第1章测量的基本概念
测量，是一个常用的技术词汇，是人类进入古代文明社会以来就被明确定义和广泛使用的术语。今天，在科学技术、社会生活中随处可见测量的概念与知识，也是普通民众或多或少需要掌握的常识与技能。因此，学习测量的有关知识，不仅对于科学技术工作者很重要，对普通民众也是不可或缺的生活常识。由于测量的具体和专门知识浩如烟海，由此产生了一个十分现实的问题——如何学习测量知识？为了回答这个问题，我们尝试从理论与抽象的角度出发，抽掉复杂多样的测量情景，按照科学原理的一般方法，努力从测量的共性规律描述测量的本质，为进一步学习各种专门的测量知识打下理论基础，或者说是为测量学建立科学的语言基础。为此目的，我们在本章中先从感性上建立对测量的基本认识，为后续各章的抽象与理论描述设置一个明确的起点。
本书的主题是测量原理，涉及两个主题词——测量、原理。那么什么是“测量”？什么是“原理”呢？
1.1测量常识
测量一词，涉及两个字，一个是“量”，另一个是“测”。“量”，可以先理解为物理量，由自然客观规律决定，命名为“量”则属于人们约定的认识； “测”，代表人类的某种智慧和具体行动。两者合起来，“测量”体现了人对自然界的某种认知行为。
1.1.1测量的概念
测量是人们对客观事物取得定量认识的一种手段。测量是个比较过程，即将被测量同已知量相比较，以确定被测量与选定单位的比值。这个比值（数值）同单位结合在一起称为量值。量值是被测量的定量表示。
以天平测量某个物体的质量为例，来说明最典型的测量概念。假设被测物体是一个苹果，其质量是我们感兴趣的量。对天平来说，测量过程非常简单。将物体放在天平的右边，质量标准（砝码）放在天平的左边，适当地更换或增减砝码，观察天平上的指示针，直到天平的杠杆两边达到平衡。将天平左边托盘上砝码上标示质量的数值累加起来，得到一个数值，例如是320g，则苹果的质量就是320g。
在此例中，苹果、砝码、天平代表了这个具体测量中的3个标志物。苹果是被测物，代表一极； 砝码代表测量的基准物，是对立的另一极； 而天平代表测量仪器，是联系双方并在力矩特征上比较两边差别的装置。测量的机理是重力属性和杠杆原理，测量的操作则依赖人来放置砝码。
同样的道理，亦可用小型杆秤来测量苹果的质量。秤砣与砝码对应，秤杆与天平对应，测量的机理基本相同。20世纪国内曾普遍使用的机械力臂式衡器（俗称磅秤），正是与中国杆秤原理相同的正规仪器（通称为衡器）。
现在仍被许多家庭使用的弹簧秤，也是一种测质量的仪器。在弹簧秤的刻度尺上，沿着弹簧伸长的方向，刻写着一组刻度线和质量指示值。测物体质量时，将弹簧伸长方向垂直于地面（水平面），弹簧秤上端固定，下端悬挂被测物体，弹簧因物体重力而拉长，由此可从弹簧秤的刻度尺上读出质量指示值。
在此例中，弹簧秤与天平对应，代表测量仪器，依据重力属性和胡克定律来测质量。代表测量基准物的砝码虽然没有出现在测量现场，但在弹簧秤制作时，砝码的基准作用体现在弹簧秤的刻度尺上、并将砝码质量转换为刻度线和质量指示值。
通过这两个例子，我们可以将测量的概念陈述如下： 
测量就是以同性质的标准量与被测量比对并确定被测量对标准量的倍数。而标准量应该是国际上或国家所公认的，性能稳定的。
因此，可以将测量概念的核心本质归纳为比对。
1.1.2测量的过程
上述两个例子中，被测物、基准物、测量装置3个标志物的逻辑对应关系是完全相同的。所不同的是测量仪器，表面上看是仪器的外延形态不同，但真正不同的是仪器所依据的物理现象或物理效应不同。天平依据的是杠杆原理，而弹簧秤则是依据胡克定律。天平和杆秤中将质量变换为力矩投影，而弹簧秤中将质量变换为长度投影； 被测物通过仪器给出一个未知的投影，基准物通过仪器给出一个已知的投影，两个投影通过仪器得出（算出）一个投影差值，这样被测量就可以和基准量进行定量比较了。通过比较、示差、平衡过程，最后可以读出被测量值。
基于上述分析，可以将测量的基本过程归纳为4个步骤，即比较、示差、平衡与读数。
1. 比较
测量中的首要的操作是将被测物与基准物比较。
首要的前提是与正确的基准物比较，是为对正。
