第1章 基本概念 世界上的大部分物质以流体状态存在，地球表面的2/3是海水，周围是大气，且地核也是液态的，人类生活在被流体包围的世界里。流体很容易流动，在无限小的应力作用下就会引起连续的变形。真实流体存在着黏性。所谓黏性是流体阻止其本身流动的性质，当流场中存在速度梯度时，流体就会产生阻力，这就是黏性。理想流体是假设流体不存在黏性的流体。自然界中的某些流动，其黏性不起支配作用，如求解绕流物体的升力、表面波时，可以把流体视为无黏性的理想流体。但在求解运动物体在流体中的阻力，以及涡旋的扩散、热量的传递等问题时，黏性会起主导作用而不能被忽略。 流体力学是力学的一个分支，集基础性和应用性于一身。它的研究对象随着社会生产的需要与科学技术的发展正在不断地更新、深化和扩展，涉及的领域包括水利、海洋、航空航天、能源、环境、石油、化工等，不仅研究流体的运动规律、能量损失、与固体壁面之间的相互作用力等问题，还探讨其传热、传质等规律。近几十年来，流体力学还与其他学科相结合，发展了许多新的交叉学科，其研究内容和应用领域得到了较大的扩展。 1.1 流体力学的发展 1. 流体力学的发展 流体力学起源于阿基米德(Archimedes，公元前287-前212)对浮力的研究。据说在罗马时代修建明渠时就已经考虑黏性阻力的影响，但直到文艺复兴时代，达·芬奇(Leonardo da Vinci, 1452-1519)才留下了有关波动、溅水、涡内速度分布、物体尾流中涡的形成，以及用流线型物体减少阻力方面的记载。马利奥蒂(Mariotte, 1620-1684)利用直流风洞测定阻力，是有关流体黏性的最早研究。1687年，牛顿(Newton)发现了运动流体的阻力与速度梯度成正比，因此具有这种性质的流体称为牛顿流体。 长期以来，在流体力学领域中，对于忽略黏性的理想流体的欧拉(Euler)方程(1755年)只作纯数学的处理，与实用水力学分开了。拉普拉斯(Laplace)、拉格朗日(Lagrange)把理想流体运动的研究推向高峰，这种流体力学的分支叫做水动力学(hydrodynamics)。古典水动力学基本上不能回答迅速发展的工程中的很多问题，例如阻力问题，并产生了达朗贝尔(d'Alembert)疑题。对于用理想流体流动不能解释的问题，工程师们求助于试验并总结经验公式，从而形成了一门工程流体力学分支： 水力学(hydraulics)。例如伯努力(Bernoulli)、凯茨(Chezy)、哈根(Hagen)、达西(Darcy)、维斯巴哈(Weisbach)、伯森(Bazin)和雷诺(Reynolds)等人留下了出色的黏性流动的试验成果。 黏性流体力学在理论上的发展首先源于1827年纳维(Navier)在欧拉方程中加上了黏性项。以后经过柯西(Cauchy)、泊松(Poisson, 1829年)和维纳特(Vanant, 1843年)等人的研究，最后由斯托克斯(Stokes, 1845年)完成黏性流体运动的动量方程，即纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。 直到1904年普朗特(Prandtl)提出了边界层理论，才把实验与理论分析结合起来。此后黏性流体力学主要在边界层理论和湍流理论两个方向发展。 2. 边界层理论的发展概况 1904年普朗特提出了边界层理论，把流体分成两个区域，离物面很近的区域，速度梯度很大，黏性力起很大作用，但这层流体很薄，称作边界层，而外层按无黏性流动处理。普朗特于1905年和布拉休斯(Blasius)于1908年对平板边界层引入了相似性解。1921年卡门(Von Karman)和波尔豪森(Pohlhauses)引入了动量积分方程，从而提出了边界层的动量积分关系式解法。湍流边界层的积分关系式解法有多种，其中用得比较广泛的是希德(Head, 1958年)法，此法的主要缺点是忽略了边界层上游的历史影响。