第1章 狭义相对论
20世纪初物理学领域的革命以相对论的建立和量子力学的诞生为标志,狭义相对论把牛顿经典力学理论的描述能力从低速运动推广到了高速运动(接近光速)，量子力学则把牛顿经典力学理论的描述能力从宏观运动推广到微观世界(原子尺度或者更小尺度)粒子运动。相对论和量子理论构成了近代物理理论的基础。本章将介绍相对论的基础知识，包括狭义相对论基本原理、狭义相对论运动学、狭义相对论动力学和广义相对论简介等。通过本章的学习，可以使我们对狭义相对论的基本内容和简单应用有一个全面了解。
1.1 狭义相对论基本原理
1. 经典力学体系的自然哲学基础
事实上，在牛顿创立经典力学体系之前，已经有科学家做了一些重要的贡献，特别是伽利略与开普勒。他们对牛顿力学的建立有着非常重要的影响。伽利略是近代实验科学的先驱者，也称得上是近代自然科学的启蒙导师。他通过对自由落体的研究，发现了惯性运动和在重力作用下的匀加速运动，启迪了牛顿第一定律和第二定律。伽利略关于抛物体运动定律的发现，对牛顿万有引力的学说也有深刻的启示作用。天文学家开普勒所发现的行星运动定律则是牛顿万有引力学说产生的最重要前提。1609年，开普勒出版了《新天文学》一书，提出了太阳系行星运动的两条基本定律: 行星运动第一定律--行星的轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上；行星运动第二定律--在相等的时间内，行星和太阳的连线所扫过的面积相等。接着，开普勒又发现了行星运动第三定律--太阳系中任何两颗行星公转周期的平方比等于它们轨道半径(半主轴长)的立方比，亦称周期定律。行星运动三定律的发现，使太阳系成为一个严格按照确定规律运行的力学系统。更重要的是，开普勒的发现，使得人们开始认识到一切自然现象的背后存在着客观的规律，而确定的自然规律激发起人们从因果的角度去探究的欲望。
在牛顿创立经典力学体系之后，牛顿经典力学又经历了200多年的发展，特别是1788年拉格朗日出版了《分析力学》，提出虚功原理和达朗贝尔原理，1834年汉密尔顿推导出用广义坐标和广义动量联合表示的动力学正则方程，直到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上完成了线性非完整约束的理论。经典力学体系在19世纪末20世纪初发展成为一个抽象、完备的数学逻辑体系--分析力学。
作为一个力学体系，应该包含两方面内容:  运动学原理和动力学规律。经典力学体系的运动学原理，包括力学相对性原理和它的哲学基础--牛顿绝对时空观。力学相对性原理的思想首先由伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一文中提出，后人把它总结为伽利略不变性: 
近代物理概论第1章 狭义相对论对于任何惯性系，力学基本定律(牛顿定律)形式相同。
在逻辑上，伽利略的力学相对性原理以牛顿绝对时空观为前提。牛顿的绝对时空观是一种对时间和空间存在的朴素、直观的哲学认识，其内容包括两条: ①时间间隔的测量不随惯性系的改变而改变，称为时间的绝对性； 图1.1 同一质点在不同惯
性系的描述
②空间间隔的测量不随惯性系的改变而改变，称为空间的绝对性。
为了理解牛顿绝对时空观对运动学的意义，我们考查惯性系Σ和Σ′，其中Σ′相对于Σ的速度为u=uex。某一时刻，有一个质点位于P点,如图1.1所示。其中各个矢量的物理概念定义如下。
r: 表示Σ系中测量得到的O点到P点的位置矢量。
R: 表示Σ系中测量得到的O点到O′点的位置矢量。
r′: 表示Σ′系中测量得到的O′点到P点的位置矢量。
倘若牛顿绝对时空观成立，根据空间的绝对性，r,R和r′均可以看作同一惯性系中，或者说是由同一观测者测量得到的关于O点、O′点和P点之间的位置矢量。根据平面几何学，满足如下关系:  r=R+r′  (1.1.1)若质点P处于运动状态，即位置矢量随时间在改变，考虑到式(1.1.1)在任意时刻均成立，则有r(t)=R(t)+r′(t)    (1.1.2)同理，根据时间的绝对性，即质点P处于某两个物理状态的时间间隔的测量值和所在的惯性系无关，采用如下定义: dt表示Σ系中测量得到的时间间隔;dt′表示Σ′系中测量得到的时间间隔,则有dt=dt′(1.1.3)再根据空间测量的绝对性关系，对式(1.1.2)求时间导数满足 dr(t)dt=dR(t)dt+dr′(t)dt  (1.1.4)结合时间测量的绝对性关系，则有dr(t)dt=dR(t)dt+dr′(t)dt′                   (1.1.5)根据速度的定义，进一步对应为PO=PO′+uO′O(1.1.6)此即为经典力学的伽利略速度变换。
进一步根据加速度的定义,有aPO(t)=a′PO′(t)(1.1.7)由此，我们也得到了经典力学的伽利略加速度变换。
此外，经典力学体系中实际还包含了另外两条假定: ①物理受力大小不随惯性系的改变而改变； ②物理的质量不随惯性系的改变而改变。
因此，如果在惯性系Σ中，满足牛顿第二定律F=ma(1.1.8)根据牛顿绝对时空观以及对应的伽利略相对性变换，则在惯性系Σ′中，动力学规律仍然保持了同样的数学形式: F′=ma′(1.1.9)这说明经典力学体系保证了力学相对性原理。
2. 狭义相对论产生的历史背景和实验基础
1) 历史背景
