1.1引言 自动控制是一种广泛应用于工业生产、农业生产、交通运输、航空、航天、航海、核能和国防建设等部门的技术。自动控制是在没有人直接参与或较少人参与的情况下，利用控制装置使机器、设备或生产过程等被控对象按照预定的规律自动地运行或变化。例如化工生产中要求反应塔的温度和压力自动维持恒定不变，防空系统中要求通过跟踪雷达和指挥仪使高炮自动地跟踪目标，无人驾驶飞机要求能按预定航迹自动飞行，载人飞船能够被发射到预定轨道并能准确回收，电子设备的电源部分要求输出电压稳定，数控机床加工中心要按照规定程序运行，电子设备的自动微调和自动跟踪等，所有这些都需要借助于自动控制来实现。 自动控制技术在航天器航行、导弹制导、飞机及舰船的驾驶系统等技术领域中具有特别重要的作用，是实现农业、工业和国防科学技术现代化的重要手段。从20世纪初以来，特别是从第二次世界大战以来，控制科学与控制技术得到了迅速发展。自动控制技术的广泛应用推动了现代工农业的巨大进步，提高了武器的精确度和威力，实现了航天器飞行、导弹制导等。在工业生产领域，自动控制技术使得生产设备不需要人的直接参与，而控制某些物理量按照指定的规律变化，进而大大提高了劳动生产率和产品质量。例如，往复式轧钢机在钢材往复两次通过轧辊的时间间隔里，一方面要使钢材停下、反向，把钢材拨正后送入轧辊； 另一方面必须使轧辊停转、反向，并调整到正确的转速，迎接钢材，这些操作必须互相配合，快速完成。在人工操作时，难免由于配合得不紧密而造成钢材或轧辊等待，如果每一个轧辊多等待1秒，一台轧机一年就要少轧几万吨钢。再如，工业加热炉炉温通常应当维持在一定的数值，而要在经常变化的热负荷下维持炉温为某个数值，只允许很小的误差，很难靠人力凭经验调整燃料供给量，甚至造成燃料的浪费，或直接影响产品质量。在电力系统中，对于既定的输电线路，输电功率主要是受限制于输电的稳定性。发电厂因受稳定性限制而不能满容量发电的情况，在我国某些地方以及在其他某些国家都是常见的，采用先进的控制技术提高输电稳定性和发电量，具有很大潜力和经济效益。在军事领域，自动控制技术使得技术兵器可以自动实现敌方目标的识别、跟踪和瞄准，大大提高了作战兵器的作战效能和杀伤力。以高射炮为例，在敌方飞机来袭时，雷达天线必须随时保持指向敌机，测出敌机的方位仰角和距离等数据，并经计算机处理计入射击提前量后，控制高射炮转动，使高射炮时刻保持瞄准敌方飞行器，随时准备开火。瞄准的角度误差要求只有几分，如果不用控制技术，很难实现。现代军用飞行器速度很快，炮身又很沉重，通过人力直接转动炮身是完全不能适应现代战争需求的。在航天领域，要把重达数吨的人造卫星准确地送入位于数百公里高空的预设轨道和指定的位置，并使太阳能帆板指向太阳，无线电天线指向地球，还要保持卫星内的环境条件正常，使它所携带的各种仪器自动准确地工作，所有这一切都是以高水平的自动控制技术为前提的。 控制系统分析与设计 第1章控制系统导论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的理论。它的发展初期是以反馈理论为基础的自动调节原理。从第二次世界大战到19世纪50年代末，由于生产和军事的需要，自动控制技术开始蓬勃发展，自动控制理论逐步形成比较完整的理论体系，并在工程实践中得到成功的应用。一般把这个时期的自动控制理论称为经典控制理论。19世纪50年代以后，宇航技术的发展推动了高性能、高精度、多结构体、多自由度复杂控制系统的研究，经典控制理论已不能完全满足要求，计算机的发展又在客观上提供了必要的技术手段，使得自动控制理论又发展到一个新的阶段——现代控制理论。目前现代控制理论已成功地应用于工农业生产和国防建设的各个领域。 自动控制理论与技术还处在继续发展过程中。从经典频域控制理论、基于状态空间法的现代控制理论到智能控制，自动控制理论正经历着前所未有的百花齐放百家争鸣的大好局面。从模拟控制到数字控制、从单环到多环、从单变量到多变量多自由度多耦合、从串级控制、并级控制、集中分布式控制到网络控制，自动控制技术正经历着网络化带来的一场翻天覆地的技术变革。微电子技术、计算机技术、网络技术、传感器技术和电力电子技术的发展，不断推动着自动控制水平的提高，以适应日益复杂、日益精密、难度愈来愈大的控制要求。近年来，控制科学的应用范围已经扩展到生物、医学、环境、经济管理和其他许多社会生活领域。可以毫不夸张地说，控制科学和控制技术已经成为现代化社会不可缺少的重要组成部分。 1.2自动控制系统的分类 能够对被控对象的工作状态进行自动控制的系统，称为自动控制系统。它一般由控制装置和被控对象组成。被控对象是指要求实现自动控制的机器、设备或生产过程，例如飞机、锅炉、机床以及化工生产过程等。控制装置则是指对被控对象起控制作用的设备总体。 1.2.1开环控制、闭环控制和复合控制 控制系统按其结构可分为开环控制系统、闭环控制系统和复合控制系统。 1. 开环控制 开环控制是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程，也就是开环控制系统的输出量不对系统的控制作用发生影响。 