前言

数学是宇宙的语言，具有普适性和一般性.“数学分析”课程是“高等数学”的基础性课程.“数学分析”以“极限”概念为基础，运用微分和积分两种特殊的极限运算规则，从局部和全局两个方面研究实函数的连续性、可微性、可积性等一系列性质, 其内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数和常微分方程等，构建了连续函数的微积分理论.

“数学分析”(mathematical analysis)，就其对象，是研究函数的微分(differentiation)、积分(integration)及其应用的数学基础学科分支. 就其功能，从数学理论的角度，其是现代数学的基础； 从学习的角度，是几乎所有后继高等数学课程的基础. 就其内容，不仅仅是高等数学中的微积分(calculus)部分，而且包括微分方程和矢量场分析. 具体说，数学分析内容主要包括函数的极限、连续、求导数的运算，即一套关于变化率极限的理论、微分学、积分学及其应用. 其最简单的应用包括函数曲线、物理学的位移曲线或速度等曲线的斜率均可用一套通用的符号进行表述； 其基本的应用可以解决数学理论、物理学、应用科学和工程计算等方面的各种应用问题. 从高等数学课程的角度，数学分析较一般的微积分理论更具有理论系统性、逻辑严谨性和应用广泛性.

“数学分析”理论的形成过程可以分为四个时期.第一个时期是孕育时期，我国春秋战国和古希腊的年代，先哲们就有了极限思想.比如，墨子和阿基米德就有了微分和积分思想； 我国古代数学家赵爽和刘徽的“出入相补原理”就是最早微积分思想雏形.第二个时期是积累时期，从公元前一直到17世纪漫长的一千多年，人类缓慢并逐步地酝酿着微积分思想，东西方都没有大的进展.第三个时期是创建时期，17世纪下半叶到19世纪上半叶，由于第一次工业革命的出现，西方自然科学的迅速发展，是促使微积分理论建立的根本因素，牛顿和莱布尼茨是创立微积分的代表人物.第四个时期是重建和完善时期，大致是19世纪上半叶到20世纪上半叶.特别是第二次数学危机的解决，基于分析学理论，数学家们对数学分析的理论基础进行了重新定义和解释，从而使微积分理论建立在更加坚实的理论基础之上. 

“数学分析”课程的特点是严谨、细致和全面，包含了深刻的辩证逻辑.所以，从学习者的角度，似乎是先难后易.其实在理解了极限、掌握了微分和求导方法之后, 也就是说通过极限、连续、导数、微分和中值定理与导数的应用的学习，就突破了微积分的学习难度，跨过了数学分析学习的“高原期”，后续的学习就是充满柳暗花明的阳光大道了.但是必须承认，数学分析的内容蕴含着严谨的辩证逻辑，体现在具体的方法规范性和思维技巧性方面： 比如要把定理和命题证明过程用准确、严密、简练的数学语言和符号书写出来，学习者必须熟练掌握证明的逻辑思维流程和逻辑方式； 必须掌握具有代表性的证明方法、典型问题的求解技巧、重点概念的本质涵义、定理的几何直观意义、定理的条件和结论以及理论体系完整性.另外，还要深刻理解某些精细概念之间的本质差别，比如导数与导函数、微分与微商等.

目前，全国高等师范院校教育学院“小学教育”专业的培养方案对高等数学课程的设置尚未统一，工科类和经济类高等数学课程对于小学教育专业的“高等数学”课程显然不太合适； 数学专业的“数学分析”课程太理论化和专业化，因此，小学教育专业的“高等数学”数学课程缺乏适用的教材，已经是全国高师院校面临的共同困局.《高等数学简明教程》(“小学教育”专业数学方向)系列教材《数学分析》的出版，不仅是对高等师范院校小学教育专业数学方向的专业课教材的及时弥补，也是对“小学教育”师资培养的教学质量提升的有力支撑.本书的体系、内容深浅度、学科的完整性以及教学适应度，比较适合全国高师“小学教育”师范专业对教科书适应性要求和选择性要求.

编者

2024年5月9日