Introduction to Operations Research 第1章 绪论 1.1运筹学的起源 产业革命以来，组织的规模和复杂性有了显著的增长。早些时候的小作坊已经演变成今天的大规模公司。结果是显而易见的，这个革命性变化的一个组成部分就是组织中劳动和管理职能的分配有了巨大的增长。然而，在这个增长中产生了新的问题，而且是在许多组织中存在的问题。其中一个问题是组织的各个部门都有发展成具有自己目标和评价系统的、相对独立的部门的趋势，因而各个部门的行动和目标就有可能与组织的整体目标相矛盾。对一个部门是最好的做法对另一个部门常常是有害的，因此各部门的目标可能会发生冲突。另一个问题是，随着组织复杂性和特殊性的增长，对于组织来说，如何最有效地分配有用资源给不同部门将变得越来越困难。这些问题需要找到一个好的方法来解决。在这样的需求环境下，产生了运筹学（operations research,OR）这一学科。 现代运筹学的起源可以追溯到几十年前在某些组织的管理中最先试用科学手段的时候参考文献2提供了一直追踪到1564年的一段有趣的历史，它描述了1564—1935年的影响后来运筹学发展的大量科学贡献。。然而，现在普遍认为，运筹学的真正活动是从第二次世界大战初期的军事任务开始的。当时迫切需要把各项稀少的资源以更有效的方式分配给各种不同的军事作业及在每一作业内的各项活动，所以英国及随后美国的军事管理当局都号召大批科学家运用科学手段来处理战略与战术问题。这实际上是要求它们对各种（军事）作业进行研究，这些科学家小组就是最早的运筹小组。这些小组创造的有效使用雷达工具的新方法，对英国空军在战役中取胜发挥了重要作用。通过研究如何更好地管理护航和反潜作业，这些小组在北大西洋舰队反潜战中发挥了重要作用。在之后的太平洋岛屿的战役中也发挥了同样的作用。 　　战争结束后，运筹学在战争中获得的成功引起了在军事行业以外的其他行业应用运筹学的兴趣。第二次世界大战结束后的工业复苏时期，由于组织内与日俱增的复杂性和专门化所产生的问题，人们认识到这些问题基本上与战争中所面临的问题类似，只是具有的现实环境发生了变化，运筹学就这样被引入工商企业和政府部门，在20世纪50年代以后得到了广泛的应用。 另外，至少还有两个因素对运筹学的飞速发展起到了重要作用。一是在改进运筹学方法方面有了实质性的进步。战后许多参加过运筹学小组或者听说过这项工作的科学家都主动对相关领域进行研究，这直接推动了运筹学方法在技术上的巨大进步。1947年，George Dantzig提出了用单纯形法求解线性规划问题的一般数学模型。20世纪50年代末，运筹学的许多基本理论和工具都已形成，比如线性规划、动态规划、排队论和存储论。 　　另一个重要因素来自电子计算机革命对促进运筹学发展所带来的巨大冲击。运筹学中的复杂问题通常需要有效地处理大量的计算工作，手工完成这项工作显然是不可能的。借助计算机的能力完成数学计算要比手工计算快几千倍甚至几百万倍，因而计算机的发展对运筹学研究起到了极大的促进作用。20世纪80年代个人计算机及相关软件的快速普及推动了运筹学的进一步发展，这都使运筹学更易于被人们大量地所使用。今天，已有数百万人使用运筹学软件，大量的计算机包括大型机和家用计算机被用来解决运筹学问题。 第1章绪论 运筹学导论 1.2运筹学的性质 正如它的名字所蕴含的，运筹学包含了运作研究的意思。因而，运筹学主要应用于引导和调整一个组织内的工作。事实上，运筹学被广泛地应用于各个领域，比如制造业、运输业、建筑业、通信业、金融业、卫生保健、军事领域和公共服务业等。因而运筹学的应用范围是非常广泛的。 运筹学的第一个特征是它运用的研究方法类似于已有的科学领域所采用的科学方法。在相当大的程度上，科学方法被用于对所关注的问题进行调查（事实上，管理科学有时被当作运筹的同义词）。