1.1基本概念

微分方程是联系自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的等式，其中未知函数的导数或微分必须出现在等式中.当未知函数只依赖于一个自变量时，相应的微分方程称为常微分方程，当未知函数是多元函数时，相应的微分方程称为偏微分方程.微分方程在物理学、化学、生物科学、工程科学甚至社会科学中有着广泛应用，有些学科的基本方程就是微分方程或微分方程组.在物理学中常见的微分方程有



dsdt=v(t)，dvdt=a(t)，(运动方程)(1.1.1)

d2sdt2+αdsdt+k2s=fsinωt，(振动方程)(1.1.2)

v+mdvdm=v2，(火箭的质量与速度的关系)(1.1.3)

d2ydx2=wH1+dydx2，(悬索线方程)(1.1.4)

d2dx2EJ(x)d2wdx2=q(x)，(梁的挠度方程)(1.1.5)

2ux2+2uy2+2uz2=0，(静电场的电势方程)(1.1.6)

ut=a22ux2+2uy2+2uz2，(热传导方程)(1.1.7)

2ut2=a22ux2+2uy2+2uz2，(波动方程)(1.1.8)

D4ux4+24ux2y2+4uy4=q(x，y)，(板弯曲方程)(1.1.9)

ut-6uux+3ux3=0，(浅水波方程)(1.1.10)

iqz+122qt2+|q|2q=0(非线性
薛定谔（Schrdinger）方程)(1.1.11)

等各种形式.

容易看出上述微分方程中(1.1.1)~(1.1.5)是常微分方程； 而方程(1.1.6)~(1.1.11)是偏微分方程.





微分方程中待定函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.n阶常微分方程的一般形式为


F(x，y，y′，y″，…，y（n）)=0(1.1.12)


或


y（n）=F(x，y，y′，y″，…，y(n-1)).(1.1.13)


其中F是它所依赖的n+2(n+1)个变量的已知函数.像方程(1.1.13)这样已经就最高阶导数解出的微分方程称为正规型微分方程.而称形如方程(1.1.12)的方程为隐式微分方程.

如果待定函数和它的各阶导数都独立地以一次的形式出现在方程的各项中，即方程(1.1.12)和方程(1.1.13)中的F可以写成y的各阶导数的线性组合形式，则这种微分方程称为线性的，正规型n阶线性常微分方程的一般形式为 


y（n）=a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+…+an-1(x)y′+an(x)y+f(x).

(1.1.14)


含有n个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为


∑ni，k=1Aik2uxixk+∑ni=1Biuxi+Cu=f，(1.1.15)


其中Aik，Bi，C，f都只是自变量x1，x2，…，xn的函数，与待定函数u无关.两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为


A(x，y)2ux2+B(x，y)2uxy+C(x，y)2uy2+D(x，y)ux

+E(x，y)uy+F(x，y)u=f(x，y).(1.1.16)



方程(1.1.14)~(1.1.16)中的f称为“外源”项，如果f≡0，称相应的线性微分方程为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程.

在本节开始列出的微分方程(1.1.1)~(1.1.11)中的方程(1.1.1)，(1.1.2)，(1.1.5)~(1.1.9)都是线性微分方程，而方程(1.1.3)和(1.1.4)是非线性常微分方程，方程(1.1.10)和(1.1.11)是非线性偏微分方程.

设I是一个区间，函数y=φ(x)在I上有定义，而且有直到n阶导数，如果对任意x∈I，有


F(x，φ(x)，φ′(x)，φ″(x)，…，φ（n）(x))=0，(1.1.17)


或


φ（n）(x)=f(x，φ(x)，φ′(x)，φ″(x)，…，φ(n-1)(x))(1.1.18)


成立，则称φ(x)是微分方程(1.1.12)或(1.1.13)的解.y=φ(x)在xOy坐标平面内代表的曲线称为积分曲线.