此后，有多种改进和推广的方法，其中格林(Green, 1973年)法考虑了雷诺应力的变化以及上游的历史影响，总的精度有明显的提高。1977年，依斯特(East)把格林法发展成解湍流边界层的逆方法，以便预估分离流动，得到了较好的结果。 积分关系式法在跨边界层积分时不可避免地要失掉很多边界层的信息，不能反映边界层的湍流结构，如切应力的分布，而且它需要对边界层的速度剖面进行假设，所以此法不适用边界条件突然变化和分离等情况。在流体机械中，为了满足工程上的需要，还要进一步发展此种方法以适用于三维边界层、非定常边界层、可压缩边界层以及温度边界层等分析计算的要求。 20世纪60年代以后，随着计算机的发展，边界层的微分解法也发展起来。1968年斯坦福(Stanford)大学举行了一次会议，估计了常用的湍流边界层计算方法的精度，确认了偏微分方程的解法比积分关系式的解法更精确、更普遍。其中有层流边界层的SC(Smith和Clutter, 1963年)法和湍流边界层的CS(Cebeci和Smith, 1967年)法。目前有关三维边界层和边界层分离的计算仍在不断发展中，同时，有关湍流计算的模式理论等仍适用于边界层的计算，有关边界层流动的研究也是这些理论和方法发展的动力。 在湍流边界层计算的发展中，边界层的实验测量主要集中于对速度分布规律的研究，这方面的成果有普朗特(Prandtl, 1933年)的内层律，卡门(Karman, 1930年)的外层律，克劳塞(Clauser，分别于1954, 1956年)的压力梯度对外层律影响的修正，以及科尔斯(Coles)的尾迹律。 目前边界层的计算主要集中于发展三维边界层计算和边界层的逆解法的研究。关于三维边界层的积分关系式法，主要是把希德法推广到三维边界层的计算，其中J.Moore(1973年)计算了径流叶轮的轮毂、外缘和叶片表面的三维边界层；Akakawa等（1980年)计算了轴流泵叶片的三维边界层，并得出叶片后缘的脱流区；Lakshminarayana(1981年)计算了透平叶片的三维边界层；Furakawa等计算了水泵叶轮环面和叶片表面边界层。 用差分法求解三维边界层的研究起步较晚。J.F.Nash(1972年)用一阶精度的显式差分求解了机翼三维边界层，J.F.Nash(1976年), J.Cebeci等(1977年), J.D.Melean(1977年), A.Tassa等(1982年)等用隐式差分求解了三维边界层。V. N. Vatsa (1984年)导出了非正交旋转坐标系中的三维边界层方程，引入了二维Levy-Less变换，用零方程湍流模型方程封闭，并用分块因子法求解。O.L.Anderson (1987年)计算了叶轮叶片表面的三维边界层。在我国，阎超等(1989年)计算了水力机械叶片表面三维边界层，张国庆等(1991年)计算了叶轮中的三维边界层。 边界层计算的另一个活跃领域是边界层的逆解法。对于二维定常分离边界层，当给定p/x时，边界层方程在分离点是奇点，用正解法无法求解。1966年，D. Catherall等首先提出了二维边界层积分型逆解法，其中，应用最广的是East(1977年)的逆解法。三维边界层在分离现象、判别和模拟方面比二维复杂，1981年，J.Cousteix首先提出了三维边界层的逆解法，此后Le Ballear(1981年), J.Delery 和Formery(1983年), S.F.Radwan(1984年)和D.E.Edwards(1987年)等都对边界层逆解法进行了研究，并得到了满意的结果。国内阎超等学者(1989年)用逆解法求解了水力机械叶片中的三维分离边界层。 3. 湍流理论发展概况 在湍流理论发展中，布辛涅斯克(J.Boussinesq)于1877年首先提出涡团黏度的概念。