Introduction to Operations Research
〖〗第1章

绪论

1.1运筹学的起源
由于产业革命的到来，组织的规模和复杂性已经有了显著的成长。早些时候的小作坊已经演变成今天的大规模公司。结果是显而易见的，这个革命变化的整体部分就是组织中劳动和管理职能的分配有了巨大的增长。然而，伴随着它的进步，在这个增长中产生了新的问题，而且是已经在许多组织中存在的问题。其中一个问题是组织的各个部门都有发展成有自己目标和评价系统的、相对独立的部门的趋势，因而各个部门的行动和目标就有可能同组织的整体目标相矛盾。对一个部门是最好的常常对另一个部门是有害的，因此在一些利益交叉目标上，某些部门就会终止工作。另一个问题是，随着组织复杂性和特殊性的增长，对于组织来说，如何最有效地分配有用资源给不同部门将变得越来越困难。这些问题就需要找到一个好的方法来解决。在这样的需求环境下，产生了运筹学这一学科(通常简称为OR)。
现代运筹学的起源可以追溯到几十年前在某些组织的管理中最先试用科学手段的时候。可是，现在普遍认为，运筹学的活动是从第二次世界大战初期的军事任务开始的。当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式分配给各种不同的军事作业及在每一作业内的各项活动，所以英国及随后美国的军事管理当局都号召大批科学家运用科学手段来处理战略与战术问题，实际上这便要求他们对种种（军事）作业进行研究，这些科学家小组正是最早的运筹小组。这些小组创造的有效使用雷达工具的新方法，对英国空军在战役中取胜发挥了重要作用。通过研究如何更好地操作护送和进行反潜作业，这些小组在北大西洋舰队反潜战中发挥了重要作用。在之后的太平洋岛屿的战役中也起到了同样的作用。
　　战争结束后，运筹学在战争中获得的成功引起了军事行业以外的其他行业应用运筹学的兴趣。当第二次世界大战后的工业恢复繁荣时，由于组织内与日俱增的复杂性和专门化所产生的问题，使人们认识到这些问题基本上与战争中所面临的问题类似，只是具有不同的现实环境而已，运筹学就这样被引入工商企业和政府，在20世纪50年代以后得到了广泛的应用。
另外，至少还有两个因素对运筹学的快速发展起到了重要作用。一是在改进运筹学方法方面有了实质性的进步。战后许多参加运筹学小组或者听说过这项工作的科学家都主动对相关领域进行研究，这直接引起了运筹学方法技术上的巨大进步。1947年，George Dantzig提出了用单纯形法解决线性规划问题的一般数学模型。20世纪50年代末，运筹学的许多基本理论和工具都已形成，比如线性规划、动态规划、排队论和存储论。
　　另一个重要因素来自于电子计算机革命对促进运筹学发展所带来的巨大冲击。运筹学中的复杂问题通常需要有效地处理大量的计算工作，手工来完成这项工作显然是不可能的。借助计算机的能力完成数学计算要比手工计算快几千倍甚至几百万倍，因而计算机的发展对运筹学研究起到了极大的促进作用。随着20世纪80年代个人计算机及相关软件的快速普及推动了运筹学进一步的发展，这都使运筹学更易于被大量人所使用。今天，已有数百万人使用运筹学软件，因此现在大量的计算机包括大型机和家用计算机被用来解决运筹学问题。
第1章绪论运筹学导论1.2运筹学的特性
正如它的名字所蕴含的，运筹学包含了运作研究的意思。因而，运筹学主要是解决如何引导和调整一个组织内的工作。事实上，运筹学被广泛地应用于各个领域，比如制造业、运输业、建筑业、通信业、金融业、卫生保健、军事领域和公共服务业等。因而运筹学的应用范围是非常广泛的。
运筹学的第一个特性是它运用的研究方法类似于确定的科学领域里的任何科学方法。在相当大的程度上，应运用科学的方法对所关注的问题进行调查（事实上，管理科学有时被当作运筹的同义词）。运筹学的运算过程开始于仔细的观察和阐明问题，同时收集所有相关数据； 接下来构建一个可以概括真正问题本质的数学模型； 然后假设这个模型可以充分精确的表示问题的本质特性，并且从模型中获得的结论也是有效的； 最后用适当的案例来验证这种假设，并且按照需求调整，并最终证明这种假设是正确的（这一步通常被称为模型的验证）。因而，在某种意义上，运筹学包括对业务的基本特性进行创造性的科学研究。然而，运筹学所涉及的内容不止这些，运筹学也参与组织的实际管理。因而，为了成功，运筹学也必须为决策者提供他们所需要的正确的、可读懂的结论。
　　运筹学的第二个特性是它的全局的观点。正如上一节所述，运筹学着眼于组织整体的利益。因而，运筹学试图用一种方法解决组织中各成员利益的冲突以实现整个组织的最优。这不仅意味着每个问题的研究都要清楚地考虑到组织的所有部分，而且所要实现的目标必须同组织保持一致。
