目  录 

第1章 数值计算

导论 1 

1. 1 概述 1 

1. 1. 1 数值计算与数值算法 1 

1. 1. 2 数值计算的问题与策略 2 

1. 1. 3 数值计算软件 4  

1. 2 误差分析基础 6  

1. 2. 1 数值计算的近似 6  

1. 2. 2 误差及其分类 7  

1. 2. 3 问题的敏感性与数据传递误差估算 11  

1. 2. 4 算法的稳定性 14 

1. 3 计算机浮点数系统与舍入误差 16  

1. 3. 1 计算机浮点数系统 16  

1. 3. 2 舍入与机器精度 18  

1. 3. 3 浮点运算的舍入误差 20  

1. 3. 4 抵消现象 21  

1. 4 保证数值计算的准确性 22  

1. 4. 1 减少舍入误差的几条建议 22  

1. 4. 2 影响结果准确性的主要因素 25  

评述 26  

算法背后的历史:浮点运算的先驱———威廉·卡亨 27  

练习题 28  

上机题 29  

第2章 非线性方程求根 31

2. 1 引言 31  

2. 1. 1 非线性方程的解 31  

2. 1. 2 问题的敏感性 32

2. 2 二分法 32  2. 2. 1 方法原理 32  

2. 2. 2 算法稳定性和结果准确度 34  

2. 3 不动点迭代法 36  

2. 3. 1 基本原理 36  

2. 3. 2 全局收敛的充分条件 37  

2. 3. 3 局部收敛性 39  

2. 3. 4 稳定性与收敛阶 40 

2. 4 牛顿迭代法 41 

2. 4. 1 方法原理 42  

2. 4. 2 重根的情况 44  

2. 4. 3 判停准则 44  

2. 4. 4 牛顿法的问题 45  

2. 5 割线法与抛物线法 45  

2. 5. 1 割线法 46  

2. 5. 2 抛物线法 47  

2. 6 实用的方程求根技术 48  

2. 6. 1 阻尼牛顿法 48  

2. 6. 2 多项式方程求根 48  

2. 6. 3 通用求根算法z e r o i n 49  

应用实例:城市水管应埋于地下多深 52  

2. 7 非线性方程组和有关数值软件 53  

2. 7. 1 非线性方程组 53  

2. 7. 2 非线性方程求根的相关软件 55  

评述 56  

算法背后的历史:牛顿与牛顿法 57  

练习题 58  

上机题 59  

第3章 线性方程组的直接解法 61  

3. 1 基本概念与问题的敏感性 61  

3. 1. 1 线性代数中的有关概念 61  

3. 1. 2 向量范数与矩阵范数 64 

3. 1. 3 问题的敏感性与矩阵条件数 68  

3. 2 高斯消去法 71  

3. 2. 1 基本的高斯消去法 71 

3. 2. 2 高斯-约当消去法 74  

3. 3 矩阵的LU分解 78  

3. 3. 1 高斯消去过程的矩阵形式 78  

3. 3. 2 矩阵的直接LU分解算法 81  

3. 3. 3 LU分解的用途 84  

3. 4 选主元技术与算法稳定性 86  

3. 4. 1 为什么要选主元 86 

3. 4. 2 使用部分主元技术的LU分解 88  

3. 4. 3 其他选主元技术 92  

3. 4. 4 算法的稳定性 93  

3. 5 对称正定矩阵与带状矩阵的解法 94  

3. 5. 1 对称正定矩阵的Cho l e sky分解 94  

3. 5. 2 带状线性方程组的解法 97  

应用实例:稳态电路的求解 100  

3. 6 有关稀疏线性方程组的实用技术 101  

3. 6. 1 稀疏矩阵的基本概念 102  

3. 6. 2 MATLAB中的相关功能 104  

3. 7 有关数值软件 107  

评述 109  

算法背后的历史:威尔金森与数值分析 110  

练习题 111  

上机题 113  

第4章 线性方程组的迭代解法 114  

4. 1 迭代解法的基本理论 114  

4. 1. 1 基本概念 114  

4. 1. 2 1阶定常迭代法的收敛性 115  

4. 1. 3 收敛阶与收敛速度 118  

4. 2 经典迭代法 120  

4. 2. 1 雅可比迭代法 120  

4. 2. 2 高斯-赛德尔迭代法 121  

4. 2. 3 逐次超松弛迭代法 123  

4. 2. 4 3种迭代法的收敛条件 125  

应用实例:桁架结构的应力分析 128  

4. 3 共轭梯度法简介 130  

4. 3. 1 最速下降法 130  

4. 3. 2 共轭梯度法 133  

4. 4 各种方法的比较 137  

4. 4. 1 迭代法之间的比较 137  

4. 4. 2 直接法与迭代法的对比 140  

4. 5 有关数值软件 141  

评述 142  

算法背后的历史:雅可比 144  

练习题 145  

上机题 146  

第5章 矩阵特征值计算 148  

5. 1 基本概念与特征值分布 148  

5. 1. 1 基本概念与性质 148  

5. 1. 2 特征值分布范围的估计 152  

5. 2 幂法与反幂法 154  

5. 2. 1 幂法 154  

5. 2. 2 加速收敛的方法 158  

5. 2. 3 反幂法 160  

应用实例:Goog l e的PageRank算法 162  

5. 3 矩阵的正交三角化 165  