开环控制系统可用图1.1所示结构图来表示。图中，控制装置与被控对象分别用方块表示，系统中的有关物理量，如电流、电压、温度、力等，称为信号。在图中用箭头表示信号的传递，进入方块的箭头表示输入信号，也称输入量，离开方块的箭头表示输出信号，也称输出量。系统的输出量即是被控制量，它的希望值是系统输入信号的函数。开环控制系统的每一个输入信号，必有一个固定的工作状态和一个系统输出量与之对应。例如，一定的时间间隔对应电阻丝的通断状态以及相应的炉温。这种对应关系调整越准确，开环系统的精度便越高。目前，自动售货机、自动洗衣机、温箱、自动生产线等自动化装置一般都是开环控制系统。 图1.1开环控制结构图 图1.2所示电阻丝加热炉是一个开环控制系统。加热炉是被控对象，炉温是要求进行自动控制的物理量，称为被控量或输出量。加热电阻丝的开关受时间继电器控制，按照规定的时间接通或断开电源，对炉温进行控制，使其保持在希望温度范围内。开关与电阻丝对被控量起控制作用，故称其为控制装置。开关的接通或断开时间，一般是参照在正常情况下炉温可以达到希望值的经验数据来确定的，虽然实际炉温可能稍高于或稍低于希望值，但仍满足恒温要求。然而，如果工作条件变化，例如炉门的开闭次数增加，则炉温散失增大，实际炉温将不再等于希望值而出现偏差。这种使被控制量偏离希望值的因素称为对系统的扰动作用。 图1.3所示直流电动机转速控制系统是开环控制系统的另一个例子。其输入量是给定电压Uct，输出量是电动机转速n。当改变电位器滑动端位置时，就相应地改变了给定电压Uct和晶闸管整流装置的输出电压Ud。这样，电动机的转速也就随着改变了。对应电位器滑动端的每一个位置，电动机就运行在一个相应的转速上，从而达到了控制的目的。当有外部扰动（例如电动机的负载变化，晶闸管电源电压变化等）或内部扰动（例如晶闸管的移相器特性变化等）时，电动机转速将偏离给定值。这时如要维持转速不变，必须人工重新调整电位器滑动端的位置。例如负载突然增加，电动机转速降低，偏离了给定值。操作人员检测并判断出转速低于给定值时，可相应调整电位器增加给定电压Uct，使电动机转速上升到给定值。 图1.2电阻丝加热炉 图1.3开环调速系统 开环系统输入量通过控制装置经执行机构作用于控制对象，只有输入量对输出量的影响。当出现扰动时，如果没有人工干预，输出量将不能按照给定量所期望的状态去工作。 开环控制系统具有以下特点： ① 输出信号对系统控制作用没有影响； ② 控制精度低，系统必须人工校准； ③ 当出现干扰时，系统不能自动地完成既定工作，需要人工重新调节后才能恢复正常； ④ 不存在稳定性问题。 开环控制结构简单、成本低廉、工作稳定。因此，在系统的输入量能预先知道、被控量精度要求不高并且不存在大的外部扰动时，使用开环控制有一定的优越性。但由于它不能自动修正被控量的偏离，所以系统内部参数变化以及外来的未知扰动对控制精度影响较大。 2. 闭环控制 闭环控制是指控制装置与被控对象之间既有顺向作用，又有反向联系的控制过程。 控制系统输出的被控制量（输出量）和输入端之间存在着反馈回路（输出量的全部或一部分信号返回到输入端称为反馈），这种系统称为闭环控制系统。 在闭环控制系统中，被控制量一般是由测量装置测量并反馈到输入端，然后由比较装置将它与输入信号进行综合而得到误差，然后再经控制器得到控制量。有些场合的测量与综合作用是由同一个装置完成的，因此，往往把测量装置和比较装置合称为误差检测器。一个闭环控制系统的典型结构图如图1.4所示。图中输出量经过检测环节得到反馈量回送到输入端。若反馈的信号是与输入信号相减而使偏差值越来越小，则称为负反馈； 反之则称为正反馈。显然负反馈控制是一个利用偏差进行控制并最后消除偏差的过程，因此也称为按偏差的控制。在工程实践中，为了实现对被控对象的闭环控制，系统中必须对被控制量进行连续测量和反馈，并进行按偏差的控制。这些装置分别称为测量装置、比较装置、放大装置和执行机构，并统称为控制装置。在电阻丝加热炉闭环系统中，负反馈能使炉温对于希望值的偏离逐渐减小； 而正反馈则相反，将使炉温偏离越来越大，从而不可能达到炉温为希望值的自动控制的目的。在电子设备中往往采用闭环控制系统，利用反馈信号与输入信号之间的偏差量作为控制信号来纠正输出信号的偏差。例如电子设备中的稳压电源、自动频率微调、雷达的自动跟踪系统、天线手控同步随动系统等。 图1.4闭环控制结构图 闭环控制是自然界中一切生物控制自身运动的基本规律，也是现代自动控制的基本原理，它可以实现复杂而准确的控制。 人本身就是一个具有高度复杂控制能力的闭环系统。例如，人可以用手准确地去拿放在案上的书、笔等物。这个出现于日常生活中的习以为常的现象正好体现了闭环控制的原理。当人去拿书时，大脑送出一个信号令手执行任务。这时，眼睛连续观测手的位置，并将这个信息送入大脑然后由大脑判断手对于书的偏差，并根据其大小发出命令控制手臂移动使偏差减小。只要这个偏差存在，上述过程就要反复进行。一旦手拿到书，偏差减小为零，便完成了用手拿书的控制过程。在此手是被控对象，手的位置即为被控量，控制目的是使手的位置与书的位置一致，控制作用是通过眼睛跟随、大脑判断和手臂运动来实现的。 