19世纪末20世纪初，经典物理学的其他分支，比如热力学和统计力学，以及麦克斯韦电磁场理论的建立，使经典物理学达到了它的顶峰，当时人们系统地采用经典的动力学思想描绘出一幅物理世界的清晰、完整的图画，几乎能完美地解释所有已经观察到的物理现象。例如，一切力学现象原则上都能够从经典力学得到解释，牛顿力学以及分析力学已成为解决力学问题的有效的工具。对于电磁现象的分析，已形成麦克斯韦电磁场理论，这是电磁场统一理论；而光作为一种电磁波，这种理论还可用来阐述波动光学的基本问题。至于热现象，也已经有了唯象热力学和统计力学的理论，它们对于物质热运动的宏观规律和分子热运动的微观统计规律，几乎都能够作出合理的说明。19世纪末在欧洲物理学家的一次大会上，英国著名物理学家W.汤姆孙(开尔文勋爵)发表了致辞。他在回顾物理学所取得的伟大成就时说，物理学的大厦已经建成，物理学的一些基本的、原则的问题都已经解决，剩下来的只是在一些细节上作一些补充和修正。开尔文作为19世纪英国杰出的理论物理和实验物理学家，作为一位备受尊崇的物理学权威，他的说法道出了物理学发展到19世纪末期的基本状况，反映了当时物理学界的主要思潮。的确，以经典力学体系为基石，以经典力学、经典电磁场理论和经典统计力学为三大支柱的经典物理大厦已经建成，让大家深深领略到物理学的基础牢固，宏伟壮观！在这种形势下，难怪物理学家会感到陶醉，会感到物理学已大功告成了。
然而，正当物理学家在庆贺物理学大厦落成之际，科学实验却发现了许多经典物理学无法解释的现象。首先是世纪之交物理学的三大发现: 电子、X射线和放射性现象的发现；其次是经典物理学的万里晴空中出现了开尔文勋爵所谓的两朵“乌云”。事实上，就是在19世纪末物理学家的那次大会上，开尔文勋爵在展望20世纪物理学前景的同时，却若有所思地提到了两朵“乌云”，他说，动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，但是现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了： 第一朵乌云出现在光学的迈克耳孙实验结果和以太漂移说相矛盾上，第二朵乌云出现在热学的关于能量均分的麦克斯韦-玻耳兹曼理论和黑体辐射的“紫外灾难”上。这些实验结果与经典物理学的基本概念及基本理论有尖锐的矛盾。最终两朵乌云酿成了两场伟大的革命，导致了狭义相对论的创立和量子力学的诞生。这其中，光速的相对性不变现象(理论: 麦克斯韦电磁方程组；实验: 迈克耳孙-莫雷实验)在相对论的创立过程中起到了关键作用。
众所周知，电磁学的基本规律可以最后归结为麦克斯韦方程组，其在真空中的数学表述如下: Δ·E=ρeε0,Δ×E=-Bt
Δ·B=0,Δ×Bμ0=j+Dt(1.1.10)根据上述微分方程组，通过代数运算，可以得到如下方程: Δ2E-μ0ε02Et2=0
Δ2B-μ0ε02Bt2=0(1.1.11)此方程符合描写机械波传播的波动方程标准形式，故可以看作电磁波的波动方程。根据波动方程的求解，可以看出电磁波相位传播的传播速度为v=1μ0ε0(1.1.12)而实验测得的电磁场真空磁导率和电导率是一个恒定值，似乎与观测者所在的惯性系无关,电磁波的传播速度将违反前面阐述的经典力学普遍满足的伽利略速度变换。对于这个问题,历史上一开始存在过一种变通的解释，即认为伽利略速度变换作为与运动学原理直接相关联的基本性质，可以相信仍然普遍成立，同时考虑到电磁波的传播一直没有找到传播的媒介,而在经典的波动力学中，任何机械波的传播都是需要媒介的。基于上述两点考虑，猜想麦克斯韦方程组只在某一惯性系成立，而该惯性系就是相对光传播的媒介静止的参考系，称之为绝对惯性系。光传播的媒介被命名为以太,由此引入了“以太说”。在绝对惯性系中，以太均匀、静止地弥漫在我们整个宇宙空间中。在非绝对惯性系中，则认为光的速度仍然遵循伽利略速度变换。
2) 验证以太的实验--Michelson-Morley实验
迈克耳孙和莫雷于1887年设计了一个旨在检测作为绝对惯性系的以太的光学实验(参见图1.2)，试图用光干涉仪检测到地球穿过以太的运动。在这之前，有些科学家将电磁波的传播视为以太振动的传播过程，以太是传播电磁波的媒质，它就是一个静止的绝对参考系。地球显然并不绝对静止，而以一定速度v相对于以太运动，因此地面上的光源向不同方向发出的光线(例如和地球运动方向相同、相反或垂直)相对地面参考系应具有不同的速度。为了检验这种认识的正确性，迈克耳孙和莫雷设计了具有高精确度的干涉实验仪器，比较光线在平行和垂直地球运动方向上的视速，以检测地球相对于绝对惯性系的运动。(已知地球相对太阳的速度为30km/s)
图1.2 迈克耳孙干涉仪
物理分析: 
(1) 在忽略地球加速度情况下，在一段较短时间内，可以假定地球相对太阳的速度变化不大。
(2) 在地球表面静止的观测者所定义的参考系可近似为惯性系，太阳中心的观测者所定义的参考系也可近似为惯性系，相对地球，太阳参考系更可以近似为绝对惯性系。所以，可以合理假定光相对于太阳的速度即为光速，v光对日=c，为常量。
(3) 由伽利略速度变换，可得光对地＝光对日+日对地(1.1.13)由于在不同时刻，地球位于绕日椭圆轨道的不同位置，所以地球相对太阳的速度是不相同的。若伽利略速度变换仍然成立，则光相对于地球参考系的速度也是不相等的。因此，根据迈克耳孙干涉仪的实验原理,地球不同时刻的位置变化将引起干涉相位差的改变，从而导致观测条纹的移动。光路图如图1.3所示，其中补偿板的作用是使两个方向的分光板到反射镜的光程均为l. 