5. 3. 1 Hous eho l de r变换 165  

5. 3. 2 Gi vens旋转变换 167  

5. 3. 3 矩阵的QR分解 168  

5. 4 所有特征值的计算与QR算法 172  

5. 4. 1 收缩技术 172  

5. 4. 2 基本QR算法 173  

5. 4. 3 实用QR算法的有关技术 176  

5. 5 奇异值分解简介 179  

5. 5. 1 基本概念与奇异值分解定理 179  

5. 5. 2 有关性质与计算方法 182  

5. 6 有关数值软件 184  

评述 186  

算法背后的历史:A. Hous eho l de r与矩阵分解 187  

练习题 188  

上机题 191  

第6章 函数逼近与函数插值 193  

6. 1 函数逼近的基本概念 193  

6. 1. 1 函数空间 193  

6. 1. 2 函数逼近的不同类型 196  

6. 2 连续函数的最佳平方逼近 198  

6. 2. 1 一般的法方程方法 198  

6. 2. 2 用正交函数族进行逼近 202  

6. 3 曲线拟合与最小二乘法 206  

6. 3. 1 问题的矩阵形式与法方程法 206  

6. 3. 2 用正交化方法求解最小二乘问题 209  

应用实例:原子弹爆炸的能量估计 213  

6. 4 函数插值与拉格朗日插值法 214  

6. 4. 1 插值的基本概念 214  

6. 4. 2 拉格朗日插值法 215  

6. 4. 3 多项式插值的误差估计 218  

6. 5 牛顿插值法 220  

6. 5. 1 基本思想 220  

6. 5. 2 差商与牛顿插值公式 221  

6. 6 分段多项式插值 226  

6. 6. 1 高次多项式插值的病态性质 226  

6. 6. 2 分段线性插值 227  

6. 6. 3 分段埃尔米特插值 228  

6. 6. 4 保形分段插值 231 

6. 7 样条插值函数 233  

6. 7. 1 三次样条插值 233  

6. 7. 2 三次样条插值函数的构造 234  

6. 7. 3 B -样条函数 236  

评述 239  

算法背后的历史:拉格朗日与插值法 240  

练习题 242  

上机题 244  

第7章 数值积分与数值微分 246  

7. 1 数值积分概论 246  

7. 1. 1 基本思想 246  

7. 1. 2 求积公式的积分余项与代数精度 248  

7. 1. 3 求积公式的收敛性与稳定性 249  

7. 2 牛顿-柯特斯公式 250  

7. 2. 1 柯特斯系数与几个低阶公式 250  

7. 2. 2 牛顿-柯特斯公式的代数精度 252  

7. 2. 3 几个低阶公式的余项 253  

7. 3 复合求积公式 254  

7. 3. 1 复合梯形公式 254  

7. 3. 2 复合辛普森公式 255  

7. 3. 3 步长折半的复合求积公式计算 257  

7. 4 龙贝格积分算法与理查森外推 258  

7. 4. 1 复合梯形公式的余项展开式 258  

7. 4. 2 理查森外推法 259  

7. 4. 3 Rombe r g算法 260  

7. 5 自适应积分算法 262  

7. 5. 1 自适应积分的原理 262  

7. 5. 2 一个具体的自适应积分算法 263  

7. 6 高斯求积公式 265  

7. 6. 1 一般理论 266  

7. 6. 2 高斯-勒让德积分公式及其他 269  

应用实例:探月卫星轨道长度计算 270  

7. 7 数值微分 272  

7. 7. 1 基本的有限差分公式 272  

7. 7. 2 插值型求导公式 274  

7. 7. 3 数值微分的外推算法 276  

评述 277  

算法背后的历史:“数学王子”高斯 279  

练习题 280  

上机题 281  

第8章 常微分方程初值问题的解法 283  

8. 1 引言 283  

8. 1. 1 问题分类与可解性 283  

8. 1. 2 问题的敏感性 284  

8. 2 简单的数值解法与有关概念 286  

8. 2. 1 欧拉法 286  

8. 2. 2 数值解法的稳定性与准确度 288  

8. 2. 3 向后欧拉法与梯形法 290  

8. 3 龙格-库塔方法 292  

8. 3. 1 基本思想 292  

8. 3. 2 几种显式R-K公式 293  

8. 3. 3 显式R-K公式的稳定性与收敛性 297  

8. 3. 4 自动变步长的R-K方法 298  

8. 4 多步法 300  

8. 4. 1 多步法公式的推导 300  

8. 4. 2 Adams公式 303  

8. 4. 3 更多讨论 307  

8. 5 常微分方程组与实用技术 307  

8. 5. 1 1阶常微分方程组 308  

8. 5. 2 MATLAB中的实用ODE求解器 311  

应用实例:洛伦兹吸引子 314  

评述 316  

算法背后的历史:“数学家之英雄”欧拉 317  

练习题 318  

上机题 320  

附录A 有关数学记号的说明 322  

附录B MATLAB简介 324  

附录C Py t hon数值计算简介 344  

附录D 部分习题答案 348  

算法索引 352  

术语索引 354  

参考文献 362