闭环控制的电阻丝加热炉可用图1.5所示的方块图表示。图中，被控量炉温由温度计测量并与希望值进行比较，一旦出现偏差，即通过继电器和电阻丝对炉温进行控制，以消除偏差保持恒温。在此，炉温是被控对象，控制装置由温度计、继电器和电阻丝组成。与开环控制的电阻丝加热炉相比，由于采用了接触式水银温度计，可以不断地对炉温进行测量和比较，从而根据炉温的偏离进行控制，提高了抗扰动的能力。 图1.5电阻丝加热炉系统方块图 图1.6所示闭环调速系统是另一个闭环控制系统的例子。测速发电机TG将输出转速量检测出来，然后反馈到输入端，与给定电压Uct相比较，其偏差电压经过放大器放大后，用来控制晶闸管输出 图1.6闭环调速系统 电压和电动机的转速。当电位器滑动端在某一位置时，电动机就以一个指定转速运转。如果由于外部或内部扰动，例如由于负载突然增加，使电动机转速降低，那么，这一转速的变化，将由测速发电机检测出来。此时反馈电压Uf相应降低，与给定电压比较时，偏差电压增大，再经过放大器放大后，将使晶闸管的移相角前移，整流电压升高，电动机转速升高，从而减小或消除电动机的转速偏差。这样不用人的干预，系统就可以自动保持恒定转速近似不变。 闭环控制系统与开环控制系统的区别在于： 在开环系统中，只有输入量对输出量产生控制作用； 从控制结构上来看，只有从输入端到输出端的信号传递通道（称为前向通道）。而闭环控制系统除前向通道外，还必须有从输出端到输入端的信号传递通道（称为反馈通道），使输出信号也参与控制作用。闭环控制系统是由前向通道和反馈通道组成的。闭环控制具有自动修正被控量偏离的能力，因此可以抑制系统内部参数变化以及外界扰动引起的误差，控制精度较高。但由于存在反馈，系统可能产生振荡，甚至无法工作。 闭环控制系统具有以下特点： ① 输出信号对控制作用有直接影响； ② 有反馈环节，并应用反馈作用来减小系统误差，以使系统的输出量趋于给定值； ③ 当出现干扰时，系统无须人工调节，可自行减弱其影响； ④ 闭环控制系统可能工作不稳定，存在稳定性问题。 3. 复合控制 复合控制是开环控制和闭环控制相结合的一种控制方式。它是在闭环控制的基础上用顺馈向通路提供一个附加的输入作用，以提高系统的控制精度和动态性能。顺馈向通路通常是由输入补偿装置或扰动补偿装置组成，如图1.7所示。补偿装置的参数按照不变性原理选择。所谓不变是指系统能达到与作用在其上的扰动完全无关或部分无关。 图1.7复合控制方块图 复合控制与仅按偏差的闭环控制相比，有更高的精度和快速性，而且结构简单可靠。复合控制在平台随动系统、火炮随动系统、雷达随动系统以及飞机自动驾驶仪系统中被广泛使用。 图1.8为火炮自动控制系统原理方块图，它是按输入信号补偿的复合控制系统。高炮对空射击时，要求炮身方位角与指挥仪给定的方位角一致。为了保证炮身能准确跟随高速飞行的目标，提高跟踪精度，从指挥仪中通过补偿装置引出方位角的速度信号作为对输入方位角的补偿信号。由于方位角速度信号总要比方位角信号提前一些，因此只要补偿装置的参数选择合适就能使炮身按照指挥仪的方位角信号以要求的角速度准确跟踪。 图1.8火炮自动控制系统 图1.9为电动机转速控制系统原理示意图，它是按扰动补偿的复合控制系统。在一定负载转矩时，电位器电刷位置与电动机转速具有单值对应关系。测速发电机输出与电动机转速成正比的电压信号作为反馈用以改善系统特性。如果电动机受到扰动作用（例如负载转矩增大），则电动机转速将下降而偏离希望值。这时，由于引入了与负载转矩有关的电枢电流正反馈补偿通路增大了控制电压，从而使转速升高，补偿了扰动（负载转矩增大）引起的转速下降。 图1.9电动机转速控制系统 1.2.2恒值控制、程序控制和伺服控制 自动控制系统按被控制量的变化规律可分为恒值控制系统、程序控制系统和伺服系统。 1. 恒值控制系统 被控制量基本保持恒定的系统称为恒值控制系统。如被控制量偏离给定值时，系统能自动地进行调节，使之恢复到给定值。例如图1.10所示为一个液面高度恒值控制系统，它可以将液面高度保持在希望的高度h上。如果由于输出流量的变化，液面高度偏离希望值h，则浮标位置变动，从而使电位计臂移动，产生误差电压e，经放大后，由控制电机调节V1或V2阀门，从而改变输入流量以恢复液面高度，使液面高度保持恒值。这个系统是一个反馈控制系统，其输出流量的变化将引起液面高度的变化，就是对系统的扰动。系统的任务就是在有扰动的情况下，保持液面高度为恒值。 图1.10液面高度恒值控制系统 在电子设备中也常采用恒值控制系统，例如电源设备的稳压系统（保持输出电压恒定），通信电台的自动增益控制系统（保持增益最佳）和自动频率微调系统（保持频率稳定）等。 2. 程序控制系统 使被控制量按预定规律变化的控制系统称为程序控制系统。它的输入量（输入信号）是一个事先安排好的程序（它是时间函数），而控制对象则依据输入信号的规律循序地动作。例如程序控制机床，其控制对象切削刀具是根据计算机送来的指令，按一定的操作程序自动地进刀、退刀和停止。 