图1.3 迈克耳孙干涉仪的光路图
若以u表示光源发出的光相对于地球的速度，以表示地球相对于太阳的速度，并假定在光路图1.3中方向沿竖直向上。根据伽利略速度变换式(1.1.13)，有c2=u2+v2+2uvcosθ(1.1.14)其中θ表示u和之间小于180. 的夹角。由上式得u=c2-v2sin2θ-vcosθ(1.1.15)从而得到，光相对地球的速度为u=c-v,θ=0
u=c2-v2,θ=π2
u=c+v,θ=π(1.1.16)同时，根据迈克耳孙干涉仪的实验原理，考查光沿着S→G1→M1→G1→观察屏传播时，光对地的速度u沿竖直方向，故光传播G1→M1→G1需要花费的时间为t1=lc-v+lc+v=2lcc2-v2≈2lc1+v2c2(1.1.17)考查光沿着S→G1→G2→M2→G2→G1→观察屏传播时，光对地的速度u沿水平方向，故光传播G1→G2→M2→G2→G1需要花费的时间为t2=2lc2-v2≈2lc1+v22c2           (1.1.18)两路光线在观察屏处形成的光程差为l12=cΔt=ct1-t2≈lv2c2     (1.1.19)此时，如果原地转动干涉仪90. ，其对条纹变化的影响，或者说对光程差的影响等效于: 干涉仪在图1.3中的方位不动，同时地球相对太阳的速度方向转动90. ，即从图示的竖直向上变为水平向右。因此，观察屏处的光程差则为(t′1=t2, t′2=t1)l12=cΔt′=ct′1-t′2=c(t2-t1)=-cΔt=-lv2c2     (1.1.20)根据光程差的变化，理论上可以观测到在此过程中条纹移动的条数为ΔN=2cΔtλ≈2lλ·v2c2(1.1.21)根据一般迈克耳孙干涉实验的实验参数: l=10m, λ=500nm, v2c2≈10-8,最后得到(ΔN)理论≈0.4(个条纹)(1.1.22)而实验观测到的条纹移动的实际条数竟不到0.01条！ 因此只能认为，光依靠以太传播的理论是不正确的。换句话说，在光的传播问题上，伽利略速度变换也是不成立的。这一问题即为光速的相对论不变问题。实际上，上述测量光速变化的地面实验，可以在地球的各个地区去测量，如果结果恒定不变，则证明光速与地球的自转运动无关；也可以在地球同一地点的不同时刻去测量，如果结果恒定不变，则证明光速也与地球的公转运动无关。
3. 狭义相对论的公理化体系
人们对于自然界的认识和研究处在不断的进步中，研究的方法和手段也在不断更新。回顾几千年的人类史，自然科学的总体发展趋势是从感性到理性，从直观到抽象。
  在近代科学诞生之前的很长一段时间内，人们对于自然界的认识都是机械的、直观的。在古代，从中国的老子、庄子，到西方的柏拉图、亚里士多德，他们都通过对于人们日常生活经验的归纳和总结得到了自然界的总体认识，但是认识是非常朴素的、直观的。主要的研究方法也只是停留在归纳总结阶段。
与古代自然哲学的直觉猜测不同，西方从中世纪发展起来的、为神学辩护的经院哲学学派提出了用理性思维来认识自然和世俗事物。经院哲学学派认为神学源自信仰，哲学源于自然理性，而理性服从信仰，即上帝的真理只有通过信仰来领悟，而上帝真理之外的真理要由理性来认识，人类理性的运用范围限于所能看到或直接感受到的事物。这就是著名的“双重真理论”。经院哲学通过这种信仰和理性的分离，试图避免理性损害信仰，从而维护神学权威。但是其所带来的一个客观效果却是使人类的理性思维和逻辑推理分析得到了启蒙和发展。
到了中世纪末，英国著名哲学家培根则尖锐地批判了中世纪经院哲学，认为经院哲学玩弄概念，禁锢人们的思想，主张要全面改造人类的知识。他为此提出唯物主义经验论和创立经验归纳法。在培根思想的影响下，自然科学开始重视实验和强调实验基础。但是随着近代自然科学的发展,特别是从16世纪中叶由哥白尼发起的天文学革命，到17世纪末叶牛顿经典力学体系的建立，近代自然科学在研究方法上又有了重大的改变和创新，在研究中融入了大量的逻辑推理和演绎。在这一方面，力学突飞猛进式的发展成为了典范。由牛顿以开普勒三大经验定律为基础充分运用逻辑演绎法成功发现万有引力定律为标志，近代科学开始进入经验归纳和逻辑演绎并重的研究时代，对科学的发展和人类文明的进步带来了极其深远的影响。
自然科学发展到今天，即便是同一个学科，研究的内容更加深入，研究的领域更加广泛，从而对于学科体系的逻辑要求也越来越高。目前，学科体系研究的最高级形式是公理化方法。公理化方法最早由欧拉在《几何原本》中引入，发展到19世纪末，由希尔伯特把公理化方法发展到巅峰。希尔伯特在1899年出版的巨著《几何基础》是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，以有限的几条公理为基础，通过逻辑演绎推导出所有的物理结论，从而使得整个学科体系具有最清晰的逻辑结构。公理化体系是人类研究自然界从感性思维向理性思维跨出的又一大步，大大提高了人类对于深刻自然规律的探索能力，爱因斯坦的相对论就是这一个研究方法成功应用的典范。
