物理学中的群论基础 徐建军编著 清华大学出版社 北京 内 容 简 介 本书为物理学中涉及的群论知识的简明教程，适合理工科各相关专业学生使用。全书共分7 章，其中第1 章介绍群论的基本概念，第2 章讨论群的表示，第3 章是群论在量子力学中的应用，第4 章则是点群和空间群的介绍，第5 章给出置换群的主要结果，最后两章分别是Lie 群和Lie 代数的初步论述。书末提供习题答案与提示，一些重要结果则以附录的形式给出。 版权所有，侵权必究。侵权举报电话：010.62782989 13701121933 图书在版编目(CIP)数据 物理学中的群论基础/徐建军编著. --北京: 清华大学出版社,2010.9 (物理类专业系列教材) ISBN 978.7.302.23393.0 Ⅰ. ① 物… Ⅱ. ① 徐… Ⅲ. ① 群论-应用-物理学-高等学校-教材 Ⅳ. ① O411.1 中国版本图书馆CIP 数据核字 (2010) 第156822 号 责任编辑：邹开颜责任校对：刘玉霞 责任印制： 出版发行：清华大学出版社 地 址：北京清华大学学研大厦A 座http://www.tup.com.cn 邮 编：100084 社 总 机：010.62770175 邮 购：010.62786544 投稿与读者服务：010.62776969, c-service@tup.tsinghua.edu.cn 质量反馈：010.62772015, zhiliang@tup.tsinghua.edu.cn 印 刷 者： 装 订 者： 经 销：全国新华书店 开 本：185×260 印 张：14.5 字 数：332 千字版 次：2010年9月第1版 印 次：2010 年9 月第1 次印刷印 数： 定 价：0.00元 产品编号： 目录 引论.................................................................................... 1 第1 章群论的基本概念.............................................................. 5 1.1 群的定义..................................................................... 5 1.2 子群，重排定理............................................................... 7 1.3 共轭类，陪集................................................................ 10 1.4 群的同态和同构............................................................. 15 1.5 群的直积.................................................................... 17 习题1 ............................................................................ 19 第2 章群的表示.................................................................... 20 2.1 表示的定义.................................................................. 20 2.2 群表示论的一些基本定理....................................................24 2.3 正则表示.................................................................... 35 2.4 基础表示.................................................................... 38 2.5 诱导表示.................................................................... 39 2.6 特征标表.................................................................... 41 2.7表示的直积，C-G系数...................................................... 44 2.8 投影算符.................................................................... 48 习题2 ............................................................................ 52 第3 章群论与量子力学.............................................................54 3.1 Schr¨odinger 方程和对称算符.................................................54 3.2不可约张量算符和Wigner-Eckart定理...................................... 