第3章 复变函数沿有向曲线的积分
  处处可导的实变量函数并不能保证其导函数的连续性.例如f(t)=t2sin1t,t≠0,
0,t=0.则f(t)处处可导,且f′(t)=2tsin1t-cos1t,t≠0,
0,t=0.容易验证limt→0f′(t)不存在,故f′(t)在t=0处不连续.
处处可导的复变量函数即解析函数却有很好的性质:解析函数的导函数仍解析.从表面看这是一个微分问题,但其证明却要利用复积分(Cauchy积分公式).
图 3.1本章的结构如图3.1所示.我们首先介绍复变函数积分的概念、性质和计算方法，其次介绍Cauchy-Goursat基本定理及其推广--复合闭路定理.在此基础上,建立Cauchy积分公式,然后利用这一重要公式得到高阶导数公式,从而得到解析函数的各阶导函数仍然解析的结论,继而给出函数解析的一个充分必要条件.Liouville定理是一阶求导公式的推论,利用Liouville定理可以给出代数学基本定理的一个简捷漂亮的证明.接下来,我们将微积分中原函数的概念以及Newton-Leibnitz公式推广到复变函数,并利用解析函数的导函数仍然解析这一结论,通过构造原函数的方法来证明Morera定理.本章最后讨论解析函数与调和函数的关系.
本章最重要的内容是Cauchy-Goursat基本定理和Cauchy积分公式,它们是研究解析函数的理论基础.
3.1 复变函数沿有向曲线积分的概念、性质与计算
3.1.1 复积分的定义  定义3.1 设函数w=f(z)在区域D中有定义,C为D中一条以A为起点以B为终点的光滑有向曲线.把曲线C任意分成n段弧,设分点为(A=)z0, z1, z2, …, zn-1, zn(=B).在每段弧zk-1zk(k=1,2,…,n)上任取一点ξk,作和Sn=∑nk=1f(ξk)(zk-zk-1)=∑nk=1f(ξk)Δzk记弧段zk-1zk的长度为Δsk，并记δ=max1≤k≤nΔsk.如果存在常数A,使得当n→+∞且δ→0时,不论对C的分法及ξk的取法如何,Sn都以A为极限,则称函数f沿曲线C可积，称A为函数f沿曲线C的积分,记作∫Cf(z)dz=limn→+∞∑nk=1f(ξk)Δzk=A.如果C为闭曲线,则函数f沿C的积分记作∮Cf(z)dz.
注3.2 设C为x轴上的区间\,方向与x轴正向一致,再设f(z)=u(x).则函数f(z)沿曲线C的积分就是实变量函数u(x)在区间\上的定积分,即∫Cf(z)dz=∫bau(x)dx.3.1.2 复积分存在的条件与计算
先计算和式∑nk=1f(ξk)Δzk.记f(z)=u(x,y)+iv(x,y),ξk=pk+iqk.设光滑曲线C的方程为z=z(t)=x(t)+iy(t), α≤t≤β, 且曲线C的正向与参数t增加的方向一致,即起点为A=(x(α),y(α)),终点为B=(x(β), y(β)).于是有∑nk=1f(ξk)Δzk=∑nk=1［u(pk,qk)+iv(pk,qk)］(Δxk+iΔyk)
=∑nk=1［u(pk,qk)Δxk-v(pk,qk)Δyk］
 +i∑nk=1［v(pk,qk)Δxk+u(pk,qk)Δyk］.  若u,v连续,则当n→+∞且弧段的最大长度δ→0时,不论对C的分法如何,不论点(pk,qk)的取法如何,上式右端的两个和式的极限都存在,这两个极限分别为第二型曲线积分∫Cudx-vdy和∫Cvdx+udy.因此有∫Cf(z)dz=∫Cudx-vdy+i∫Cvdx+udy.(3.1)  上面的公式形式上可以看作是f(z)=u+iv与dz=dx+idy相乘后求积分:∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)=∫Cudx+ivdx+iudy-vdy
=∫Cudx-vdy+i∫Cvdx+udy.  由微积分中第二型曲线积分的计算方法,有∫Cf(z)dz=∫Cudx-vdy+i∫Cvdx+udy
=∫βα［u(x(t),y(t))x′(t)-v(x(t),y(t))y′(t)］dt
 +i∫βα［v(x(t),y(t))x′(t)+u(x(t),y(t))y′(t)］dt
=∫βα［u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))］(x′(t)+iy′(t))dt
=∫βαf(z(t))z′(t)dt.  由上面的分析,我们有如下结论:
(1) 若f(z)连续,C为有向光滑曲线,则积分∫Cf(z)dz存在.