根据公理化体系，狭义相对论的逻辑体系正是建立在以下两个基本公理之上。
(1) 光速不变原理: 在不同的惯性系中，沿不同的方向传播，真空中的光速速率均保持不变。
(2) 相对性原理: 物理规律在一切惯性系中均保持形式不变。
1.2 狭义相对论运动学1. 坐标变换规律  1)  事件
在相对论中，有必要引入一个新的概念--事件。所谓事件就是某一时刻在空间某点发生的一个物理现象,例如闪光、测量、记录坐标值等。在一个确定的坐标系中，每一个事件都可以由一组坐标来唯一确定，比如事件P可以用P(x,y,z,t)来描述。另外，在狭义相对论中讨论涉及的是非常基本的时空概念，所以对于任何一个我们在经典力学中运用自如的运动学量的概念在相对论的讨论中必须加以认真审视，尽可能从公理出发，少作假定，做到自然而严谨。例如，任意惯性系中对于事件的空间坐标值度量，一个非常自然的定义，就是空间坐标由静止在该惯性系中的尺子来度量，而对于事件的时间坐标的度量由静止在该惯性系中与该事件同地的时钟来记录，显然这点更符合我们的经验体会。但是需要补充说明的是，在同一惯性系中，我们原则上可以假想在各个空间坐标点上都放置了时钟，而且所有的时钟在测量前均已被校准为同步的时钟；而对于同一事件，在不同惯性系中得到的空间坐标值可以是不一样的，得到的时间坐标值也可以是不一致的，它们之间的具体关系不作进一步假定，除非已有的基本公理不足以通过逻辑演绎的方法得出它们之间的关系。总而言之，对事件的描述可以归结为以下两个基本特点： 
(1) 事件在确定的时空点发生，但可以对应不同的时空坐标记录值；
(2) 在任意参考系中，直接记录的是坐标值而不是时空点。   
2)  洛伦兹变换
考查任一事件P，其在Σ中的坐标描述可以标记为P(x,y,z,t)。事件发生有确定的时空点,但是其时间坐标依赖于参考系的时钟记录值，其空间坐标依赖于参考系的尺度记录值。 在狭义相对论中，以两条基本公理为出发点，通过逻辑演绎和推导，可以得到一些和人们对时空的通常认识大相径庭的奇特性质。下面针对同时的相对性、时钟延缓和长度收缩分别进行讨论。
 (1)  同时的相对性
假定分别以地面上的静止观测者和匀速行驶火车上的观测者考查两个事件A和B，自然地引入两个惯性系，分别为Σ（对应为地面观测者图1.4 初始时刻的两个惯性系
参考系）和Σ′（对应为火车观测者参考系）。为讨论方便，选取其坐标轴如图1.4所示，并进一步作两个“初始约定”:
① Σ和Σ′在t=0初始时刻，坐标原点重合--“时空原点对准”; 
② Σ′相对Σ向右作匀速直线运动，速率为u-- "Σ′沿x轴正向运动”. 
这里首先要引入“同时”的概念。相对论作为时空基本性质的理论，“同时”的物理概念必须在时空性质讨论之前得到明确清晰的定义。根据公理化方法的精神，惯性系中 “同时性”的定义可以自然地借助光速不变原理。具体操作如下： 对任意确定的惯性系，从A、B事件中各发出一个光信号，由于光速不变原理，若在该惯性系看来，两个光信号正好在 A、B的中点M相遇，则认为A、B事件在这一惯性系看来是同时发出光信号的，由此可以定义A、B事件是同时发生的。
假定在Σ系中事件A和B同时发生，且都在t=0初始时刻,则在Σ和Σ′中，事件的描述可以引入表1.1来表示。表1.1 不同事件在不同惯性系中描述的对应关系事件A事件B事件： M点相遇惯性系Σ(xA,t=0)(xB,t=0)(xM,tM)惯性系Σ′(x′A=xA,t′A)(x′B=xB,t′B)(x′M,t′M)  相同的事件在不同坐标系之间的联系根据事件图1.5 相遇时刻的两个惯性系
和事件的坐标记录
坐标的记录值反映出来，如图1.5所示。
显然在光信号相遇的那一刻去看，相遇点在各自的参考系Σ和Σ′中的空间坐标记录值M和M′可以不相等，但是实际上其对应于同一个空间位置。而当初发出光信号的事件A和B在参考系Σ′中的位置，应当是当初事件发生时的记录值。因此，根据坐标系的相对运动方向，由图1.5可以得到：A′M′<M′B′。已知在Σ′中，光速沿不同方向传播时的值恒定不变,因此，在Σ′系中，有t′B′<t′A′ (1.2.1) 也就是说，在Σ系中同时发生的事件A和B，在Σ′系看来，却是不同时发生的，事件B发生的时间比事件A要早。这就是相对论中同时的相对性的由来。一般说来，在静止的惯性系中是同时发生的两个事件，在运动的惯性系看来，处于运动前方的事件发生的时刻要比处于运动后方的事件发生的时刻早。
(2)  时钟延缓
在此处的讨论中沿用前述两个惯性系Σ和Σ′以及两个“初始约定”。现假定在火车的车厢（Σ′系）上有一静止的光源S和一个反射镜M，从S向M发出光信号，经M反射，回到S被接收，并进一步假定Σ和Σ′的相对运动速率不大于光速，则其光路图分别如图1.6和图1.7所示。这里光信号的发射和接收正好对应为两个事件。下面我们就来分析这两个事件在Σ和Σ′中观察到的时间间隔分别是多少。