雷诺于1893年提出了两种流态--层流和湍流，并提出层流到湍流的转换条件，即临界雷诺数。1895年雷诺提出了描述湍流量的表示法，建立了时均运动的动量方程--雷诺方程。1921年泰勒(G.Taylor)提出了相关函数，把速度关联看成是最主要的统计特征量。1924年L.V.Keller 和A.A.Friedmann 提出了湍流中任何阶的相关函数的偏微分方程组，这个方程组是一个无穷方程组，方程总数小于未知数的数目，同雷诺方程一样，此方程组不封闭。为了解决湍流封闭性问题，从两个方面对湍流理论进行了研究。 第一主要致力于湍流大尺度分量的描述。大尺度分量与流动的边界条件和外力性质有关，如湍流中动量和热量的交换，这对于工程问题很重要。在这方面的研究中，曾对管流、渠道、自由湍流和边界层做了很多试验，并在试验基础上产生了湍流的半经验理论。这类理论主要包括20世纪20-30年代产生的普朗特 (Prandtl）混合长度理论、泰勒（Taylor）的涡量传输理论和卡门（Karman）的相似性理论。这些半经验理论均基于湍流微团运动和分子运动的类比。 在半经验理论的基础上，20世纪60年代以后进一步提出了模式理论--湍流的计算模型，主要有代数型零方程模型，包括CS(Cebeci和Smith, 1968年), PS(Patankar和Spalding, 1968年)和MH(Mellor和Herring, 1968年)等模型；等效黏度模型(EVM)，如常见的一个方程和两个方程(k-ε)模型；以及应力代数模型(ASM)、应力微分模型(DSM)。在应力模型方面，周培源教授做出了重大的贡献。由于在构造湍流模式时总需引进封闭假设和待定常数，这促使人们考虑直接从纳维-斯托克斯方程出发模拟湍流，即湍流的直接数值模拟(DNS)和大涡模拟(LES)，不过这些模拟仍然受到计算机技术发展的限制。 第二是对小尺度湍流分量的描述。这主要基于以下原因： 初始条件的微小扰动，经过一段时间的发展可以完全改变其湍流运动的细节，但是高雷诺数的完全发展湍流的统计平均行为是稳定的。完全湍流的这一特征决定了统计理论在湍流研究中的地位。在湍流的统计理论中，1922年L.Richardson提出了能量级联过程，G.Taylor于1935年引入了均匀和各向同性湍流的概念。1941年Kouvozopola 和Osykaol提出了小尺度分量新的相似性假设和局部各向同性湍流的理论。根据这些假设推出了一些定律，直至20世纪60年代才得到实验的验证。周培源教授于1976年研究了网后均匀各向同性湍流的衰减规律。统计理论还对湍流的封闭性做了很多工作，主要有准正则近似理论、Kraichnan的直接相互近似(DIA)和应用非平衡统计力学方法解决湍流的封闭性问题。 20世纪70年代以来，湍流的拟序结构成为研究湍流结构的新起点。湍流的特征是间歇有序性，即拟序结构的触发是不规律的，但一旦触发，它以近乎确定的规律发展。这方面的研究包括发现和证实拟序结构，如边界层中的猝发现象及混合层中的大涡；利用现代信息处理技术(条件采样、模式识别)检测和分析拟序结构；定量描述和了解拟序结构的生成和发展，应用它控制湍流和构造湍流模式。20世纪70年代以来湍流发展的另一个重要方向是现代混沌(Chaos)理论。从1963年开始，Lorenz将纳维-斯托克斯方程简化成三个一阶常微分方程组成的非线性动力系统。随着参数的变化它会经历稳定解、周期解、具有间歇性的解和混沌解，这正是湍流发展过程中及完全发展了的湍流所具有的特征。 1.2 两种基本流态--层流和湍流 黏性流动存在两种不同的流态--层流和湍流。雷诺在1883年的著名试验中发现了这一现象，试验装置如图1.1(a)所示。大容器T的流体处于某一温度，当阀门K开度很小时，玻璃管G中的流体将以极低速度流动；此时，如让另一种与容器T内的流体相近似的有颜色的流体自小容器B流入，通过细管和尖针流入玻璃管G，可以看到此股有颜色流体的流束与周围的流体不发生混杂(图1.1(b)所示)，流体做层状流动，这种流体分层的流动状态称为层流。