第1章行列式1

1-1n阶行列式的定义1

1.1.1内容提要1

1n阶行列式的“逆归”定义1

2n阶行列式的“逆序”定义1

1.1.2例题分析2

1-2n阶行列式的性质和计算13

1.2.1内容提要13

1行列式的性质13

2行列式的拉普拉斯展开14

1.2.2例题分析16

1低阶行列式的计算16

2n阶行列式的计算39

1-3克拉默法则58

1.3.1内容提要58

1.3.2例题分析58

1-4习题答案与提示64

1.4.1习题64

1.4.2答案与提示75

第2章矩阵80

2-1矩阵及其运算80

2.1.1内容提要80

1矩阵的定义80

2矩阵的线性运算80

3矩阵的乘法运算81

4转置矩阵83

2.1.2例题分析84

1基本概念及运算84

2方阵的幂89

3矩阵乘法的可交换性98

4对称矩阵和反对称矩阵103

5上(下)三角矩阵105

6正交矩阵106

7矩阵的迹107

2-2矩阵的逆108

2.2.1内容提要108

1逆矩阵的定义108

2逆矩阵的性质109

3矩阵求逆的方法109

4证明矩阵可逆的方法110

5矩阵的初等变换及初等矩阵110

2.2.2例题分析112

1证明A可逆，并求A-1的方法112

2伴随矩阵124

3矩阵方程126

4初等变换和初等矩阵129

2-3分块矩阵134

2.3.1内容提要134

1分块矩阵134

2分块矩阵的加法运算135

3分块矩阵的数乘运算135

4分块矩阵的乘法135

5分块矩阵的转置137

6分块矩阵求逆矩阵137

7分块初等矩阵和分块矩阵的初等变换138

2.3.2例题分析139

1分块矩阵的运算139

2分块矩阵的行列式143

3分块矩阵的其他应用146

2-4习题答案与提示150

2.4.1习题150

2.4.2答案与提示162

第3章线性方程组和n维向量176

3-1高斯消元法176

3.1.1内容提要176

3.1.2例题分析177

3-2n维向量线性相关性186

3.2.1内容提要186

1n维向量186

2线性相关性187

3向量组的极大无关组和秩188

4两个向量组S1,S2等价188

3.2.2例题分析188

1线性相关性的判别188

2线性表出196

3线性相关性的证明203

4向量组的秩极大无关组等价向量组212

3-3矩阵的秩219

3.3.1内容提要219

3.3.2例题分析220

1有关秩的公式的证明220

2有关秩的证明题224

3分块矩阵的秩229

3-4线性方程组解的结构230

3.4.1内容提要230

1齐次线性方程组230

2线性非齐次方程组231

3.4.2例题分析232

1基本运算232

2线性齐次方程组的基础解系和通解243

3线性非齐次方程组的有解条件245

4线性非齐次方程组解的性质和解的结构248

5线性齐次方程组中行向量和解向量的关系由基础解系反求线性方程组250

6线性方程组的列向量和解向量的关系252

7线性方程组和矩阵方程254

8两个线性方程组的公共解256

9同解线性方程组258

10综合题261

3-5习题答案与提示264

3.5.1习题264

3.5.2答案与提示276

第4章n维向量空间282

4-1基和坐标基变换坐标变换282

4.1.1内容提要282

4.1.2例题分析283

4-2向量的内积291

4.2.1内容提要291

4.2.2例题分析292

4-3标准正交基正交矩阵296

4.3.1内容提要296

4.3.2例题分析297

4-4习题答案与提示311

4.4.1习题311

4.4.2答案与提示316

第5章矩阵的特征值和特征向量320

5-1矩阵的特征值和特征向量320

5.1.1内容提要320

1矩阵的特征值和特征向量320

2特征值和特征向量的求法320

3特征值的性质320

4相似矩阵321

5.1.2例题分析321

1特征值和特征向量的基本计算321

2关于特征值324

3关于特征向量331

5-2矩阵可对角化的条件336

5.2.1内容提要336

5.2.2例题分析336

1矩阵可对角化的条件336

2利用矩阵可对角化确定参数342

3利用特征值和特征向量反求矩阵345

5-3实对称矩阵的相似对角化347

5.3.1内容提要347

5.3.2例题分析347

5-4矩阵相似对角化的应用综合杂例355

5.4.1矩阵对角化的应用355

5.4.2综合题360

5-5习题答案与提示372

5.5.1习题372

5.5.2答案与提示378

第6章二次型（考研数学二、四不要求）391

6-1二次型的矩阵表示合同矩阵391

6.1.1内容提要391

1二次型及其矩阵表示391

2合同矩阵的定义392

6.1.2例题分析392

6-2化二次型为标准形规范形395

6.2.1内容提要395

1二次型的标准形、规范形395

2二次型化标准形、规范形的方法396

3惯性定理396

6.2.2例题分析397

6-3二次型的正定性及其判别法419

6.3.1内容提要419

1二次型的正定性419

2二次型的负定420

3其他有定二次型420

6.3.2例题分析421

6-4习题答案与提示440

6.4.1习题440

6.4.2答案与提示447

第7章线性空间、线性变换、欧氏空间(考研不要求)455

7-1线性空间455

7.1.1内容提要455

1线性空间定义455

2线性空间的基本关系456

3线性相关性及维数456

7.1.2例题分析456

7-2线性子空间464

7.2.1内容提要464

7.2.2例题分析465

7-3线性变换475

7.3.1内容提要475

1线性变换的定义及基本性质475

2线性变换在一组基下对应的矩阵475

3线性变换的运算476

4线性变换的特征值和特征向量476

5线性变换的值域和核476

7.3.2例题分析477

7-4欧氏空间489

7.4.1内容提要489

1内积489

2欧氏空间490

3度量矩阵490

4不同基下的度量矩阵是合同的490

5标准正交基491

6正交子空间、正交补491

7正交变换492

7.4.2例题分析492

7-5习题答案与提示504

7.5.1习题504

7.5.2答案与提示518