图1.6 静止参考系看到的光路图
图1.7 镜子随动参考系看到的光路图
在Σ′系中，假定光信号运行的时间间隔为Δt′，空间间隔沿y轴方向为2d′。对比在Σ系中，假定光信号运行的时间间隔为Δt，空间间隔沿x轴方向为uΔt ，沿y轴方向为2d.  因为2d和2d′为同两个事件在不同惯性系中的空间间隔，若两个惯性系之间的相对速度确定，并合理假定相对论中力学仍然满足经验所显现的线性法则，则d和d′之间比值恒定，和实际间隔的大小无关，满足（在Σ来看，Σ′向右运动）d=(u)d′ (1.2.2) 反之，由相对性原理，同时满足（在Σ′来看，Σ向左运动）d′=(-u)d (1.2.3)   此外， 对d和d′的度量，可以归结为纯空间的长度的度量。而相对运动速度u和-u在d（或d′）的垂直平面内，根据绕d（或d′）轴的转动对称性，可以合理地假定d（或d′）的垂直平面空间内没有特别优越的方向。因此，必然有(u)=(u)=(-u) (1.2.4)   结合式（1.2.4) ，并将式（1.2.2）和式（1.2.3）联立， 则得到d=(u)d′=2(u)d (1.2.5) 由此得到(u)=±1 (1.2.6) 是一个和惯性系之间的相对速度无关的常数。因此，进一步考虑到Σ和Σ′相对静止时，d=d′。由此可以得出： (u)=1. 
根据相对论的基本公理，光信号在Σ和Σ′系中的运行分别满足光速不变原理，因此在Σ系中，有c=2u2Δt24+d2Δt (1.2.7) 在Σ′系中，有c=2d′Δt′=2dΔt′ (1.2.8) 比较式（1.2.7）和式（1.2.8) ，可得2dΔt′=2u2Δt24+d2Δt1Δt′2=u2Δt24d2+1Δt2
Δt2=u2Δt2Δt′24d2+Δt′2=u2Δt′24d2Δt2+Δt′2=u2c2Δt2+Δt′2很容易得出Δt=Δt′1-u2c2 (1.2.9) 这就是光信号的发射和接收在不同惯性系测得的时间间隔的关系式。如果把上式推广为任意两个事件适用的规律，则要求两个事件在两个惯性系中满足如下一般形式，如表1.2所示。表1.2 满足时钟延缓公式对事件坐标的形式要求事件1事件2惯性系Σ(x1,t1)(x2,t2=t1+Δt)惯性系Σ′(x′1,t′1)(x′2=x′1,t′2=t′1+Δt′)  这里引入固有时的概念，固有时定义为在某一个惯性系中， 同一空间坐标点上先后发生的两个事件的时间间隔,记作Δτ。则式（1.2.9）可以改写为Δt=Δτ1-u2c2=Δτ1-β2defγΔτ (1.2.10) 可见，在不同的惯性系看来，固有时是最短的。不妨考查运动时钟的两次正点打铃事件。假定从静止的惯性系看这两次正点打铃事件，得到的时间间隔为Δt；从相对运动时钟静止的惯性系中测量，显然，两次打铃事件都发生在同一个空间坐标点上，因此得到的时间间隔对应为固有间隔Δτ，等于直接从运动时钟上读到的刻度之差，根据上式，有Δt>Δτ，这就是运动时钟的延缓效应。
例1.1 已知飞船相对地面的速度为u=9×103m/s，对飞船上发生的某两个事件，在飞船上经过的时间间隔为Δt=5s，试求地面观测者看到的时间间隔Δt′为多少。
解 ① 首先确定哪个是固有时。
事件均发生在飞船上，故飞船惯性系上的时钟测得的时间间隔为固有时。即Δt=5s=Δτ  ② 根据固有时最短定理,有Δt′=Δτ1-u2c2=51-u2c2≈5.000000002(s) (1.2.11)   例1.2 在实验室中观测π介子，已知其实验室速度为v=0,99c，从产生到衰变的时间内运动的距离为l=52m（实验室），求静止π介子寿命。
解 ① π介子在实验室的寿命
已知π介子相对实验室系的运动速率，又知晓π介子在实验室中的运动距离为l0=52m, 所以得到π介子在实验室的寿命Δt=l0v=52v  ② π介子在相对静止惯性系的固有寿命
两者之间满足时钟延缓的公式，所以Δτ=Δt1-u2c2=l0v1-u2c2=52v1-u2c2  (3)  长度收缩
根据前面的阐述，在一个指定的惯性系中对某一个物体长度的测量，由该惯性系中静止的尺子通过记录物体两端的空间坐标值来完成。物理上，两次记录空间坐标值的行为正好对应为两个事件。当物体在该惯性系中静止时，记录物体长度的两个事件可以不同时进行而不影响测量结果。当物体在该惯性系中运动时，则由于物体两端的空间坐标值在随时变化，这个时候对于该惯性系中的静止观测者来说，他对运动物体长度的测量会自然地选择在同一时刻去记录物体两端的空间坐标值，这也符合我们的经验体会。因此，对于物体长度的测量定义，可以最终归结为一个“同时性原则”，即在某惯性系对物体长度的测量，必须在该惯性系的同一时刻进行。
在这里的讨论中同样沿用前述的两个惯性系Σ系和Σ′系以及两个“初始约定”，并假定在Σ′系中有一静止的直棒A′B′。下面讨论直棒长度的测量。在t1时刻，如图1.8所示，棒的后端B′处于某一个时空点--标记为事件1，则记录的坐标值可以描述为表1.3. 