58 3.3 实表示.......................................................................60 3.4 时间反演对称和附加简并....................................................63 习题3 ............................................................................ 66 第4 章点群和空间群............................................................... 67 4.1 Euclid 群.................................................................... 67 4.2 点群中的对称算符和对称元素............................................... 69 4.3 第一类点群.................................................................. 73 4.4 第二类点群.................................................................. 77 4.5 Bravais 格子和空间群....................................................... 81 4.6 平移群的不可约表示........................................................ 90 4.7 空间群的不可约表示........................................................ 93 习题4 ............................................................................ 99 第5 章置换群..................................................................... 101 5.1 置换........................................................................ 101 5.2共轭类，配分和Young图.................................................. 103 5.3 Frobenius 公式和图形方法..................................................107 5.4 Young 算符................................................................. 111 5.5 外积........................................................................ 114 习题5 ........................................................................... 116第6章Lie群..................................................................... 118 6.1 Lie 群的定义............................................................... 118 6.2SO(3)群和SU(2)群....................................................... 125 6.3 无穷小生成元和无穷小算符................................................ 128 6.4 SU(2) 群的不可约表示..................................................... 140 6.5 群上的不变积分............................................................ 143 6.6SU(2)群和SO(3)群的同态映射............................................145 6.7 角动量及其耦合............................................................ 151 6.8转动矩阵D(l)(α,β,γ)的一些性质......................................... 159 6.9 Lorentz 群及其表示........................................................ 162 6.10经典Lie群的张量表示.................................................... 166 习题6 ........................................................................... 