对质量测量来说，重力属性才是对比的关键。
但问题的关键是重力属性通过什么途径、以什么方式能够定量地显现出来。
在天平与杆秤中，重力属性通过杠杆、以力矩的形式表现出来。在弹簧秤中，重力属性通过弹簧、以长度变化量的形式显现出来。
量的本质属性只有通过某种特征形式表现出来，才能进行比较。
2. 示差
示差代表着一种“运算”，并将差别指示出来，供操作者观察或判断。
天平与杆秤中运算的对象是双方的力矩，通过杠杆的倾斜角度反映二者差别。
在弹簧秤中运算的对象是弹簧拉伸长度，通过刻线的长度位置反映二者差别。
在上述两例中，抽去角度与长度等实物形态的差别，可将“运算”的对象统一抽象为被测量的某种特征投影。投影值通常可以用数学函数式来表达，而示差的抽象本质就是对投影函数的某种减法运算。
3. 平衡
平衡代表正确比较结果的终极状态，是示差过程的最后停止状态，也是被测量与基准量比对后的无差别状态。
基于上述关于示差本质的抽象，平衡在抽象意义上如同两个代数式运算结果为零，就像方程求根后验算无误，或者比喻为求函数极点而使导数为零。
可将平衡的抽象本质归纳为对准。
4. 读数
读数代表着对被测量的定量赋值。
上述4个过程是测量操作过程的普遍规律，是对完整行为的程序化抽象。
更进一步，可将测量操作的抽象本质归结为比对。
1.2古测量学
测量学是一门源远流长的古老学科，是古代人类智慧与社会文明的典型象征。
1.2.1中国古代的测量学
在中华文明的发展过程中，测量学曾经有着辉煌悠久的历史。我们用一个历史典故、一本测量学典籍和一组典型的工程与历史事件，来说明中华民族对世界测量学的突出贡献。
1. 曹冲称象
曹冲（196—208），字仓舒，中国东汉末年人物，曹操第七子。
曹冲自小生性聪慧，五六岁的时候，智力就和成人相仿。孙权曾送给曹操一头大象，曹操想知道大象的质量，问遍了手下的人，都想不出称象之法，因为没有那么大的秤。曹冲想出一法： 把大象放进船里，记录水位到达船舷的位置； 牵出大象，将石块往船上装，直到水位到达先前记录的位置； 然后分批称出石块的质量，并叠加得出总质量。这个总质量即等于大象的质量。曹操非常高兴，按照他说的方法称出了大象的质量。
在这个故事中，石块作为测量的基准物，其质量是可知的。基准物与大象质量的比对是间接进行的，依据浮力原理将大象的质量映射为一个可见的投影——水位到达船舷的位置记录（划痕），然后再与基准物的投影（水位线）重合即可得知两者质量相同。
这个故事完全可以和阿基米德与王冠的故事媲美。
曹冲所在的年代比阿基米德（公元前287—前212）晚，但那个年代中国与古希腊没有什么文化与技术交流，因此这两个故事说明中国人曾独立地发现了浮力原理。但阿基米德是古希腊哲学家、数学家、物理学家、科学家，而曹冲那时只是一个孩童。由此推测，中国民间对浮力原理早有认识和运用。
2. 海岛算经
《海岛算经》是三国时代魏国景元四年（公元263年）数学家刘徽所著的测量学著作，原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展，名为《九章重差图》，附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来，单独成书，因第一题是测量海岛的高和远而取名为《海岛算经》，是《算经十书》之一。
《海岛算经》中所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可即的目标的高、深、广、远。全书共9题，见图1.1。


图1.1《海岛算经》的9道题

第一题“望海岛”问题的原文如下： 
今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？ 答曰： 岛高四里五十五步； 去表一百二里一百五十步。术曰： 以表高乘表间为实； 相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者： 以前表却行乘表间为实； 相多为法。除之，得岛去表里数。
