微分拓扑学是研究微分流形在微分同胚下保持不变的各种性质的学科.它的最初思想归于H.Poincaré，当时他所谓的拓扑学就是现在的微分拓扑学这一分支．由于H.Whitney，S.S.Cairns，J.H.C.Whitehead等的工作，微分拓扑学理论在20世纪30年代取得了迅速的发展．接着，在J.Milnor,R.Thom，S.Smale和M.Kervaire等著名数学家的努力下，又有了新的进展．一方面，有新理论的创立，如Milnor的微观丛理论、Thom的配边理论等；另一方面，一些看来高不可攀的著名古典问题得到了解决．例如，球面可以具有许多不同的微分构造，而且在许多场合，我们能够计算它们的种数（MilnorSmale）．Milnor于1956年发表了一篇论文，给出了一个与7维标准球面同胚但不微分同胚的微分流形（Milnor怪球，参阅文献［10］）时，引起了人们巨大的惊讶．更进一步，Kervaire和Milnor于1962年证明了S7上共有28种不微分同胚的微分构造（参阅文献［8］）；M.Kervaire于1960年证明了有这样的拓扑流形，它根本没有微分构造（参阅文献［7］）；HauptVermutung的主要猜测已被否定（MazurMilnor），等等．

    本书第1章1.1节和1.2节是预备知识．介绍了Cr微分流形、Cr映射、Cr单位分解、向量丛、切丛、张量丛、外形式丛、外微分形式的积分以及著名的Stokes定理．为了刻画映射的逼近，描述映射和流形的光滑化，1.3节和1.4节引进了弱与强Cr拓扑（CrW(M,N)和CrS(M,N)）.1.5节和1.6节关于映射和流形的光滑化定理以及扰动定理，使这一章的许多结果，若对C∞流形和C∞映射成立，实际上它在Cr流形和Cr映射（r≥1）时也成立．

    第2章证明了著名的MorseSard定理，并应用Sard定理证明了Whitney嵌入定理、Thom横截性定理．

    3.1节应用Grassmann流形证明了管状邻域定理．3.2节在Cr定向（不可定向）流形上引进了Cr映射的Brouwer度（模2度），并证明了Brouwer度（模2度）的同伦不变性．给出了Brouwer度（模2度）的许多应用的实例．此外，还证明了Hopf分类定理．

    4.1节证明了Morse引理和PoincaréHopf指数定理．4.2节反复应用Morse引理，用临界值刻画了Ma={p∈M|f(p)≤a}的同伦型．从而论证了C∞流形具有CW复形的同伦型．最后，还讨论了Morse不等式．

    5.1节引进了de Rham上同调群，给出了大量C∞流形的de Rham上同调群的具体例子．论述了de Rham上同调群的MayerVietoris序列．并应用它计算了Sm的de Rham上同调群．5.2节给出了整奇异同调群和实奇异上同调群；还给出了整小奇异同调群和实小奇异上同调群．5.3节借助系数在预层中的上同调理论，建立了著名的de Rham同构定理．

    微分拓扑是20世纪发展起来的近代数学的重要一支．许多著名数学家在这个方向上作出了杰出的贡献．以上诸定理的结果和论证方法不仅有很重要的理论价值，而且也有很重要的应用价值．它对微分几何、微分方程和其他数学分支以及理论物理等产生了深远的影响．此外，对于想从事与近代数学有关的研究的人员就必须精通微分拓扑的知识和方法．没有这些，就难以进入20世纪后的数学研究领域．

    此书能顺利完成，完全应该归功于20世纪60年代教导我们的老师吴文俊教授和李培信教授，没有他们的精心培育就没有今天这本《微分拓扑》的出版．

    全书内容在中国科学技术大学数学系研究生和高年级优秀大学生中共讲授8届．每届训练两学期，使学生的数学修养和独立研究能力都有很大提高．其中有6位研究生在全国研究生暑期训练班中获奖．特别是1998年在南京大学举办的研究生暑期训练班中，几何拓扑方向获第一名、第二名的是徐森林教授的学生梅加强、倪轶龙．2003年在山东威海举办的研究生训练班中，微分拓扑、近代微分几何两门课第一名的还是徐森林教授的一位学生．经一系列近代数学课程的讲授、训练使中国科学技术大学出了一批有能力、有成就的年轻数学家．

    感谢中国科学技术大学数学系领导与老师的支持．感谢清华大学出版社刘颖编辑真诚的帮助和热心的鼓励．

徐森林

2007年9月2日