　　运筹学的第三个特性是它常常会考虑寻求问题的最优解。它的目标是确定最可行的运作过程，而不是简单地提高现状。虽然它会根据管理的实际需要被详细地解释，但在运筹学中寻求最优解是一个重要的主题。
　　上述特征自然引出运筹学的另一个特性。众所周知，没有任何一个人可以是一个运筹学工作各个方面的专家，这就需要一群有不同背景和技能的人才。因此，当执行一个新问题的运筹学研究时，使用一个小组的方法通常是十分必要的。这样一个运筹学小组需要包括受过以下高级培训的人才： 数学、统计学、概率论、经济学、工商管理、计算机科学、工程学、物理学、行为科学以及运筹学的专业技巧。这些团队也需要有必要的经验和各种技能，用以适当地考虑贯穿整个组织的许多分支问题。
1.3运筹学的影响
运筹学对于提高整个世界许多组织的效率都有很大影响，同时，运筹学在提高各国的生产率方面起到了重要作用。现在国际运筹学联合会（IFORS）已有几十个成员国，每个国家也有自己的运筹学会。亚欧两洲都有自己的运筹学联合会，分别举办国际会议和出版国际学刊。运筹学与管理科学学会（INFORMS）是一个国际性的运筹学社团。在它出版的多种刊物中，有一Interfaces的刊物，它定期发表一些运筹学研究的成果及其对各类组织带来的效益。
为了更好地了解运筹学的广泛应用，我们在表1.1列举出了一些应用的成功经验。表1.1的前2列是组织和应用的内容实质，第3列是发表的年份，第4列列出了用到的理论方法对应本书的章节，最后一列指出了运筹学的应用每年会给组织带来多少节约。还有很多没有列在表上的利益，可能比所带来的经济利益还重要（你可以通过习题1.31和1.32进一步了解研究）。表1.1运筹学的应用组织〖〗应用的内容实质〖〗发表年份*〖〗相关章节+〖〗每年节约/美元荷兰的
Rijkswaterstaat〖〗制定国家的水管理政策，包括引进新设备、运行步骤和定价〖〗1985〖〗2.8、12、20〖〗15000000Monsanto公司〖〗优化化工厂的生产作业以实现最小成本的生产目标〖〗1985〖〗2、11〖〗2000000United
航空公司〖〗在预定办公室和机场安排换班时间，以最小成本满足客户的需求〖〗1986〖〗2.9、11、
17、26、27〖〗6000000Citgo石油公司〖〗优化炼油厂的运作、供应、分配和销售产品〖〗1987〖〗2.9、27〖〗70000000旧金山警署〖〗用计算机系统优化安排和部署巡逻人员〖〗1989〖〗2.4、11、27〖〗11000000Texaco,Inc.〖〗优化现有的成分混合成汽油，以满足产品质量和销售的需求〖〗1989〖〗2、12〖〗30000000IBM〖〗整合备件库存的全国网络以提高服务支持〖〗1990〖〗2、18、20〖〗20000000+
250000000
较少存货Yellow Freight
 System,Inc.〖〗优化全国货运网络和货运路线的设计〖〗1992〖〗2、9、12、
20、27〖〗17300000New Haven
 Health Department〖〗制定有效的针头交换计划对付艾滋病毒/艾滋病的蔓延〖〗1993〖〗2〖〗小于33%
HIV/AIDS
续表组织〖〗应用的内容实质〖〗发表年份〖〗相关章节〖〗每年节约AT&T〖〗发展个人计算机系统引导商业客户中心设计他们的呼叫中心〖〗1993〖〗17、20、26〖〗750000000Delta航空公司〖〗从分配超过2500条国内飞机航班的飞机类型获得最大利润〖〗1994〖〗11〖〗100000000Digital Equipment公司〖〗重新构架全球供应链的供应商、生产厂、分销中心、可能的地点及市场领域〖〗1995〖〗11〖〗800000000中国〖〗最优选择并安排庞大的工程，以满足国家未来的能源需求〖〗1995〖〗11〖〗425000000南非国防军〖〗优化设计国防力量和武器系统的大小和形状〖〗1997〖〗11〖〗1100000000Proctor and Gamble〖〗重新设计北美生产和分销系统以降低成本提高市场速度〖〗1997〖〗8〖〗200000000Taco Bell〖〗以最小的成本最优化安排员工提供理想的客户服务〖〗1998〖〗11、20、27〖〗13000000HewlettPackard〖〗重新设计打印机生产线上的缓冲器大小及位置，以满足生产目标〖〗1998〖〗17、26〖〗大于
280000000Sears,Roebuck〖〗开发交通路线和运输安排系统，以最快地提供家庭服务〖〗1999〖〗11〖〗42000000IBM〖〗重新建立全球供应链，在库存最少时最快地满足顾客需求〖〗2000〖〗18〖〗第一年