将这个二次测量问题翻译如下： 
假设测量海岛，立两根表高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一水平上。从前表退行123 步，人目着地观测到岛峰； 从后表退行127步，人目着地观测到岛峰。问岛高多少？岛与前表相距多远？答案： 岛高4里55步，距离前表为102里150步。
说明1： 古时所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸； １里＝180丈=1800尺，1丈=10尺，1步=6尺，1尺=10寸。
说明2： 该测量问题的关键是建立了岛高测量的数学模型（测量方程，见第2章），其量值的求解归结为一个二元一次方程组。这在今天是个很普通的数学问题与方法，但在将近2000年前的时代，这是极其高超的算术技巧。其真正深刻的意义在于，《海岛算经》在所有九种测量问题中普遍使用测量的数学模型，这种思想方法在今天也是了不起的创举。
《海岛算经》在唐代传入朝鲜、日本。最早向西方介绍《海岛算经》的是19世纪来华传教士伟烈亚力，他于1852年在《北华捷报》发表的论文《中国数学科学札记》（Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics）中介绍了《海岛算经》，说此书是“一部关于实用三角学的九个问题”。1913年，日本数学史家三上义夫在其英文著作《中国与日本数学的发展》中译出头三则问题。1932年，法国数学家 L.van Hee 翻译《海岛算经》全文。1986年，澳大利亚华人数学家洪天赐和美国数学家弗兰克·斯委特兹将《海岛算经》全文翻译成英文。此外还有日文翻译本和俄文翻译本。
在公元3世纪，刘徽在《海岛算经》运用二次、三次、四次测望法，是测量学历史上领先的创造。中外学者对《海岛算经》的成就，给予很高的评价。《海岛算经》的英译者和研究者，美国数学家弗兰克·斯委特兹，在比较西欧测量学从古代希腊、罗马直到文艺复兴时期的发展，认为希腊测量术，重点在测量器具的运用，而其数学水准远不如刘徽的《海岛算经》； 直到文艺复兴时代，才勉强达到《海岛算经》的水准。他还指出，17世纪初意大利来华传教士利玛窦和中国徐光启合著的《测量法义》，并未能达到或超越《海岛算经》。他的结论是： “中国在数学测量学的成就，超越西方世界约一千年”。
3. 工程与历史事件
在中华文明的历史中，还有无数重大的工程技术成就与重大历史事件，都与测量学的成就与发展有密切的关系。
秦始皇在统一中国的过程中，秦国军事力量的强大，不仅仅在于政治与经济方面有坚强的后盾，而且在测量技术及其军事运用方面也远远领先于世界。例如，从考古挖掘中发现，秦国当时箭头的（关键兵器部件）生产是分布在千里之遥的若干处地点，但各兵工厂生产的箭头在尺寸、质量、流线形状等方面都有严格的一致性。甚至箭头制造所用的铜材在金属品质上也是高度一致的。此外，秦人的弩机制作都采用了标准化规格，以便战场上可以互换。毫无疑问，兵器制造规格的标准化，必然以高超的测量技术和严格的计量标准为前提。专家推测，秦人的标准化，是从几百年的测量知识的有序积累、通过几百年的战争实践中优选出来的。秦人将优选兵器的标准固定，国家再通过法令将这些技术标准发放到所有兵工厂。可以想象，当时的兵工厂中，必然配置了一大批测量和检验技术人员。尽管这些标准还很粗糙，但在两千多年前，秦人执著于统一标准，就是为了保证战士能够使用最优秀的武器。
由此可进一步推测，当时的民用测量技术水平也一定非常先进，例如建筑工程中普遍使用的测量技术，尤其是秦始皇在统一中国之后所建造的阿房宫。我们有充分理由对阿房宫的建筑工程充满美好的设想。
秦始皇在统一中国之后，一个重大的历史举措就是统一度量衡。毫无疑问，这对中国此后两千年中封建社会的测量技术与理论的统一和发展具有决定性的推动作用。
对于同时代完成的水利工程奇迹——都江堰，我们也有理由推断其中对测量技术的高超运用。这包括地形的测绘、江水流量的测量（评估）等。