最简单的微分方程y′=f(x)的求解就是已知导数求原函数的问题.推而广之，微分方程的解是通过积分(不定积分)求得的，有一阶导数需要积分一次，出现一个任意常数.所以一般来说，n阶常微分方程的解中含有n个任意常数，即


y=φ(x，C1，C2，…，Cn)，(1.1.19)


其中C1，C2，…，Cn为任意常数.

微分方程解中独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同时，称这种解为微分方程的通解或一般解.

由于通解中含有任意常数，所以它不能完全地反映特定客观事物的规律性，必须确定这些常数的值.为此根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这些条件有时是以初始条件(比如运动学问题中的初始位移和初始速度)给出，有时是以边界条件(比如已知曲线通过一个定点)给出.初始条件和边界条件统称为定解条件.由定解条件定出常数后的解称为微分方程的特解.

求解满足初始条件的微分方程问题称为初值问题或柯西（Cauchy）问题； 求解满足边界条件的微分方程问题称为边值问题，在偏微分方程中还有要求既满足边界条件又满足初始条件的问题，称为混合问题.

例如微分方程(1.1.12)的初始条件可以写成


y(x0)=y0，y′(x0)=y1，…，y（n）(x0)=yn-1.(1.1.20)


1.2几何解释

微分方程理论问题的基本源泉主要有两个，一个是物理和技术科学，另一个是几何学.因此从物理与几何直观的角度来理解我们要讨论的问题，是非常重要的.

考虑一阶正规型微分方程


dydx=f(x，y).(1.2.1)


我们把x和y看成是一个平面上的直角坐标，并设方程(1.2.1)的右端函数f
(x，y)在这平面上的某个区域D内有定义.过这区域内的每一点，方程(1.2.1)解的图像的切线斜率显然就等于函数f(x，y)在这点上的值.假设在区域D内的每一点，都画上以f(x，y)在这点的值为斜率，并且一律指向x增加方向的有向线段，我们就说在区域D上做出了一个由方程(1.2.1)确定的方向场.这个方向场称为由微分方程(1.2.1)所确定的向量场.于是，方程(1.2.1)的一个解y=φ(x)，从几何上看就是位于此方向场中的方程为y=φ(x)的曲线.它在所经过的每一点都与方向场在该点的方向相切，或者形象地说，就是始终顺着方向场中的方向行进的曲线.因此，求方程(1.2.1)满足初值条件y(x0)=y0的解的问题，就是求通过点(x0，y0)的这样的一条曲线，这条曲线称为积分曲线.这样一个事实对于用数值方法求解微分方程(1.2.1)是非常重要的.因为当方程(1.2.1)不可解时，就可以根据向量场的走向来求近似的积分曲线，同时还可以根据向量场本身的性质来研究解的性质，而不必求出微分方程的解.这正是近似解法和定性理论的基础.这一直观的认识可以表述为下面的定理.


定理1.2.1曲线C为微分方程(1.2.1)的积分曲线的充分必要条件是： 在C上任意一点，C的切线与方程(1.2.1)所确定的向量场在该点的向量相重合.C在每一点均与向量场的向量相切.

证明必要性.设C为方程(1.2.1)的积分曲线，且其方程为y=φ(x)，则函数y=φ(x)为微分方程(1.2.1)的一个解，于是，在其定义区间上有


φ′(x)≡f(x，φ(x)).


上式左端为C在点(x，φ(x))的切线的斜率，右端恰为方程(1.2.1)的方向场在同一点(x，φ(x))的向量的斜率.从而，C在点(x，φ(x))的切线与方向场在该点的方向重合.又因为上式为恒等式，这说明上述说法在整个曲线C上成立.

充分性.设有曲线C，其方程为y=φ(x)，在其上任意一点(x，φ(x))，它的切线方向都与微分方程(1.2.1)的方向场的方向重合，则切线与向量的斜率应该相等.于是，在y=φ(x)有定义的区间上，有恒等式


φ′(x)≡f(x，φ(x)).


这个等式说明y=φ(x)为微分方程(1.2.1)的解.从而C是积分曲线.

例1.2.1在区域D={(x，y)||x|≤2，|y|≤2}内画出微分方程


dydx=-y


的向量场和几条积分曲线.