750000000Merrill Lynch〖〗设计基于资产和在线的定价方法，以提供金融服务〖〗2002〖〗2、20〖〗收入大于
80000000Samsung Electronics〖〗提出减少生产时间和库存水平的方法〖〗2002〖〗2.7〖〗收入大于
200000000Continental
航空公司〖〗飞行计划发生干扰时，最优重新分配机组人员〖〗2003〖〗2、11〖〗40000000*描述有关应用全文可查阅该年度《Interfaces》的1月~2月号。
+表明本书中哪些章节讲述了有关应用的运筹学方法技巧。本章后面的参考文献1指出了许多企业应用运筹学持续的长期战略影响，很多应用没有列出公司的名称。参考文献3指出了运筹学在提高许多企业利润率和生产率方面起到了重要作用。
虽然大部分运筹学日常研究只是提供了比表1.1中获奖的应用要小得多的效益，但表1.1中最右列数据准确地反映了一些大型的、很好组织的运筹学研究对企业的重要影响。
　　我们将在第2章中描述一些应用，然后我们将在3.5中提出两个更具体的例子。
1.4算法和运筹学课程软件
这本书的重要部分是提出了运筹学的主要算法，以解决一定类型的问题。有些算法是非常有效率的，一般可处理含数百或数千个变量的问题。书中将介绍如何使用算法工作，并使它们更有效率。然后，你将通过计算机使用这些算法来解决不同的问题。运筹学课程软件包含的光盘将是一个进行上述工作的重要工具。
运筹学课程软件的一个特性是它包含一个运筹学辅导的大纲。这个大纲是帮助你学习算法的家庭教师。它由许多案例组成，以显示和解释这些算法，这些案例是对书上例子的补充。
　　另外，运筹学课件包括一个名为IOR教学辅导的专用软件包，用Java语言编写。这个创新的软件包专门用来提供学生们使用本书的学习经验。当你集中学习和运用算法的逻辑性时，计算机会完成全部常规的计算。这都补充了书中的案例。而且你会发现这些互动的程序是一个求解许多家庭作业问题的有效方法。IOR辅导软件包也包括许多其他有用的程序，一些自动执行算法的程序和一些提出如何解决随问题数据变化的算法的图解展示程序。
    实际上，算法通常由商业软件包来执行。让学生们熟悉软件包的种类是很重要的，以便他们毕业后可以更好地使用这些软件包。因此，IOR专用软件包括以下三种普遍使用软件包的有用材料。这些软件包将会帮助你有效地求解书中几乎全部的运筹学模型。由于书中有几个原有的软件包不适用的案例，我们还在运筹学指导软件中增加了自己的自动运算程序。
    Microsoft Excel是一个使用当今首要的电子表格包用电子表格的格式来建立小的运筹学模型的常用方法。然后Excel Solver（或者是这个插件的一个加强版，比如运筹学课件包括的对于教育的Premium Solver）被用来求解模型。你的运筹学课件包括书中几乎所有章节的各自的Excel文件。每章提出一个使用Excel求解问题的案例，那一章的Excel文件给出了完整的电子制表软件规范和解决方案。对书中的许多模型，光盘也提供了一个包括求解模型的所有必要方程的Excel模板。光盘中也包括了一些Excel插件。
　　虽然已过了许多年，LINDO和LINGO仍然是受欢迎的运筹学软件包。现在，LINDO和LINGO的学生版本可以从网络上自由下载。运筹学课件也提供了这个学生版本。关于Excel，每次可以用这个软件解决一个案例，在运筹学课件每章的LINGO/LINDO文档里都提供了所有细节。
　　CPLEX是一个有很高技巧的软件包，已经被广泛应用于解决高难运筹学问题。当处理这种问题时，通常使用一个建模系统来有效表达数学模型然后将其输入计算机。MPL使用CPLEX作为它的主要求解工具，它是一个用户容易掌握使用的建模系统。MPL和CPLEX的学生版都可以从网上免费下载。为了方便，运筹学课件也包括了这个软件。在相应的章节里，运筹学课件在MPL/CPLEX文档里详细解释了刻意求解的案例。
　　我们将更进一步描述这三个软件包，并在后面介绍了如何使用它们（特别是第3章、第4章结尾处）。附录1还提出了运筹学课件的文件，包括运筹学指导和IOR教学辅导。
正如每一章问题部分开始所解释的，每题题号左边有标志的或部分有标志的（或者示范的案例和互动的程序）是有益的。
参考文献

习题
1.31从表1.1中选择一个应用运筹学的例子，仔细阅读其应用运筹学研究的文章（从表中第3列所示年份的《Interfaces》的1月~2月号查找）。然后写一份应用运筹学及其带来的利益（包括非经济利益）的总结(篇幅为两页)。
