绪论 1

第1章   万物皆数 7

1.1 数字和运算：人类思想的伟大飞跃 9

1.2 数字分类：从复数到自然数 11

1.3 加减：最基本的数学运算 15

1.4 向量：数字排成行、列 18

1.5 矩阵：数字排列成长方形 19

1.6 矩阵：一组列向量，或一组行向量 23

1.7 矩阵形状：每种形状都有特殊性质和用途 25

1.8 矩阵加减：形状相同，对应位置，批量加减 26

第2章   乘除 29

2.1 算术乘除：先乘除，后加减，括号内先算 31

2.2 向量乘法：标量乘法、向量内积、逐项积 34

2.3 矩阵乘法：最重要的线性代数运算规则 36

2.4 矩阵乘法第一视角 40

2.5 矩阵乘法第二视角 43

2.6 矩阵除法：计算逆矩阵 46

第3章   几何 49

3.1 几何缘起：根植大地，求索星空 51

3.2 点动成线，线动成面，面动成体 54

3.3 角度和弧度 60

3.4 勾股定理到三角函数 62

3.5 圆周率估算初赛：割圆术 64

第4章   代数 69

4.1 代数的前世今生：薪火相传 71

4.2 集合：确定的一堆东西 72

4.3 从代数式到函数 75

4.4 杨辉三角：代数和几何的完美合体 79

4.5 排列组合让二项式系数更具意义 82

4.6 杨辉三角隐藏的数字规律 85

4.7 方程组：求解鸡兔同笼问题 86

第5章   笛卡儿坐标系 91

5.1 笛卡儿：我思故我在 93

5.2 坐标系：代数可视化，几何参数化 94

5.3 图解“鸡兔同笼”问题 100

5.4 极坐标：距离和夹角 102

5.5 参数方程：引入一个参数 103

5.6 坐标系必须是“横平竖直的方格”？ 104

第6章   三维坐标系 107

6.1 三维直角坐标系 109

6.2 空间平面：三元一次方程 110

6.3 空间直线：三元一次方程组 114

6.4 不等式：划定区域 117

6.5 三大类不等式：约束条件 120

6.6 三维极坐标 126

第7章   距离 131

7.1 距离：未必是两点间最短线段 132

7.2 欧氏距离：两点间最短线段 134

7.3 点到直线的距离 140

7.4 等距线：换个视角看距离 144

7.5 距离间的量化关系 146

第8章   圆锥曲线 149

8.1 圆锥曲线外传 150

8.2 圆锥曲线：对顶圆锥和截面相交 152

8.3 正圆：特殊的椭圆 155

8.4 椭圆：机器学习的多面手 157

8.5 旋转椭圆：几何变换的结果 160

8.6 抛物线：不止是函数 164

8.7 双曲线：引力弹弓的轨迹 166

第9章   深入圆锥曲线 169

9.1 圆锥曲线：探索星辰大海 171

9.2 离心率：联系不同类型圆锥曲线 172

9.3 一组有趣的圆锥曲线 173

9.4 特殊椭圆：和给定矩形相切 175

9.5 超椭圆：和范数有关 179

9.6 双曲函数：基于单位双曲线 184

9.7 圆锥曲线的一般形式 186

第10章   函数 191

10.1 当代数式遇到坐标系 193

10.2 一元函数：一个自变量 194

10.3 一元函数性质 197

10.4 二元函数：两个自变量 202

10.5 降维：二元函数切一刀得到一元函数 205

10.6 等高线：由函数值相等点连成 208

第11章   代数函数 211

11.1 初等函数：数学模型的基础 212

11.2 一次函数：一条斜线 214

11.3 二次函数：一条抛物线 218

11.4 多项式函数：从叠加角度来看 221

11.5 幂函数：底数为自变量 224

11.6 分段函数：不连续函数 228

第12章   超越函数 231

12.1 指数函数：指数为自变量 233

12.2 对数函数：把连乘变成连加 235

12.3 高斯函数：高斯分布之基础 238

12.4 逻辑函数：在0和1之间取值 240

12.5 三角函数：周期函数的代表 243

12.6 函数变换：平移、缩放、对称 246

第13章   二元函数 251

13.1 二元一次函数：平面 253

13.2 正圆抛物面：等高线为正圆 257

13.3 椭圆抛物面：等高线为椭圆 260

13.4 双曲抛物面：马鞍面 264

13.5 山谷和山脊：无数极值点 265

