第 1 章 粘性流动的基本概念与方程 本章将阐述粘性流动粘性流动（viscous flow）的一些基本概念，并以圆柱绕流和管道流动为例说明粘 性流动的特点及其与理想流动理想流体流动的本质性差异。最后导出粘性流动的基本方程式——纳维斯托克斯方程。 1.1粘性流体流动 1.1.1引言 人类在上古时代使用的武器从石块和棍棒发展到流线型的矛和带有羽毛的箭，说明人类对粘性流体的阻力已经早有认识并在实践中加以应用。但是对流体粘性理性的认识则可以说是从1687年牛顿牛顿（Isac Newton,1642—1727）著名的粘性流动试验开始。牛顿发现了几乎所有的普通流体，像水与空气等，其阻力与流速梯度成线性关系。为了纪念牛顿，这样的流体称为牛顿流体。 历史上，流体力学一直沿着理论的和实验的两个不同的途径发展。理论流体力学由于1755年欧拉欧拉（Leonhard Euler,1707—1783）方程的提出，对于不考虑粘性的理想流体流动（ideal fluid flow）的理论解已逐渐达到完美的程度。遗憾的是理想流动的解往往与试验结果和真实流动相差甚远，以至相反。1752年，达朗贝尔达朗贝尔（Jean Le Rond dAlembert,1717—1783）发表了著名的达朗贝尔佯谬达朗贝尔佯谬（dAlembert paradox），指出在一个无界、理想不可压缩流体中，物体作匀速直线运动时的阻力为零。稍后拉普拉斯拉普拉斯（PierreSimon Laplace,1749—1827）、拉格朗日拉格朗日（JosephLouis Lagrange,1736—1813）等人把理想流体运动的研究推向了新的高峰。但是，达朗贝尔佯谬的结论对从事实际工程的工程师来说是无法接受的，工程师们为了解决生产和技术发展中提出的流体运动问题而发展了高度经验性的一门流体力学的分支——水力学水力学（hydraulics）。 理论流体力学进一步的发展是自1821年开始，纳维纳维（ClaudeLouisMarieHenri Navier,1785—1836）等人考虑将分子间的作用力加入到欧拉方程中去。1845年斯托克斯斯托克斯（George Gabriel Stokes,1819—1903）将这个分子间的作用力用粘性系数μ表示， 并 正式完成了纳维斯托克斯方程，最终建立了粘性流体力学的基本方程，奠定了近代粘性流 体力学的基础。但是，由于方程式的非线性，解此方程，在数学上碰到了很大的困难。因此 ，一直到19世纪末，理论的和实验的流体力学仍然各自独立地发展。 粘性流体力学（第2版） 第1章粘性流动的基本概念与方程 20世纪初，德国工程师普朗特普朗特（Ludwig Prandtl,1875—1953）由于提出边界层 理论（boundary layer theory）而对流体力学，特别是粘性流体力学的发展做出了卓越的贡 献。普朗特提出在雷诺数很大的情况下，粘性的作用主要局限在绕流物 体或其他流动边界的固体壁面附近很薄的一层流动中，这个薄层称为边界层边界层（boundary layer）。边界层外部流 动则 可按理想流动处理。这一设想在一定程度上克服了粘性流动求解中的数学困难。为解决流动 阻力和能量损失这样重大的粘性流动问题提供了一条重要途径。边界层理论的提出也使理论和实验完美地统一起来 ，从而使流体力学的两个分支——理想流体力学和水力学逐渐结合和统一，使流体力学得到 划时代的发展。 在诸多工程领域中，航空工程是首先应用边界层理论并在技术上取得重大突破的领域。随后 造船、化工、机械等工程领域也都得益于边界层理论。近年来边界层理论也开始应用于解决 水利、水电、环境及土木工程中的流动问题。 现代大型电子计算机的飞速发展，使计算流体力学得到很快的发展，已经成为解决粘性流动 问题的重要手段。高新技术的发展也使得在流体力学研究中的实验技术和量测仪器日新月异 。激光、超声、电子技术、图像采集与处理技术均已逐渐得到广泛应用。这些都为人类进一 步深入观测和探索流动现象，特别是精细的、机理性的研究提供了强有力的手段。理论、计 算和实验方法的结合正在不断地推动着流体力学取得新的突破。 当今世界面临的重大全球性问题中，全球气候变化问题、水资源短缺、 环境保护、 防灾减灾、空天利用、海洋开发等无不与 流体力学有着密切的关系。相信在解决这些重大问题的过程中，粘性流体力学也会得到更加迅 速的新发展。 1.1.2粘性流动举例 为了说明粘性流动与理想流动的不同，并充分认识粘性流动的复杂性，首先研究二维圆柱体 的绕流。 均匀流动绕过半径为r0的二维圆柱是一个经典流体力学问题。