170第7章Lie代数................................................................... 172 7.1 Lie 代数.................................................................... 172 7.2 伴随表示................................................................... 176 7.3 Killing 形式................................................................ 177 7.4单根与Dynkin图.......................................................... 177 7.5权与Lie代数的表示....................................................... 185 7.6 Casimir 算符............................................................... 188 习题7 ........................................................................... 189 习题答案与提示...................................................................... 190 附录.................................................................................. 199 附录A 线性代数............................................................... 199 附录B 点群操作的矩阵表示................................................... 203 附录C 点群的特征标表........................................................ 205 附录D 置换群的特征标表..................................................... 209 附录E 230 个空间群........................................................... 211 附录F Clebsch-Gordon 系数................................................... 214附录G经典Lie代数的Dynkin图.............................................218 参考文献............................................................................. 222 索引.................................................................................. 225 图0.1漂亮的雪花 群论的概念实际上主要来自于三个部分，即19世纪开始兴起的非欧几何、数论及18世纪末开始的代数方程理论研究，正是这些研究导致了置换群理论研究的开始。 几何学的研究从古希腊的Euclid几何开始，到19世纪后逐渐与直接度量分离，开始往非欧几何的方向发展，而对n维空间几何的研究则使数学家开始注意到几何本身的抽象性质。 Lambert，Gauss，Lobachevsky和J′anosBolyai等人在19世纪开始了对非欧几何的研究，尽管当时还完全没有群的概念，但M¨obius在1827年实际上已经开始了将几何按照在特定群作用下的不变量性质来进行分类的工作，Steiner在1832年的工作则成为变换群理论的开端。 图0.2五种正多面体 Euler在1761年研究了数论中的模算术，尽管Euler的工作并没有使用群论的语言，但实际上给出了Abel群按子群进行陪集分解的例子。Euler还在特殊情况下证明了子群的阶数是群阶的因子。Gauss在1801年大大推进了Euler的工作，在模算术等领域取得了显著成果，丰富了Abel群的理论。 置换的概念是Lagrange在1770年研究代数方程理论时提出的，他当时的主要目的是想弄清楚为什么三次方程和四次方程可以代数求解。在研究中，Lagrange注意到了方程根的置换对称性，这个工作已经有了置换群理论的影子，但他并没有在最终的论文中提到群论。 第一个指出五次方程不能代数求解的人是Ru.ni，在1799年，他发表论文证明了一般的五次方程不可代数求解。Ru.ni的工作建立在Lagrange的基础之上，他引入了置换群的概念。 Cauchy在发展置换群理论方面做出了很大贡献。他从1815年开始研究方程根的置换，到1844年转而研究置换本身的性质，Cauchy还引入了循环和共轭的概念。 Galois在1831年第一次认识到了代数方程的可解性和某个与方程对应的置换群的结构密切相关，即代数方程存在根式解的充要条件是所对应的群可解。他的工作是19世纪数学中最杰出的成就之一，Galois理论是代数学发展中的一个里程碑。