图1.11炉温程序控制 图1.11所示为某一热处理炉的炉内温度程序控制，在t=t0到t=t1这段时间内，以一定的速率加热炉温到某一给定温度值T2，在t=t1到t=t2这段时间内保持此温度T2； 而在t=t2到t=t3这段时间内以一定速率使炉温从T2降至T1。 程序控制系统是一个反馈控制系统。在系统工作过程中，应不断检测输出量，通过反馈作用使其与程序指令相比较，当实际输出量偏离程序指令时，则将比较的差值作用于系统，以修正出现的偏差，使输出量按预定的程序变化。 3. 伺服系统 被控制量跟随输入量的变化而变化，而输入量的变化规律是事先不能确定的，这种控制系统称为伺服系统（也称为随动系统）。伺服系统的输入量是随机变量。如雷达的自动跟踪系统，要求天线能迅速而准确地跟随目标运动，而目标（如敌机或舰船等）的运动规律是事先无法预料的。又如雷达的天线手控系统，要求天线能跟随控制手轮转动，而手轮的转速和转向则依据目标的运动而变化，这也无法预料。所有这些目标的运动都是随机变化的。 图1.12所示为导弹发射架方向控制伺服系统，通过转动手轮使电位计R1送出指令信号控制导弹发射架转动。当发射架作方位运动时，它的实际方位由电位计R2来检测，从R2所引出的信号反馈到输入端并输至差动放大器。差动放大器是一个偏差检测与放大装置，当发射架实际方位与指令所确定的方位不一致时，差动放大器就输出偏差信号，经功率放大器放大后去控制执行电机，从而驱动发射架，直至发射架的实际方位角与指令信号所确定的方位角相一致，差动放大器即无信号输出，于是实现手轮转角与导弹发射架方位角相一致。因此，这个系统是由偏差信号控制的伺服系统。 图1.12导弹发射架方位伺服系统 由上可知，恒值控制系统的被控制量是一个给定的恒值，是不随时间变化或作极缓慢变化的量。程序控制系统的被控制量是预先规定好的，它是随时间按预定规律变化的量，是时间函数。而伺服系统的被控制量是随机变化的量，它无规律可循，最多不过是在某些系统中知道它的统计学特征。 上述三种类型控制系统，都是具有反馈回路的控制系统。因此，都属于闭环控制系统。 1.2.3数字控制系统 根据控制系统中是否有数字控制环节，又可将控制系统分为模拟控制系统和数字控制系统。 本书所研究的数字控制系统（digital control system）是以数字计算机作为数字控制器，实现对连续对象（或过程）的闭环控制，因此也可称为计算机控制系统。由于数字控制系统需经采样过程，数字控制系统还被称为采样控制系统（sampled control system）。 数字控制系统的硬件主要由数字计算机、被控对象（或过程）、模拟输入通道、模拟输出通道及实时时钟组成，图1.13为单输入、单输出数字控制系统结构框图。 图1.13数字控制系统结构框图 模拟输入通道由采样开关和模数转换（A/D）两个环节组成，其功能是把模拟信号转换为计算机能接受的数字信号； 模拟输出通道由数模转换（D/A）和信号保持两个环节组成，其功能是把数字信号转换为对象能接受的模拟信号； 实时时钟产生的脉冲序列，作为采样信号。数字控制系统的功能为： 在数字计算机控制下，每经过一定的时间间隔（即采样周期），对模拟偏差信号进行采样，由模拟输入通道转换成数字量送入计算机中，计算机根据这些数字信息按预定的控制规律（数学模型）进行运算后求得控制量输出，由模拟输出通道转换成模拟量去控制被控对象（或过程），使系统的特性达到预定的指标。 1.3控制系统的组成 综合控制系统的控制方式可知，一个闭环自动控制系统的组成，必须包含以下各类基本元件。首先，为了测量被控制量及控制量，系统需要有测量元件。因为测量元件的精度直接影响控制系统的精度，所以应尽可能采用精度高的测量元件和合理的测量线路。其次，为了完成对被控制量和控制量进行比较，以便产生偏差信号，系统必须有比较元件。比较元件在多数控制系统中常常是和测量元件或线路结合在一起的。再次，由于偏差信号一般比较微弱，需要进行变换放大，使它具有足够的幅值和功率，系统还必须具有放大元件。最后，需要根据偏差信号产生的控制作用，使被控制对象按照控制信号的变化规律动作，这就要求系统具有执行元件。需要指出的是，按反馈原理由上述基本元件简单组合起来的控制系统往往是不能完成既定任务的。这是因为系统内部既有控制作用的因素，同时也存在反控制作用的因素。例如，在系统中由于有干摩擦死区及惯性等因素的存在，当输入信号作用到系统之后，在系统的输出端并不能马上得到反应，而只有当偏差信号大到一定时系统才有输出。由于惯性的作用，系统在反应控制信号过程中还有可能产生振荡，严重时甚至会使系统的正常工作遭到破坏。因此，为了使系统正常工作，还需要在系统中加进能消除或减弱上述振荡从而可以提高系统控制性能的一些元件，这类元件叫做校正元件。校正元件可以加在由偏差信号至被控信号间的通道内，该通道称为前向通道； 也可以加在由偏差信号至反馈信号间的通道内，该通道称为反馈通道。前者称为串联校正，后者称为反馈校正。在有些情况下，为了提高系统控制性能的需要，可以同时应用串联校正及反馈校正。 由上述各基本元件组成的反馈控制系统基本结构图如图1.14所示。 图1.14反馈控制系统基本结构图 一般说来，尽管反馈控制系统的控制任务各不相同，以及使用元件的结构和能源形式均有所不同，但就其信号的传递、变换的职能来看，都可抽象成图1.14的自动控制系统结构图。 