中国古代在天文学测量方面同样创造了辉煌的成就，例如天文学时间测量，包括预测日食、月食、潮汐等，并且与中国历法的准确制定紧密联系在一起。
此外，还有一系列以实物仪器形式保留下来的测量技术成果，例如日晷、地震仪等。
1.2.2埃及古代的测量学
公元前十几世纪，人类从铜器时代过渡到铁器时代，社会生产力大大加快，社会财富增加，也刺激了商业贸易。由于社会经济生活的需要，人们越来越多地要计算产品的数量和劳动时间的长短，测定建筑物的大小和丈量土地的面积等，这就推动了量的概念和测量技术的形成，也逐渐形成了数的概念，并产生了关于数的运算方法。由于田亩度量和天文观测的需要，促进了几何学的初步发展。
古埃及是世界上社会与文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸。尼罗河定期泛滥，通常自7月中旬开始，淹没全部谷地。11月洪水逐渐退落，土地上遗留着肥沃的淤泥。正月，在松软的土壤里播种，湿润的土地很容易耕种，并有丰富的收成。
这片土地上的经济收入，构成了古埃及人的社会生活基础。土地的公平分配，必然成为古埃及社会安定的首要因素。而年复一年的土地丈量，则形成了最古老的测量学，并由此从埃及催生出原始的几何学，而希腊人又从那里学到了它。
历史学家一般都承认古埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后土地的重新测量。希罗多德（Herodotus，公元前484—前424）是古希腊的大历史学家，被称为“历史之父”。他在公元前5世纪访问过埃及，根据他搜集的资料和从祭司们所得到的报道，可以肯定土地丈量、测量、几何学三者之间的渊源关系。
此外，埃及的法老都要为自己建造庄严的陵墓。埃及第四王朝（约公元前2900年）以后，法老的陵墓都改成了现在举世闻名的金字塔。其中，库夫金字塔是最大的一个，原高146.5m，基底正方形每边长233m。根据现代人的研究，金字塔底边长度的误差只有1.6cm，是全长的1/14000； 基底直角的误差只有12″（角秒），是直角的1/27000。金字塔的四个面正向着东西南北，底面正方形两个边与正北的偏差，一个仅仅是2′30″，一个是5′30″。
能够在几千年之后保留如此精密的测量结果，我们不得不惊叹古埃及人高超的测量技术水准。
埃及人的测量技术（操作工具与过程）现在已经无法考证了，但其技术成果可以从金字塔中得到了具体的再现。而古埃及人的数学认识水平，则可以从两本用象形文字写成的纸草书得到考证。一本是伦敦本，一本是莫斯科本。伦敦本也叫做莱因特纸草书，是埃及僧人阿默士（Ahmes，约公元前1700—前1550）所著，记载了作者之前千余年以来（可能追溯到大金字塔时代）的一些数学问题。书名是《阐明对象中一切黑暗的、秘密的事物的指南》。全书分三章： 一是算术，二是几何，三是杂题； 共有题目85个； 大概是当时的一种实用手册。莫斯科本纸草书的年代大约是公元前1850年。上面载有25个问题，可惜缺失卷首，不知书名。
金字塔和纸草书作为古埃及文明的两个典型见证。一个是物质文明，可以准确体现其测量技术水准； 一个是文化典籍，可以具体再现其数学水平。为什么测量学没有留下典籍？这倒是个很有趣的问题。直观的推测是因为测量的操作性（主要属于体力劳动），基本上是平民、工匠、甚或是奴隶的任务，而地主、官员、贵族或僧侣最多是去做些测量规划、设计、计算或测量结果记录之类的事。数学作为一种高尚的思维或者说是精神文明，极可能由文化人用文字记录下来。而文字、数字这种抽象文化元素，一般劳动者是不懂或者不允许学习的。这样，测量过程和方法也就难以留下文字记录了。珍视和保留典籍通常也不是贫民的必要，而通常是贵族和官员的嗜好。此外，测量毕竟是与具体事物对象打交道，而测量操作的过程也相对复杂多样； 在测量成为社会生活的必要常识后，测量的知识可以通过匠人和劳动者世代口头传承。在古埃及那个时代，记录和书写是一件极其不便，或者是极其奢侈的事，而测量的知识又很难描述，没有典籍存留下来也就是一件必然的事了。
将测量技术体现的物质成果与数学著作中的测量计算问题合起来，可以说古测量学在古埃及人那里就已经存在了。
