在线性代数的研究中，行列式是一个十分有力的工具．本章是在回顾二阶、三阶行列式的基础上，引出n阶行列式的概念，并介绍行列式的一些基本性质及其计算方法．最后给出用n阶行列式求解线性方程组的一种方法——克莱姆法则． 一、 二阶、三阶行列式的概念 在中学数学中，已通过解二元、三元线性方程组引出了二阶、三阶行列式的概念，在此我们对其进行简单地复习． (一) 二阶行列式 我们用记号 a11a12 a21a22 表示的代数和a11a22-a12a21称为二阶行列式，即 a11a12 a21a22=a11a22-a12a21(1.1) 其中元素aij(i,j=1,2)的两个脚标i与j分别表示这个元素所在的行与列的序数，分别称为它的行标与列标． 图11 二阶行列式表示的代数和可以用画线(图11)的方法记忆，即实线联结的两个元素的乘积减去虚线联结的两个元素的乘积． 例1.135 -27=3×7-5×(-2)=31 例1.2设D=λ2λ 31 问： (1)λ为何值时，D=0； (2)λ为何值时，D≠0. 解： D=λ2λ 31=λ2-3λ λ2-3λ=0，则λ=0或λ=3 因此， (1) 当λ=0或λ=3时，D=0. (2) 当λ≠0且λ≠3时，D≠0. (二) 三阶行列式 我们用记号 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 表示的代数和a11a22a33＋a12a23a31＋a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 称为三阶行列式，即 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 =a11a22a33＋a12a23a31＋a13a21a32 -a11a23a32 -a12a21a33-a13a22a31(1.2) 图12 三阶行列式表示的代数和，也可以用画线(图12)的方法记忆，其中各实线联结的3个元素的乘积在代数和中取正号，各虚线联结的3个元素的乘积在代数和中取负号． 例1.3求三阶行列式121 -21-1 1-42的值． 解： 121 -21-1 1-42=1×1×2+2×(-1)×1+1×(-2)×(-4) -1×(-1)×(-4)-2×(-2)×2-1×1×1=11 例1.4a、b满足什么条件时，有 a-b1 ba0 001=0 解： 因为 a-b1 ba0 001=a2+b2 所以要使a2+b2=0，则必有a与b同时等于0，因此，当a=b=0时，给定的行列式等于0. 二、 n阶行列式的概念 为了把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式(其中n是任意给定的正整数)，然后利用这一工具给出解含有n个未知量n个方程的一类线性方程组的克莱姆法则．为了达到这一目的，我们需要分析二阶和三阶行列式展开式的规律，然后根据这一规律引出n阶行列式的概念． 在二阶和三阶行列式的展开式中，除了其他现象外，都有以下现象： 有的项带正号，有的项带负号，这种符号规律不是很容易看出来的，我们将利用排列给出符号的规律．为此首先需要对排列及其相关性质作进一步讨论． (一) 排列与逆序 定义1.1由n个不同数码1，2，…，n组成的有序数组i1i2…in，称为一个n级排列． 例如，1234和4132是两个4级排列，31452是一个5级排列． 定义1.2在一个n级排列i1i2…in中，如果较大的数码it排在了较小数码is之前(it＞is)，则称it与is构成了一个逆序．在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．排列i1i2…in的逆序数记作τ(i1i2…in)． 定义1.3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列． 例如，排列4132中，4在1前面，4在3前面，4在2前面，3在2前面，共有4个逆序，即τ(4132)=4，所以4132为偶排列． 再如，由1，2，3这3个数码组成的3阶排列共有3！=6个．其排列情况如表11所示． 表11 排列逆序逆序数排列的奇偶性 123无 0 偶排列 132 (32) 1 奇排列 213 (21) 1 奇排列 231 (21)，(31) 2 偶排列 312 (31)，(32) 2 偶排列 321 (21)，(31)，(32) 3 奇排列 n级排列共有n!个．事实上，在作n个数码的一个排列时，第一个位置的数码可以从1，2，…，n这n个数码中任取一个，有n种取法； 当第一个位置取定之后，第二个位置的数码只能在剩下的n-1的数码中选取，有n-1种取法； 类似地，第三个位置上的数码只有n-2种取法； ……； 第n个位置上的数码只有n-(n-1)=1种取法．因此，一共可以得到n(n-1)…2·1=n!