物 理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式及其基本规律的一门学科，这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其他微观粒子的运动等。物体之间或物体各部分之间相对位置的变动称为机械运动(mechanical motion)。机械运动是这些运动中最简单、最基本的运动形式，物理学中把研究机械运动的规律及其应用的学科称为力学。 机械运动的基本形式有平动和转动。在平动过程中，若物体内各点的位置没有相对变化，那么各点的运动路径完全相同，可用物体上的任一点的运动来代替整个物体的运动。在力学中，研究物体的位置随时间而变化的内容称为运动学(particle kinematics)。 本章主要内容有： 位置矢量(position vector)、位移(displacement)、速度(velocity)、加速度(acceleration)、 质点的运动方程、切向加速度(tangential acceleration)和法向加速度(normal acceleration)、相对运动(relative motion)等。 伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564—1642年），意大利著名数学家、物理学家、天文学家、哲学家、近代实验科学的先驱者。1590年，伽利 略在比萨斜塔上做了“两个球同时落地”的著名实验，从此推翻了亚里士多德“物体下落速度和重量成比例”的学说。伽利略著作有《星际使者》、《关于太阳黑子的书信》、《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于两门新科学的谈话和数学证明》。 1.1质点运动的描述 1.1.1参考系质点 1. 参考系和坐标系 单纯从运动学的观点看，任何运动的描述都是相对的，即一切运动都是相对的，这就是说任何物体的运动总是相对于其他物体或物体系来确定的。这个其他的物体或物体系就叫做参照物或参考系，简言之： 被选作参考标准的物体或相对位置不变的物体组合称为参考系(reference frame)。同一物体的运动，由于所选取的参考系不同，对它的运动描述就不同。例如，行驶车厢中自由下落的物体相对于车厢参考系的运动是自由落体运动； 而相对于地面参考系，则是沿抛物线运动。这就是运动的相对性。因此，在描述某一物体的运动状态时，必须指明是对哪个参考系而言。一般约定，如果采用的是地面参考系可以不必特别指出。 参考系的选取是任意的，一般主要看问题的性质和研究问题的方便。例如，如果要研究物体在地面上的运动，最方便的是选取地球为参考系； 一个宇宙飞船在火箭刚发射时，主要研究它相对于地面的运动，所以就选地面作为参考系； 当飞船绕地球运行时，则选取地球为参考系； 而当飞船飞离地球，绕太阳运行，则应选太阳为参考系。 选取某个参考系后，为了定量确定物体的位置，就需要在参考系上建立适当的坐标系(coordinate system)。常用的坐标系有笛卡儿的直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、柱面坐标系和球面坐标系等。选取什么样的坐标系，也要视问题的性质和研究问题的方便而定。 参考系是具体的物体，而坐标系是参考系的一个数学抽象。 2. 质点 任何物体都有大小和形状。一般来说，物体运动时各部分的位置变化是不同的。因此，要精确描述物体各部分的运动状态不是一件容易的事。根据问题的性质，在某些情况下，往往可以忽略物体的大小和形状，把物体看成一个具有一定质量的点，这样抽象化后的理想模型，称为质点(mass point，particle)。例如，在研究地球绕太阳运动的公转时，由于地球的直径不到平均日地距离的万分之一，直径与此距离相比要小得多，因此，地球上各点相对于太阳的运动可认为是相同的，也就是说可以忽略地球的线度和形状，把地球当作一个质点。另外，当物体作平移运动时，物体上各点的运动情况都一样，物体各点都作同等的运动，因而任一点的运动都能代表整体运动，物体的形状大小就可以不考虑。因此，平动的物体都可以简化为一个质点。 能否把一个物体抽象成质点，不是取决于物体的大小，而是取决于 研究的问题，同一个物体在一个问题中可以当作是质点，在另外一个问题中就可能不能当作质点了。