运筹学的运算过程开始于仔细的观察和阐明问题，同时收集所有相关数据； 接下来构建一个可以概括真正问题本质的数学模型； 然后假设这个模型可以充分精确地表示问题的本质特征，并且从模型中获得的结论也是有效的； 最后用适当的案例来验证这种假设，并且按照需求调整，并最终证明这种假设是正确的（这一步通常被称为模型的验证）。因而，在某种意义上，运筹学包括对业务的基本特性进行创造性的科学研究。然而，运筹学所涉及的内容远不止这些，运筹学还参与组织的实际管理。因而，为了成功，运筹学也必须为决策者提供他们所需要的正确的、易于理解的结论。 　　运筹学的第二个特征是它的广泛视野。正如上一节所述，运筹学着眼于组织整体的利益。因而，运筹学试图用一种方法解决组织中各成员利益的冲突以实现整个组织的最优。这不仅意味着每个问题的研究都要清楚地考虑到组织的所有部分，而且所要实现的目标必须与组织的整体利益保持一致。 　　运筹学的第三个特征是它常常会考虑寻求问题的最优解。它的目标是确定最可行的运作过程，而不是简单地改善现状。虽然它会根据管理的实际需要被详细地解释，但在运筹学中寻求最优解是一个重要的主题。 　　上述特征很自然地导引出运筹学的另一个特征。众所周知，没有任何一个人可以是运筹学工作各个方面的专家，这就需要一群具有不同背景和技能的人才。因此，当执行一个新问题的运筹学研究时，利用一个小组的方式通常是十分必要的。这样一个运筹学小组需要包括受过以下高级培训的人才： 数学、统计学、概率论、经济学、工商管理、计算机科学、工程学、物理学、行为科学以及运筹学的专业技巧。这些团队也需要有必要的经验和各种技能，以适当地考虑贯穿整个组织的许多分支问题。 1.3运筹学的影响 运筹学对于提高全球许多组织的效率都有很大影响，同时，运筹学在提高各国的生产率方面也起到了重要作用。国际运筹学联合会（IFORS）目前有几十个成员国，每个国家也有自己的运筹学会。亚、欧两洲都有自己的运筹学联合会，分别举办国际会议和出版国际学刊。运筹学与管理科学学会（INFORMS）是一个国际性的运筹学社团。在它出版的多种刊物中，有一名为Interfaces的刊物，定期发表一些运筹学研究的成果及其对各类组织带来的效益。 为了更好地了解运筹学的广泛应用，我们在表1.1中列举出了一些实际应用的例子。注意表中前两列显示了组织和应用的多样性，第3列为对应的应用案例所在的章节。案例提供了该项应用的一个简短描述，在其参考文献的相关文章中还将提供详细的研究内容（你可以在本节中看到这些应用案例中的第一个），最后一列指出这些应用带来的每年成百万美元的节约额。需要指出的是，很多附加的效益未在表中列出（例如对顾客服务的改进和管理的改善），并且还需考虑比财务节省更重要的事（你将在习题1.31~1.33中有机会考虑这些不能明显看到的效益）。有关这些应用的详细描述的文章可以从本书网站（www.mhhe.com/hillier）中找到。 表1.1在应用案例中描述的运筹学的应用 组织应用的领域所在节每年的节约额 /百万美元 联邦快递物流计划和运输1.3未估算 大陆航空公司 当原有计划安排被打乱时重新分配航班的机组人员2.2 40 Swift公司改善销售与制造业绩3.112 纪念斯隆·凯特琳癌症研究中心放射治疗的设计 3.4 459 联合航空公司对机场和后备部门职员的工作计划安排3.46 Welchs公司原材的搬运和优化利用3.60.15 三星电子缩减制造时间和存贮量4.3增收200 太平洋木材公司森林的长期生态管理6.7净利润398 宝洁生产与分配系统的重新设计8.1200 加拿大太平洋铁路铁路货运的日常安排9.3100 联合航空公司当计划被打乱时重新对航班分配飞机9.6未估算 美国军方“沙漠风暴”中的后勤计划10.3未估算 续表 组织应用的领域所在节每年的节约额 /百万美元 新西兰航空公司航空公司机组的安排11.26.7 