个不同的排列． 给定一个n级排列后，我们可以按下面的方法计算它的逆序数： 先看看有多少个数码排在1前面，设有l1个，那么就有l1个数码与1构成逆序； 然后把1划掉，看看有多少个数码排列在2的前面，设有l2个，那么就有l2个数码与2构成逆序； 再把2划掉，再看看有多少个数码排列在3的前面．这样继续下去，直到计算出ln(显然ln=0)，于是这个排列的逆序数为： l1+l2+…+ln． 例如，在排列31542中，l1=1，l2=3，l3=0，l4=1，l5=0，所以τ(31542)=5. 定义1.4把一个排列中的两个数码互换位置，其余数码不动，便得到一个新的排列，对于排列所施行的这种变换叫做对换． 如果排列i1i2…in经过对换(i,j)两个数码后，得到排列j1j2…jn，就记作： i1i2…in(i,j) j1j2…jn 例如3412(1,3)1432(2,4) 1234 不难看出，任意一个n级排列i1i2…in经过一系列对换以后总可以化为排列12…n．进一步我们有 定理1.1任意一个排列经过一次对换后奇偶性改变．(或： 对换改变排列的奇偶性)． 证明分以下两种情形进行讨论． (1) 首先讨论对换相邻两个数码的特殊情形，设给定的排列为： AijB 其中A，B表示那些不动的数码，经过对换(i,j)变为排列： AjiB 比较上面两个排列中的逆序，显然A，B中数码的次序没有改变，并且i,j与A，B中的数码次序也没有改变，这两个排列中所不同的只是i与j的次序，如果ij，那么新排列的逆序数则减少了一个，从而它们的奇偶性发生相反的变化． (2) 在一般情况下，设原排列为： Aik1k2…ksjB(1.3) 先让i向右移动，依次与k1,k2,…,ks对换，这样经过s次相邻两个数码的对换后，原排列变为： Ak1k2…ksijB(1.4) 再让j向左移动，依次与i，ks,…,k2,k1对换．这样经过s+1次相邻两个数码的对换后，上述排列变为： Ajk1k2…ksiB(1.5) 乘积(1.5)恰好是乘积(1.3)经过对换(i,j)后而得到的排列，即新排列可以由原排列经过2s+1次相邻数码的对换得到．由证明(1)的结论可知它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排列的奇偶性相反． 定理1.2n≥2时，全体n级排列中，奇偶各占一半． 证明设在n!个n级排列中，有p个奇排列，q个偶排列．由定理1，对这p个奇排列施行同一个交换(i,j)后得到p个偶排列．由于这p个偶排列彼此不同，于是有p≤q； 同样也有q≤p，所以p=q，即奇偶排列数相等，各为n!2个． 例如，对于3级排列，见表11，奇偶排列各3个． (二) n阶行列式 有了上面的准备工作，我们可以对二阶、三阶行列式作进一步研究，从而得出它的结构规律，然后再利用这些规律来定义n阶行列式． 由于二阶行列式非常简单，所以我们只对三阶行列式进行研究．不难看出，三阶行列式 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 =a11a22a33＋a12a23a31＋a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 具有如下特点： (1) 项数： 它是3！=6项的代数和； (2) 每一项构成： 展开式中的每一项都是位于不同行不同列的3个元素的乘积，其一般项可以表示为： a1j1a2j2a3j3 其中行标成自然排列123，j1j2j3为列标排列，当j1j2j3取遍3级排列时，所有位于不同行不同列的3个元素的乘积都在展开式中出现，即所有形如a1j1a2j2a3j3的乘积(其中j1j2j3为任意3级排列)都在展开式中出现． (3) 每一项的符号规律： 3个取正号的项对应的列标的排列分别为123，231，312，它们都是偶排列； 3个取负号的项的列标的排列分别为132，213，321，它们都是奇排列．因此当j1j2j3为偶排列时取正号； 为奇排列时取负号．因此三阶行列式可以写成： a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=∑j1j2j3(-1)τ(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3 其中，∑为连加号，∑j1j2j3表示把所有形如(-1)τ（j1j2j3）a1j1a2j2a3j3的项加起来，这里j1j2j3取遍所有3 级排列． 分析如下二阶行列式也有完全类似的规律，即 a11a12 a21a22=∑j1j2(-1)τ(j1j2)a1j1a2j2 根据这一规律，可以给出n阶行列式的定义． 定义1.5用n2个元素aij(i，j=1，2，…，n)组成的记号 D=a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann 称为n阶行列式．