例如，在研究地球的自转运动时，就不能把地球当作质点了。一般地，当物体间的距离远大于物体本身的线度时，物体可抽象为质点。 质点运动是研究物体运动的基础。在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多质点组成，弄清这些质点的运动，就可以了解整个物体的运动。 在本书有关力学的各章中，除刚体一章外，都是把物体当作质点来处理的。 在物理学中有大量的理想化模型，它们都是对实际研究对象的一种抽象。在力学中有质点模型、刚体模型等。建立理想化的模型是物理学中一个十分重要的研究方法，它使研究对象和问题得以简化，便于作比较精确的描述。在学习大学物理学时，应该高度注意这一点。 1.1.2位置矢量运动方程位移和路程 1. 位置矢量 质点在空间的位置可以用一个矢量r(t)来表示。如 图11所示，设质点在时刻t处于位置P，我们从坐标原点O向此点引一条有向线段OP，并记作矢量r。r的方向确定了P点相对于坐标轴的方位，r的大小就是P点到原点的距离，方位和距离都确定了，P点位置也就完全确定了。用来确定质点位置的这一矢量r叫做质点的位置矢量(position vector)，简称位矢。 图11位置矢量 在直角坐标系中，质点的位置P也可以用它在x、y、z轴的坐标来表示，位矢r可以写为 r=xi+yj+zk(11) 式中，i、j、k分别表示沿x、y、z轴正方向的单位矢量。单位矢量是大小为1的长度单位的矢量，在直角坐标系中，i、j、k都是大小和方向均不变的常矢量。r的大小为 r=|r|=x2+y2+z2 位矢r的方向余弦由下式确定： cosα=xr，cosβ=yr，cosγ=zr 式中，α、β、γ分别是r与Ox轴、Oy轴和Oz轴之间的夹角。 位矢具有以下特征： ①矢量性： r是矢量，有大小和方向； ②瞬时性： 质点在运动时，不同时刻其位矢不同； ③相对性： 位矢r依赖于坐标系的选取。 2. 运动方程 当质点运动时，它相对坐标原点O的位矢r是随时间t变化的，因此，r是时间的函数，即 r=x(t)i+y(t)j+z(t)k（12） 这给出了任意时刻质点在空间的位置，也称为质点的运动方程(equation of motion)。质点的运动方程反映了质点运动的全部情况。式（12）中的坐标值x、y、z一般都随时间变化，是时间t的函数。 在直角坐标系中，质点的运动方程式（12）也可以写成坐标分量的形式： x=x(t) y=y(t) z=z(t) （13） 坐标分量形式的运动方程可以看作是质点在坐标轴方向同时进行的三个分运动，或者说，我们可以把一个质点的运动分解为各个坐标轴方向上的独立分运动； 反过来说，r是各个分运动叠加的结果。 从式(13)中消去参数t便得到质点的轨迹方程，所以式（13）也是运动轨迹的参数方程。质点运动学的重要任务之一就是找出质点运动所遵循的运动方程。 【例题11】一质点在平面上的运动方程为r=(t+1)i+(t2+2)j，式中r的单位是m，时间t的单位是s，试求该质点的运动轨迹。 解质点在x、y坐标轴上的分运动方程分别为 x=t+1 y=t2+2 将上面两式消去t后，便得到质点的轨迹方程为 y=(x-1)2+2 显然，质点的运动轨迹是抛物线。 3. 位移和路程 图12位移与路程 如图12所示，设质点在t1时刻处于位置P1点，质点在t2时刻处于位置P2点，P1和P2的位矢分别为r（t1）和r（t2），则质点在t1~t2时间间隔内位矢的增量为 Δr=r(t2)-r(t1)（14） Δr称为质点在t1~t2时间内的位移矢量(displacement vector)，简称位移。位移是描述质点空间位置变化的物理量，它是从质点初始时刻位置指向终点时刻位置的有向线段。 在直角坐标系中，设质点在t1时刻坐标为x1、y1、z1，在t2时刻的坐标为x2、x2、z2，则这段时间内，质点的位移为 Δr=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k=Δxi+Δyj+Δzk（15） 式中，Δx、Δy、Δz分别为质点在t1~t2时间间隔内各坐标分量的增量。与位矢一样，位移也具有矢量性、瞬时性和相对性等特性。 质点运动的实际路径是图12中的曲线段Δs，其长度叫做路程(path)。