此时，流体层间只有分子级的动量交换，而看不到流体间的混杂。 图1.1 雷诺试验 若增大阀门K的开度使试管内流体的流速逐渐提高，可以看到有颜色的流束逐渐波动，但还未与周围流体发生混杂；进一步提高流速，颜色流束开始断开，发生了局部混杂；当流速增加为V′cr(上临界流速)时，颜色流束在针尖出口即与周围流体发生混杂(图1.1(c)所示)，整个玻璃管呈淡的颜色流。可以认为此时的层流流态已被完全破坏，流体微团间发生了强烈的动量交换，液流呈不规律的紊动状态，称为湍流。 如果流体在实验开始时是湍流，当逐渐减小管内流速，到某一临界值Vcr(下临界速度，VcrRe′cr时为湍流，Re1.3×105)，圆柱迎风面的层流边界层先转捩为湍流边界层，随后与圆柱表面分离，分离点位置比亚临界阶段明显偏后，且尾迹比较狭窄。 圆柱绕流的阻力由两部分组成，摩擦阻力和压差阻力。如图1.3所示，在黏性绕流的情况下，迎风面的压力比背风面的压力大得多，从而形成压差阻力。图1.5所示为阻力系数CD=D12ρU2∞A(D为阻力，A为圆柱的迎流面积)随雷诺数Re变化的曲线。在图1.4中，(a)的阻力主要是摩擦阻力，CD的数值很大，D与U∞成正比，称为蠕流(creeping flow); (b), (c)的阻力中，摩擦阻力与压差阻力同样重要；(d), (e), (f)的阻力主要是压差阻力，占总阻力的90%, CD与Re无关，阻力D与U∞的平方成正比。随着雷诺数增加，由亚临界阶段向超临界阶段的过渡是突然发生的，此时阻力会有一个突然的降落，称为“阻力危机”。当来流湍流强度较高或表面粗糙时，阻力危机会提前发生。 图1.5 圆柱绕流的阻力 从这个经典的例子可以看出： (1) 实际的黏性流动与无黏性流动有着显著的不同，如流速分布、壁面应力等，其中重要的差别在于黏性流动中存在切应力及物面的黏附条件(无滑移条件); (2) 随着雷诺数的不同，流体的流态、流谱、压力和流速分布都将不同，边界层和尾流也不相同。 1.3 流体的传输性质 黏性流体在流动过程中会产生动量传递，这是黏性的本质。流体分子的运动可以用来解释流体的黏性。流体分子除了具有与流动方向一致的平均前进速度外，还伴随着微观不规律的热运动。在固体壁面附近，流体分子一旦撞到固壁就失去了动量的平均前进分量，此时分子在固壁处的平均速度为零，这就是无滑移条件。从固体表面反射的流体分子通常与距离固壁只有平均自由程以内的其他分子发生碰撞而获得动量的前进分量，当再次碰撞固壁时，又失去了前进的动量分量。另一方面，因和被固壁反射的分子相碰撞而平均速度减慢了的流体分子，当与其他远离固壁的流体分子发生碰撞时，也会进行动量交换。这样，随着离开固壁距离的增加，流体分子的平均速度会逐渐增加。事实上，只要流体分子的平均速度有差异，即存在速度梯度，就会有上述流体分子间的动量传递现象。 进一步可以认为速度不同的相邻质点间也会发生动量交换。假设质量为m，速度分别为u1和u2(u10此项动能将变成分子热运动的能量。在流体的动能转换为热能的不可逆过程中将产生压力损失。 在层流中，流体的动量交换是通过分子热运动进行的。当流速很大时，流动变得不稳定，宏观的质点(微团)也将开始不规律地运动，流体质点(微团)之间的混合，将导致彼此的动量交换，这种动量交换比分子运动引起的动量交换大得多，此时流体的流态为湍流。 1. 黏性系数 如上所述，当流场存在速度梯度时，将会产生动量传递。速度梯度剪切变形率dudy与切应力τ之间的关系遵循牛顿内摩擦定律： τ=μdudy (1-5)式中，动力黏性系数μ的单位为泊(P)或厘泊(cP)，这里1P=10-1Pa·s=10-1N·s/m2 实验表明，压力对黏性系数的影响很小。