1.2.3数学发展与测量学
恩格斯在《反杜林论》中用下面的话说明数学的起源： “数学是从人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。”
1. 相辅相成
我们之所以说古测量学在古埃及早已存在，而且进一步强调测量是数学的起源，是因为古测量学与古典数学从诞生时就是密不可分的。它们分别侧重于一个方面，测量学更关注量的具体概念与具体数值，而数学更强调数与形的理论纯粹性和计算方法。
提到古典数学，就不得不提到古希腊的几何学。这里要特别提到德谟克利特（Democritus，约公元前460—前370），他不仅是数学家、哲学家，而且有关于物理、气象、动物和美学的丰富著作，是（数学）原子论学派的创始人，是几乎达到百岁高龄的知名学者。他到过东方旅行，在埃及住过，并说自己在作图和证明方面超过了埃及的测量者（harpedonapt）。一个骄傲和严谨的希腊哲学家，一个在希腊数学鼎盛时期，受数学家尊敬的大数学家，他说自己超过了埃及的测量者，还只是在数学作图和证明方面超过了一个测量者。可见，这个埃及的测量者的学问非常了不起。数学史书中不说他是数学家，也不说他是哲学家，由此说明他只能是一个测量学家。所以测量学不仅在古埃及存在，而且其理论水平达到相当的高度。
上面提到数学的“作图”和“证明”两个谓词，我们有理由从埃及的测量者那里推测它们与古测量学之间的关系。作图，很可能与测量方法或测量设计有关； 而证明，则很可能与量值的存在性有关。
数学，是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。作图，不仅是古典几何学的特征体现，而且也是描述概念和演绎问题的基本手段。而证明命题，是希腊几何学的基本精神，也是数学史上的一件大事。从此数学由具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段。数学经过这样根本性的变革逐渐形成一门独立的、演绎的科学（这大概也是古典数学与古测量学由合到分的开始）。
2. 分道扬镳
在历史上，数学有过种种定义。“数学是量的科学”这个古老的定义，可以追溯到古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）。在这个古老的定义中，我们还看不出数学与测量的差别。如果我们说测量学是关于量和测量的概念、方法与技术的学问，那么古埃及时期的数学更像是测量的方法学。
关于数学的定义，最惹人注目并常被引用或受到抨击的是“罗素定义”。罗素（1872—1970）是英国数理哲学家，他的概念是： “纯粹数学完全包含这样的论断，如果某命题对于某些事物是真的，那么另外的某命题对于那些事物就是真的。它根本不讨论第一个命题是否确实是真的，也不管所假定的那些事物是否是真的……如果我们的假设是关于一般事物而不是某些特殊事物的话，我们的推论就构成了数学。这样的数学就可以定义为一种科目，我们绝不知道其中说的是什么，也不知道所说的是真还是假。”
其实，“罗素定义”还是反映了数学的一个本质侧面，这也可以解释数学与测量学区分开来的必然性，也说明了历史上数学与物理学分裂开来的必然性。
在希腊古典数学的历史上，数学的纯粹性特质曾经有过一系列惊人的表现。
数学的纯粹性在毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582—前500）学派时期甚至变成了数学神秘主义。该学派企图用整数来解释一切，不仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。这个学派是一个宗教、科学和哲学性质的帮会，是个正式的学派组织，会员人数是限定的，并由领导人传授知识，会员对所学知识要保密。这个学派的一切发明都归功于学派的领袖，而且对外秘而不宣。该学派认为宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比，相传一个叫做Hippasus的会员发现了2这种无理数，于是他被丢进了海里，因为他发现的这个东西否定了早期毕达哥拉斯学派的理想信条。