特别需要注意的是位移Δr和路程Δs的区别： 首先Δr是矢量，仅与质点的始、末位置矢量r（t1）和r（t2）有关，而与中间过程无关， Δs是标量(scalar)，与过程有关，它是质点运动轨迹的长度； 其次，一般情况下路程并不等于位移的大小，即Δs≠|Δr|，例如，当质点经一闭合路径回到起始位置时，其位移为零，而路程则不为零，只有当时间间隔Δt取无穷小的极限情况下，位移大小|dr|才等于路程ds。 我们应当注意，当参考系确定后，质点的位矢依赖于坐标系的选取，而它的位移则与坐标系的选取无关。这点很容易证明。 【例题12】一质点作直线运动，其运动方程为x=2+2t-t2，式中t的单位为s，x的单位为m。试求： 从t=0到t=4s时间间隔内，质点位移的大小和它走过的路程。 解位移大小为 |Δx|=|x|t=4-x|t=0|=8m 将x对时间t求一阶导数 dxdt=2-2t=0 可得t=1s，即质点在t=0到t=1s内沿x正向运动，然后反向运动。分段计算 Δx1=x|t=1-x|t=0=1m |Δx2|=|x|t=4-x|t=1|=9m 路程为 Δx1+|Δx2|=10m 1.1.3速度 在力学中，仅知道质点在某时刻的位矢还不能完全确定质点的运动状态，为确定质点的运动状态，还需要知道质点运动的方向和快慢。描述质点运动的方向和快慢的物理量是速度(velocity)。只有当质点的位矢和速度同时确定时，其运动状态才被确定。所以，位矢和速度是描述质点运动状态的两个物理量。 如图12所示，质点在时间Δt=t2-t1内的位移是Δr，为表示质点在这一段时间内的运动快慢和方向，定义质点的平均速度(mean velocity) v-=ΔrΔt（16） 由上式可知，由于位移Δr是矢量，所以平均速度也是矢量，其方向与位移Δr的方向相同。 当Δt→0时，平均速度的极限值叫做质点在时刻t的瞬时速度(instantaneous velocity)，简称速度，用v表示，即 v=limΔt→0ΔrΔt=drdt（17） 显然，速度v是矢量，从图12中可以看出，速度v的方向是位移Δr在Δt→0时的极限方向。当Δt→0时，位移Δr趋向于和轨道相切，即某点速度沿着该点轨迹的切线方向，从数学上看，速度v就是位矢r对时间的一阶导数。 与位矢、位移一样，速度也具有矢量性、瞬时性和相对性。将式（11）代入式（17），就得到直角坐标系中速度矢量v的表达式 v=vxi+vyj+vzk（18） 式中，vx=dxdt，vy=dydt，vz=dzdt分别是速度在三个坐标轴方向的分量。 速度的大小叫速率(speed)，以v表示 v=limΔt→0|Δr|Δt=|dr|dt（19） 由式（18），速率也可表示为 v=v2x+v2y+v2z（110） 前面讲到，当时间间隔Δt→0时，位移大小|dr|等于路程ds，因此，式（19）可以写成 v=limΔt→0ΔsΔt=dsdt（111） 即速率v等于质点所走过的路程s对时间的变化率。 速度描述了质点在某一瞬时的运动状态，一般来说，速度就是随时间变化的，即 v=v(t)（112） 本书物理量的单位采用国际单位制，简称SI制。在国际单位制中，长度的单位是m(米)，时间单位是s(秒)，速度的单位是m/s（米/秒）。 【例题13】设质点的运动方程为r=(t+2)i+(0.25t2+2)j（m），求： （1）t=3 s时的速度； （2）质点的运动轨迹方程。 解（1） 由题意可得速度分量分别为 vx=dxdt=1m/s，vy=dydt=0.5t 故t=3s时的速度分量分别为vx=1m/s和vy=1.5m/s，于是t=3s时的速度为 v=i+1.5j 速度的值为v=1.8m/s，速度与x轴的夹角为 θ=arctan1.51=56.3° （2） 由已知的运动方程r=(t+2)i+(0.25t2+2)j，可得x=t+2，y=0.25t2+2，从x、y中消去t可得轨迹方程 y=0.25x2-x+3 1.1.4加速度 质点在运动中，其速度的大小和方向会发生变化，或者二者同时变化。加速度(acceleration)就是描述质点运动速度变化的物理量。 设质点在t与t+Δt时刻的位置分别在P、Q处，其速度分别为v(t)和v(t+Δt)，如图13（a）所示，速度的变化为Δv，如图13（b）所示。定义这段时间内的平均加速度(mean acceleration) a-=ΔvΔt（113） 图13速度的变化 平均加速度只能粗略地描述质点速度在一段时间内的变化。