30

2.1.1非线性方程的解30

2.1.2问题的敏感性31

2.2二分法31

2.2.1方法原理31

2.2.2算法稳定性和结果准确度33

2.3不动点迭代法35

2.3.1基本原理35

2.3.2全局收敛的充分条件36

2.3.3局部收敛性38

2.3.4稳定性与收敛阶38

2.4牛顿迭代法40

2.4.1方法原理40

2.4.2重根的情况42

2.4.3判停准则43

2.4.4牛顿法的问题43

2.5割线法与抛物线法44

2.5.1割线法44

2.5.2抛物线法46

2.6实用的方程求根技术46

2.6.1阻尼牛顿法46

2.6.2多项式方程求根47

2.6.3通用求根算法zeroin48

应用实例: 城市水管应埋于地下多深?50

2.7非线性方程组和有关数值软件52

2.7.1非线性方程组52

2.7.2非线性方程求根的相关软件54

评述55

算法背后的历史: 牛顿与牛顿法56

练习题57

上机题58

第3章线性方程组的直接解法59

3.1基本概念与问题的敏感性59

3.1.1线性代数中的有关概念59

3.1.2向量范数与矩阵范数62

3.1.3问题的敏感性与矩阵条件数65

3.2高斯消去法69

3.2.1基本的高斯消去法69

3.2.2高斯约当消去法72

3.3矩阵的LU分解75

3.3.1高斯消去过程的矩阵形式75

3.3.2矩阵的直接LU分解算法79

3.3.3LU分解的用途82

3.4选主元技术与算法稳定性83

3.4.1为什么要选主元83

3.4.2使用部分主元技术的LU分解85

3.4.3其他选主元技术89

3.4.4算法的稳定性90

3.5对称正定矩阵与带状矩阵的解法91

3.5.1对称正定矩阵的Cholesky分解91

3.5.2带状线性方程组的解法95

应用实例: 稳态电路的求解97

3.6有关稀疏线性方程组的实用技术99

3.6.1稀疏矩阵基本概念99

3.6.2MATLAB中的相关功能102

3.7有关数值软件104

评述106

算法背后的历史: 威尔金森与数值分析107

练习题108

上机题110

第4章线性方程组的迭代解法112

4.1迭代解法的基本理论112

4.1.1基本概念112

4.1.21阶定常迭代法的收敛性113

4.1.3收敛阶与收敛速度116

4.2经典迭代法118

4.2.1雅可比迭代法118

4.2.2高斯赛德尔迭代法119

4.2.3逐次超松弛迭代法121

4.2.4三种迭代法的收敛条件123

应用实例: 桁架结构的应力分析126

4.3共轭梯度法简介128

4.3.1最速下降法128

4.3.2共轭梯度法131

4.4各种方法的比较135

4.4.1迭代法之间的比较135

4.4.2直接法与迭代法的对比138

4.5有关数值软件139

评述140

算法背后的历史: 雅可比142

练习题143

上机题144

第5章矩阵特征值计算146

5.1基本概念与特征值分布146

5.1.1基本概念与性质146

5.1.2特征值分布范围的估计150

5.2幂法与反幂法152

5.2.1幂法152

5.2.2加速收敛的方法156

5.2.3反幂法158

应用实例: Google的PageRank算法160

5.3矩阵的正交三角化162

5.3.1Householder变换163

5.3.2Givens旋转变换165

5.3.3矩阵的QR分解166

5.4所有特征值的计算与QR算法170

5.4.1收缩技术170

5.4.2基本QR算法171

5.4.3实用QR算法的有关技术173

5.5有关数值软件177

评述178

算法背后的历史: A.Householder与矩阵分解179

练习题180

上机题183

第6章函数逼近与函数插值185

6.1函数逼近的基本概念185

6.1.1函数空间185

6.1.2函数逼近的不同类型188

6.2连续函数的最佳平方逼近190

6.2.1一般的法方程方法190

6.2.2用正交函数族进行逼近194

6.3曲线拟合的最小二乘法197

6.3.1问题的矩阵形式与法方程法198

6.3.2用正交化方法求解最小二乘问题202

应用实例: 原子弹爆炸的能量估计206

6.4函数插值与拉格朗日插值法207

6.4.1插值的基本概念207

6.4.2拉格朗日插值法208

6.4.3多项式插值的误差估计211

6.5牛顿插值法213

6.5.1基本思想213

6.5.2差商与牛顿插值公式214

6.6分段多项式插值219

6.6.1高次多项式插值的病态性质219

6.6.2分段线性插值220

6.6.3分段埃尔米特插值221

6.6.4保形分段插值224

6.7样条插值函数226

6.7.1三次样条插值226

6.7.2三次样条插值函数的构造227

6.7.3B样条函数229

评述232

算法背后的历史: 拉格朗日与插值法233

练习题234

上机题236

第7章数值积分与数值微分238

7.1数值积分概论238

7.1.1基本思想238

7.1.2求积公式的积分余项与代数精度240

7.1.3求积公式的收敛性与稳定性241

7.2牛顿柯特斯公式242