对于不可压缩理想流体，圆 柱绕流的精确解是均匀流与偶极子的叠加，流速分布用右手柱坐标（r,θ,z）表示为 ur=U∞cosθ1-r20r2（1 1） uθ=-U∞sinθ1+r20r2（12） 式中，U∞为无穷远处未受扰动扰动的来流流速； ur为径向流速； uθ为圆周向流速，以 逆时针方向为正。这种流动的流线可见图11。 图11圆柱绕流 在圆柱表面，即r=r0处， ur=0 uθ=-2U∞sinθ（13） 可见在圆柱表面上流体与固体表面之间存在相对速度，即滑移滑移（slip）。圆柱壁面压强可 由伯努利伯努利（Daniel Bernoulli,1700—1782）方程“p+ρu22=常数”得到 p=p∞+ρ2U2∞（1-4sin2θ）（14） 式中，p∞为无穷远处未受扰动流场的压强； ρ为流体密度。或用无量纲压强系数压强系数（pr essure coefficient）Cp表示为 Cp=p-p∞12ρU2∞=1-4sin2 θ（15） 由图11可看出流动的对称性。由式（15）及图12均可看出压强分布也是对称的。因此圆 柱体所受到流体压强的合力在x方向和y方向均为零。圆柱体在流动方向没有产生阻力。这是达朗贝尔 佯谬的一个特殊形式。 图12中还给出了粘性流体中圆柱绕流在不同雷诺数雷诺数（Reynold number）时柱表面压强系数Cp的分布。可以看 出对于粘 性流体，流动甚为复杂。随着雷诺数Re=U∞dν（d为圆柱直径，ν为 流体的 运动粘度） 的不同，绕流压强分布也不同。但 图12圆柱绕流的压强分布［1］［2］ 本书中的插图凡引自其他文献或书籍，均在图中或图题后注明。引 自参 考书（参考书目附在本书最后）者用圆括弧（）标明其序号。引自参考文献（均列在每章最后）者 用方括弧［］标明其序号。作者在这里向有关出版者和作者表示感谢。本书中多次引用H.Schlichting所著Boundary Layer Theory一书中的插图，已蒙McGrawHill出版社慨允， 特此致谢。 它们与理想流动有一个共同的区别在于粘性流动中圆柱体 的背流面Cp为负数。例如在下游驻点θ=0°处，理想流动压强系数Cp=+1，而层流层流时C p=-1.1，紊流紊流时当Re=8.4×106，Cp=-0.7，而当Re=6.7×105时，Cp=-0.1，均为负数。背流 面压强小于迎流面压强，压强分布在流动方向上的不对称使圆柱受到流体给它的阻力，这个阻力称为压强阻力，阻力方向指向下游。由于绕流物体的压强分布与绕流物体形状有关，因此压强阻力也称为形状阻力形状阻力（form drag）。 进一步的研究表明，圆柱表面的粘性流体流动在靠近尾部的某个区域将产生边界层分离边界层分离（separation），从而形成圆柱体下游一个由旋涡组成的尾流区尾流区（wake region），如图13所示。尾流区的流动性质随雷诺数Re=U∞dν的变化而有所不同。图14为霍曼霍曼（F.Homann）［3］1936年的试验结果。当雷诺数很小时为层流尾流尾流。随着雷诺数的增加在圆柱体表面产生边界层，边界层的分离使在圆柱体表面上下两侧产生旋涡的分离并形成尾流中的卡门涡街卡门涡街（Krmn vortex street）。当雷诺数不断增大，尾流中旋涡的形式不规则并破碎，演变为紊流尾流。圆柱的阻力如图15所示。可以看出当雷诺数Re很小（Re<0.5）时，阻力系数阻力系数（drag coefficient）CD=D12ρU2∞A（D为阻力，ρ为流体密度，A为圆柱的迎流面积）将服从斯托克斯定律。此时阻力主要由圆柱壁面粘性切应力切应力形成，是为摩擦阻力摩擦阻力（friction drag），它与来 流速度U∞成线性关系，CD数值相当大，这种流动称为蠕动蠕动（creeping motion）。随 着雷诺数的增加，柱面附近的流动形成层流边界层流动。在Re≈5时产生边界层的分离，由 柱面压强分布不对称所引起的压强阻力在总阻力（圆柱表面摩擦阻力与压强阻力之和）中所占 的比例大大增加。当Re≈200时尾流中形成卡门涡街，此时压强阻力占总阻力的90%左右 ，阻力系数开始与雷诺数无关，而是与U∞的平方成正比。 图13粘性流体中圆柱绕流 图14不同雷诺数时圆柱绕流的尾流变化［3］ 图15圆柱绕流阻力规律（23） 当Re=3×105时发生所谓阻力危机阻力危机（drag crisis）的现象，这是由于在这个雷诺数附近 时边界层流动由层流转变为紊流。形成紊流边界层后，分离推迟，分离点向下游移动从而使 尾流 区缩小，因而压强阻力大大降低，总阻力也相应降低的缘故。在Re=5×105时CD降至0. 3左右。