当温度升高时，液体的黏性系数减小，而气体的黏性系数增加。这是因为液体分子的自由程小，黏性系数决定于分子碰撞的时间，当温度升高时，液体分子的碰撞时间将减少；而气体的分子自由程大，黏性决定于分子的碰撞次数，当温度升高时，热运动加强，使气体分子碰撞的次数增多。 运动黏性系数ν (m2/s）可表述为ν=μρ(1-6)式中，ρ为液体密度，运动黏性系数的单位为涻(st)或厘涻(cst): 1st=1cm2/s水和干空气在一个大气压下，不同温度的黏性系数见附录A。对于水，在一个大气压下，不同温度的黏性系数μ用海姆霍兹(Helmholtz)关系式表示如下： μμ0=11+0.03368t+0.00022096t2(1-7)式中，μ0为一个大气压下、0℃时的动力黏度系数，t为摄氏温度。 对于各种气体的黏性系数可以近似采用幂次公式表示： μμ0≈TT0n (1-8)式中，T0=273.16K, μ0为一个大气压下、0℃时气体的动力黏度系数，n为温度指数，如对于空气n≈0.76，对于氢n≈0.69，对于二氧化碳n≈0.95。在估算时，高温时可取n≈0.5，低温时n≈1.0，还可采用苏士南(Sutherland)公式计算： μμ0≈TT032T0+TST+TS(1-9)TS为苏士南系数。附录A中列出了大气的黏性系数及苏士南系数TS. 2. 导热系数 流体的传输性质除了黏性以外还有传热和扩散。当流场具有温度梯度时，将会产生热量的传递，温度梯度ΔT与热流量q的关系遵循傅里叶定律： q=-KΔT(1-10)式中，q为单位面积的热流矢量，ΔT为温度梯度，K为导热系数，单位通常用W/(m·K)。对于各向同性的流体，K无方向性，仅随温度和压力的变化而变化。导热系数也有类似于式(1-8)和式(1-9)的公式： KK0≈TT0n(1-11) KK0≈TT032T0+TST+TS (1-12)式中K0为一个大气压下、0℃时的流体的导热系数，公式中相应的数值见参考文献［24］. 3. 扩散系数 流体中的扩散有两种形式： 一种是发生在同一种流体中，在某一指定的体积内，总会不断跑出一些分子，同时进来一些分子，该体积内的质量一直是变化的，称为自扩散；另一种是发生在含有两种或两种以上流体的混合物之间的质量交换，最终可以成为宏观上均匀的混合物，称为互扩散，这是一种二元(或多元)的扩散。 在互扩散中，密度ρi(单位体积内第i组流体的质量)的梯度与质量传输量Mi的关系遵循费克(Fick)定律： MiA=-DΔ(ρi) (1-13)式中，Mi的矢量方向为浓度减小方向，表示在单位时间内第i组流体在面积A上的质量传输量；D为质量扩散系数，单位为cm2/s. 单位面积的质量传输量，可以写成密度ρi和速度Vi的乘积： MiA=ρiVi=-DΔ(ρi)(1-14)速度Vi为第i组体的扩散速度。另外，混合介质密度ρ为常数时，还可以用质量浓度Ci=ρiρ导出费克公式的另一种形式： Vi=-DΔ(ln Ci)(1-15) 严格地讲，压力梯度或温度梯度也可导致质量的传输，即Vi=-DΔ(ln Ci)-DpΔ(ln p)-DT(ln T) (1-16)式中，Dp和DT是由于压力梯度及温度梯度所引起的质量传输的扩散系数，通常式(1-16)中的后两项比第一项小。 1.4 应变率张量和应力张量1. 应变率张量 由柯西-海姆霍兹(流体微团的运动分解)定理可知： 流体微团的运动可以分解为3部分： 平移、旋转与变形(线变形和剪切变形). 图1.6 流体微团运动的分解 图1.6中M0为流体微团中的一点，其速度为V0. M为点M0所在的流体微团邻域上的任一点，其速度为V，那么V可以表示为V=V0+ω×dr+ε·dr(1-17)式中，ε为应变率张量，ω为微团旋转角速度。式(1-17)中的第二项为流体微团像刚体一样旋转时所造成的相邻点的速度增量，第三项是因流体微团的变形而造成的相邻点的速度增量。