但证明2是无理数也是该学派给出的。倡导和坚持数学研究抽象概念，这种认识肯定要归功于毕达哥拉斯学派，而发现无理数则为希腊数学提出了一个中心问题，也是整个数学史上一项重大发现。由于该学派曾经持续了两个多世纪，对希腊数学乃至对世界数学的影响都是巨大的，所以我们有理由相信测量学在这个时期几乎彻底与数学脱离了。这毫无疑问是测量学发展中最具颠覆性的历史转折。一个与数学相辅相生、并以数学为其理论支撑的学科，就像一块园林突然失去了主要水源，它的生长势必陷入困境。
柏拉图（Plato，公元前427—前347）是古希腊伟大的哲学家，曾跟随苏格拉底学习，这与他日后将几何奠基在逻辑的基础上很有关系。柏拉图在教学中为科学奠定了基础，坚持准确的定义、清楚的假设和逻辑的证明。他对数学有很大的功劳，在他的倡导下，柏拉图学派中产生了不少数学家。柏拉图学派过于崇尚概念的纯粹性和理论的逻辑严密性，这对数学的深入发展肯定是一件好事，但有一件事说明这种纯粹理性进一步导致了测量学与数学的格格不入。Eudoxus和Archytas曾一度是柏拉图的学生，在天文、几何、医学等方面都有值得称道的成就，也是高度受人珍视的机械技能的首创人。他们善于运用机械仪器来巧妙地说明几何真理，使人看了一目了然便能信服。但是柏拉图愤怒地谴责他们，说仪器的使用只是搞坏和消灭了几何学的一个优点（理性），使其如此可耻地不顾纯理智的抽象对象，而恢复到感性，并卑躬屈膝，丧尽尊严地求助于物质（指仪器）。由于这种谴责，结果使力学和数学分了家。这大概是物理学（力学）和数学分道扬镳的最明显的一个历史节点。可以想象，以古测量学的感性外延特质，遭到希腊古典数学的漠视自然是情理中的事。
正因为如此，本章将“测量的有限性原则”作为测量的第二个约定，希望弥补测量在理想与感性现实之间的差距，以便合理地使用数学原理，在理论基础上重新建立测量学与数学之间的天然联系。
3. 紧密联系
但是，数学和测量学的联系一直是数学发展的重要源泉。
十六七世纪，欧洲封建社会开始解体，资本主义社会逐渐兴起，生产力大大解放。由于资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学急速向前发展。例如在航海方面，为了确定船只位置，需要更加精密的天文观测。军事方面，弹道学成为研究的中心课题。准确计时器的制造，也吸引着许多优秀的科学家。运河的开凿、堤坝的修筑、行星的椭圆轨道理论等，也都需要很精密的测量和很多很复杂的计算。由此推动了测量理论与技术进入了新的发展时期，而以微积分学为代表的数学也进入了崭新的时代。
20世纪四五十年代，伴随着原子弹、计算机、卫星这三大发明，科学实验的范围和规模空前扩大，现代科学日益趋向定量化，各个科学技术领域都需要使用测量技术和数学工具。另一方面，现代科学技术研究的对象日益超出人类的感官以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。以长度单位为例，小到1飞米（femtometer，毫微微米，即10-15m），大到1百万秒差距（3258000光年）。这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验，越来越多地要依靠理论计算的引导。
为了进一步说明希腊古典及近代几何学（包括欧几里得几何、笛卡儿解析几何）与测量学的密切关系，依照克莱因（Felix Klein，1849—1925）的观点，通常的初等几何是研究图形经刚体变换后仍保持不变的性质之学，所以称做刚体几何学，或度量几何学（metric geometry）。我们知道英文词metrology的含义是计量科学、度量衡学等，该词的词根与metric是一致的。因此，几何学与测量学的文化渊源是值得我们追溯的。
4. 历史必然
我们无法尽数测量学与数学的历史关系，因此用一个著名数学家和他的重要历史贡献来说明测量学与数学的密切联系。
