本章从排列、对换等概念入手，引入n阶行列式的定义，介绍n阶行列式的性质、计算方法以及利用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则. 1.1排列 1.1.1排列的定义 在中学的时候，我们曾学过乘法原理.所谓乘法原理就是： 如果一个过程可以分成两个阶段进行，第一阶段有m种不同的做法，第二阶段有n种不同的做法，且第一阶段的任何一种做法都可以与第二阶段的任何一种做法搭配成整个过程的一种做法，那么整个过程有mn种做法. 例1.1 用数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解这个问题相当于： 把四个数字分别放在百位、十位、个位上，有几种不同的放法? 我们可以将每种放法分为三个阶段进行.第一阶段，百位可以从四个数字中任选一个，有4种放法； 第二阶段，十位可以从余下的三个数字中任选一个，有3种放法； 第三阶段，个位可以从余下的两个数字中任选一个，有2种放法. 根据乘法原理，共有4×3×2=24种放法，即有24个没有重复数字的三位数. 这里的数字1，2，3，4是我们考察的对象. 数学中把考察的对象称为元素. 例1.1即为： 从4个不同的元素中任取3个排成一列，共有几种不同的排法? 将例1.1推广到n个不同元素的情形，可得下面定义. 定义1.1从n个不同的元素中，任取r(0q时，对换后p的逆序数不变，q的逆序数减少1，所以原排列与p1…pnqpq1…qm的奇偶性相反. 再证一般对换的情形. 设排列为p1…pnpq1…qmqr1…rk，将q与qm，…，q1依次作m次相邻对换，变为p1…pnpqq1…qmr1…rk； 再将p与q，q1，…，qm依次作m+1次相邻对换变为p1…pnqq1…qmpr1…rk. 总之，原排列经过2m+1次相邻对换后变为p1…pnqq1…qmpr1…rk，所以这两个排列的奇偶性相反. 推论1.1任意一个n元排列都可以经过一系列对换变成标准排列，且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性. 证由定理1.1知，排列奇偶性的变化数即为对换的次数，而标准排列为偶排列，故推论成立. 推论1.2在全部n！个n元排列中，奇、偶排列的个数相等，各为 n!2个. 证假设在n!个n元排列中，有s个奇排列和t个偶排列，则s+t=n!. 将s个奇排列的前两个元素都对换，即将p1p2p3…pn变为p2p1p3…pn，就得s个偶排列，显然s≤t，同理可得t≤s，所以s=t=n!2. 1.3行列式 1.3.1行列式的定义 对于二元一次方程组 a11x1+a12x2=b1， a21x1+a22x2=b2， (1.1) 当a11a22-a12a21≠0时，用消元法可求出方程组（1.1）的解为 x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21，x2=a11b2-b1a21a11a22-a12a21.(1.2) 在（1.2）式中，分母a11a22-a12a21是方程组（1.1）的4个系数所确定的，把这4个数按其在方程组（1.1）中的位置排成2行2列（横排称为行、竖排称为列）的数表 a11a12 a21a22 (1.3) 表达式a11a22-a12a21称为数表（1.3）所确定的二阶行列式，记为a11a12 a21a22，即 a11a12 a21a22=a11a22-a12a21，(1.4) 这里，数aij(i，j=1，2)称为行列式（1.4）的元素，第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行； 第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列. 等式的右端称为二阶行列式的展开式. 二阶行列式可以按图1.1所示的对角线法则展开. 把a11和a22用实线（称为主对角线）连接，a12和a21用虚线（称为副对角线）连接，二阶行列式就是主对角线上的两个元素之积与副对角线上的两个元素之积的差. 图1.1 利用二阶行列式，方程组（1.1）的解可以表示为 x1=D1D=b1a12 b2a22a11a12 a21a22，x2=D2D=a11b1 a21b2a11a12 a21a22. 这里分母D是由方程组的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），D1是用常数项b1，b2替换D中x1的系数a11，a21后所得的二阶行列式，D2是用常数项b1，b2替换D中x2的系数a12，a22后所得的二阶行列式. 例1.5求解二元一次方程组 2x1+x2=1， x1+2x2=0. 解 x1=D1D=11 0221 12=1×2-1×02×2-1×1=23， x2=D2D=21 1021 12=2×0-1×12×2-1×1=-13. 定义1.5将9个数aij(i，j＝1，2，3)排成3行3列的数表 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33(1.5) 表达式a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为数表（1.5）所确定的三阶行列式，记为 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33，即 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31， 等式的右端称为三阶行列式的展开式. 三阶行列式可以按图1.2所示的对角线法则展开. 图1.2 例1.6计算三阶行列式 D=111 201 321. 解直接用定义计算可得 D=1×0×1+1×1×3+1×2×2-1×1×2-1×2×1-1×0×3=3. 分析二阶行列式和三阶行列式，可以看出其展开式具有以下规律（n为行列式的阶数）： （1） 行列式共有n!项，带正、负号的项各占一半； （2） 行标排列为自然排列； （3） 每项均为n个元素的乘积，且这n个元素分别取自于不同的行和不同的列； （4） 每项前的符号取决于列标排列的奇偶性. 于是，二阶行列式可以表示为 D=∑p1p2(-1)t(p1p2)a1p1a2p2， 这里的∑p1p2表示对数1，2的所有排列p1p2求和. 三阶行列式可以表示为 D=∑p1p2p3(-1)t(p1p2p3)a1p1a2p2a3p3， 这里的∑p1p2p3表示对数1，2，3的所有排列p1p2p3求和. 依此类推，我们可以定义n阶行列式. 定义1.6将n2个数排成n行n列的数表 a11a12…a1n a21a22… a2n  an1an2…ann(1.6) 表达式 ∑p1p2…pn(-1) t(p1p2…pn)a1p1 a2p2… anpn称为数表（1.6）所确定的n阶行列式，记为 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann，即 D=a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann = ∑p1p2…pn（-1）t(p1p2…pn) a1p1a2p2… anpn. 这里∑p1p2…pn表示对数1，2，…，n的所有排列p1p2…pn求和，数aij(i，j=1，2，…，n)称为行列式D中第i行、第j列的元素. n阶行列式也可简记为det(aij). 行列式左上角到右下角的连线称为主对角线，右上角到左下角的连线称为副对角线. 当n=1时， |a|=a. 例1.7判断以下各项是否是四阶行列式D4=det(aij)展开式中的一项，如是，它们前面的符号如何? （1） a11a23a34； （2） a11a23a22a34； （3） a12a43a31a24. 解（1）、（2）不是； （3）是.因为a12a43a31a24=a12a24a31a43，故（3）的行标排列为标准排列，列标排列为2413，t(2413)=3，所以该项带负号. 例1.8计算上三角行列式（当i>j时，aij=0(i，j=1，2，…，n)，即主对角线以下的元素全为0） D=a11a12…a1n 0a22…a2n  00…ann. 解D= ∑p1p2…pn(-1) t(p1p2…pn)a1p1 a2p2…anpn.在 a1p1a2p2… anpn中，pn只有取n时，anpn才可能不为0. 此时，pn-1只有取n-1时，an-1，pn-1才可能不为0，依此类推，p1只有取1时，a1p1才可能不为0，D的展开式中只有一项a11a22…ann可能不为0，而这项的列标排列为标准排列，所以 D= a11a12…a1n 0a22…a2n  00…ann=a11a22…ann. 同理可得下三角行列式(当i