它是n!项的代数和，这些项是所有可能取自既不同行也不同列的n个元素的乘积，其一般项可以写成： a1j1a2j2…anjn 此项前所取的符号是(-1)τ(j1j2…jn),即当j1j2…jn为偶排列时，这一项前取正号； 为奇排列时取负号，亦即 D=∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn 其中，∑为连加号，∑j1j2…jn表示把所有形如(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn的项加起来，这里j1j2…jn取遍所有n级排列． 特别地，当n=1时，一阶行列式a就是a． 以aij(i,j=1,2,…,n)为元素的n阶行列式有时简记为aijn或aij． 例如四阶行列式 D=a11a12a13a14 a21a22a23a24 a31a32a33a34 a41a42a43a44 所表示的代数和中有4！=24项．其中a11a22a33a44是取自既不同行也不同列的4个元素的乘积，是D的一项，且逆序数τ(1234)=0，即这项前应冠以正号．并且,a14a23a31a42是取自于D中不同行不同列的4个元素的乘积，行标排列为自然排列，列标排列的逆序数τ(4312)=5，所以这项前应冠以负号，即-a14a23a31a42为D的一项．a11a24a33a44有2个元素取自第四列，所以它不是D的一项． 例1.5求下列行列式 D=a1100a14 0a22a230 0a32a330 a4100a44 的值． 解： 依照定义 D=∑(-1)τ(j1j2j3j4）a1j1a2j2a3j3a4j4 是4！=24项的代数和，因为原行列式中有许多零元素，这表明a1j1a2j2a3j3a4j4中有许多项应等于零．于是只要把不为零的项求出来便可以了．然而在D的展开式中，除a11a22a33a44，a11a23a32a44，a14a23a32a41，a14a22a33a41这四项外，其他项都含有零因子，因而它们的乘积为零． 又因为它们的列标排列依次为1234，1324，4321，4231，其中第一个和第三个为偶排列，第二个和第四个为奇排列，所以 D=a11a22a33a44-a11a23a32a44＋a14a23a32a41-a14a22a33a41． 例1.6计算n阶行列式 D=a1100…0 a21a220…0 a31a32a33…0  an1an2an3…ann 的值，其中aii≠0(i=1,2,…,n)． 解： 由定义容易看出： D的项除了a11a22…ann以外，其余的项均为零．由于排列12…n是个偶排列，所以这一项应取正号，于是 D=a11a22…ann 我们称上面形式的行列式为下三角形行列式． 同理可得上三角形行列式 D=a11a12a13…a1n 0a22a23…a2n 00a33…a3n  000…ann=a11a22…ann 其中aii≠0(i=1,2,…,n)． 作为上(下)三角形行列式的特殊情形，我们有 D= a1100…0 0a220…0 00a33…0  000…ann=a11a22…ann 这种行列式称为对角形行列式． 行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线，上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于对角线上诸元素的乘积．这一结论在以后的行列式的计算中可直接应用． 由行列式的定义不难看出： 一个行列式若有一行(或一列)的元素全部为零，则该行列式的值必为零． n阶行列式定义中决定各项符号的规则还可以由下面的结论来确定． 定理1.3n阶行列式aij的项 ai1j1ai2j2…ainjn(1.6) 前面所取的符号是（-1）s+t，其中，s=τ(i1i2…in),t=τ(j1j2…jn)． 证明如果交换乘积(1.6)中某两个因子的位置，则相当于对排列i1i2…in和j1j2…jn同时施行一次对换，于是所得的排列的奇偶性同时改变，但是对换一次后，其行、列标排列逆序数之和的奇偶性不变．由于排列i1i2…in总可经过有限次的对换变成自然排列12…n，设此时列标排列变为k1k2…kn，则乘积(1.6)变为 a1k1a2k2…ankn 于是s+t与τ12…n＋τ(k1k2…kn)=τ(k1k2…kn)有相同的奇偶性，因为 ai1j1ai2j2…ainjn=a1k1a2k2…ankn 所以，这|aij|项前所取的符号为 (-1)τ(k1k2…kn)=(-1)s+t． 如果用定义直接计算一个n阶行列式，就要计算n!项的代数和，而每一项又是n个元素的乘积，而随着n的增大，n!会急剧地增大，所以直接由定义计算一个n阶行列式是非常麻烦的．本节将要探讨行列式的某些基本性质，利用这些性质可以使行列式的计算大大简化． 