在Galois之前，代数学研究的中心问题是代数方程的求根问题；而在Galois之后，其中心问题转化为研究群、环、域等代数系统的结构与分类，这就步入了近世代数的时代。 引论 但十分可惜，Galois的工作在他生前无人能够理解，直到1846年由Liouville整理发表后才为世人所知。虽然Liouville清楚地看到了Cauchy的置换群理论和Galois工作之间的关系，但是他并没有意识到Galois的工作在奠定群论基础方面的重要性，而最终是由Betti首先看到了Galois关于代数方程的群就是现代意义上的置换群这个事实。 1849年，Cayley对群论的发展作出了重要贡献，他给出了抽象群的定义并给出了乘法表，认识到矩阵集合和四元数都可以构成群。但Cayley的工作超越了当时的时代，因而在当时没有产生太大的影响。1878年后他证明了Cayley定理和其他许多重要结果，大大促进了群论的研究，直接引发了H¨older的研究工作。 Jordan在1865至1870年间的工作真正认识到了置换群的重要意义，清晰而全面地阐述了Galois理论，为群论在19世纪最后30年间的发展奠定了基础。Jordan给出了置换群的Jordan-H¨older定理。H¨older在1889年给出了这一定理在抽象群意义下的完整证明。 Klein在1872年提出了著名的Erlangen纲领，给出了几何学按对称群的分类，群论从此走上了数学的中心舞台。 Frobenius及其学生Schur和Kronecker的学生Netto等人将群论的研究大大推进，其后Klein的学生vonDyck引进了生成元的概念，开始抽象群论的系统研究，群的表示理论应运而生。 随着Burnside的《有限群理论》在1897年的出版，真正的群论时代到来了。HeinrichWeber(Dedekind的学生)的两卷本《代数教程》也在1895年出版并成为了标准教科书。这些著作影响了几代数学家，对群论的发展起了巨大作用。 1831年，Hessel首次给出了32个三维晶格点群(正交群O(3)的分立有限子群)的分类，由格点周期性排列构成的网络具有晶格空间群对称的结论是首先由Frankenheim在1835年发现的，随后Bravais给出了14种晶格类型。Klein建议找出所有三维空间的晶格空间群，到1891年，Sch¨on.ies和Fedorov找到了所有的230个晶格空间群。在19世纪末，Fedorov，Sch¨on.ies和Barlow给出了二维空间的17个空间群。 20世纪70年代利用计算机证明了四维空间的空间群有4783个。五维以上高维空间的空间群个数还没有明确的答案，但Bieberbach在1910年证明了任意维空间的空间群数目都是有限的，这实际上是Hilbert在1900年提出的23个问题中第18个问题的一部分。 1890年，Lie试图将Galois理论推广到微分方程领域，这导致了Lie群和Lie代数理论的建立。1893年，Lie和FriedrichEngel出版了《变换群理论》。 1890年，Killing完成了对复单Lie代数的分类，他的工作在1894年被Cartan进一步推广和严格化。到20世纪初，Weyl和Cartan开始注意到Lie群的整体性质，这方面的研究直到70年代后在纤维丛理论中有了新的发展。 Wigner在1930年之前就已经阐明了群论和量子力学之间的密切联系，并将结果总结在他的名著《群论及其在原子光谱的量子力学中的应用》一书中。从此以后，现代物理学各个领域的发展都越来越关注体系蕴含的对称性所起的重要作用，Noether定理则给出了对称性与守恒定律之间的深刻联系。 现阶段,群论已经在几乎所有的物理学领域都得到了广泛应用，如固体物理、凝聚态物理、原子分子物理、核物理和粒子物理等，在化学和生命科学等领域也已经有了诸多应用。因此，群论现在已经成为物理系学生乃至科学工作者必不可少的一个数学工具。 本书是作者在多年来为复旦大学物理系研究生和高年级本科生开设的群论课程讲义的基础上经扩充和修改后而成的。全书共分7章，内容安排如下。第1章介绍群论的基本概念，第2章讨论群的表示，第3章是群论的初步应用，第4章是点群和空间群的介绍，第5章给出置换群的主要结果，最后两章分别是Lie群和Lie代数的讨论。书末给出了所有习题的答案或提示，一些重要结果则以附录的形式给出。 作者十分感谢复旦大学物理系多年来的培养和支持，30多年来作者一直在这里学习和工作。作者要感谢陶瑞宝院士和胡嗣柱教授，正是他们在20世纪80年代初所开设的群论课，使作者第一次领略到了群论的无穷魅力。作者也要感谢多年来听课的学生们，他们的建议和讨论使作者获益颇多。最后要感谢清华大学出版社的邹开颜编辑，如果没有她的鼓励和帮助，本书的出版也是不可能的。 限于作者的学识水平，书中难免有错误和表达不当之处，恳请读者给予批评指正。 第1 章群论的基本概念 群论是用来描写对称性的一个非常有用的数学工具。一个物理体系的对称性往往和某种变换联系在一起，如时空平移，空间转动，Lorentz变换，宇称变换，相位变换等。这些对称性可以是连续对称，也可以是分立对称；可以是时空对称，也可以是内部空间对称。群论揭示了体系的对称性和守恒量之间的深刻联系。本章将介绍群论的一些基本概念和基本性质。 1.1 群的定义 定义1.1设G是一个集合，在G上给定一个二元运算，称之为乘法运算，即给定 一个映射G×G→G，使其满足下列条件：1.集合G在乘法下是封闭的，即对任意两个元素gi,gj∈G，有 gigj=gk∈G； (1.1) 2.乘法满足结合律，即对任意元素gi,gj,gk∈G，有 gi(gjgk)=(gigj)gk； (1.2) 3. 