图1.8 t1时刻的惯性系
表1.3 t1时刻记录B′的坐标事件1 (t1时刻记录B′) 惯性系Σ′(x′1=x′B,t′1)惯性系Σ(x1,t1)在t2时刻，如图1.9所示，棒的前端A′到达新一个时空点（经过坐标点x1处）--标记为事件2，则可以描述为表1.4. 
图1.9 t2时刻的惯性系
表1.4 t2时刻记录A′的坐标事件2 (t2时刻记录A′) 惯性系Σ′(x′2=x′A,t′2)惯性系Σ(x1,t2)同在Σ系的t2时刻，棒的后端B′也到达另一个时空点, 假定此时B′在Σ系中经过坐标点x2处--标记为事件3。注意事件3在Σ′系的记录时刻可以记作t′3，但是t′3≠t′2，这是表1.5 t2时刻记录B′的坐标事件3 (t2时刻记录B′) 惯性系Σ′(x′3=x′B,t′3)惯性系Σ(x2,t2)由于在相对论中存在同时的相对性，在Σ系的同一时刻， 并不等于Σ′系的同一时刻。事件3可以描述为表1.5. 
① 考查B′端在Σ系中的速率
比较事件2和事件3，根据长度测量的同时性原则，在Σ系中测量得到的棒的长度为Δl=x2-x1。根据固有时的定义，可知t2-t1为事件1和事件2的固有时间间隔。
根据事件1和事件3, B′坐标点在t2-t1的时间间隔内，运动了x2-x1的距离。根据速率定义：vB′=x2-x1t2-t1=ΔlΔt(1.2.12)  从Σ系中看Σ′系的运动速率在物理上等价于棒的后端B′坐标点相对于Σ系原点的速率vB′. 
② 考查x1端在Σ′系中的速率
在Σ′系中，由于直棒A′B′相对静止，所以在Σ′系的任意时刻分别去测量棒的A′端和B′的坐标值，其值将保持不变。因此根据事件1和事件2，或者事件2和事件3，可以得出棒在Σ′系中测得的长度为Δl′=x′B-x′A。根据坐标系时间测量的定义，可知Δt′=t′2-t′1为事件1和事件2在Σ′系的时间间隔。
根据事件1和事件2, x1坐标点在t′2-t′1的时间间隔内，运动了x′B-x′A的距离。根据速率定义：vx1=x′B-x′At′2-t′1=Δl′Δt′(1.2.13)  同理，从Σ′系中看Σ系的运动速率在物理上等价于坐标点x1相对于Σ′系中B′坐标点的速率vx1. 
③ 惯性系之间的相对速度相对不变
进一步，根据相对论的基本公理之一--爱因斯坦相对性原理，我们应该得到这样一个结论： 从Σ′系中看Σ系的运动速率在数值上等于从Σ系中看Σ′系的运动速率，否则如果两个惯性系相互之间观测对方的相对速度大小有别，则可以据此定义绝对优越的惯性系，或者说惯性系可以区分。因此vx1=vB′=u=ΔlΔt=Δl′Δt′(1.2.14)因为Δt和Δt′同为两个事件（即事件1和事件2）在不同惯性系测得的时间间隔，且其中有一个是固有时，所以根据式（1.2.9) ，得到Δt′=Δt1-u2c2(1.2.15)再结合式（1.2.11) ～式（1.2.13) ，得到 Δl=Δl′1-u2c2(1.2.16)这里引入原长的概念，定义物体的原长为物体在相对于其自身静止的惯性参考系中测量得到的长度，一般记作l0。因此，原长和其他惯性系中测得的长度满足公式Δl=l01-u2c2=l01-β2(1.2.17)可见，原长最长，物体相对观测者的运动速度越大，测得的物体长度越短。这就是运动物体的长度收缩效应。上式是关于物体长度在不同惯性系测量的关系式，如果把其推广为对两个事件的空间间隔所满足的规律，则要求两个事件在两个惯性系中满足如表1.6所示的一般形式。表1.6 长度收缩公式对事件坐标的形式要求事件1:  测量前端坐标事件2:  测量后端坐标惯性系Σ(x1,t1)(x2=x1+Δl,t2=t1)惯性系Σ′（假定物体在Σ′系静止）(x′1,t′1)(x′2=x′1+l0,t′2)  例1.3 一根直杆在惯性系S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ,S′系相对S系沿着x轴的正方向以速率u运动，试求它在S′系中的长度和它与x′轴的夹角。
解 先对直杆的长度作垂直分解，在运动方向满足长度的收缩公式，在垂直于运动方向的直杆长度保持不变：Δx′=Δx1-u2c2=lcosθ1-u2c2, Δy′=Δy=lsinθ因此，在S′系中棒长为l′=(Δx′)2+(Δy′)2=l1-cos2θu2c21/2最后得到l′与x′轴的夹角为θ′=arctanlsinθlcosθ1-u2/c2=arctantanθ1-u2c2-1/2  (4) 洛伦兹坐标变换
继续沿用前述的两个惯性系Σ和Σ′系，保留两个“初始约定”:  
① Σ和Σ′在t=0初始时刻，坐标原点重合--“时空原点对准”; 
② Σ′相对Σ向右作匀速直线运动，速率为u. 