(2) 若有向光滑曲线C的参数方程为z=z(t),α≤t≤β，且参数增加的方向与曲线的正向一致,则形式上有∫Cf(z)dz=∫βαf(z(t))z′(t)dt.  (3) 若C由有向光滑曲线C1,C2,…,Cn依次首尾连接而成,则∫Cf(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz+…+∫Cnf(z)dz.  例1 分别求f(z)=z-沿图3.2中有向曲线C1,C2,C3及有向闭曲线C=C-1∪C2∪C3的积分.
图 3.2
解 ∫C1z-dz=∫10(1-i)t·(1+i)dt=∫102tdt=1,
∫C2z-dz=∫10t·dt=12,
∫C3z-dz=∫10(1-it)·idt=12+i,
∫Cz-dz=-∫C1z-dz+∫C2z-dz+∫C3z-dz=i.
下面是一个非常有用的例子,以后将经常用到其结论.
例2 计算∮Cdz(z-z0)n+1 ,其中n为整数,C为以z0为圆心,以r为半径的正向圆周(逆时针方向为正).
解 C的参数方程为z=z0+reiθ, 0≤0≤2π，参数增加的方向与C的正向一致.于是∮Cdz(z-z0)n+1=∫2π0ireiθrn+1ei(n+1)θdθ=irn∫2π0e-inθdθ.  当n=0时,积分值为2πi.
当n≠0时,积分值为irn∫2π0e-inθdθ=irn∫2π0(cosnθ-isinnθ)dθ=0.  综上,∮Cdz(z-z0)n+1=2πi,n=0,
0,n∈Z\\{0}.3.1.3 复积分的性质
由复积分的定义我们可以得到下列简单性质,它们与实变函数中定积分的性质相类似:
 (1)  ∫C-f(z)dz=-∫Cf(z)dz,其中C-表示C的反向曲线.
 (2)  ∫Caf(z)dz=a∫Cf(z)dz,a∈C.
(3) ∫C［f(z)±g(z)］dz=∫Cf(z)dz±∫Cg(z)dz.
(4) 设曲线C的长度为L,且|f(z)|≤M,z∈C.则有积分估值不等式∫Cf(z)dz≤∫C|f(z)|ds≤ML.(3.2)  证明 对∑nk=1f(ξk)Δzk≤∑nk=1|f(ξk)||Δzk|≤∑nk=1|f(ξk)|Δsk两端取极限即可.□
例3 设C为从z0到z1的一条光滑可求长曲线.试比较积分∫Cdz与∫C|dz|的不同点.
解 由定义，∫Cdz=z1-z0，因此∫Cdz=|z1-z0|表示曲线C的起点与终点之间的距离.
而∫C|dz|=∫Cds为第一型曲线积分,表示曲线C的长度.
第3章 复变函数沿有向曲线的积分3.2 Cauchy-Goursat基本定理与复合闭路原理3.2 Cauchy-Goursat基本定理与复合闭路原理3.2.1 Cauchy-Goursat基本定理  设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在单连通区域B中解析,且f′(z)在B中连续.任取B中简单闭曲线C,记曲线C所围的区域为D.由Green公式及Cauchy-Riemann条件得∮Cudx-vdy=D(-vx-uy)dxdy=0,
∮Cvdx+udy=D(ux-vy)dxdy=0.于是∮Cf(z)dz=∮Cudx-vdy+i∮Cvdx+udy=0.  上面的假设条件中,f′(z)在区域B中连续的条件是可以去掉的,这就是下面的Cauchy-Goursat基本定理.它是解析函数理论中最基本的定理.由于它的证明比较复杂,我们在这里只陈述结论,而略去证明.
定理3.3(Cauchy-Goursat基本定理） 若f在单连通区域B中解析,则f沿B内任何一条闭曲线C的积分为0.
注3.4 我们对Cauchy-Goursat基本定理给出以下几点说明:
 若C为简单闭曲线,如无特殊说明,取C的正向为逆时针方向.
 定理中曲线C可以不是简单曲线.这是因为,我们可以将有自相交点的有向闭曲线看成由若干条有向简单闭曲线依次连接而成.