存在唯一的单位元e ∈ G，对所有g∈ G 满足 eg = ge = g； (1.3) 4. 对每个元素g ∈ G，都存在与之对应的唯一的逆元g.1 ∈ G，满足 gg.1 =g.1 g=e。(1.4) 则称集合G在所给运算下构成群，这个二元运算称为群的乘法。定义中的条件称为群的公理。如果一个集合在某个乘法下构成群，那么这四条公理都必须满足。需要指出的是，所谓群的乘法不一定是普通的乘法，可以是非常一般的二元运算。 群G 所包含的元素数目如果是有限的，则称之为有限群，如果包含的元素数目是无限的，则称之为无限群。 可以证明，条件(1.3)可以放宽为只要求eg=g或ge=g，条件(1.4)可以放宽为只要求g.1g=e或gg.1 =e，即单位元和逆元是唯一的。下面给出一些简单例子。 例1.1G1={e}，这是最简单的只包含一个元素(即单位元)的平凡群。 例1.2G2={e,a}，最简单的非平凡群至少包含两个元素，其中一个必须是单位元。记另一个元素为a，则容易推得群元之间的乘法关系 ae = ea = a, aa = a 2 =e,a.1 =a。 物理上有很多只包含两个元素的对称群。例1.2中的元素a可以是宇称变换r→.r，数字1和2的置换，绕某定轴旋转π角等。 例1.3G3={e,a,b}，对于包含三个元素的群，容易看到有ab=e(因为不可能有ab=a或ab=b)，因此有a2 =b(不可能有a2 =a或a2 =e)，进一步有b2 = a2b=ae=a。即 G3 = {a,b = a 2 ,e = ab = a 3 }。 注意到1的三次根构成的集合{1, e2π i /3 , e4πi/3} 在普通乘法下是具有上述结构的三阶群，绕正三角形的中心轴分别转动{2π/3,4π/3,2π} 也构成类似的三阶群。这一结构可以推广为 Gn = {a,a 2 , ,a n.1 ,a n = e}。(1.5) ··· 具有(1.5)式中结构的群称为循环群。下面给出几个重要定义。 定义1.2如果群G的乘法是可交换的，即对任意的a,b∈ G有ab=ba，则称群G是Abel群。否则称其为非Abel群。 定义1.3如果群G是有限群，则G所包含元素的数目称为群G的阶。 定义1.4对于任意群元a∈ G，满足方程an =e的最小正整数n称为群元a的阶。 易见，n 阶群元a 可以生成n 阶循环群。 例1.4最简单的非循环群是四阶群。四阶群G4={e,a,b,c} 有两种结构，一种是循环群，记为 G14 = {a,b = a 2 ,c = a 3 ,e = a 4 }， 其中下标4表示群G的阶数，上标1表示四阶群的第一种结构，后文沿用这一记号。非循环群记为G24 = {e,a,b,c}，其中群元满足下列关系： a 2 = b2 = c 2 =e,ab=ba=c,ac=ca=b,bc=cb=a。 这个群可以用一个几何对称群，即D2点群来具体实现。从图1.1中容易看到，绕相应的轴旋转π角将保持图形不变。 图1.1矩形的对称转动例1.5实数集合R在普通加法下构成群，其中单位元和实数a的逆元分别为e=0,a.1 = .a。n维实数空间Rn 中的点x=(x1,x2,,xn)可以看成是n维空间中的向量，因此n维 ··· 空间中的向量集合在向量加法下构成群。 1.2 子群，重排定理 易见，整数集合Z在普通加法下也构成群，但正整数集合Z+在普通加法下不构成群。如果定义模n的加法，则集合 Zn = {0, 1, 2, ,n . 1}··· 构成群。其中当p + q . n 时定义p + q ≡ p + q . n。例1.6非零实数集合R. 在普通乘法下构成群，其中单位元和实数a的逆元分别为e=1,a.1 =1/a。 显然，非零有理数集合Q. 在普通乘法下构成群，模为1的复数eiθ 在普通乘法下也构成群。 例1.7下列2× 2 矩阵集合在矩阵乘法下构成群： .10 .. 10 ...10 .. .10 . g1=e=,g2=,g3=,g4=, 01 0 .1 01 0 .1 g5 = . 01 . ,g6 = . 0 .1 . ,g7 = . .01 1 . ,g8 = . .01 .1 .。 10100 0 由于 g5g6=g2=g6g5=g3， 所以这是非Abel群。不难得到 g22 = g32 = g42 = g52 = g82 =g6g7=g7g6=g1=e。 例1.8所有非奇异的n× n矩阵集合在矩阵乘法下构成群，其中单位元即为单位矩阵，逆元即为相应的逆矩阵。这个群通常称为一般线性变换群，记为GL(n,R)或GL(n,C)。它实际上是第6章将要讨论的Lie群的一种。 1.2 子群，重排定理 最简单的非Abel群是六阶群。可以证明，六阶群也只有两种结构，其中一个是循环群 G16 = {a,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 = e}， 另一个是最简单的非Abel群G26 = {e,a,b,c,d,f}，满足关系 a 2 = b2 = c 2 = e, d2 = f, f2 =d,fd=df=e。 例1.9保持正三角形不变的所有转动对称变换构成六阶非Abel群，即点群D3。一共有6个对称操作使正三角形不变(见图1.2)： e 恒等变换； c31,c32 分别绕中心点O逆时针旋转2π/3和4π/3角； 六阶非Abel群，即置换群S3。我们可以将置换写成. 123 .. 123 .. 123 . =e,=(12),=(23), 123 213 132 . 123 .. 