下面考查同一个事件P在不同惯性系中的坐标值的联系： 假定在不同惯性系观测事件P的坐标值，结果如表1.7所示。
在事件P发生时，Σ系中的P坐标点上的时钟读数为t时刻，所以在Σ系的观测者看来，事件P发生在t时刻，则如图1.10所示。
表1.7 任意时刻质点的坐标描述事件P惯性系Σ(x,t)惯性系Σ′(x′,t′)图1.10 从Σ系在t时刻记录P的坐标
因为x′是Σ′中固有坐标线段O′P′的原长，所以从Σ系看来O′P′的长度为x′1-β2。又因为P和P′实际对应于空间中的同一点，此外，同一观测者通过不同途径测量长度得到的结果应该具有唯一性和确定性，因此，有x=ut+x′1-β2 (1.2.18) 通过简单的代数运算，即得到x′=x-ut1-β2=x-ut1-u2c2 (1.2.19) 再从Σ′系来看坐标值的联系： 此前已经假定事件P发生时，Σ系中P′坐标点的时钟读数为t′时刻，因此在Σ′系的观测者看来，图1.11 从Σ′系在t′时刻记录P的坐标事件P是发生在t′时刻,则如图1.11所示。
这时，从Σ′系看来，x是Σ系中固有坐标线段OP的原长，所以从Σ′系看来,OP的长度为x1-β2，又因为P和P′实际对应于空间中的同一点（事件P) ，同理，有ut′+x′=x1-β2 (1.2.20)  通过代数求解得到t′=t-uxc21-u2c2=t-uxxc21-u2c2 (1.2.21) 上式的后一个等式是当惯性系之间的相对运动速度不是沿x轴时所满足的关系式。同理，可以考查y轴和z轴的坐标值联系。在目前讨论的惯性系约定下，参考“同时的相对性”一节中的垂直距离d的讨论，结果为y=y′,  z=z′因此，综合前面的结果，对于事件P在不同惯性系中的坐标值之间的联系满足t′=t-uxc21-u2c2,  x′=x-ut1-u2c2,  y′=y, z′=z     (1.2.22)此即洛伦兹坐标正变换 (Σ→Σ′, Σ′的速度沿着Σ的正方向) 。洛伦兹正变换适用的条件归纳为：
① 惯性系Σ和Σ′相对沿x轴匀速运动;
② 在t=t′=0时刻，Σ和Σ′的原点重合--“时空原点对准”; 
③ 坐标对应同一个事件。
狭义相对论作为全新的时空理论，讨论其经典下的近似行为是检验新理论的重要组成部分，而相对论的经典近似是低速近似，即有uc，则有γ≡11-u2/c2≈1又因为坐标值x有限,所以有 uc2x→0因此，洛伦兹坐标变换在低速近似得到的结果为x′=x-ut
y′=y
z′=z
t′=t此即回到经典力学体系的伽利略坐标变换，因此，相对论是满足牛顿的经典力学近似的。
例1.4 在地面上有一跑道长100m，运动员从起点跑到终点，用时10s，现在从以v=0.8c的速度向前飞行的飞船中观测该运动员跑过的距离、跑道长度和运动员的速度。
解 ① 跑道长度: l′=l01-β2=60m(从飞船看)。或者,从洛伦兹坐标变换求解,列出事件如表1.8所示。表1.8 跑道长度的测量跑道起点跑道终点跑道起点跑道终点地面惯性系(t1,x1)(t2,x2=x1+100)飞船惯性系(t′1,x′1)(t′1,x′2=x′1+Δl)  根据洛伦兹坐标逆变换，有l0=x2-x1=(x′2-x′1)-u(t′2-t′1)1-β2=Δl-01-β2
Δl=l01-β2  ② 运动员跑过的距离设为d=x′2-x′1(从飞船看)
运动员的起跑和终跑不是同一时刻发生的两个事件，引入事件表述(表1.9)。所以,得到运动员跑过的距离为
 d=x′2-x′1=(x2-x1)-u(t2-t1)1-β2≈-806c表1.9 起跑和终跑的事件坐标描述起跑终跑起跑终跑地面惯性系(t1,x1)(t2=t1+10,x2=x1+100)飞船惯性系(t′1,x′1)(t′2,x′2)  ③ 在飞船中的观测者看来，运动员的平均速度为运动员跑动的距离和运动员跑动的时间之比，而非跑道长度和运动员的时间之比，这是因为在飞船中的观测者看来，跑道是运动的。应该根据事件之间的洛伦兹变换先求解跑动的距离，则有Δx′=Δx-uΔt1-(u/c)2=-806c=-4×109(m)
Δt′=Δt-uc2Δx1-(u/c)2=16.6(s)根据速度的定义，有v′x=Δx′Δt′≈-4×10916.6≈-2.4×108(m/s)=-0.8c  例1.5 甲乙两人所乘飞行器沿x轴作相对运动。甲测得两个事件的时空坐标为x1=6×104m,y1=z1=0, t1=2×10-4s ;  x2=12×104m,y2=z2=0,t2=1×10-4s。若乙测得这两个事件同时发生于t′时刻,求:
① 乙对于甲的运动速度是多少？
② 乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？