约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813），法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学3个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题（木星的4个卫星的运动问题），为此又一次于1766年获奖。很显然，上述两个问题，既是力学与天文学问题，但也是典型的测量学分析问题。也许正是基于这方面原因，他在1786年接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此作出了巨大的努力。
度量衡统一问题显然属于计量学的范畴，一个数学家为其作出重大贡献，足以说明数学与测量学的密切关系。
1.3量的概念
测量，作为一种以实践为基础的认识，应该理解为动词。完整的含义是： 我们将“量” “测”出来。在这个行为过程中，目标是“量”，操作是“测”； 作为行动的结果，“量”是“测”出来的结论。因此，测量的前提是量的存在性，测量的结果是量的明确性（定量性和确定性）。那么，到底什么是“量”？
量的概念来自于人的认识，是人类祖先在逐渐强大过程中社会公平意识推动的必然结果。由于人类的社会性，我们可以推测人类远祖在食物分配时的情景，假设集体的采集收获是一堆苹果，果实大小自然不能相同，这就需要选择一个典型的苹果样板作为基准物，然后逐一判断苹果大与小之间的比例关系，以便进行公平分配。这样，无论是评估尺寸大小、还是判断质量大小，量值的概念也就自然而然地产生了。随着生产物资逐渐丰富，量值的概念和作用也就渗透到了社会生活的各个方面。至于如何形成统一的量值观念，我们无法确知其详细过程，但可以推断这个过程相当漫长，也许是几千年、几万年乃至百万年。
按我们今天的观点，人类祖先关于量的概念肯定很原始、很粗糙，但最重要的是量的概念就像文化基因一样已经根植于人类的基本认识，是现代测量的文化根源。
1.3.1量的定量性
定量性是量的内涵属性。
为了理解量的概念和定量属性的含义，下面介绍量和量值的基本概念。
1. 量的概念
量是阐述探索自然界物质运动规律的一个最重要的基本概念。在中华人民共和国国家计量技术规范文件《通用计量术语及定义》（JJF 1001—1998）中有如下定义： 
量（quantity）： 现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。
量在测量学中的完整称谓是——可测量的量（measurable quantity）。
术语“量”可指一般意义的量或特定量。一般意义的量如长度、时间、质量、温度、电阻、物质的量浓度等，特定量如某根棒的长度，某根导线的电阻，某份酒样中乙醇的浓度等。
可相互比较并按大小排序的量称为同种量。若干同种量合在一起可称为同类量，如功、热、能，厚度、周长、波长。
由此定义可知，被研究的对象是自然现象，也可以是物质本身。一方面，如我们通常所理解的那样，量的具体意义是指大小、轻重、长短等概念； 另一方面，量的广义含义是指现象、物体或物质的定性区别，即可以把量区别为长度、质量、时间、温度、硬度和电流等。
2. 量的表示
为了说明量的表示方法，我们介绍量值、量纲、真值等一组相关的术语。
在《通用计量术语及定义》（JJF 1001—1998）中有如下定义： 
（1） 量值（value of a quantity）
定义： 一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。
（2） 计量单位（unit of measurement）
定义： 为定量表示同种量的大小而约定地定义和采用的特定量。
（3） 量的数值（numerical value of a quantity）
定义： 在量值表示中与单位相乘的数。
（4） 无量纲量（dimensionless quantity）
定义： 在量纲表达式中，其基本量量纲的全部指数均为零的量。