解用计算各点的斜率的方法在1×1的网格点上画出向量场的方向.逐点计算各点的斜率，所得的数据列成表1.2.1.


表1.2.1方程y′=-y在1×1网格点上的斜率



点斜率点斜率点斜率点斜率点斜率

（-2，-2）2（-2，-1）1（-2，0）0（-2，1）-1（-2，2）-2
（-1，-2）2（-1，-1）1（-1，0）0（-1，1）-1（-1，2）-2
（0，-2）2（0，-1）1（0，0）0（0，1）-1（0，2）-2
（1，-2）2（1，-1）1（1，0）0（1，1）-1（1，2）-2
（2，-2）2（2，-1）1（2，0）0（2，1）-1（2，2）-2



根据表1.2.1的数据，逐点描出方向场在网格点上方向，得到的向量场如图1.2.1所示.从图1.2.1可以看出，当y<0时，积分曲线的斜率为正，而当y>0时，积分曲线的斜率为负，当y=0时，积分曲线的斜率为零.即y=0本身就是一条积分曲线.但由于网格太少，要画出其他积分曲线就很困难.用计算机软件Maple可以帮助我们解决这个问题.输入如下Maple命令并回车，就得到如图1.2.2所示的向量场图形，并给出了过点(-2，2)，(-2，1)和(-2，-2)的三条积分曲线.

DEtools［phaseportrait］ 

(［diff(y(x)，x)=-y(x)］，y(x)，x=-2..2，［［y(-2)=2］，［y(-2)=1］，［y(-2)=-2］］，dirgrid=［17，17］，arrows=LINE，axes=NORMAL)； 




图1.2.1




图1.2.2







例1.2.2画出微分方程dydx=x2-y的向量场的图形和几条积分曲线的图形.

解还是在以原点为中心的矩形


D={(x，y)||x|≤2，|y|≤2}


内画方程的向量场和积分曲线，输入下列Maple命令： 

DEtools［dfieldplot］

(［diff(y(x)，x)=x䥺SymbolYCp2-y(x)］，y(x)，x=-2..2，y=-2..2，dirgrid=［9，9］，arrows=LINE，axes=NORMAL)； 

就得到方程向量场的示意图(图1.2.3（a）)； 再输入如下Maple命令： 

DEtools［phaseportrait］

(［diff(y(x)，x)=x䥺SymbolYCp2-y(x)］，y(x)，x=-2..2，［［y(-2)=1.3］，［y(-2)=1］，［y(-2)=-2］］，dirgrid=［33，33］，arrows=LINE，axes=NORMAL)； 

就得到方程向量场和几条积分曲线(图1.2.3（b）).



图1.2.3



例1.2.3对于微分方程


dydx=x2+y2，


试分别绘出经过点(0，0)，0，-12，12，12的积分曲线.

解输入Maple命令如下：

DEtools［phaseportrait］

(［diff(y(x)，x)=x䥺SymbolYCp2+y(x)䥺SymbolYCp2］，y(x)，x=-1.2..1.2，［［y(0)=0］，［y(0)=-1/2］，［y(1/2)=1/2］］，dirgrid=［15，15］，arrows=LINE，axes=NORMAL)； 


得积分曲线图见图1.2.4.

例1.2.4绘出方程


dydx=1+xy


的积分曲线图.

解输入Maple命令

DEtools［phaseportrait］

(［diff(y(x)，x)=1+x*y(x)］，y(x)，x=-1.2..1.2，［［y(-1/2)=4］，［y(1)=-1］，［y(-1)=1］］，dirgrid=［15，15］，arrows=LINE，axes=NORMAL)； 

得积分曲线图见图1.2.5.




图1.2.4




图1.2.5






1.3微分方程论简介

常微分方程理论，作为数学的一个重要分支，所研究的问题是多种多样的.不言而喻，求出微分方程的解是微分方程论的首要问题之一.