从输入端沿箭头方向到达输出端的传输通道称为前向通道； 系统输出量经由测量装置反馈到输入端的传输通道称为主反馈通道； 前向通道与主反馈通道构成主回路。此外还有局部反馈通道以及由它组成的内回路。只有一个反馈通道的系统称单回路系统，有两个以上反馈通道的系统称为多回路系统。 一般控制系统受到两种外部信号的作用： 指令信号和干扰信号。它们都是系统的输入信号。通常所说的系统输入信号一般是指指令信号(给定信号)，系统的指令信号决定系统被控制量的变化规律。扰动信号是系统不希望的外作用，它破坏指令信号对系统输出量的控制。在实际系统中，扰动总是不可避免的，它可以作用于系统中的任何部位。电源电压的波动、环境温度的变化、压力的变化、飞行中气流的扰动以及负载的变化等都是现实中存在的扰动。 下面以雷达天线方位随动系统为例进一步说明反馈控制系统的组成。图1.15(a)和(b)分别为雷达天线方位随动系统机电连接图和方框图。系统中各组成元件、符号和参数意义如下： 图1.15雷达天线方位随动系统 主令信号θi——系统的输入信号，是手轮转动时的转角，是机械量。 控制器——它由放大器、直流伺服电动机（执行电机）及齿轮减速装置等组成。它接收来自比较环节的电信号（电压），产生一个输出转矩m，使雷达天线转动。 被控对象——雷达天线。天线由伺服电动机、齿轮减速装置拖动，天线按方位角c(t)变化。 反馈环节——自整角变压器，它与天线机械连接，天线转动时，方位角c(t)输入自整角变压器，产生反馈信号θo（电压）。 比较环节——自整角发送机与自整角变压器（它既是检测装置也是比较环节），它将自整角发送机的输出信号θi与本身所产生的反馈信号θo相比较，得出偏差信号e，送给控制器。 可以看出，系统中的自整角变压器有两个作用： 一是将天线方位角c(t)转化为反馈信号θo，起反馈作用； 二是将主令信号θi与反馈信号θo进行比较，产生偏差信号e，起比较作用（作电压比较）。 这个控制系统的扰动信号f（t）是一个影响天线方位角转动的量，可以是天线所受的风力矩、放大器的噪声及齿轮装置的传动误差等。 上述雷达天线方位随动系统，通过反馈作用，可使天线与天线控制手轮同步转动，其同步误差很小（即θo≈θi）。 1.4控制系统分析与设计步骤 控制系统设计的任务是按照给定的技术要求设计合适的控制装置或控制系统以实现给定任务，而控制系统分析的任务则是对现有控制系统检验其性能是否满足给定的技术要求。 控制系统设计一般经过初步设计，模拟实验，原理实验，样机生产，系统定型等步骤。 初步设计在分析研究给定设计任务的基础上，根据技术要求确定构成系统的初步方案，选择控制装置元部件，拟定原理线路图及结构方案。在此基础上建立控制系统的数学模型并进行稳态和动态分析，设计校正装置。 模拟实验在初步设计中可利用模拟技术进行模拟实验。可借助计算机对系统进行全数字仿真模拟研究，或采用数字和被控对象等结合的混合仿真模拟研究。 原理实验根据原理线路图、被控对象等建造实验物理模型，进行原理实验以调整系统参数并修改初步设计的模型及结构。 样机生产在原理实验的基础上，考虑工艺结构、安装、使用等条件，生产样机并对样机反复进行实验调整和修改，直到样机满足给定的性能要求。在此基础上再定型系统。 控制系统分析一般经过建立控制系统数学模型，分析系统技术性能，设计校正装置等步骤。 建立数学模型自动控制系统由各种元件、部件、单元等组成，描述这些元件、部件、单元和系统特性的数学方程式称为数学模型。建立系统的数学模型是分析工作的第一步，也是重要的一步。一般数学模型即是根据元件、部件、单元或系统所依据的物理或化学定律建立起来的。 分析系统性能有了系统的数学模型，就可以进行稳定性、稳态性能和动态性能等技术性能分析。稳定性是系统正常运行的最基本条件； 稳态性能指系统稳态的准确度等，例如图1.15所示雷达天线方位随动系统中天线实际方位角θo和手轮转动指令转角θi在稳态时的差。动态性能指系统响应指令过程的快慢等，例如图1.15所示系统中天线实际方位角θo跟随手轮转动的指令转角θi的速度等。 设计校正装置控制系统的性能不满足技术要求时，可在系统中附加一些装置以局部修改系统的数学模型，达到改善系统性能的目的。这些附加装置称为校正装置。 本书后面的章节将介绍控制系统数学模型的建立方法，控制系统稳定性及分析方法，控制系统综合与校正，控制系统的工程实现等内容。 本章研究控制系统数学模型的建立问题。所谓数学模型，就是描述系统输入变量、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。数学模型是实际物理系统的数学表示，两者不能等同。同一系统，由于描述方法或所研究问题的不同可以有不同形式的数学模型。另一方面，物理性能完全不同的实际系统也可以具有相同形式的数学模型。建立控制系统数学模型是对控制系统进行分析的第一步工作。控制系统种类多种多样，有电的、机械的、液压的和气动的等。但若它们的运动过程的数学表达式相同，则它们的分析和计算也就完全一样。