7.2.1柯特斯系数与几个低阶公式242

7.2.2牛顿柯特斯公式的代数精度244

7.2.3几个低阶公式的余项245

7.3复合求积公式246

7.3.1复合梯形公式246

7.3.2复合辛普森公式247

7.3.3步长折半的复合求积公式计算249

7.4Romberg积分算法250

7.4.1复合梯形公式的余项展开式250

7.4.2理查森外推法251

7.4.3Romberg算法252

7.5自适应积分算法254

7.5.1自适应积分的原理255

7.5.2一个具体的自适应积分算法255

7.6高斯求积公式258

7.6.1一般理论258

7.6.2高斯勒让德积分公式及其他261

应用实例: 探月卫星轨道长度计算263

7.7数值微分264

7.7.1基本的有限差分公式265

7.7.2插值型求导公式266

7.7.3数值微分的外推算法268

评述269

算法背后的历史: “数学王子”高斯271

练习题272

上机题273

第8章常微分方程初值问题的解法275

8.1引言275

8.1.1问题分类与可解性275

8.1.2问题的敏感性276

8.2简单的数值解法与有关概念278

8.2.1欧拉法278

8.2.2数值解法的稳定性与准确度280

8.2.3向后欧拉法与梯形法282

8.3龙格库塔方法284

8.3.1基本思想284

8.3.2几种显式RK公式285

8.3.3显式RK公式的稳定性与收敛性289

8.3.4自动变步长的RK方法290

8.4多步法292

8.4.1多步法公式的推导292

8.4.2Adams公式295

8.4.3更多讨论298

8.5常微分方程组与实用技术299

8.5.11阶常微分方程组299

8.5.2MATLAB中的实用ODE求解器302

应用实例: 洛伦兹吸引子306

评述308

算法背后的历史: “数学家之英雄”欧拉309

练习题310

上机题312

附录A有关数学记号的说明314

附录BMATLAB简介316

附录C部分习题答案336

算法索引339

术语索引341

参考文献349第1章数值计算导论1

1.1概述1

1.1.1数值计算与数值算法1

1.1.2数值计算的问题与策略2

1.1.3数值计算软件4

1.2误差分析基础6

1.2.1数值计算的近似6

1.2.2误差及其分类7

1.2.3问题的敏感性与数据传递误差估算11

1.2.4算法的稳定性14

1.3计算机浮点数系统与舍入误差15

1.3.1计算机浮点数系统16

1.3.2舍入与机器精度18

1.3.3浮点运算的舍入误差20

1.3.4抵消现象21

1.4保证数值计算的准确性22

1.4.1减少舍入误差的几条建议22

1.4.2影响结果准确性的主要因素25

评注26

算法背后的历史: 浮点运算的先驱——威廉·卡亨27

练习题28

上机题29

第2章非线性方程求根31

2.1引言31

2.1.1非线性方程的解31

2.1.2问题的敏感性32

2.2二分法32

2.2.1方法原理32

2.2.2算法稳定性和结果准确度34

2.3不动点迭代法36

2.3.1基本原理36

2.3.2全局收敛的充分条件37

2.3.3局部收敛性38

2.3.4稳定性与收敛阶39

2.4牛顿迭代法41

2.4.1方法原理41

2.4.2重根的情况43

数值分析与算法(第2版)目录2.4.3判停准则44

2.4.4牛顿法的问题44

2.5割线法与抛物线法45

2.5.1割线法45

2.5.2抛物线法46

2.6实用的方程求根技术47

2.6.1阻尼牛顿法47

2.6.2多项式方程求根48

2.6.3通用求根算法zeroin48

应用实例: 城市水管应埋于地下多深?51

2.7非线性方程组和有关数值软件52

2.7.1非线性方程组52

2.7.2非线性方程求根的相关软件54

评述55

算法背后的历史: 牛顿与牛顿法56

练习题57

上机题58

第3章线性方程组的直接解法60

3.1基本概念与问题的敏感性60

3.1.1线性代数中的有关概念60

3.1.2向量范数与矩阵范数63

3.1.3问题的敏感性与矩阵条件数66

3.2高斯消去法70

3.2.1基本的高斯消去法70

3.2.2高斯若当消去法72

3.3矩阵的LU分解76

3.3.1高斯消去过程的矩阵形式76

3.3.2矩阵的直接LU分解算法80

3.3.3LU分解的用途83

3.4选主元技术与算法稳定性84

3.4.1为什么要选主元84

3.4.2使用部分主元技术的LU分解86

3.4.3其他选主元技术90

3.4.4算法的稳定性91

3.5对称正定矩阵与带状矩阵的解法92

3.5.1对称正定矩阵的Cholesky分解92

3.5.2带状线性方程组的解法96

应用实例: 稳态电路的求解98

3.6有关稀疏线性方程组的实用技术99

3.6.1稀疏矩阵基本概念100

3.6.2MATLAB中的相关功能102

3.7有关数值软件105

评述107

算法背后的历史: 威尔金森与数值分析108

练习题109

上机题111

第4章线性方程组的迭代解法113

4.1迭代解法的基本理论113

4.1.1基本概念113