1.32从表1.1中选择3个应用运筹学的例子，仔细阅读它们应用运筹学研究的文章。然后对于这3个例子分别写一份应用运筹学及其带来的利益（包括非经济利益）的总结(篇幅为一页)。




Introduction to Operations Research
〖〗第2章

运筹学建模方法综述


本书的大部分篇幅被用来阐述运筹学的数学方法。此种写法是非常恰当的，因为这些数学定量技术构成了运筹学的主体。然而，这并不意味着实际的运筹学研究主要是数学练习。事实上，数学分析通常只代表研究总工作量相对较小的一部分。本章的目的是通过对典型运筹学研究所有主要阶段的描述，得到一个全局观。
以下是概括运筹学研究常见（且相互重叠的）阶段的一种方式。
1. 定义感兴趣的问题并且收集相关数据。
2. 构建表示问题的数学模型。
3. 开发一个计算机程序，通过它从模型中求得问题的解。
4. 检验模型，如果有必要，细调模型。
5. 根据管理层的要求，准备模型的后续应用。
6. 实施。
以上每个阶段将在以下各节中依次讨论。
表1.1介绍的大部分获奖运筹学研究提供了执行这些阶段的优秀范例。我们将在本章中贯穿始终，零星插入这些范例的部分，并提供参考文献，以资进一步阅读。
2.1定义问题和收集数据
和教科书中的例子相反，运筹学研究团队遇到的大部分实际问题最初以模糊的、不精确的方式被描述给他们。因此，首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确说明。详细来说，这包括确定合适的目标、实际操作的约束、被研究领域和组织的其他领域间的相互关系、其他可能的行动路线、制定决策的时间限制等。问题定义过程是至关重要的，因为它对研究结论的意义有重大影响。从“错误”的问题中，很难得出“正确”的答案！
首先要认识到，一个运筹学研究团队通常扮演顾问的角色，并不是有一个现成问题在那等着团队成员，然后让他们用任何方法来解决它。相反，他们为管理层提供建议（通常是向某个关键的决策者）。团队对问题进行详细的技术分析，然后向管理层提供建议。通常，向管理层提供的报告包含多个候选方案，在不同的假设条件下或者是在一些只能够由管理层来评价的政策参数（如成本与收益之间的折衷）值的不同范围上颇具吸引力。管理层评价该项研究以及它的建议，考虑各种无形因素，基于它的最好判断做出最终的决策。因此，团队和管理层步调一致是非常重要的，包括从管理层的角度确定“合适”的问题，并且使研究进行的方向得到管理层的支持。
第2章运筹学建模方法综述运筹学导论确定合适的目标是问题定义一个非常重要的方面。为了做到这一点，首先需要确定真正对所研究的系统做出决策的管理层成员，然后查明该管理人员对相关目标的想法（从一开始就让决策者参与进来，对于获得她或他对实施这项研究的支持也是重要的）。
由于运筹学的特点，它关心的是整个组织而不仅是它的特定部分的福利。运筹学寻求对整个组织最优的解决方案，而不是那些只对部分最好的次优方案。因此，理想化的目标应该是整个组织的目标。然而，这并不总是很方便的。很多问题只涉及组织的一部分，因此如果表述的目标太宽泛或者考虑到对组织其他部分的所有副作用，那么分析将变得不实用。相反，用于研究的目标应该尽可能地明确，而且它们仍能够包含决策者的主要目标并且和组织更高层次的目标保持一定合理程度水平上的一致性。
对于营利组织，避免局部最优化的可行方法是使用长期收益最大化作为唯一的目标（考虑到金钱的时间价值）。“长期”这个形容词表明这个目标具有灵活性，来考虑那些不能马上带来收益但是最终值得这样做的行动（例如，研究和开发项目）。这个方法具有相当大的优点。这样的目标充分明确，能够被方便地使用，而且看起来也足够宽泛到能够涵盖营利组织的基本目标。事实上，很多人相信，很多其他合理目标能够被转换成这个目标。
然而，真实的情况是很多营利组织并不使用这个方法。针对美国企业的大量研究发现，管理层趋向于采用满意利润（satisfactory profits）目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加（或者维持）市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高工人士气、维持商业的家族控制以及提高企业声望。实现这些目标可能实现长期收益最大化，但是这些关系是非常不明显的，不方便将它们结合入单一的目标。