如果来流紊流度较高或柱面比较粗糙，则阻力危机提前发生。 绕流物体的阻力问题在流体力学的发展史中是一个引人感兴趣的问题。古希腊哲学家亚里士 多德亚里士 多德（Aristotle,公元前384—前322）曾经认为绕流物体尾部的负压可使空气冲入 从而推动 物体前进。这当然是一个错误的观点。法国科学家迪·比亚迪·比亚（Du Buat,1734—1809）发 现绕流物体的阻力，与其说主要是决定于物体迎流面形状的影响，不如说主要是决定于物体 尾部的形状，因为尾流中的负压是形成阻力的重要原因。迪·比亚这一正确论断在当时并不 被人们所理解。直到边界层理论提出后才从理论上与实践上使圆柱绕流阻力这一历史疑案得 到真正的解决。 由这个例子可以看出理想流动与粘性流动的明显不同。它们的流谱流谱（flow pattern）、流速 分布、壁面压强与切应力均有很大区别。而且粘性流动表现得更为复杂多样。同样的流动边 界可随雷诺数的不同而有着不同的流谱、流速分布、压强分布、阻力规律、层流与紊流边界 层的形成及其与绕流物体壁面的分离、尾流的形成与发展等。 另一个典型的流动是圆管流动。粘性流体自水罐中稳定地流入圆管，由于流体粘性在管壁附 近形成边界层流动。边界层厚度顺流向逐渐增加，并由层流边界层层流边界层（laminar boundary la yer）经过转捩转捩（transition ）发展为紊流边界层紊流边界层（turbulent boundary layer）。当边界层厚度发展到管道中心， 整个管道中均成为边界层流动。 再经过一个短距离的调整，形成“充分发展紊流充分发展紊流”（fully developed turbulent flow） ，此后管道内的流速分布剖面将不再变化，如图16（b）所示。由管道进口到充分发展 紊流（或称充分发展管流充分发展管流，fully developed pipe flow）这一段称为进口段。 图16圆管流动 A—层流边界层； B—转捩段； C—紊流边界层 D—调整段； E—充分发展紊流； A+B+C+D —进口段 可以想见如果是理想流体，则流动情况将十分简单。管内各点流速均应相同，如图16（a）所示。 在管道进口段粘性流动中，存在一个不受粘性影响的流动区域，称为势流核势流核（potential f low core）。 1.1.3流体的粘性 对流体粘性研究的一个最重要的结论就是粘性把流动中流体的应力与变形速率联系起来。牛 顿最初由平行平板间粘性流动的试验得到 τyx=μUh（16） 图17平行平板间粘性流动 如图17所示，τyx表示法线为y方向的平面上x方向的切应力，μ为流体的粘性系数，也 称粘度粘度（粘性系数）（viscosity）。它取决于流体的种类、温度和压强。对于工程中经常遇到的流动状态而言，压强对粘度的影响可以忽略。上层平板以速度U相对于下层平板运动，通过粘性带动两板之间的流体形成一个u（y）的流速分布。 μ的单位可由式（16）导出： ［μ］=N·sm2≡Pa·s 式中，Pa为应力单位，相当于N/m2，即1m2面积上受到1 N力的作用。式（16）用局部参数表示的形式为 τ=μdudy（17） 上式称为牛顿切应力公式。在粘性流体力学中经常用到另一个表示流体粘性的系数ν： ν=μρ ν称为运动粘性系数，或称运动粘度运动粘度（kinematic viscousity），单位为m2/s。实验表明，液体的粘度μ 随 温度的升高而迅速减小。液体密度随温度升降的变化甚微，因此液体的运动粘度也随温度的 升高而减小； 气体的粘度随温度变化的规律则表现出相反的趋势。 日常生活和工程实践中最常遇到的流体其切应力与剪切变形速率符合式（17）的线性关系， 称为牛顿流体牛顿流体（Newtonian fluid）。切应力与变形速率不成线性关系者称非牛顿流体非牛顿流体 （nonNewtonian fluid）。图18（a）中绘出了切应力τ与变形速率变形速率（rate of strain）ε的关系曲 线。其中符合式（17）的线性关系者为牛顿流体。其他为非牛顿流体，非牛顿流体中又因其 切应力与变形速率关系的特点分为膨胀性流体膨胀性流体（dilatant fluid），拟塑性流体拟塑性流体（pseudoplast ic fluid），具有屈服应力屈服应力的理想宾厄姆流体理想宾厄姆流体（ideal Bingham fluid）和塑性流体塑性流体（plasti c fluid）等。通常油脂、油漆、牛奶、牙膏、血液、泥浆等均为非牛顿流体。非牛顿流体 的研究在化纤、塑料、石油、化工、食品及很多轻工业中有着广泛的应用。