4.1.21阶定常迭代法的收敛性114

4.1.3收敛阶与收敛速度117

4.2经典迭代法119

4.2.1雅可比迭代法119

4.2.2高斯赛德尔迭代法120

4.2.3逐次超松弛迭代法122

4.2.4三种迭代法的收敛条件124

应用实例: 桁架结构的应力分析127

4.3共轭梯度法129

4.3.1最速下降法129

4.3.2共轭梯度法132

4.4各种方法的比较135

4.4.1迭代法之间的比较136

4.4.2直接法与迭代法的对比139

4.5有关数值软件140

评述141

算法背后的历史: 雅可比142

练习题143

上机题145

第5章矩阵特征值计算147

5.1基本概念与特征值分布147

5.1.1基本概念与性质147

5.1.2特征值分布范围的估计151

5.2幂法与反幂法153

5.2.1幂法153

5.2.2加速收敛的方法157

5.2.3反幂法159

应用实例: Google的PageRank算法161

5.3矩阵的正交三角化163

5.3.1Householder变换164

5.3.2Givens旋转变换166

5.3.3矩阵的QR分解167

5.4所有特征值的计算与QR算法171

5.4.1收缩技术171

5.4.2基本QR算法172

5.4.3实用QR算法的有关技术174

5.5有关数值软件178

评述179

算法背后的历史: A.Householder与矩阵分解180

练习题181

上机题184

第6章函数逼近与函数插值186

6.1函数逼近的基本概念186

6.1.1函数空间186

6.1.2函数逼近的不同类型189

6.2连续函数的最佳平方逼近191

6.2.1一般的法方程方法191

6.2.2用正交函数族进行逼近195

6.3曲线拟合的最小二乘法198

6.3.1问题的矩阵形式与法方程法199

6.3.2用正交化方法求解最小二乘问题203

应用实例: 原子弹爆炸的能量估计206

6.4函数插值与拉格朗日插值法208

6.4.1插值的基本概念208

6.4.2拉格朗日插值法209

6.4.3多项式插值的误差估计212

6.5牛顿插值法214

6.5.1基本思想214

6.5.2差商与牛顿插值公式215

6.6分段多项式插值220

6.6.1高次多项式插值的病态性质220

6.6.2分段线性插值221

6.6.3分段埃尔米特插值222

6.6.4保形分段插值225

6.7样条插值函数226

6.7.1三次样条插值227

6.7.2三次样条插值函数的构造228

6.7.3B样条函数231

评述232

算法背后的历史: 拉格朗日与插值法234

练习题235

上机题237

第7章数值积分与数值微分239

7.1数值积分概论239

7.1.1基本思想239

7.1.2求积公式的积分余项与代数精度241

7.1.3求积公式的收敛性与稳定性242

7.2牛顿柯特斯公式243

7.2.1柯特斯系数与几个低阶公式243

7.2.2牛顿柯特斯公式的代数精度245

7.2.3几个低阶公式的余项246

7.3复合求积公式247

7.3.1复合梯形公式247

7.3.2复合辛普森公式248

7.3.3步长折半的复合求积公式计算250

7.4Remberg积分算法251

7.4.1复合梯形公式的余项展开式251

7.4.2理查森外推法252

7.4.3Romberg算法253

7.5自适应积分算法255

7.5.1自适应积分的原理256

7.5.2一个具体的自适应积分算法256

7.6高斯求积公式259

7.6.1一般理论259

7.6.2高斯勒让德积分公式及其他262

应用实例: 探月卫星轨道长度计算264

7.7数值微分265

7.7.1基本的有限差分公式266

7.7.2插值型求导公式267

7.7.3数值微分的外推算法269

评述270

算法背后的历史: “数学王子”高斯272

练习题273

上机题274

第8章常微分方程初值问题的解法276

8.1引言276

8.1.1问题分类与可解性276

8.1.2问题的敏感性277

8.2简单的数值解法与有关概念279

8.2.1欧拉法279

8.2.2数值解法的稳定性与准确度281

8.2.3向后欧拉法与梯形法283

8.3龙格库塔方法285

8.3.1基本思想285

8.3.2几种显式RK公式286

8.3.3显式RK公式的稳定性与收敛性290

8.3.4自动变步长的RK方法291

8.4多步法293

8.4.1多步法公式的推导293

8.4.2Adams公式296

8.4.3更多讨论299

8.5常微分方程组与实用技术300

8.5.11阶常微分方程组300

8.5.2MATLAB中的实用ODE求解器303

应用实例: 洛伦兹吸引子306

评述308

算法背后的历史: “数学家之英雄”欧拉309

练习题311

上机题313

附录A有关数学记号的说明314

附录BMATLAB简介316

附录C部分习题答案336

索引339

术语索引341

参考文献346

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