 定理可以表述为:
 单连通区域中解析函数积分与路径无关.换言之,若f在单连通区域B中解析,则对B中任意两点z0,z1以及B中以z0为起点以z1为终点的任意两条有向曲线C1,C2,都有∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz.   如果我们取定理中C为简单闭曲线,并记其内部为D,则D为单连通区域,且f在闭区域上解析.于是定理又可以表述为:
 若f在单连通闭区域B上解析,则f沿B的边界的积分为0,即∮Bf(z)dz=0.   定理的结论可以进一步加强为:若f在单连通区域B中解析,在闭区域上连续，则f沿闭区域中任何一条闭曲线C的积分为0.
积分与路径无关是一个非常有用的性质,它使得我们可以选择适当的积分路径以简化计算.看下面的例子.
例4 计算Re∫C11+z2dz,其中C为右半平面上从原点到点z0=reiθ0的任意一条曲线.
图 3.3
解 被积函数11+z2在复平面上只有两个奇点z=±i.如图3.3,从原点到点z=1作有向直线段C1，再取C2为正向圆周|z|=1上从点z=1到点z0的弧段.作单连通区域Ω,使Ω包含曲线C,C1,C2,但不包含点±i.于是,11+z2在Ω中解析.由Cauchy-Goursat基本定理得∫C11+z2dz=∫C111+z2dz+∫C211+z2dz=defI1+I2.  下面计算I1,I2.I1=∫C111+z2dz=∫1011+x2dx=arctanx1x=0=π4.
I2=∫C211+z2dz=∫θ00ieiθ1+e2iθdθ=∫θ00(icosθ-sinθ)(1+cos2θ-isin2θ)(1+cos2θ)2+sin22θdθ.于是Re(I2)=∫θ00cosθsin2θ-sinθ(1+cos2θ)2+2cos2θdθ
=∫θ000dθ (利用三角函数的积化和差公式)
=0.故Re∫C11+z2dz=Re(I1)+Re(I2)=π4.3.2.2 复合闭路定理
我们可以把Cauchy-Goursat基本定理推广到多连通区域的情形.
图 3.4
设函数f(z)在多连通区域G中解析.如图3.4所示,L1,L2为G中两条正向(即逆时针方向)简单闭曲线,L2在L1的内部,且以L1与L2为边界的区域G1完全包含在G中.在闭区域G1上作互不相交的辅助线段AA′,CC′,使得点A,C在L1上,点A′,C′在L2上.这样一来,图中简单正向闭曲线AA′D′C′CDA与ABCC′B′A′A都在区域G中,且它们的内部也都在G中.于是由Cauchy-Goursat基本定理得到∮AA′D′C′CDAf(z)dz=0,
∮ABCC′B′A′Af(z)dz=0,即∫AA′+∫A′D′C′+∫C′C+∫CDAf(z)dz=0,
∫ABC+∫CC′+∫C′B′A′+∫A′Af(z)dz=0.以上两式相加得∮L1+∮L2-f(z)dz=0,(3.3)也即∮L1f(z)dz=∮L2f(z)dz.(3.4)  函数f在多连通闭区域G1上解析,该区域的边界为复合闭路L1∪L-2(区域边界的定向规则为: 沿着区域边界的正向前进时,区域总在边界的左手侧).因此我们称式(3.3)为复合闭路原理.它说明,如果函数在多连通闭区域上解析,则函数沿该区域的边界曲线积分为0.因此,复合闭路原理是Cauchy-Goursat基本定理的推广.
我们称式(3.4)为闭路变形原理,它说明: 一个解析函数沿简单闭曲线的积分,不因闭曲线的变形而改变积分的值,只要在变形过程中曲线不经过函数的不解析点.
用同样的方法,我们可以证明更一般的复合闭路定理.
定理3.5(复合闭路定理） 设C为多连通区域D中的一条简单正向闭曲线,C1,C2,…,Cn是在C内部的简单正向闭曲线,它们两两互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,…,Cn为边界的区域完全包含于D中（如图3.5).如果f(z)在D中解析,则∮C f(z)dz=∑nk=1∮Ckf(z)dz,即∮Γf(z)dz=0,其中Γ=C∪C-1∪C-2∪…∪C-n.
图 3.5
图 3.6
例5 计算∮C2z-1z2-zdz,其中C为包含|z|=1在其内部的一条简单正向闭曲线.