当Δt趋于零时，式（113）的极限就是速度对时间的变化率，称为质点在时刻t的瞬时加速度(instantaneous acceleration)，简称 加速度，用a表示，即 a=limΔt→0ΔvΔt=dvdt=d2rdt2（114） 加速度精确地描述了质点在时刻t速度变化的快慢和方向。从数学上看，加速度a就是v对时间t的一阶导数，或者是位矢r对时间t的二阶导数。 将式（18）代入式（114），就得到直角坐标系中加速度矢量a的表达式 a=axi+ayj+azk（115） 式中，ax=dvxdt=d2xdt2，ay=dvydt=d2ydt2，az=dvzdt=d2zdt2分别是加速度在三个坐标方向的分量。加速度的大小 a=a2x+a2y+a2z（116） 加速度a是一个矢量，它的方向是Δt→0时Δv的极限方向，由于描述质点运动状态的速度v是矢量，所以加速度a不仅表示质点速度大小的变化，也表示速度方向的变化。一般情况下，质点任一时刻的加速度方向并不沿着该时刻质点速度的方向（轨迹的切线方向）。 加速度与速度一样具有矢量性、瞬时性、相对性三个特征。在国际单位制中，加速度的单位是m/s2。 运动学中的一类问题是已知质点的加速度或速度，以及t=0时的初始条件（例如初始位置r0和初始速度v0），求物体的运动方程或运动轨迹，这类问题可以利用式（17）和式（114）对时间积分求解。下面举例说明。 【例题14】一质点沿Ox轴作加速直线运动，t=0时的位置是x0，速度是v0，加速度为a=a0+bt，其中a0和b是常量，求经过t(s)后质点运动的速度和位置。 解质点作直线运动，由定义a=dvdt，得 dv=adt=(a0+bt)dt 当t=0时，v=v0，对上式两边从初始时刻到任意t时刻积分，得 ∫vv0dv=∫t0(a0+bt)dt 经过t秒后质点的速度为 v=v0+a0t+ b2t2 质点沿Ox轴运动，由定义v=dxdt，得 dx=vdt 当t=0时，x=x0，对上式两边从初始时刻到任意t时刻积分，得 x-x0=∫t0vdt=∫t0v0+a0t+b2t2dt=v0t+12a0t2+b6t3 经过t秒后质点的位置为 x=x0+v0t+ 12a0t2+ b6t3 如果b=0，则质点作匀加速直线运动，有 v=v0+a0t x=x0+v0t+12a0t2 这些就是我们熟知的匀加速直线运动的速度和加速度公式。 【例题15】如图14所示，设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体，以初速v0在Oxy平面内沿与Ox轴正向成α角抛出， 图14抛物运动 并略去空气对抛体的作用。求： （1）抛体的运动方程和其运动的轨迹方程； （2）抛体的最大射程。 解（1） 由题意可知，物体在地球表面附近作加速度为a=g=-gj的斜抛运动。又从图14中可以看出，在t=0时，抛体位于原点O，其位矢r0=0。于是，由dv/dt=a=g，可解得抛体在时刻t的速度为 v=v0+gt(117) 初速度沿x轴和y轴的分量分别是 v0x=v0cosα v0y=v0sinα 由dr/dt =v和式（117），可得抛体在时刻t的位矢为 r=v0t+12gt2(118) 式(118)就是斜抛物体的运动方程的矢量式。它在Ox轴和Oy轴上的分量式分别为 x=v0tcosα（118a） y=v0tsinα- 12gt2（118b） 上式清楚地表明： 抛体运动是由沿x轴的匀速直线运动和沿y轴的匀加速直线运动叠加而成的，这就是抛体运动的可叠加性。式（118）和式（ 118a）、式（118b）都是斜抛物体的运动方程。只是矢量式更加简洁而概括。 消去式（118a）和式（118b）中的t可得 y=xtanα-g2v20cos2αx2 （119） 这就是斜抛物体的轨迹方程。它表明在略去空气阻力的情况下，抛体在空间运动的轨迹为抛物线。 （2） 当抛体落回地面，即y=0时，抛体距离原点O的距离d0称为射程。由式（119）可得 d0=2v20gsinαcosα 显然，射程d0是抛射角α的函数，最大射程的条件为 dd0dα=2v20gcos2α=0 可得α=π4。这就是说，当抛射角α=π4时，抛体的射程最远，其值为 d0m=v20g 在研究物体的运动学问题时，如果已知物体的运动方程（即位矢），就可以通过运动方程对时间求导数，得到物体的速度和加速度。 【例题16】一质点沿Oy轴作直线运动，它在t时刻的坐标是y=4.5t2-2t3，式中t的单位为s，y的单位为m。试求： （1）t=1~2s内质点的位移、平均速度和2s末的瞬时速度； （2）t=1~2s内质点平均加速度和2s末的瞬时加速度。 