另外，存在包含与营利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。在单个国家内的商业企业一般涉及五方： ①所有者（股东等），渴望赢利（分红、股票增值等）； ②雇员，期望合理工资水平上的稳定雇佣； ③客户，期望以合理价格获得可信赖的产品； ④供应商，期望信誉以及它们产品的合理出售价格； ⑤政府以及国家，期望公正的税收和顾及国家利益。所有五方都对企业做出重大贡献，企业不应该被看成任何一方剥削其他方的专有工具。出于同样的原因，跨国企业负有采用对社会负责的手段的额外责任。因此，尽管我们承认管理层的主要责任是盈利（最终所有五方都获利），我们注意到它更广泛的社会责任也必须被承认。
通常，运筹学研究团队会花费惊人的时间收集问题的相关数据。大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。很多时候，许多数据在研究的开始阶段并不能被获得，可能是因为数据从来就没有被保存或者是被保存的数据过时了，或者是以错误的形式保存的。因此，经常需要安装新的基于计算机的管理信息系统，来经常地和按所需的形式收集数据。运筹学研究团队一般需要组织中其他关键人员的辅助，来追踪所有的重要数据。即使付出了这样的努力，很多数据是非常“不精确的”，只是基于粗略的猜测。因此，运筹学研究团队需要花费大量的时间来提高数据的准确度，然后使用可能获得的最好质量的数据。
近几年，随着数据库的大量使用，以及它们容量爆炸式的增长，运筹学研究团队通常会发现，现在最大的数据问题并不是所获得的数据太少，而是拥有太多的数据。可能有成千上万的数据源，数据总量将以千兆字节甚至是万亿字节为单位来计算。在这样的环境下，定位相关数据以及确认这些数据中令人感兴趣的模式，会变成一项不可承受的任务。运筹学研究团队的新工具之一——数据挖掘（data mining），可以用来解决这个问题。数据挖掘方法在大型数据库中搜索可能产生有用决策的有用模式（本章末参考文献1提供了有关数据挖掘的进一步背景）。
例在为旧金山市警察局P.E. Taylor and S.J.Huxley,“A Break from Tradition for the San Francisco Police： Patrol Officer Scheduling Using an OptimizationBased Decision Support System,”Interfaces,19(1)： 424,Jan.Feb.1989.See especially pp.411.所开展的运筹学研究中，建立了一个用于优化调度和配置巡警的计算机系统。这个新系统在每年节约1100万美元的同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反应时间提高了20%。在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标： 
(1)  维持高水平的居民安全； 
(2)  维持高水平的警员士气； 
(3)  最小化运作成本。
为了满足第一个目标，警察局和市政府联合起来，确定了一个保护期望水平。然后，数学模型施加了这一保护水平一定要实现的需求。相似地，为了实现第二个目标，模型施加了平衡警员间工作量的需求。最后，在满足前两个目标的同时，第三个目标采用最小化警员数量的长期目标。
又如康涅狄格州的纽黑文市卫生局（Health Department of New Haven,Connecticut）E. H. Kaplan and E.OKeefe,“Let the Needles Do the Talking!Evaluating the New Haven Needle Exchange,”Interfaces,23(1)： 726,Jan.Feb.1993.See especially pp.1214雇用了一个运筹学研究团队，来设计一个有效的针具交换计划，与AIDS（HIV）病毒的传播作斗争，并成功地将相关病人中的HIV感染率降低了30%。这项研究的关键部分包括一个新颖的数据收集程序，为HIV传播数学模型获得所需的输入。这个程序包含对每个针头（以及注射器）的全面追踪，包括标识、定位、在交换期间每个病员得到针头和返还针头的日期，以及检测返还的针头是HIV阳性还是HIV阴性。