图18 （b）还显示出对于有些非牛顿流体，其粘滞特性具有时间效应，即剪切应力不仅与变形 速率有关而且与作用时间有关。当变形速率保持常量，切应力随时间增大，这种非 牛顿流体 称为震凝性流体震凝性流体（rheopectic fluid）。当变形速率保持常量而切应力随时间减小的非牛 顿流体则称为触变性流体触变性流体（thixotropic fluid）。对于非牛顿流体的研究始自1867年。 第二次世界大战后，随着工业的发展，非牛顿流体力学也得到迅速的发展。 图18粘性流体切应力特性（10） ① 牛顿流体① 切应力与时间无关 ② 膨胀性流体② 震凝性流体 ③ 拟塑性流体③ 触变性流体 ④ 理想宾厄姆流体变形速率保持常量 ⑤ 塑性流体 1.2粘性流动的基本方程式 1.2.1研究流体运动的两种方法 在固体力学中常可跟随一个质点去描述它的运动，例如图19所示。其 位置向量： x（t） 速度向量： u=dxdt 加速度向量： a=dudt =d2xdt2 但在流体力学中，跟随一个流体质点去描述它的运动常常是困难的。考虑到流体是充满运动空间的连续介质连续介质，一般有两种描述运动的方法。 （1） 拉格朗日法 跟随流体质点去研究流体运动的方法为拉格朗日法。在这种方法中独立变量 为ξ,t。ξ是作为识别流体质点的标志，多以时间t=t 0时该质 点所在位置表示，如图110所示。用公式表示即 x（ξ,t0）=ξ=ξ（ξ1,ξ2,ξ3） 图19流体质点运动描述 图110拉格朗日法描述流体质点运动 也可用其他的标志方法，但从一个流体质点到另一个流体质点，表征识别标志的函数必须 是连续的。在拉格朗日法中： 位置向量： x（x1,x2,x3）=x（ξ,t） 速度向量： u（u1,u2,u3）=xtξ 加速度向量： a（a1,a2,a3）= 2xt2ξ 下标ξ表示是ξ所标志的流体质点。 （2） 欧拉法 欧拉（Euler）法着眼于从空间坐标去研究流体运动。但需注意，一切流体运动的力学属 性 均是流体质点的属性而不是空间点的属性。流体质点位于空间点上从而流体质点的运动属性 为时间和不依赖于时间的空间坐标的函数。此时独立变量为x（x1,x2, x3）,t。 图111欧拉空间场中运动 属性的描述 速度向量： u=u（x,t） 加速度向量： a=a（x,t） 研究欧拉空间场中某一运动属性F的变化率必须跟踪一个固定的流体质点，如图111所示。F可 以代表速度、密度、温度等流体运动的各种力学属性。考虑到 F（x,t）=F［x（ξ,t）,t］ F的变化率可表示为 dFdt=ddtF［x（ξ,t）,t］ =Ftx+ Fx1x2,x3,t x1tξ + Fx2x1,x3,t x2tξ+ Fx3x1,x2,t x3tξ 式中各项的下标表示： 在该项的微分过程中下标所表示的量保持恒定不变。dFdt称为F的物质导数物质导数（material derivative）或称随体导数，它是以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的全导数。 dFdt= Ftx+ Fxixj,t xitξ 注意j≠i。写为向量的形式，物质导数为 dFdt= Ft+ui Fxi=Ft+（u· 䦛Euclid SymbolQCp） F（18） 这里应用了 爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention） 爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）（见附录中“7.张量的表示法，二阶张量”） 。物质导数表示式中第一项Ft为F的当地变化率，即在某一点x处F随时间t的变化率，是由流动的不恒定性引起的。第二项（u·䦛Euclid SymbolQCp ）F表示即 使是恒定流动，流体质点随着时间而改变它的空间位置从而导致F的变化，称为迁移变化率 ，它是由流场的不均匀性引起的。这样，跟踪一个给定流体质点物理量F的拉格朗日变化率 dFdt就以欧拉导数Ft与 Fxi的形式表示出来。在流体力学中欧拉法应用得更加广泛。 （3） 两种流动描述方法之间的关系 欧拉方法在数学处理上的最大困难是方程式中加速度项的非线性，而拉格朗日方法中的加速度项则为线性。但是直接应用拉格朗日型的基本方程解决流体力学问题是困难的，因此在处理流动问题时，常常必须用欧拉法表述拉格朗日观点下的物理本质，这里就必须研究拉格朗日与欧拉两种系统之间的变换关系。为此引入雅可比行列式雅可比行列式（Jacobian）（见附录中“12.雅可比行列式”），雅可比