塔可钟安排餐厅雇员的工作计划11.513 废品管理建立一个废品收集与处理的日常管理系统11.7100 工人银行建立投资咨询的决策支持系统12.131 西尔斯安排内部服务和货物运送的车辆、路线13.242 ConocoPhillips公司石油勘探项目评价15.2未估算 工人补偿委员会管理具有高风险的残疾理赔和康复的费用15.34 西屋电器研究与发展项目的评估15.4未估算 美林公司管理信用流程变动对流动性的风险16.2流动性超4000 标致雪铁龙指导高效率汽车装配厂的设计过程16.8利润增加130 科凯国际集团改进银行出纳员的服务效率17.620 通用汽车提高生产线效率17.990 迪尔公司对整条供应链进行存货管理18.5存贮减少1000 时代公司对杂志分配渠道的管理18.7利润增加3.5 第一银行公司管理信用卡的信用流程和利率19.2利润增加75 美林公司对提供金融服务的价格分析20.2收入增加50 美国电报电话公司呼叫中心的设计与运营20.5利润增加750 虽然大部分运筹学的日常研究提供比表1.1中应用要小得多的效益，但表1.1中最右端的列正确地反映了大型的计划完善的运筹学的研究有可能带来的重要影响。 应 用 案 例 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 联邦快递（Federal Express FedEx）是世界上最大的快递公司。每个工作日，联邦快递都要将超过650万件的信件、包裹及其他货物递送到美国各地及全世界的220多个国家或地区。在一些特殊情况下，有些货物要保证在第二天早上10:30之前送到目的地。 要提供这种服务，物流面临巨大的挑战。每天的递送过程中，这些上百万件的货物要单独分拣，正确地运送（通常是用飞机），并在规定的极短时间内递送到准确的目的地（通常是用汽车）。这一切是如何办到的呢？ 运筹学是驱动该公司的技术引擎。自从1973年联邦快递成立以来，运筹学就一直在帮助该公司制订主要的经营决策，包括设备投资、路径结构、调度、融资及设备布局。由于在公司早期应用运筹学真正节约了大量成本，负责运筹的人参加每周的高级管理会议已经成为一种惯例。实际上，一些高级公司副总裁也是从表现出色的联邦快递运筹团队中提升起来的。 联邦快递已经成为世界级的公司。在每年财富杂志公布的“全球最受尊敬的公司”中，联邦快递均会位列前几名。该公司还是声望最高奖——现在称为INFORMS奖，每年它被用来表彰将运筹学以开创性的、变化的、新颖的及持久性的方式有效地、反复地应用于组织决策制订的公司——的首位获得者（1991）。 资料来源： R. O. Mason, J. L. McKenney, W. Carlson, and D. Copeland: “Absolutely, Positive Operations Research: The Federal Express Story,” Interfaces, 27(2): 17-36, March-April 1997. （以下网址提供本文的链接： www.mhhe.com/hillier.） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1.4算法和运筹学课程软件 本书的很大一部分都讲述了运筹学的主要算法，以解决一定类型的问题。有些算法是非常有效率的，一般可处理含数百或数千个变量的问题。书中将介绍如何使用算法工作，并使它们更有效率。然后，你将通过计算机使用这些算法来解决不同的问题。本书网站（www.mhhe.com/hillier）上提供的运筹学课程软件是完成上述工作的一个重要工具。 运筹学课程软件的一个特征是它包含一个名为OR Tutor的程序。该程序是帮助你学习算法的家庭教师。