定义1.6把n阶行列式 D= a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann 的行依次变为列得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D′，即 DT= a11a21…an1 a12a22…an2  a1na2n…ann ． 显然，D的第i行第j列的元素是DT的第j行第i列的元素． 下面我们介绍行列式的一些基本性质． 性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT． 证明设a1j1a2j2…anjn是n阶行列式D=|aij|的一项．由于它的n个元素位于D的不同行不同列，所以也位于DT的不同行不同列，从而它也是DT的一项．由定理3可知，无论在D中还是在DT中，这一项所取的符号都是(-1)τ(j1j2…jn）．因此D的任一项都是DT的项，反之亦然．又因为D与DT都有n!项，所以D=DT． 性质2交换行列式的两行(列)，其值变号． 证明设交换行列式 D=a11a12…a1n  ai1ai2…ain  aj1aj2…ajn  an1an2…ann i行 j行 的第i,j两行，得到行列式 D1=a11a12…a1n  aj1aj2…ajn  ai1ai2…ain  an1an2…ann j行 i行 D的每一项都可以写成以下形式 a1k1a2k2…aiki…ajkj…ankn， (1.7) 它是位于D的不同行不同列，因而在D1中也位于不同行不同列．从而它也是D1的一项．同样D1的每一项也都是D的项，所以D与D1含有相同的项．另外，乘积(1.7)在D中所带的符号是(-1)τ(k1k2…ki…kj…kn），由于D1是交换D的第i,j两行得到的，而列的次序没有改变，它在D1中的符号为 (-1)τ(1…j…i…n)+τ(k1k2…ki…kj…kn)=-(-1)τ(k1k2…ki…kj…kn) 即乘积(1.7)在D中所取的符号和在D1中所取的符号相反，所以D=-D1. 至于交换行列式的两列的情形，由性质1归结为交换两行的情形． 由性质1可知，行列式对于行成立的性质对于列也成立，反之亦然．因此，对于以下性质，我们只对行的情形进行讨论． 性质3如果行列式中有两行(列)的对应元素相等，则此行列式的值为零． 证明设行列式D的第i,j两行对应元素相等(i≠j)，由性质2，交换这两行后其值变号，即新的行列式为-D．另一方面，由于D的第i,j两行相等，所以交换D的i,j两行后D的值并没有改变，从而D=-D，因此D=0. 性质4把行列式的某一行(列)乘以数k，相当于用数k乘以这个行列式． 证明设D=aij，我们要证 D1=a11a12…a1n  kai1kai2…kain  an1an2…ann=ka11a12…a1n  ai1ai2…ain  an1an2…ann． 由行列式的定义 D=∑(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…kaiji…anjn =k∑(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn=kD =右端 所以，D1=kD． 推论1如果行列式某一行(列)有公因子k，可以将k提到行列式号外． 推论2如果行列式有一行(列)元素全为零，那么行列式的值等于零． 性质5如果行列式D有两行(列)的对应元素成比例，那么D=0. 证明设行列式D=|aij|的第i,j两行成比例，其比例系数为k，使ai1=kaj1,ai2=kaj2,…,ain=kajn，将D的第i行公因子k提到行列式号外，得D=kD1，由于D1的第i,j两行相同，从而D1=0.因此D=0. 性质6如果行列式D的第k行的每个元素都可以写成两个数的和： D=a11a12…a1n  bk1+ck1bk2+ck2…bkn+ckn  an1an2…ann, 则D=D1+D2. 其中 D1=a11a12…a1n  bk1bk2…bkn  bn1bn2…bnn，D2=a11a12…a1n  ck1ck2…ckn  bn1bn2…bnn， 证明由行列式的定义，得 D=∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…bkjk+ckjk…anjn =∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1…bkjk…anjn+a1j1…ckjk…anjn =∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…bkjk…anjn+∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…ckjk…anjn =D1+D2