解（1） 位移为 Δy=y|t=2-y|t=1=2m-2.5m=-0.5m 平均速度为 v-y=ΔyΔt=-0.5m1s=-0.5m/s 瞬时速度 vy=dydt=9t-6t2 （a） 将t=2s代入式（a）得 vy|t=2=-6m/s （2） 由式（a）可知 Δvy=vy|t=2-vy|t=1=-6m/s-3m/s=-9m/s 平均加速度为 a-y=ΔvyΔt=-9m/s1s=-9m/s2 瞬时加速度为 ay=dvydt=9-12t（b） 将t=2s代入式（b）得 ay|t=2=-15m/s2 洲际导弹及其射程 1. 洲际导弹简介 洲际导弹是指射程在8000km以上的导弹。洲际导弹是战略核武器的重要组成部分，拥有这种导弹的国家，不必远涉重洋就能直接对敌国实施战略性攻击。由于各国所处地理位置和军事战略意图不同，对洲际导弹的射程规定不尽一致。例如，有的国家把洲际导弹射程定在5000km以上，有的国家定在6000km以上。洲际导弹有不同的分类，按飞行弹道可分为洲际弹道导弹和洲际巡航导弹； 按发射点与目标位置可分为地地洲际导弹和潜地洲际导弹。洲际弹道导弹通常为多级的液体推进剂导弹或固体推进剂导弹，采用惯性制导或复合制导，携带核装药单弹头或多弹头。它具有推力大，飞行速度快，射程远，命中精度高，威力大等优点。地地洲际弹道导弹多数尺寸大、笨重，不便机动，一般配置在导弹发射井内，采用自力发射(热发射)或外力发射(冷发射)。潜地洲际弹道导弹配置在核动力潜艇内，采用水下冷发射。 最早的洲际导弹是1957年8月21日苏联首次试射成功的ss6地地洲际弹道导弹，射程约8000km。同年，美国研制成功射程为8000km的“鲨蛇”地地洲际巡航导弹，不过其性能较差，停止发展，尔后研制出射程达12000km的“宇宙神”地地洲际弹道导弹，于1959年开始装备部队，1965年退役。此后，洲际弹道导弹得到迅速发展。20世纪70年代，出现了潜地洲际弹道导弹。地地洲际弹道导弹几经更新换代，战术技术性能大大提高，命中精度(圆概率偏差)从数千米精确到百米左右； 射程可达万余千米； 采取了抗核加固措施； 发展了集束式多弹头和分导式多弹头，提高了突防和摧毁目标的能力。美国现役洲际弹道导弹有“民兵Ⅲ”、“和平卫士”等地地洲际弹道导弹。苏联装备的洲际弹道导弹近20种，其中有ss18、ss19、ss24、ss25等地地洲际导弹和ssn20、ssn23等潜地洲际导弹。中国已拥有自行研制的洲际导弹。 洲际导弹总的发展趋势是： 在改进和完善大型导弹的同时，注重发展小型、机动的地地洲际弹道导弹，增大潜地洲际弹道导弹的射程，研制新型洲际巡航导弹，采用机动式弹头，进一步提高导弹命中精度、生存能力和突防能力。 2. 洲际导弹的射程 从例题15中，我们得出抛射体运动的方程式为 r=v0t+ 12gt2（P11） 式中，v0是初速度，g为重力加速度。 上述结论是对地球表面附近的抛射体而言的，而洲际导弹飞行很远，研究其射程时不能再将地面看作平面，而要考虑地面是球面。为了进行简单估算，把洲际导弹的运动近似地看成是绕地球中心的匀速圆周运动与垂直于地球表面的上抛运动的叠加，把前者看成是“水平”方向的匀速运动，后者看成“铅直”方向的匀变速运动，如图P11所示。两种运动叠加后，导弹在y方向的重力加速度修正为 -G=- g- v20cos2θR 式中，θ为初速度的仰角，y的方向铅直向上。 在式（P11）中以G代替g，得 r=v0t+ 12 Gt2 （P12） 由例题15，抛射体的最大高度及水平射程分别为 h=v20sin2θ2g， d=v20sin2θg 将上面两式中的g用G代替，可得导弹飞行的最大高度及“水平”射程分别为 h=v20sin2θ2g(1-c2cos2θ)，d=v20sin2θg(1-c2cos2θ) 式中，c=v0/gR，表示导弹的初速度大小v0与第一宇宙速度gR之比。显然，c<1。d是导弹发射点与落地点之间的大圆弧的弧长，如图P12所示。令dddθ=0，可得，当α=arctan1-c2时，导弹的最大射程为 dm=c2R1-c2 因此，图P12所示的大圆弧所张的圆心角的最大值αm为 αm=c21-c2 （P13） 图P11州际导弹的运动分析 图P12导弹发射点与落地点的示意图 当c=0.85时，由式（P13）所得的各种射程与用较精确的计算结果相比，其平均误差小于7%。这说明，式（P13）的近似计算具有较理想的可用性。