现在推导公式(1-17). 假设流场是连续的，且速度的各阶导数存在，那么M点的速度可用Taylor级数展开，在直角坐标系(x1,x2,x3)中表示为： V=V0+dx1Vx1+dx2Vx2+dx3Vx3或dV=V-V0=dx1Vx1+dx2Vx2+dx3Vx3 (1-18) dV的3个分量分别为du1, du2, du3，即dV=e1du1+e2du2+e3du3式中，e1, e2和e3分别为x1, x2, x3方向的单位矢量，du1, du2, du3可分别表示为du1=dx1u1x1+dx2u1x2+dx3u1x3=dr·Δu1 du2=dx1u2x1+dx2u2x2+dx3u2x3=dr·Δu2 du3=dx1u3x1+dx2u3x2+dx3u3x3=dr·Δu3用矩阵表示为du1 du2 du3=u1x1u1x2u1x3 u2x1u2x2u2x3 u3x1u3x2u3x3·dx1 dx2 dx3简写成dV=uixj·dr(1-19)式中，uixj叫变形率矩阵。可以把变形率矩阵分解成一个对称矩阵和一个反对称矩阵： uixj=u1x112u1x2+u2x112u1x3+u3x1 12u2x1+u1x2u2x212u2x3+u3x2 12u3x1+u1x312u3x2+u2x3u3x3 -012u2x1-u1x2-12u1x3-u3x1 -12u2x1-u1x2012u3x2-u2x3 12u1x3-u3x1-12u3x2-u2x30 上式中右边第一项称为应变率张量(二阶张量)［εij］，第二项为刚体自转率张量［eijkωk］，而ω=12Δ×V。上式可以简写为： uixj=\-\(1-20)式中，eijk为Levy-Civita排列符号。eijk=0,任两个下标相同 1,如果i, j, k按下列顺序排列： 1→2→3→1 -1,如果i, j, k不按顺序排列ωk为角速度分量： \= 0 ω3-ω2 -ω3 0 ω1 ω2-ω1 0则dV=ε·dr+ω×dr. 下面主要研究应变率张量。应变率张量ε为二阶张量，共有9个分量。应变率可分为两类： 一种是伸长率，另一种是切变率。伸长率为单位时间内单位长度的微团的伸长或压缩，伸长时为正，压缩时为负；在直角坐标系中ε11, ε22和ε33为x1, x2和x3方向的伸长率，分别为ε11=u1x1 ε22=u2x2 ε33=u3x3(1-21) 在x1方向的伸长率如图1.7(a)所示。图中u1x1dx1dt为dt时间间隔内，长度dx1在x1方向的伸长。ε=ε11+ε22+ε33(1-22)为微团体积的膨胀率，对于不可压流体，ε=0. 图1.7(b)中流体微团因受到切应力作用而产生剪切变形，微团在单位时间内的角改变量(角变形)为π2-β12=u2x1+u1x2图1.7 流体运动的种类 定义流体微团的切变率为角的改变量的12，用ε12, ε23和ε31表示，则有ε12=12u1x2+u2x1 ε23=12u2x3+u3x2 ε31=12u3x1+u1x3(1-23)则应变率张量ε可以表示为ε=ε11 ε22 ε33+0ε12ε13 ε210ε23 ε31ε320 由上式可见，张量ε是一个对称张量，有9个分量，其分量的大小不仅与时间和微团的位置有关，还与坐标系的选择有关。但是应变率张量表示的是流场中某一位置上的微团的应变率状态，此状态与坐标的选择无关，故一定存在3个应变率张量的不变量与坐标系的选择无关。应变率张量的3个不变量分别用I1, I2和I3表示： I1=ε11+ε22+ε33 (1-24) I2=ε11ε22+ε22ε33+ε33ε11-ε212-ε223-ε231 (1-25) I3=|εij| (1-26) I1是微团的体积膨胀率，I2是与微团的耗散相联系的。根据对称张量的性质，存在一个使非对角线上的分量为零的坐标系，称这个坐标系为主轴坐标系。