如前所述，如果能找出微分方程通解的形式，就有可能适当地选定其中的任意常数，获得所需要的特殊解； 就有可能通过这种表达式，讨论解对某些参数(这些参数在应用上往往表征某些物理特征)的依赖性，从而适当地选取这些参数，使得对应的解具有所需要的性能.当然也会有助于进行关于解的其他研究.因此，在微分方程发展的古典时期，数学家们曾经把主要目标放在求通解上.但是后来却发现大多数微分方程都求不出通解，而物理和力学上所提出的微分方程问题又大都是要求满足某种指定条件的特殊解，即所谓定解问题的解.这就迫使人们改变原来的想法，而把定解问题的研究提到重要的地位.

柯西和魏尔斯特拉斯（Weierstrss）就是采用了这种观点，差不多在同一时期，在很一般的条件下，解决了当时常微分方程论中的一个基本问题——初值问题解的存在性与唯一性.在这以前，除了若干能求出通解的简单情形外，一个微分方程是否有解这一点并不明确，也完全没有证明过.
柯西和魏尔斯特拉斯正是在增添若干适当的定解条件(初始条件)后，才明确地证明解的存在性与唯一性.


因为能用初等方法求解的微分方程为数甚少，所以，微分方程的近似解法就显得十分重要.求不出精确解而只能求出近似解这个事实，可能使人们感到不满意，但是随着计算机的高速发展，首先，至少在原则上，这种近似解可能达到很高的精确度； 其次值得强调指出的是，用来描述各种物理过程的微分方程本身以及实验测定的定解条件本身就具有一定的误差.在推导微分方程时，只能考虑那些决定物理过程的主要因素，而略去一些次要因素不计.这种抽象化，不仅在导出微分方程时是不可避免的，而且从解决问题的角度看也是必要的.不这样做，就会使问题复杂化，有时甚至使问题不可能得到解决.

因此，无论从微分方程的求解，还是从整个微分方程理论的建立来看，解的存在唯一性定理都是最基本的.很明显如果解根本不存在，要去求它，或者近似求它，问题本身就是没有意义的.有解而不唯一，要去确定它或者近似地确定它，问题也是不明确的——不知道要确定哪一个解.因此解的存在唯一性定理就是求解或近似求解的前提和基础.更何况存在唯一性定理的证明往往同时又提供近似求解的方法.实际上，解的存在唯一性定理是整个微分方程理论中最基本的定理.

在微分方程理论中，同样重要的问题是解的各种属性的研究.

上面说过，对于描述物理过程的微分方程来说，定解条件和方程本身都只能是近似的，定解条件和方程本身有了变化，对应的解一般也跟着变化.这种变化的程度怎样？会不会当定解条件和方程本身变化很小时，对应的解会发生强烈的变化呢？这些都是微分方程论应该回答的问题.

特别是关于解的各种渐近性质的研究.比如在有关天体力学的微分方程中，就是要求当时间t→∞时解的性状.

在很多重要的问题中，要求不只是研究单个解的性质，而是要确定整族解的定性分布图形，也就是研究整族解的几何与拓扑性质.

因此，在求不出微分方程通解的情形下，根据微分方程本身的结构，讨论其解的各种属性，成为微分方程论的重要任务之一.



1.4常微分方程发展简史与相关著名科学家简介
1.4.1常微分方程发展简史

微分方程差不多是和微积分同时产生的，在牛顿和莱布尼茨奠定微积分的基本思想的同时，他们也就正式提出了微分方程的概念.

从17世纪末到18世纪，许多著名数学家，例如伯努利(家族)、欧拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等，都遵循历史传统，把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题.在这些问题中通常离不开常微分方程的求解法.到1740年左右，几乎所有的求解一阶微分方程的初等方法都已经知道.1728年，欧拉的一篇论文引进了著名的指数代换将二阶常微分方程化为一阶方程，开始了对二阶常微分方程的系统研究.1743年，欧拉给出了二阶常系数线性齐次方程的完整解法，这是高阶常微分方程的重要突破.1774—1775年间，拉格朗日用参数变易法解出了一般二阶变系数非齐次常微分方程，这一工作是18世纪常微分方程求解的最高成就.在18世纪末，常微分方程已成为有自己的目标和方向的新的数学分支，成为当时工程技术、物理、力学等学科的基本工具之一.后来法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.