因此，利用控制系统的数学模型，可以撇开系统的具体物理属性，研究这些系统运动过程的共同规律，对控制系统从理论上进行具有普遍意义的分析研究，研究所得的结论也就必然有效地指导各种自动控制系统的分析与设计。 数学模型有静态模型和动态模型之分。静态模型一般是不含时间变量t的代数方程，它描述系统的静态特性，即平衡状态下各变量间的对应关系。动态模型描述系统的动态特性，即在运动过程中随时间变化的各变量间的相互关系，数学表达式是含时间变量t的微分方程、传递函数或频率特性。在控制系统中，输入和扰动往往随时间改变，系统中的变量都和时间有关，因此，控制系统分析设计离不开动态模型。经典控制理论采用输入输出描述方法，时域中的微分方程/差分方程、复域中的传递函数和频域中的频率特性都是常用的输入输出数学模型。例如在时域中研究系统，数学模型是输入量、输出量之间关系的微分方程式。如果已知输入作用和变量的初始条件，对微分方程求解可以得到系统输出量的时域表达式。控制系统的时域分析法就是以输出量的时域表达式对系统进行分析并确定其性能指标。传递函数是在用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念，经典控制理论的主要研究方法——频率法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础上的，利用传递函数不必求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。利用传递函数还可以研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。另一方面，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现。再加上传递函数能用结构图表示和化简，求取系统传递函数比求取系统的微分方程式要直观、方便。因此，传递函数是经典控制理论的一种重要数学模型。现代控制理论采用状态变量的描述方法，即用一组一阶微分方程或传递矩阵作为数学模型。 建立系统的数学模型有两种方法。一种方法是根据系统和元件所遵循的有关定律来建立，如建立电网络的数学模型要根据欧姆定律、基尔霍夫定律； 建立机械系统的数学模型要根据牛顿三定律； 建立电机的数学模型，上述几种定律都要用到； 建立液压系统的数学模型，还要应用流体力学的有关定律等，这种建立数学模型的方法称为解析法，也称为机理建模法。另一种建立数学模型的方法称为实验建模法，即根据元件与系统对某些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数学模型。当元件和系统比较复杂时，其运动特性很难用几个简单数学方程表示，实验法就显得非常重要了。 控制系统分析与设计 第2章控制系统的数学模型 控制系统可以按照数学模型进行分类。线性微分方程描述的系统称为线性系统，非线性微分方程描述的系统称为非线性系统。线性系统满足叠加原理。在控制系统分析中，线性定常系统的分析具有特别重要的意义。这不仅由于它已有一套完整的研究方法，也由于一部分非线性系统或时变系统，在一定的近似条件下，以线性定常系统研究仍然具有较好的准确性。如果系统中含有分布参数，相应的数学模型是偏微分方程。集中参数系统的数学模型是常微分方程。如果系统参数不随时间变化，微分方程的系数是常数，这样的系统称为定常系统或时不变系统。微分方程的系数随时间变化的系统称为时变系统。凡是能用微分方程式描述的系统，都是连续时间系统。如果系统中包含有数字计算机或数字元件，则要用差分方程描述系统，这种系统称为离散时间系统。 本章主要介绍控制系统的机理建模和实验建模方法。首先通过一些典型实例介绍元件和控制系统微分方程的列写，这是对系统进行时域分析的基本工作； 然后，通过拉氏变换引入传递函数； 其次，介绍现代控制理论中采用的状态空间概念和状态方程的建立； 再次介绍离散系统的数学描述： 差分方程和脉冲传递函数； 最后介绍控制系统工程建模的飞升曲线法、频域建模法和相关分析建模法。 2.1连续控制系统的数学模型 2.1.1控制系统的运动方程式 描述系统的输入量和输出量之间关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程，也就是控制系统的运动方程式。控制系统的运动方程式是通过决定系统特性的物理学定律，如机械、电气、热力、液压、气动等方面的基本定律而建立起来的，它代表系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述了整个系统的动态过程。因此，要分析和研究一个控制系统的动态特性，就必须列写该系统的运动方程式。由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此要正确列写系统的运动方程式，首先必须研究各类元件运动方程的列写以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等问题。 