解 设乙对甲的运动速度为u，由洛伦兹变换t′=11-β2t-uc2x可知,乙所测得的这两个事件的时间间隔是t′2-t′1=(t2-t1)-uc2(x2-x1)1-β2按题意，t′2-t′1=0,将t′2-t′1=0和已知数据代入上式，有0=(1×10-4-2×10-4)-uc2(12×104-6×104)1-u2c2由此解得乙对甲的速度为u=-c2根据洛伦兹变换x′=11-β2(x-ut)可知,乙所测得的两个事件的空间间隔是x′2-x′1=(x2-x1)-u(t2-t1)1-β2=5.20×104(m)  (5) 洛伦兹速度变换
在任意一个惯性系中，速度的基本定义应该维持不变。在Σ系中，有vx=dxdt, vy=dydt, vz=dzdt(1.2.23)由洛伦兹坐标变换(注: 这里u为惯性系相对运动速度)x′=x-ut1-u2c2, t′=t-uc2x1-u2c2对方程的两边求微分，则得到dx′=dx-udt1-u2/c2=vx-u1-u2/c2dt
dt′=dt-uc2dx1-u2/c2=1-uc2vx1-u2/c2dt(1.2.24)代入速度的基本定义式(1.2.23)，即得到x轴方向的洛伦兹速度变换式，同理，可以求得y方向和z方向的速度变换式:v′x=dx′dt′=vx-u1-uvxc2
v′y=dy′dt′=vy1-u2/c21-uvxc2
v′z=dz′dt′=vz1-u2/c21-uvxc2(1.2.25)此即为洛伦兹速度的正变换(注: Σ′相对Σ沿x轴正向以速率u运动)。根据相对性原理，不难得到洛伦兹速度变换的逆变换为vx=v′x+v1+uv′xc2, vy=v′y1-u2/c21+uv′xc2, vz=v′z1-u2/c21+uv′xc2(1.2.26)根据低速近似，也即相对论的经典极限条件(vc,|u|c)，最后有vx≈v′x+u
vy≈v′y
vz≈v′z即洛伦兹速度变换在低速近似下，退化为伽利略速度的变换。
例1.6 设想一飞船以0.80c的速度在地球上空飞行，如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体相对飞船的速度为0.90c，问从地面上看，物体速度多大？
解 地面参考系为S系，选飞船参考系为S′系，v′x=0.90c,u=0.80c,根据题意，满足洛伦兹速度逆变换vx=v′x+u1+uc2v′x从地面上看，物体速度vx=0.90c+0.80c1+0.80×0.90=0.99c  3) 四维时空间隔不变
在相对论中，我们发现很多运动学量会随着惯性参考系的变化而变化，所以，这个时候找出不变量是非常有作用的。为了考查不变量，引入如下两个惯性系Σ和Σ′(假定Σ和Σ′的相对运动速度为u)，以及两个事件1和事件2，如表1.10所示。表1.10 任意两个事件的不同惯性系描述事件1事件2事件1事件2惯性系Σ(x1,y1,z1,t1)(x2,y2,z2,t2)惯性系Σ′(x′1,y′1,z′1,t′1)(x′2,y′2,z′2,t′2)  由此，可以定义时空间隔Δs，在Σ系中,时空间隔为Δs2=c2(t2-t1)2-［(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2］(1.2.27)同理，在惯性系Σ′中,时空间隔为(Δs′)2=c2(t′2-t′1)2-［(x′2-x′1)2+(y′2-y′1)2+(z′2-z′1)2］根据洛伦兹坐标变换关系式，得到t′2-t′1=(t2-t1)-uc2(x2-x1)1-u2c2, x′2-x′1=(x2-x1)-u(t2-t1)1-u2c2,
y′2-y′1=y2-y1, z′2-z′1=z2-z1因此，代入惯性系Σ′中的时空间隔表达式,则得(Δs′)2=c2(t′2-t′1)2-［(x′2-x′1)2+(y′2-y′1)2+(z′2-z′1)2］
=c2(t2-t1)-uc2(x2-x1)21-u2c2
 - ((x2-x1)-u(t2-t1))21-u2c2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
=c2(t2-t1)2+u2c4(x2-x1)21-u2c2-(x2-x1)2+u2(t2-t1)21-u2c2
 -［(y2-y1)2+(z2-z1)2］
=(c2-u2)(t2-t1)2+c2u2c4-1(x2-x1)2c2-u2c2
 -［(y2-y1)2+(z2-z1)2］
=c2(t2-t1)2-(x2-x1)2-\=(Δs)2(1.2.28)  不难验证，上述结论可以进一步推广到惯性系和x轴成任意夹角，可以推广到任意的两个惯性系之间。因此，最终由洛伦兹坐标变换可以证得: 对于任意两个事件之间的四维时空间隔在任意惯性系中保持不变。这是相对论时空中的一个基本不变量。
2. 狭义相对论时空观
在狭义相对论时空中，没有任何一个惯性系具有特别优越的地位，所以在相对论的讨论