再如20世纪90年代后期，采用全面服务方式的金融服务企业受到了具有极低交易成本的电子经纪企业的冲击。为了应对，美林证券（Merrill Lynch）S.Altschuler,D.Batavia,J.Bennett,R.Labe,B.Liao,R.Nigam,and J.Oh,“Pricing Analysis for Merrill Lynch Integrated Choice,”Interfaces,32(1)： 519,Jan.Feb.2002.See especially p.10.开始了一项重要的运筹学研究，对怎样进行服务收费进行了全面的革新，范围从全面资产管理服务（按照资产价值的固定百分比进行收费而不是按照单个交易进行收费）到想要直接进行在线投资客户的低成本服务。在这项研究中数据收集和处理起到了关键作用。为了分析针对不同选择个体客户行为的影响，运筹学研究团队需要聚合200千兆字节的客户数据，包括500万客户、1000万账户、1亿美元交易记录以及2.5亿美元的分类账记录； 需要对大量成品数据库中的数据进行合并、调整、过滤和清除。通过对这项研究成果的采用，使得美林证券在拥有的客户资产方面获得一年接近500亿美元的增长，并且增加了8000万美元的收入。
还有Citgo石油公司D.Klingman,N.Phillips,D.Steiger,R.Wirth,and W.Young,“The Challenges and Success Factors in Implementing an Integrated Products Planning System for Citgo,”Interfaces,16(3)： 119,MayJune 1986.See especially pp.1114.Also see D.Klingman,N.Phillips,D.Steiger,and W.Young,“The Successful Deployment of Management Science throughout Citgo Petroleum Corporation,”Interfaces,17(1)： 425,Jan.Feb.1987.See especially pp.1315.This spplication will be described further in Sec.3.5.（Citgo Petroleum Corporation）在优化炼油厂的运作以及它的产品供应、配送和营销方面，使用了运筹学研究。因此，它实现了每年收益提高大约7000万美元。数据收集在这项研究中也起到了关键作用。运筹学研究团队和Citgo石油公司的管理层召开数据需求会议，确保数据的稳定质量。他们开发了最先进的管理数据库系统，配置在一台大型计算机上。当所需的数据不存在时，他们创建了LOTUS 123界面，以帮助个人输入数据。个人计算机（PC）上的数据被上传到大型计算机上。在数据被输入到数学模型之前，预处理程序被用于检验数据错误和不一致性。刚开始，预处理能够产生1英寸厚的错误消息日志。最终，错误和警告消息（包括损坏的或者有问题的数据）的数量被降低到每次新运行时不到10次。
我们将在第3.5小节详细介绍对整个Citgo石油公司的研究。
2.2数学建模
在决策者的问题被定义之后，下一阶段就是将这个问题以容易分析的形式进行表示。传统的运筹学方法主要是建立表示问题实质的数学模型。在讨论怎样建立这类模型之前，我们首先对模型性质做一个普遍性的探讨，并且对数学模型的性质做个特殊的探讨。
模型或者理想化表示每天生活的一个组成部分。常见的例子包括模型飞机、肖像、地球仪等。相似地，模型在科学和商业领域中起到了重要作用。例如，原子模型、遗传结构模型、描述物理运动定律或者化学反应的数学等式、地图、组织图以及工业会计系统等。这些模型在抽象问题本质、表明相互关系以及促进分析等方面的价值是无法估量的。
数学模型也是理想化的表示，但是它们采用数学符号和表达式进行表示。物理定律，例如F=ma和E=mc2是熟悉的例子。相似地，商业问题的数学模型，是描述问题实质的等式和相关数学表达式的系统。因此，如果要制定n个相关的可量化的决策，它们能被表示成决策变量(decision variables)（x1,x2,…,xn），其中各个变量值需要被确定。效果（例如，收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P=3x1+2x2+…+5xn）。这个函数被称为目标函数(objective function)。任何对决策变量值的约束也能够被数学地表示，典型地通过等式或者不等式（例如，x1+3x1x2+2x2≤10）。这些用于限制的数学表达式通常被称为约束(constraints)。约束和目标函数中的常数（也就是，系数和右端项）被称为模型的参数(parameters)。因此，数学模型可能为在特定约束下选择最大化目标函数的决策变量值的问题。这类模型以及它的轻微变体代表了运筹学中常用到的模型。