一般说来，列写控制系统运动方程式的步骤是： 首先，分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究系统的输入量和输出量。其次，根据支配系统动态特性的定律，一般从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程式。在列写元件运动方程式时，需要考虑相邻元件间的彼此影响，即所谓负载效应、耦合关系等问题。最后再由组成系统的各元件的运动方程式构成的方程组中，消去中间变量，求取描述输入量和输出量间函数关系的方程式，并将该方程式化成标准形式。所谓标准形式是指在方程式中将与输入量有关的各项放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程左边，各导数项按降幂排列，将方程中的系数通过系统的参数化成具有一定物理意义的系数的一种表示形式。 一旦控制系统的运动方程列写出来，便可以应用各种可能的方法和计算机工具对系统进行分析和设计。下面结合具体示例来讨论列写控制系统运动方程式的有关问题。 图2.1机械转动系统 示例1机械转动系统 设一个机械转动系统由惯性负载和黏性摩擦阻尼器组成，其原理图如图2.1所示。图中J为惯性负载的转动惯量； f代表阻尼器的黏性摩擦系数； M为外部作用力矩； ω为负载转动角速度。现列写以外部作用力矩M作用下，转动系统输出角速度ω服从的运动规律。 对于机械转动系统，牛顿定律可表示为如下形式 Jω·=∑M 式中∑M为作用于轴上的外力矩之和； ω为负载转动的角速度。 ∑M=M-Mf 其中，M为外作用力矩； Mf为阻尼器的黏性摩擦阻尼力矩，它和ω成正比，即Mf=fω。由此得系统的运动方程式为 Jω·+fω=M 若通过微分算子p表示，则得 （Jp+f）ω=M（2.1） 若以负载转角θ为系统输出量，计及ω=dθdt，则系统的运动方程式可改写为 Jd2θdt2+fdθdt=M 上式采用微分算子可以表示为 （Jp2+fp）θ=M（2.2） 示例2齿轮传动系统 齿轮传动在控制系统中应用很广，这是因为一般系统的输出轴大都通过减速器带动负载的缘故。因此，对列写齿轮传动系统的运动方程式的讨论将具有普遍意义。图2.2表示的是一个具有二级减速的齿轮传动系统。 图2.2齿轮传动系统 设M为输入轴端的输入力矩，Mfz为输出轴端的负载力矩，（J1，B1）、（J2，B2）、（J3，B3）分别代表相应轴的转动惯量与黏性摩擦系数。θ1，θ2，θ3代表各相应轴的转角。ia及ib分别为两级减速的传动比，ia=θ1θ2=pθ1pθ2，ib=θ2θ3=pθ2pθ3。下面列写齿轮传动系统在外部输入力矩M的作用下，转角θ1服从的运动方程式。 首先从输入轴开始列写。由于输入轴两端的力矩分别为M和M1，因此，根据机械转动系统中力矩间的平衡关系，得到 M-M1=J1p2θ1+B1pθ1（2.3） 式中J1p2θ1、B1pθ1分别为输入轴的惯性力矩及摩擦阻尼力矩。同理，对中间轴及输出轴来说，可求得如下关系式，即 J2p2θ2+B2pθ2=M2-M3 J3p2θ3+B3pθ3=M4-Mfz （2.4） 而M2=iaM1，M4=ibM3，在式（2.3）~式（2.4）中消去中间变量θ2，θ3，M1，M2及M3，M4，并经过整理，得到以力矩M为输入量以输入轴转角θ1为输出量的运动力程式 J1+J2i2a+J3i2ai2bp2+B1+B2i2a+B3i2ai2bpθ1+Mfziaib=M（2.5） 若定义J=J1+J2i2a+J3i2ai2b为输入轴的等效转动惯量； B=B1+B2i2a+B3i2ai2b为输入轴的等效摩擦阻尼系数； fz=Mfz/iaib为输入轴的等效负载力矩，上式可改写成 （Jp2+Bp）θ1+fz=M（2.6） 如果以输出轴转角θ3为系统输出量时，应用上述方法可求得如下齿轮传动系统的运动方程式 （J～p2+B～p）θ3+Mfz=M～（2.7） 式中J～=i2ai2bJ1+i2bJ2+J3； B～=i2ai2bB1+i2bB2+B3； M～=iaibM。 示例3直流电动机传动系统 由直流电动机经减速器驱动负载的系统如图2.3所示。La、Ra分别为电枢绕组的电感和电阻。E为感应反电动势，Ce为比例系数，Cm为力矩系数，ω为电动机转轴角速度。下面列写以电枢电压Ua为输入量，以电动机输出轴转角θ为输出量时带载直流电动机系统的运动方程式。 图2.3直流电动机传动系统 首先列写直流电动机的运动方程式，根据基尔霍夫定律，电动机电枢回路的运动方程式为 Ladidt+Rai+E=Ua E=Ceω 电枢电流i在励磁磁场作用下产生的电磁力矩为M=Cmi。当电动机在空载时，其力矩和动量矩相平衡，即M=Jdωdt。综合上述方程，可得 JLad2ωdt2+JRadωdt+CeCmω=CmUa（2.8） 若忽略La，则得 JRadωdt+CeCmω=CmUa（2.9） 上式便是直流电动机空载时的运动方程式。列写直流电动机传动系统的运动方程时，需考虑减速器和负载的影响。