它由许多案例组成，以显示和解释这些算法，这些案例是对书上例子的补充。 运筹学课件还包括一个名为IOR Tutorial的用Java语言编写的专用软件包。这个创新的软件包专门用来提供学生们使用本书的学习经验。当你集中学习和运用算法的逻辑性时，计算机会完成全部常规的计算。这都补充了书中的案例，而且你会发现这些互动的程序是一个求解许多家庭作业问题的有效方法。IOR Tutorial也包括其他很多有用的程序、一些自动执行算法的程序和一些提出如何解决随问题数据变化的算法的图解展示程序。 实际上，算法通常由商业软件包来执行。让学生们熟悉软件包的种类是很重要的，以便他们毕业后可以更好地使用这些软件包。因此，IOR专用软件包括以下三种普遍使用软件包的有用材料。这些软件包将会帮助你有效地求解书中几乎全部的运筹学模型。由于书中有几个原有的软件包不适用的案例，我们还在运筹学指导软件中增加了自己的自动运算程序。 Microsoft Excel是一个当今普遍使用的重要的电子表格包，它用电子表格的格式来建立小的运筹学模型。然后Excel Solver（或者是这个插件的一个加强版，比如运筹学课件包括的对于教育用的Premium Solver）被用来求解模型。你的运筹学课件基于较新的Excel 2007，包括书中几乎所有章节的Excel文件。每章提出一个使用Excel求解问题的案例，该章的Excel文件给出了完整的电子制表软件规范和解决方案，并对书中的许多模型提供了一个包括求解模型的所有必要方程的Excel模板。本书网站也提供了一些Excel插件。 　　虽然已过了许多年，LINDO和LINGO仍然是受欢迎的运筹学软件包。现在，LINDO和LINGO的学生版本可以从网络上自由下载。运筹学课件也提供了这个学生版本。对于Excel，每次可以用这个软件解决一个案例，在运筹学课件每章的LINGO/LINDO文档里都提供了所有细节。 　　CPLEX是一个尖端的软件包，已经被广泛应用于解决高难运筹学问题。在处理这种问题时，通常使用一个建模系统来有效表达数学模型然后将其输入计算机。MPL是一个用户界面友好型的建模系统，它使用CPLEX作为主要求解工具。但是还有其他很多求解工具，包括LINDO，CoinMP（在4.8节中介绍），CONOPT（在12.9节中介绍），LGO（在12.10节中介绍）和BendX（求解某些随机模型时使用）。MPL的学生版及最新的CPLEX及其求解工具的学生版可以通过付费的方式从网站下载。为了方便，运筹学课件也包括了这个软件。在相应的章节里，运筹学课件在MPL/CPLEX文档里详细解释了刻意求解的案例。 我们将在后文更详细地描述这三个软件包，并介绍如何使用它们（特别是第3章、第4章结尾处）。附录1还提供了运筹学课件的文件，包括OR Tutor和IOR Tutorial。每章习题开始处有说明，习题题号左边有标记或部分有标记的（包括示范性的或具交互式过程）提示会很有帮助。 本书网站中包含了每章的词汇表。 参考文献 习题 1.31从表1.1中选择一个应用运筹学的例子，仔细阅读其应用运筹学研究的文章（从表中第3列所示年份的Interfaces的1月~2月号查找）。然后写一篇应用运筹学及其好处（包括非经济利益）的总结(篇幅为两页)。 1.32从表1.1中选择3个应用运筹学的例子，仔细阅读表中第3列给出的应用案例中所提示的应用运筹学研究的文章。然后对于这3个例子分别写一篇应用运筹学及其好处（包括非经济利益）的总结(篇幅为一页)。 1.33阅读1.3节中完整描述运筹学应用的文章及概要归纳的应用案例，列出上述研究的所有财务与非财务的效益。 Introduction to Operations Research 第2章 运筹学建模方法综述 本书的大部分篇幅被用来阐述运筹学的数学方法。这种写法是非常恰当的，因为这些数学定量技术构成了运筹学的主体。