123 ..123 . =(31),=(123),=(132), 321231312其中循环记号(123)表示图1.2正三角形的对称操作1→ 2, 2 → 3, 3 → 1。置换的乘法定义为(23)(132)=. 123 .. 123 . = . 312 .. 123 . = . 123 . = (12) 。 132 312 213 312 213 容易看到，如果我们将正三角形的顶点用1,2,3编号，则正三角形的对称变换群就是置换群S3。关于置换群的详细讨论将在第5章进行。 定义1.5群G的子集H如果在和群G相同的乘法规则下也构成群，则称H为群G的子群。 对于任意的群G，一阶群G1={e} 和群G本身一定是G的子群。除此之外的其他子群称为真子群或固有子群，简称子群。我们通常只讨论真子群。 例1.11四阶群G24 有3个子群，H1={e,a},H2 = {e,b},H3 = {e,c}。这些子群的结构都和二阶群G2的结构相同。 例1.12置换群S3有4个子群： H1 = {e, (12)},H2 = {e, (13)},H3 = {e, (23)},H4 = {e, (123), (132)}。 类似地，D3点群也有4个子群。下面介绍一个重要定理。定理1.1(重排定理)如果g∈ G 是群G 中的任意群元，则有 gG = Gg = G, 其中 gG = {ggi|gi ∈ G}, Gg = {gig|gi ∈ G}。 证明对任意的g,gi∈ G，我们有 g.1 ∈ G及g.1 gi ∈ G。 这意味着可以找到另一个群元gj∈ G，使得 g.1 gi=gj或gi=ggj∈ gG, 1.2 子群，重排定理 由此得到G . gG。类似地，对于ggi∈ gG，由于g∈ G,gi ∈ G，故 ggi ∈ G, 此即gG. G。因此有gG=G。类似可以证明Gg=G。重排定理也可以表述成另一种形式：如果g,gi,gj∈ G，则由ggi=ggj可以推出gi= gj。这表示如果gi,gj是不同的群元，则ggi,ggj也一定是不同的。重排定理虽然很简单，但它是一个很重要的定理，以后会经常用到。考虑一个n阶的有限群，将其表示为 G = {e=g1,g2,,gn},··· 每个群元用一个给定群元g 左乘后得到 gG = {gg1,gg2,,ggn} = {gp1 ,gp2 ,,gpn },······其中pg=(p1p2··· pn)是序列1,2,··· ,n由群元g确定的一个置换。这样就给出了群元g∈ G和置换pg=(p1p2pn)之间的自然映射关系。容易证明，(12n)的所有可能置换构成群，即置换群Sn，··· 这是n!阶的群。··· 到现在为止讨论的几个六阶群都具有和抽象群G26 相同的结构，如对于S3，我们可以记e,a=(12),b=(23),c=(31),d=(123),f=(132)； 对于群D3，我们可以记 e,a=c2x,b=c2y,c=c2z,d=c13,f = c 23； 还可以有 √3 .. . . . . 10 .. .1 ,a = 0 . 1 0 1 b = e = √3 , , 201 1 .1 √3 (1.6) .√3 .1 , d = 1 2 . .1 √3 .√3 .1 . .1 .√3 1 1 1 。 f = c = .√3 , 2 2 .1 容易验证，这几个六阶群的群元之间的乘法关系都是相同的。例1.13令 rn=n1a1+n2a2+n3a3为晶格向量，n1,n2,n3是任意整数，Tn是作用在坐标函数f(r)上的平移算符，且有Tnf(r)=f(r+rn),则集合{Tn} 在算符乘积意义下构成群，称为平移群。这是无限Abel群。对于有限群，任意两个元素相乘的结果可以列成一个表，即所谓的乘法表。下面给出一些低阶有限群的乘法表，其中交叉位置的元素是第一列和第一行中对应元素的乘积。 G2 e a e e a a a e G3 e a b e e a b a a b e b b e a G1 4 e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b G2 6 e a b c d f e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d G2 4 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 1.3 共轭类，陪集 群G的元素可以按共轭类或者陪集进行分解。定义1.6对于群G中的两个元素gi,gj，如果存在另一个元素g∈ G 使下式成立： gi=ggjg.1 , (1.7) 则称gi,gj是互相共轭的，用符号～表示，记为gi～gj。共轭是一种等价关系，具有下列性质： 1.每个元素都与自身共轭，gi～gi；(反身性) 2.如果gi～gj，则有gj～gi；(对称性) 3.如果gi～gj,gj～gk，则有gi～gk。(传递性) 因此我们可以利用共轭关系来对群元进行分类。定义1.7群G内彼此共轭的元素集合构成共轭类，简称类。显然，一个群中的每个元素都属于且仅属于一个类，单位元自成一类，因为单位元只 与自身共轭。通常用记号[g]表示群元g所在类的元素集合。如果群G是Abel群，则由关系 ggig.1 =gigg.1 =gi,g,gi∈ G 可知，Abel群的每个元素都构成一个类。易见同类元素具有相同的阶。对于矩阵群，显然所有同类的元素彼此都只相差一个相似变换。例1.14置换群S3有三个类： [e]={e}, [(12)] = {(12), (23), (31)}, [(123)] = {(123), (132)}, 故可以将S3群按类分解为 S3=[e]⊕ [(12)] ⊕ [(123)]。