3个主轴坐标系的主轴用x-1, x-2, x-3表示，那么在主轴坐标系中，切变率皆为零，应变率张量可以简化为ε=ε-100 0ε-20 00ε-3(1-27)式中用上划线“-”表示主轴坐标系中的分量。 2. 应力张量 静止流体和理想流体中，某一点的应力(表面力)只用一个标量--压力表示，流体内微团的表面力永远沿作用面的内法线方向，其大小与作用面无关。图1.8 点P的应力状态 黏性流体中，应力除了上述正应力以外还有黏性切应力，因此一个表面上的总应力一般不垂直于此表面，而且在不同方向上的应力也不相等。 考虑黏性流体中一点P的应力状态，在点P附近取一个微团(立方体)，此微团共有6个表面，每个表面用外法线单位矢量表示，如图1.8所示。每一个表面的应力可以分解成3个应力分量，如ABCD平面可以用其外法线单位矢量e3表示，此面上的总应力为σ3,σ3沿x1, x2, x3方向的3个应力分量分别为τ31, τ32, τ33(第一个脚标表示作用面的外法线方向，第二个脚标表示应力分量的方向)，那么σ3为σ3=τ31e1+τ32e2+τ33e3(1-28)式中，e1, e2, e3分别为x1, x2, x3轴方向上的单位矢量。 点P附近一共存在6个表面力，可以用动量矩定律证明： 当微团趋近无穷小时，此6个表面力，两两大小相等，方向相反，即σ1, -σ1, σ2, -σ2, σ3, -σ3；此时可用σ1, σ2和σ3表示此微团的应力状态，也就是说可用9个应力分量表示。这9个应力分量不仅与空间位置和时间有关，还与作用面的方向(即坐标轴的选择)有关，组成一个二阶张量τ，在二阶张量中每一个分量都包含着两个方向，如应力分量τij可以表示τijeiej，单位矢量ei表示应力分量τij作用面的外法线，ej表示此分量τij的作用方向。因此二阶应力张量τ可以用矩阵表示为： τ=τ11τ12τ13 τ21τ22τ23 τ31τ32τ33=τ11e1e1τ12e1e2τ13e1e3 τ21e2e1τ22e2e2τ23e2e3 τ31e3e1τ32e3e2τ33e3e3也可以用和式表示： τ=τ11e1e1+τ12e1e2+τ13e1e3+τ21e2e1+…+τ33e3e3图1.9 作用在微团四面体上的面积力 所以可以说二阶应力张量τ是矢量的并积。 同样用动量矩定律可以证明应力张量也是对称张量。以下用应力张量表示两个具体问题，并介绍二阶张量的简单运算。 (1) 过点P任何平面上的应力σn 如图1.9所示，设此平面的外法线方向的单位矢量为n，和σn的3个分量为σn1, σn2, σn3. n可以表示为n=n1e1+n2e2+n3e3，此式用约定求和表示为n=njej，即同一项中不同变量的相同下标j表示j=1, 2, 3三项相加。其中n1=cos(e1, n), n2=cos(e2, n)和n3=cos(e3, n)。如果在点P附近取一个四面体，根据力平衡条件可以得出σn1=τ11n1+τ21n2+τ31n3=τj1nj σn2=τ12n1+τ22n2+τ32n3=τj2nj σn3=τ13n1+τ23n2+τ33n3=τj3nj(1-29)同时式中给出了约定求和的形式。 现在定义矢量与二阶张量的点积，根据约定求和法则，二阶张量τ可以表示为τ=τjiejei那么遵循矢量点积的法则，n与τ的点积为n·τ=ejnj·τjiejei=nj(ej·ej)τjiei=(njτji)ei (1-30)上式最后结果表明一个矢量与二阶张量的点积为一矢量。式(1-30)中各分量的展开式如式(1-29)所示。于是，向量σn可以表示为 σn=σn1 σn2 σn3=n·τ(1-31)即过点P任何平面上的应力σn等于此平面外法线的单位矢量n与此点应力张量的点积。同样也可以得出一个张量与矢量的点积，例如τ·n=τjiejei·eini=(τjini)ej(1-32) 当张量为对称二阶张量时，上述两种点积的结果相同。