然而，这并不意味着实际的运筹学研究主要是数学练习。事实上，数学分析通常只代表研究总工作量相对较小的一部分。本章的目的是通过对典型运筹学研究所有主要阶段的描述，得到一个全局性的概念。 以下是概括运筹学研究常见（且相互重叠的）阶段的一种方式。 1. 定义感兴趣的问题并且收集相关数据。 2. 构建表示问题的数学模型。 3. 开发一个计算机程序，通过它从模型中求得问题的解。 4. 检验模型，如果有必要，对模型进行调整。 5. 根据管理层的要求，准备模型的后续应用。 6. 实施。 以上每个阶段将在以下各节中依次讨论。 每章末的参考文献包括一些获奖的运筹学研究成果，这些成果提供了如何执行上述6个步骤的优秀例子。我们将这些例子分散在各章中，假如你想从这些获奖应用中学到更多东西，相关论文请查阅本书网站www.mhhe.com/hillier。 2.1定义问题和收集数据 与教科书中的例子相反，运筹学研究团队遇到的大部分实际问题最初是以模糊的、不精确的方式被描述出来的。因此，首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确说明。详细来说，这包括确定合适的目标、实际操作的约束、被研究领域和组织的其他领域间的相互关系、其他可能的行动路线、制订决策的时间限制等。问题定义过程是至关重要的，因为它对研究结论的意义有重大影响。从“错误”的问题中，很难得出“正确”的答案。 首先要认识到，一个运筹学研究团队通常扮演顾问的角色。并没有一个现成的问题在那里等着团队成员，然后让他们用某一种方法来解决它。相反，他们为管理层提供建议（通常是向某个关键的决策者）。团队对问题进行详细的技术分析，然后向管理层提供建议。通常，向管理层提供的报告包含多个候选方案，在不同的假设条件下或者是在一些只能由管理层来评价的政策参数（如成本与收益之间的折中）值的不同范围上颇具吸引力。管理层评价该项研究以及由它提出的建议，考虑各种无形因素，基于最佳判断做出最终的决策。因此，团队和管理层步调一致是非常重要的，包括从管理层的角度确定“合适”的问题，并且使研究进行的方向得到管理层的支持。 第2章运筹学建模方法综述 运筹学导论 确定合适的目标是问题定义一个非常重要的方面。为了做到这一点，首先需要确定真正对所研究的系统做出决策的管理层成员，然后查明该管理人员对相关目标的想法（从一开始就让决策者参与进来，对于获得他对实施这项研究的支持也是很重要的）。 由于运筹学的特点，它关心的是整个组织而不仅是它的特定部分的福利。运筹学寻求对整个组织最优的解决方案，而不是那些只对部分最好的次优方案。因此，理想化的目标应该是整个组织的目标。然而，这并不总是很方便的。很多问题只涉及组织的一部分，因此如果表述的目标太宽泛或者考虑到对组织其他部分的所有副作用，那么分析将变得不实用。相反，用于研究的目标应该尽可能明确，而且它们仍能够包含决策者的主要目标并且与组织更高层次的目标保持一定程度的一致性。 对于营利性组织，避免局部最优化的可行方法是使用长期收益最大化作为唯一的目标（考虑到金钱的时间价值）。“长期”一词表明这个目标具有灵活性，以考虑那些不能马上带来收益但是最终值得做的行动（例如，研究和开发项目）。这个方法具有相当大的优点。这样的目标充分明确，能够被方便地使用，而且看起来也足够宽泛到能够涵盖营利组织的基本目标。事实上，有人相信，其他所有合理目标都能够被转换成这个目标。 然而，真实的情况是很多营利组织并不使用这个方法。针对美国企业的大量研究发现，管理层趋向于采用满意利润目标与其他目标相结合的方式来代替长期收益最大化。其他目标通常包括维持稳定收益、增加（或者维持）市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高工人士气、维持对企业的家族控制以及提高企业声望等。