直流电动机传动系统的输出转角θ与输出力矩M、等效负载力矩fz的关系式推导如下 M=CmUa-CeωRa+Lap 将上式代入式（2.6），考虑到ω=dθ1dt，得 JLaCmp3+BLa+RaJCmp2+RaBCm+Cepθ1=Ua-LaCmp+RaCmfz（2.10） 若忽略La，上式可整理成 RaJRaB+CeCmp2+pθ1=CmRaB+CeCmUa-RaRaB+CeCmfz 若再忽略B，由上式得 RaJCeCmp2+pθ1=1CeUa-RaCeCmfz 记Tm=RaJCeCm，Km=1Ce，Kf=RaCeCm时，上式还可以改写成如下形式 p（Tmp+1）θ1=KmUa-Kffz（2.11） 式中，Tm称为电动机的机电时间常数，它不仅和电枢电路的参数有关，而且和电动机转轴上的转动惯量有关； Km，Kf分别为输入电压Ua和等效负载力矩fz对电动机轴角速度ω的传递系数。如以负载轴转角θ3为输出量时，带载直流电动机系统的运动方程式为 p（T′mp+1）θ3=Kma-KfMfz（2.12） 式中T′m=RaJ～CeCm； a=iaibUa。 2.1.2非线性方程的线性化 严格说来，构成控制系统的元件都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动态过程中就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，高阶非线性微分方程不可能求得一般形式的解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会遇到困难。但是如果对非线性运动方程作某些近似或缩小研究范围，使得控制系统的大多数元件输入输出关系可近似成线性的，那么系统就可以采用常系数线性微分方程来近似描述。这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分方程的方法，称为非线性微分方程的线性化。 通过线性化得到的线性微分方程将有条件地、近似地描述系统的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。 控制系统通常都有一个额定工作状态，在系统的广义坐标中，与系统预定工作状态相对应的点，称为预定工作点。非线性微分方程能够线性化的一个基本假定是变量偏离预定工作点的偏差量很小。在数学处理上只要变量在预定工作点处有导数或偏导数存在，那么在预定工作点的邻域便可将描述非线性特性的非线性函数通过变量的偏差形式展开成泰勒级数，如将级数中偏差的高阶项加以忽略，最后便可获得以变量的偏差为自变量的线性函数。 例如，将具有两个自变量x，y的非线性函数z=F（x0，y0）在预定工作点（x0，y0）的邻域展开成泰勒级数 z=F（x，y）=F（x0，y0）+Fx0Δx+Fy0Δy+ 12!2Fx20(Δx)2+22Fxy0（ΔxΔy）+2Fy20（Δy)2+… 式中F（x0，y0）为常数，Fx0=Fxx=x0，Fy0=Fyy=y0，依次类推，它们分别表示非线性函数在预定工作点处的各阶偏导数。在预定工作点（x0，y0）处的各阶偏导数均为有限值； Δx=x-x0，Δy=y-y0分别为变量x，y偏离预定工作点（x0，y0） 的偏差(或称增量)。如果变量x，y对于预定工作点偏离很小，即偏差均为微量时，就可以忽略偏差的高阶项，考虑其一次微量即得 ΔF（x，y）=Fx0Δx+Fy0Δy（2.13） 式中ΔF（x，y）=F（x，y）-F（x0，y0）为函数F（x，y）在预定工作点（x0，y0）处的增量。式（2.13）是将非线性函数在预定工作点邻域进行线性化所使用的基本关系式。 上述线性化是以变量偏离预定工作点很小为前提，即设偏差为微量，有时也称为微偏差线性化。而分析控制系统中的非线性特性时大都是根据微偏差线性化的概念进行的。 又设有非线性运动方程式 F（x1，x·1，x2，x·2，x¨2，x…2）=φ（f，f·） 式中x1，x2分别是系统的输入信号和输出信号，f是系统所承受的外加干扰信号。设当x1=x10，x2=x20和f=f0时，系统处于平衡状态，此刻有 F（x10，0，x20，0，0，0）=φ（f0，0）（2.14） 现将上述非线性运动方程在工作点（x10，y10，f0）的邻域线性化。首先，根据微偏差线性化概念将非线性运动方程在工作点邻域展开成泰勒级数并略去偏差的高阶项，得到 F（x10，0，x20，0，0，0）+Fx10Δx1+Fx·10Δx·1+Fx20Δx2+Fx·20Δx·2 Fx¨20Δx¨2+Fx…20Δx…2=φ（f0，0）+φf0Δf+φf·0Δf· 其次考虑式（2.14），最后得到 Fx10Δx1+Fx·10Δx·1+Fx20Δx2+Fx·20Δx·2+Fx¨20Δx¨2+Fx…20Δx…2 =φf0Δf+φf·0Δf·（2.15） 上式便是通过—次近似得到的线性化运动方程式。它是非线性运动方程式在预定工作点邻域的近似表达形式，其中输入、输出和扰动信号均以相应的偏差形式出现。基于线性化运动方程式（2.15），采用Δx1，Δx·1，Δx2，Δx·2，Δx¨2，Δx…2，Δf，Δf·等偏差作为变量描述控制系统的运动状态动态变化过程。