非对称二阶张量则不然。 根据上述点积概念，同样可以定义张量的散度Δ·τ。其中汉密尔顿符号Δ可以表示为Δ=e1x1+e2x2+e3x3=ejxj(1-33)则Δ·τ=ejxj·τjiejei=τjixj(ej·ej)ei=eiτjixj (1-34) (2) 求流体微团中单位质量的流体所受的表面力f 图1.10所示为流体微团在x1方向上所受的表面应力，那么此微团在x1方向所受的全部表面力之和为dF1: dF1=τ11x1dx1dx2dx3+τ21x2dx1dx2dx3+τ31x3dx1dx2dx3图1.10 作用在流体微团x1方向上的表面应力 故f在x1方向的分量为f1=dF1ρdx1dx2dx3=1ρτ11x1+τ21x2+τ31x3式中ρ为流体的密度。同样可以得出f2=1ρτ12x1+τ22x2+τ32x3 f3=1ρτ13x1+τ23x2+τ33x3根据二阶张量散度的定义： f=f1 f2 f3=1ρe1·(Δ·τ) e2·(Δ·τ) e3·(Δ·τ)=1ρΔ·τ(1-35) 由此可见流体微团中单位质量流体所受的表面力的合力为1ρΔ·τ. 1.5 广义牛顿定律 广义牛顿定律(广义牛顿黏性公式)表示的是黏性流体应力张量和应变率张量之间的关系。此定律是牛顿内摩擦定律的推广。图1.11 流体的直线层状运动 牛顿提出了当黏性流体做直线层状运动时，如图1.11所示，流体层间的切应力与层间速度梯度成正比，即τ21=μdu1dx2(1-36a)式中，μ为动力黏性系数，取决于流体的物理性质，式(1-36a)即为牛顿内摩擦定律。根据式(1-23)得τ21=2με21 (1-36b) 斯托克斯(Stokes)把牛顿内摩擦定律推广到黏性流体的任意流动中，并根据胡克定律，提出了以下3条假设(Stokes假设): (1) 流体是连续的，应力与应变率之间成线性关系； (2) 流体是各向同性的，即它们的性质与方向无关，因此无论选取什么样的坐标系，它们的应力与应变率之间的关系是相同的； (3) 当流体静止时，应变率为零，流体中的应力只有正应力，即静压，切应力为零，即τij=-p0δij, δij=1,i=j 0,i≠j(1-37a)或τ=-p0I (1-37b)式中，p0为静压，I为单位二阶张量： I=100 010 001 根据上述假设，可令τ=aε+bI(1-38)式中，a, b为标量。 由于上述关系是线性的，系数a不可能与τ和ε的各分量有关，而且与流体的运动形态也无关，只取决于流体的物理属性，参考式(1-36)，令a=2μ(1-39) 式(1-38)的第二项是b与I的乘积，为保证此式的线性关系，可令b为τ的线性不变量和ε的线性不变量的组合。τ的线性不变量为τ11+τ22+τ33, ε的线性不变量为： ε11+ε22+ε33=Δ·V. 则b的一般表达式为b=b1(τ11+τ22+τ33)+λΔ·V+b3(1-40)代入式(1-38)，得τ=2με+{b1(τ11+τ22+τ33)+λΔ·V+b3}I(1-41) 取式(1-41)两边的对角线元素之和:τ11+τ22+τ33=2μΔ·V+3b1(τ11+τ22+τ33)+3λΔ·V+3b3合并同类项后得(1-3b1)(τ11+τ22+τ33)=(2μ+3λ)Δ·V+3b3(1-42) 在静止状态Δ·V=0，而且τ11=τ22=τ33，则上式写成-p0(1-3b1)=b3由于b1和b3都是常数，要求p0为任何数时均成立，只有b3=0, b1=13代回到式(1-42)，得λ=-23μ(1-43) 这样，3个系数确定后，就可以得出应力张量和应变率张量之间的一般线性关系式： τ=2με+13(τ11+τ22+τ33)-23μΔ·VI(1-44) 对于非黏性流体，某一点的压力在各个方向是相等的，即τ11=τ22=τ33=-p, 则：