实现这些目标可能实现长期收益最大化，但是这些关系是非常不明显的，可能很难将它们融入单一的目标。 另外，存在包含与营利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。在单个国家内的商业企业一般涉及五方： ①所有者（股东等），渴望赢利（分红、股票增值等）； ②雇员，期望合理工资水平上的稳定雇用； ③客户，期望以合理价格获得可信赖的产品； ④供应商，期望企业守信并且自己的产品能以合理的价格出售； ⑤政府以及国家，期望公正的税收和顾及国家利益。所有五方都对企业做出重大贡献，企业不应该被看成任何一方剥削其他方的专有工具。出于同样的原因，跨国企业负有采用对社会负责的手段的额外责任。因此，尽管我们承认管理层的主要责任是赢利（最终所有五方都获利），我们注意到其更广泛的社会责任也必须被承认。 通常，运筹学研究团队会花费大量的时间收集问题的相关数据。大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。很多时候，许多数据在研究的开始阶段并不能被获得，可能是因为数据从来就没有被保存或者是被保存的数据过时了，或者是以错误的形式保存的。因此，经常需要安装新的基于计算机的管理信息系统，得以经常地、按所需的形式收集数据。运筹学研究团队一般需要组织中其他关键人员的辅助，来追踪所有的重要数据。即使付出了这样的努力，很多数据仍然是非常“不精确的”，只是基于粗略的猜测。因此，运筹学研究团队需要花费大量的时间来提高数据的准确度，然后使用可能获得的质量最好的数据。 近几年来，随着数据库的大量使用，以及它们爆炸式的容量增长，运筹学研究团队通常会发现，现在最大的数据问题并不是所获得的数据太少，而是拥有太多的数据。可能有成千上万的数据源，数据总量将以千兆字节甚至是万亿字节为单位来计算。在这样的环境下，定位相关数据以及确认这些数据中令人感兴趣的模式，会变成一项不可承受的任务。运筹学研究团队的新工具之一——数据挖掘（data mining），可以用来解决这个问题。数据挖掘方法在大型数据库中搜索可能产生有用决策的有用模式（本章参考文献2提供了有关数据挖掘的进一步背景）。 例 20世纪90年代后期，全方位服务的金融服务企业受到收取极低交易费用的电子经纪企业的威胁。美林公司为此进行了一项庞大的运筹学研究，如何将基于对资产完整服务按资产值固定百分比收费的方案，拆分为完全按服务内容收取较低费用的方案。这里数据收集和处理起到关键作用。为了分析各个客户行为对不同方案的影响，运筹学工作组需要组合200千兆字节客户的数据库。数据库中含有500万客户、1000万个账户、1亿单交易和2.5亿条底账记录，这些需要从大量产品的数据库中经过合并、过滤和清理得到。对这项研究建议的采用带来了一年增加近500亿客房资产的吸引量和近8000万美元的收益。（参考文献A2详细描述了这项研究） 2.2数学建模 在决策者的问题被定义之后，下一阶段就是将这个问题以容易分析的形式进行表示。传统的运筹学方法主要是建立表示问题实质的数学模型。在讨论怎样建立这类模型之前，我们首先对模型性质做一个普遍性的探讨，并且对数学模型的性质进行特殊的探讨。 模型或者理想化表示是日常生活的一个组成部分。常见的例子包括模型飞机、肖像、地球仪等。类似地，模型在科学和商业领域中起到了重要作用。例如，原子模型、遗传结构模型、描述物理运动定律或者化学反应的数学等式、地图、组织图以及工业会计系统等。这些模型在抽象问题本质、表明相互关系以及促进分析等方面的价值是无法估量的。 数学模型也是理想化的表示，但是它们采用数学符号和表达式来表示。物理定律，例如F=ma和E=mc2是熟悉的例子。类似地，商业问题的数学模型，是描述问题实质的等式和相关数学表达式的系统。