对18、19世纪建立起来的众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转向证明解的存在性，这也是微分方程发展史上的一个重要转折点.最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西，18世纪20年代，他给出了常微分方程的第一个存在性定理.这个时期正是整个数学科学进入一个理论上严格化的发展阶段，柯西给微积分学注入了严格的要素，同时也为微分方程的理论奠定了一个基石——解的存在
唯一性定理.

刘维尔在1841年证明了大多数微分方程不能用初等积分方法求解.因此，从19世纪后半叶开始，常微分方程的研究在两个大的方向上开拓了新局面.第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论，它是由柯西开创的.柯西之后，解析理论的重点向大范围转移，到庞加莱(J.H.Poincare，1854—1912)与克莱因(F.Klein，1849—1925)的自守函数理论而臻于巅峰.庞加莱在1824—1884年间建立了这类函数的一般理论.

另一个崭新的方向，也可以说是微分方程发展史上的又一个转折点，就是定性理论，它完全是庞加莱的独创.庞加莱由对三体问题的研究而被引导到常微分方程定性理论的创立.他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起着关键作用，在讨论各种奇点附近的性状的同时，还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如极限环、无接触环等.在数学科学中，极限环具有重要意义，科学技术和实际社会活动也都强烈要求对极限环进行研究.

庞加莱关于在奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究，在1892年以后被俄国数学家李雅普诺夫发展到高维一般情形而形成专门的“运动稳定性”分支，他提出的李雅普诺夫函数和李雅普诺夫指数概念意义极为重要.李雅普诺夫的工作使微分方程的发展呈现出一个全新的局面.

19世纪末期，由庞加莱和李雅普诺夫分别创立的常微分方程的定性理论和稳定性理论，代表了当时非线性力学的最新方法.

进入20世纪，在众多应用数学家的共同努力下，常微分方程定性理论的发展更加拓广了它的应用范围，并深入到机械、电信、核能、火箭、人造卫星、生物、医学及若干社会学科(如人口理论、经济预测等)的各个领域.现在微分方程已成为当今数学中最具有活力的分支之一.


现在，常微分方程已经成为对一些运动过程、运动规律进行描述和研究的必要途径，其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，自然界的许多运动现象，例如宏观的地球围绕太阳周期运动，微观的原子中的原子核和中子的运动等都可以用微分方程来描述.微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、改造社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.用微分方程的知识研究自然现象(如物理现象、生物现象)是现代数学科学研究中最重要的方法之一.

1.4.2对微分方程发展有重要贡献的数学家简介




牛顿(Newton，1642—1727)，伟大的英国数学家、物理学家、天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数 (微分) 术，次年又提出反流数(积分)术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.



莱布尼茨(Leibniz，1646—1716)，德国数学家、哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人，他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中，有的早于牛顿，所用微积分符号也远远优于牛顿. 他还设计了做乘法的计算机，系统地阐述二进制计数法，并把它与中国的八卦联系起来.


雅各布（第一）·伯努利(Jakob Ⅰ Bernoulli，1654—1705)，瑞士数学家，他家祖孙三代出过十多位数学家. 1694年他首次给出了直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，1695年提出了著名的伯努利方程，1713年出版了他的巨著《猜度术》，这是组合数学与概率论史上的一件大事，书中给出的伯努利数在很多地方有用，而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外，他对双纽线、悬链线和对数螺线都有深入的研究.


约翰（第一）·伯努利(Johann Ⅰ Bernoulli，1667—1748)
，雅各布的弟弟，原来他错选了职业，他起先学医，并在1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的.但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题.1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅各布死后继任巴塞尔大学教授.1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题： “设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”

这就是著名的“最速降线”问题.它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数(曲线)，来满足所给的条件.这个问题的新颖和别出心裁引起了科学家们很大的兴趣，洛必达、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答.