13.6 锥面：正圆抛物面开方 267

13.7 绝对值函数：与超椭圆有关 269

13.8 逻辑函数：从一元到二元 272

13.9 高斯函数：机器学习的多面手 274

第14章   数列 277

14.1 芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟 279

14.2 数列分类 281

14.3 等差数列：相邻两项差相等 282

14.4 等比数列：相邻两项比值相等 284

14.5 斐波那契数列 287

14.6 累加：大写西格玛 288

14.7 数列极限：微积分的一块基石 299

14.8 数列极限估算圆周率 301

第15章   极限和导数 305

15.1 牛顿小传 307

15.2 极限：研究微积分的重要数学工具 308

15.3 左极限、右极限 310

15.4 几何视角看导数：切线斜率 312

15.5 导数也是函数 315

第16章   偏导数 323

16.1 几何角度看偏导数 325

16.2 偏导也是函数 329

16.3 二阶偏导：一阶偏导函数的一阶偏导 330

16.4 二元曲面的驻点：一阶偏导为0 333

第17章   微分 337

17.1 几何角度看微分：线性近似 338

17.2 泰勒级数：多项式函数近似 340

17.3 多项式近似和误差 343

17.4 二元泰勒展开：用多项式曲面近似 348

17.5 数值微分：估算一阶导数 352

第18章   积分 355

18.1 莱布尼茨：既生瑜，何生亮 357

18.2 从小车匀加速直线运动说起 357

18.3 一元函数积分 358

18.4 高斯函数积分 361

18.5 误差函数：S型函数的一种 362

18.6 二重积分：类似二重求和 363

18.7 “偏积分”：类似偏求和 365

18.8 估算圆周率：牛顿法 367

18.9 数值积分：黎曼求积 371

第19章   优化入门 377

19.1 优化问题：寻找山峰、山谷 379

19.2 构造优化问题 380

19.3 约束条件：限定搜索区域 383

19.4 一元函数的极值点判定 389

19.5 二元函数的极值点判定 393

第20章   概率入门 401

20.1 概率简史：出身赌场 402

20.2 二叉树：一生二、二生三 403

20.3 抛硬币：正反面概率 407

20.4 聊聊概率：向上还是向下 409

20.5 一枚质地不均匀的硬币 411

20.6 随机中有规律 413

第21章   统计入门 417

21.1 统计的前世今生：强国知十三数 418

21.2 散点图：当数据遇到坐标系 419

21.3 均值：集中程度 421

21.4 标准差：离散程度 424

21.5 协方差：联合变化程度 425

21.6 线性相关系数：线性关系强弱 429

第22章   向量 435

22.1 向量：有大小、有方向 436

22.2 几何视角看向量运算 439

22.3 向量简化距离运算 441

22.4 向量内积与向量夹角 443

22.5 二维到三维 445

22.6 投影：影子的长度 446

第23章   鸡兔同笼1 453

23.1    从鸡兔同笼说起 454

23.2    “鸡”向量与“兔”向量 456

23.3    那几只毛绒耳朵 459

23.4    “鸡兔”套餐 460

23.5 套餐转换：基底转换 463

23.6 猪引发的投影问题 464

23.7 黄鼠狼惊魂夜：“鸡飞兔脱”与超定方程组 466

第24章   鸡兔同笼2 469

24.1 鸡兔数量的有趣关系 470

24.2 试试比例函数：y = ax 471

24.3 最小二乘法 473

24.4 再试试一次函数：y = ax + b 477

24.5 再探黄鼠狼惊魂夜：超定方程组 479

24.6 统计方法求解回归参数 483

第25章   鸡兔同笼3 485

25.1    鸡兔互变奇妙夜 486

25.2    第一视角：“鸡/兔→鸡”和“鸡/兔→兔” 489

25.3    第二视角：“鸡→鸡/兔”和“兔→鸡/兔” 491

25.4 连续几夜鸡兔转换 493

25.5 有向量的地方，就有几何 496

25.6    彩蛋 498