解 函数f(z)=2z-1z2-z的奇点为z=0和z=1.如图3.6所示,在曲线C内部,分别以z=0和z=1为圆心,作两个互不相交且互不包含的正向圆周C1,C2.则f在以C,C1,C2为边界的闭区域上解析,由复合闭路定理得∮C2z-1z2-zdz=∮C12z-1z2-zdz+∮C22z-1z2-zdz
=∮C11z-1+1zdz+∮C21z-1+1zdz
=∮C11z-1dz+∮C11zdz+∮C21z-1dz+∮C21zdz.由Cauchy-Goursat基本定理得∮C11z-1dz=∮C21zdz=0. 由例2中结论得∮C11zdz=∮C21z-1dz=2πi.故∮C2z-1z2-zdz=4πi.  例6 证明函数f(z)=1(z-z0)n+1, n∈Z\\{0}在其解析区域C\\{z0}内积分与路径无关.
证明 任取区域C\\{z0}中一条简单正向(逆时针方向)闭曲线C.
如果z0不在曲线C内部,则f在C上及其内部解析,由Cauchy-Gourast基本定理可知∮C f(z)dz=0.
如果z0在曲线C内部,则存在以z0为圆心的正向圆周C1,使得C1完全包含在C的内部.由例2知∮C1f(z)dz=0.再由闭路变形原理得∮C f(z)dz=∮C1 f(z)dz=0.由C的任意性知f(z)在其解析区域C\\{z0}内积分与路径无关.□
我们回过头来分析一下上一节的两个例子.由例1可以看出,在复平面上处处不解析的函数z-,其积分与路径有关.例2中给出的函数第3章 复变函数沿有向曲线的积分3.3 Cauchy积分公式f(z)=1z-z0,  其解析区域C\\{z0}是多连通的,它沿该区域内闭曲线C: |z-z0|=r(逆时针方向)的积分∮Cdzz-z0=2πi≠0,因此积分也与路径有关.这两个例子提示我们: 函数积分是否与路径无关涉及到函数的解析性及解析区域的单连通性.另一方面,Cauchy-Goursat基本定理告诉我们:单连通区域内的解析函数,其积分与路径无关.于是,我们自然要问,函数在单连通区域内解析是否也是积分与路径无关的必要条件?答案是否定的.例6就是一个反例,函数1(z-z0)n+1(n∈Z\\{0})在多连通区域C\\{z0}中解析,但在该区域内积分与路径无关.
3.3 Cauchy积分公式
给定复平面上一点z0,记Cr为正向圆周|z-z0|=r.则∮Cr1z-z0dz=2πi.(3.5)这一节我们利用这一个结论以及复合闭路原理来推导一个非常重要的公式--Cauchy积分公式.
定理3.6(Cauchy积分公式） 设f(z)在区域B中解析,C为B中任意一条简单正向闭曲线,它的内部完全包含于B,而z0为C内部任意一点,则∮Cf(z)z-z0dz=2πif(z0). (3.6)  证明 函数f在z0解析,从而连续,所以对任意ε>0,存在δ>0,使得当|z-z0|<δ时,有|f(z)-f(z0)|<ε,且z在曲线C内部.如图3.7，以z0为圆心,以r(<δ)为半径作正向圆周Cr,则Cr在C的内部,且
图 3.7
 ∮Cf(z)z-z0dz-2πif(z0)
=∮Crf(z)z-z0dz-∮Crf(z0)z-z0dz （复合闭路定理及式（3.5))
=∮Crf(z)-f(z0)z-z0dz≤∮Cr |f(z)-f(z0)||z-z0|dz (式（3.2))
≤∮Crεrds=2πε.
由ε的任意性即得式(3.6).□
注3.7 公式(3.6)称为Cauchy积分公式.它具有重要的理论和实际意义.
 Cauchy积分公式说明,解析函数在区域边界上的值一经确定,它在区域内部的值也就确定了.这是解析函数的又一特征.
 在Cauchy积分公式中取C为Cr:z=z0+reiθ,θ∈\,则f(z0) =12π∫2π0f(z0+reiθ)dθ.(3.7)这说明解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.
 在实际应用Cauchy积分公式时,我们往往不是利用复积分来求函数在一点的值,而是利用函数在一点的值来求复积分.
本书中,如无特殊说明,复积分中的圆周都表示正向(逆时针方向)圆周.
例7 求积分∮|z|=4sinzz-1dz.
解 函数sinz在整个复平面上解析.由Cauchy积分公式,有∮|z|=4sinzz-1dz=2πisinzz=1=2πisin1.  例8 计算∮|z|=1(|z|+z-)cos2zdz.
解 在圆周|z|=1上,z-=1z.于是∮|z|=1(|z|+z-)cos2zdz=∮|z|=1cos2zdz+∮|z|=1cos2zzdz
=0+2πicos2z|z=0=2πi.