目 录

第 1 章 计算理论  1 

1.1 图灵机  5 

1.2 时间可构造性 9 

1.3 通用图灵机  10 

1.4 对角线方法  15 

1.5 丘奇-图灵论题 17 

1.6 加速定理 21 

1.7 时间复杂性类  24 

1.8 非确定图灵机  26 

1.9 命题逻辑 29 

1.10 谓词逻辑 32 

1.11 计算的逻辑刻画 34 

1.12 时间谱系定理  37 

1.13 间隙定理 41 

1.14 神谕图灵机 42 

1.15 归约  43 

1.16 空间复杂性类  45 

1.17 对数空间类 49 

1.18 多项式空间类  52 

1.19 对数空间的补封闭性  55 

1.20 TIME(T(n))=SPACE(T(n)) 吗  58 

第 1 章练习 63 

第 2 章 难解性  65 

2.1 可验证性 66

2.2 NP-完全性  68 

2.3 库克-莱文定理 69 

2.4 拉德纳定理  73 

2.5 贝克-吉尔-索罗维定理 76 

2.6 多项式谱系  78 

2.7 谱系的逻辑刻画  80 

2.8 谱系的交替机刻画 82 

2.9 无限谱系假设  86 

2.10 第二层中的完全问题  87 

第 2 章练习 91 

第 3 章 电路复杂性 93 

3.1 电路谱系定理  96 

3.2 一致电路 101 

3.3 P/poly  103 

3.4 并行计算 105 

3.5 P-完全性 109 

3.6 哈斯塔德对换引理  111 

第 3 章练习  117 

第 4 章 随机计算与去随机  119 

4.1 随机算法 121 

4.2 通用哈希函数族 136 

4.3 概率图灵机 139 

4.4 BPP 与 ZPP 141 

4.5 PP 与 #P 146 

4.6 积和式计算 151 

4.7 户田定理 155 

4.8 随机游走 159 

4.9 蒙特卡罗方法  172 

4.9.1 近似采样  175

4.9.2 马尔可夫链蒙特卡罗方法  185 

4.9.3 均混时间  188 

4.10 扩张图与去随机 195 

4.10.1 线性代数相关知识  196 

4.10.2 图的谱 200 

4.10.3 扩张图 207 

4.10.4 扩张图上的随机游走 215 

4.11 扩张图的构造  219 

4.11.1 扩张图的构造算子  220 

4.11.2 固定大小扩张图构造 226 

4.11.3 显式扩张图族  228 

4.12 莱因戈尔德定理 231 

第 4 章练习  234 

第 5 章 交互证明系统  236 

5.1 私币交互证明  239 

5.2 公币交互证明  244 

5.3 IP = PSPACE  252 

5.4 两类系统的等价性  257 

5.5 多证明者交互证明系统  262 

5.5.1 定义  263 

5.5.2 NEXP 的多证明者协议  268 

5.6 多线性性测试算法  273 

5.7 并行重复定理  279 

5.7.1 统计距离、詹森不等式、相对熵 282 

5.7.2 随机变量的近似嵌入 289 

5.7.3 博弈的近似生成 293 

5.7.4 证明的最后一步 297 

5.8 单回合双证明者交互系统 298 

第 5 章练习  302

第 6 章 近似计算与不可近似性  304 

6.1 近似算法 307 

6.2 不可近似性 324 

6.3 局部可验证性与不可近似性  327 

6.4 错误放大 331 

6.5 证明思想 334 

6.6 线性增强 339 

6.7 线性归减 343 

6.8 PCP 定理的证明 345 

6.9 布尔函数的分析技术  346 

6.9.1 傅里叶展开式  348 

6.9.2 卷积定理  350 

6.9.3 BLR-测试  351 

6.9.4 长码  353 

6.10 哈斯塔德 3-比特 PCP-定理 357 

6.10.1 哈斯塔德验证器 359 

6.10.2 哈斯塔德算法的可靠性  361 

6.11 阈值定理  364 

第 6 章练习  369 

参考文献 370 

定理索引 371 

图索引 373 

术语索引 374