因此，如果要制订n个相关的可量化的决策，可以将它们表示成决策变量(decision variables)（x1,x2,…,xn），其中各个变量值需要被确定。效果（例如，收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P=3x1+2x2+…+5xn）。这个函数被称为目标函数(objective function)。任何对决策变量值的约束也能够用数学方法表示，一般是通过等式或者不等式（例如，x1+3x1x2+2x2≤10）。这些用于限制的数学表达式通常被称为约束(constraints)。约束和目标函数中的常数（也就是，系数和右端的常数项）被称为模型的参数(parameters)。因此，数学模型可能指出，问题是在特定约束下选择最大化目标函数的决策变量值。这类模型以及它的轻微变体代表了运筹学中常用到的模型。 确定模型参数的合适赋值（一个参数一个值）是模型构建过程中重要的以及具有挑战性的部分。与教科书中参数值被预先给定的问题相反，确定现实问题的参数值需要收集相关数据。正如前面小节所讨论的，收集准确的数据通常是困难的。因此，参数的赋值通常必然只是一个粗略的估计。由于参数真实值的不确定性，分析模型解怎样随着参数值的变化而变化是重要的。这个过程通常被称为敏感性分析（sensitivity analysis），将在下一节（以及第6章的大部分）中进一步讨论。 虽然我们指的是商业问题的数学模型，但是现实问题通常不只有单一的“正确”模型。2.4小节将描述验证模型的过程怎样产生一连串的模型，提供对问题越来越好的表示，甚至有可能建立两个或者多个完全不同类型的模型，帮助分析相同的问题。 在本书的其他部分你将会见到大量的数学模型例子。在接下来的几章中，所研究的一类特别重要的模型是线性规划模型（linear programming model），该模型中的目标函数和约束都是线性函数。在第3章中建立的线性规划模型适合以下各类问题： ①最大化收益的产品组合的确定； ②放射性疗法的设计，在有效杀死肿瘤的同时最小化对周围健康组织的影响； ③最大化整体纯收益的农作物面积的分配； ④以最小成本实现空气质量标准的污染消除方法的组合。 数学模型与对问题的口头描述相比，具有很多优势。其中之一就是数学模型以更为准确的方式描述了问题。这使得问题的整体结构更为全面，并且帮助揭示重要的因果关系。这样，模型更清楚地表明了什么样的数据与分析相关，促进了以整体方式处理问题，以及同时考虑所有的相互依赖关系。最后，数学模型架起了高性能数学技术和用于分析问题的计算机之间的桥梁。确实，可用于个人计算机和大型计算机的软件包已经被广泛地用于求解很多数学模型。 然而，在使用数学模型时需要避免一些错误。模型是问题的理想化抽象。因此，如果想要使问题能够被求解，一般需要进行近似和简化假设。必须注意确保模型是对问题的有效表示。判断模型有效性的正确准则是模型是否以充分的准确度预测候选行动的相对效果并允许合理地决策。所以没有必要包括对所考虑的候选行动具有大致相同影响的不重要的细节或者因素。只要效果度量的相对值（也就是，它们值之间的差）充分准确，甚至没有必要在各种可能路线中要求它们的绝对大小大概正确。因此，所需的是模型的预测与现实世界真实发生的情况具有高度的相关性。为了确认这个需求是否被满足，有必要进行合适的检验以及对模型进行调整，这将在2.4小节进行讨论。虽然这个检验阶段被放在本章的后面，但是模型验证的大部分工作实际上是在模型构建的过程中进行的，帮助引导数学模型的建立。 在建立模型时，一个好方法是从非常简单的模型开始，然后以演化的方式逐渐产生更为精炼、更为近似地反映现实问题复杂性的模型。只要保持模型能够被求解，模型充实过程可不断持续。但需要不断考虑模型准确性与模型可求解性之间的折中（对这个过程的详细叙述可参考本章参考文献8）。