第3章导数和微分
  本章开始讨论微积分的微分学部分.微分学是利用极限作为工具，给出了导数这一重要概念，导数能精确地刻画客观世界中不均匀分布量的“变化程度”；微分是和导数密切相关的概念.它们都是描述自然界中各种不均匀分布的“不均匀程度”的最有效的工具.
3.1 导数
3.1.1 几个不同问题的相似处理方法
例1 非匀速直线运动的速度问题.
设一质点在直线上作非匀速运动， t时刻质点的位置s是t的函数s=f(t).求动点在时刻t0的速度.我们在这里强调运动是非匀速的，并不是说匀速的问题我们不会解答，恰恰相反，在匀速直线运动的情况下，用简单的除法就可以求出运动的速度： 速度=距离时间.  对于非匀速运动的情形，在第1章函数极限部分，我们已经讨论了当s(t)=12gt2的特殊情形.处理一般方式也是如此，在t0附近选一时刻t0+Δt，考虑比值f(t0+Δt)-f(t0)Δt, 这个比值可认为是动点在时间间隔Δt内的平均速度.如果时间间隔Δt比较短，这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.当Δt→0时,比值f(t0+Δt)-f(t0)Δt的极限如果存在，即v=limΔt→0f(t0+Δt)-f(t0)Δt.这时就把这个极限值称为在t0时刻的速度.
例2 电流或流体的强度问题.
  当有电流流经某一粗细均匀的导线或流体流经某一管道时，都给我们有电流或流体强第3章 导数和微分3.1 导数度的概念.我们以电流强度为例.
在物理学中我们知道，电流强度(单位： A)定义为在单位时间(单位： s)内通过导线截面的电量(单位： K).对于稳恒电流，电流强度是不变的，那么可以用简单的除法求得电流强度=电量时间.如果通过截面的总电量与时间的关系只是一般的函数关系(例如交流电)q=g(t)，这时如何求在时刻t0的电流强度？在t0附近选一时刻t0+Δt，考虑比值ΔqΔt=g(t0+Δt)-g(t0)Δt, 这个比值可认为是电流在时间间隔Δt内的平均强度.如果时间间隔Δt比较短，这个比值可以近似表示电流在时刻t0的强度.当Δt→0时,比值g(t0+Δt)-g(t0)Δt的极限如果存在，即I=limΔt→0g(t0+Δt)-g(t0)Δt,这时就把这个极限值称为在t0时刻的电流强度.
类似的问题还有很多，如求某一非匀速运动的加速度、热学中求物质的比热等，都有类似的解决办法. 抛开这些问题的物理背景，纯粹从数学角度出发，就得到了导数的定义.
3.1.2 导数及其几何意义
定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0处取得改变量Δx时，相应地，函数值取得改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,即极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx存在时称函数y=f(x)在点x0处可导.并把上述极限记作y′|x=x0，也可记为 y′(x0),dydxx=x0或dfdxx=x0.
函数y=f(x)在点x0处可导有时也说成函数y=f(x)在点x0具有导数或导数存在.
由于导数也属于函数的极限，因此上式的左、右极限又叫函数的左、右导数，分别用f′-(x0)和f′+(x0)来表示,即f′-(x0)=limΔx→0-ΔyΔx=limΔx→0-f(x0+Δx)-f(x0)Δx,
f′+(x0)=limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→0+f(x0+Δx)-f(x0)Δx.  显然有f′(x0)=Af′-(x0)=f′+(x0)=A.
导数的定义式也可取不同的等价形式，我们可以根据具体的问题采用我们熟悉或者方便的一种，常见的有 f′(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0)h 和 f′(x0)=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.  左、右导数也有类似的不同表达式.
如果函数y=f(x)在区间I内每一点x处导数f′(x)都存在，在左端点(如果有的话)有右导数，右端点(如果有的话)有左导数，则称y=f(x)在区间I上存在导函数f′(x).
根据导数的定义可知，对于直线上的运动s=f(t)，导数f′(t)=dsdt表示的是速度；对于电量和时间的关系q=g(t)，导数g′(t)=dqdt表示的是电流强图 3-1
度.
由于函数可以用几何图形形象地表示，下面我们分析导数在几何上有什么意义.如图3-1所示，在函数图像上点P(x0,f(x0))临近有一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx)), 表达式f(x0+Δx)-f(x0)Δx的几何意义是割线PQ的斜率.当Δx→0时Q(x0+Δx,f(x0+Δx))和P(x0,f(x0))趋于重合，因此割线PQ的极限位置就是函数在点P(x0,f(x0))处的切线.因而极限limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx便是函数在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.
以上对于导数的几何解释，同时也给出了切线的定义： 过点P的切线是割线PQ在 Q→P时的极限位置.过点P且和切线垂直的直线叫做在P点的法线.切线方程如果已知，则法线方程也容易求得.
3.1.3 求导举例
例3 求常函数y=c的导数.
解 Δy=0，因此f′(x)=limh→0f(x+h)-f(x)h=0，即常函数导数是0.
试给出上述结论的几何解释.
例4 函数y=x3，求y′以及y′(2).
解 y′=limh→0(x+h)3-x3h=limh→0(3x2+3xh+h2)=3x2, 
所以有y′(2)=12.
同理可以证明，若n是正整数，则(xn)′=nxn-1 对于x∈(-∞,+∞)成立.我们在后面还可以证明，若μ是任何实数，则 (xμ)′=μxμ-1 对于x∈(0,+∞)都成立.
例5 求y=sinx的导函数.
解 应用和差化积公式可得y′=limh→0sin(x+h)-sinxh=limh→02cosx+h2sinh2h
=limh→0cosx+h2·sinh2h2=cosx, 即(sinx)′=cosx.同样可以得出(cosx)′=-sinx.  例6 y=logax (x>0)，求y′.
解 y′=limh→0loga(x+h)-logaxh=limh→0loga1+hxh=limh→0loga1+hxxhx
=logaex=1xlna.
特别地，有(lnx)′=1x.3.1.4 可导和连续的关系
在几何上，一段函数可导意味着对应的曲线处处有切线，必定是光滑的，因此肯定也是连续的，但反过来，直观上我们都能体会到，一条连续的曲线未必是光滑的，下面我们在数学上进行严格的讨论.
定理1 若函数y=f(x)在x0处可导，则它在x0处连续.
证明 由于函数y=f(x)在x0处可导，所以limx→x0f(x)-f(x0)x-x0=f′(x0)存在，因此limx→x0\=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0·(x-x0)=f′(x0)·0=0.因此函数y=f(x)在x0处连续.证毕
例7 讨论函数y=|x|在点x=0处的连续性和可导性.
解 显然y=|x|=(x2)12 是初等函数，所以在任何一点都连续.但是y(0+h)-y(0)h=|h|h=1,当h>0时;
-1,当h<0时.因此y′+(0)=1, y′-(0)=-1，所以在x=0处不可导.
习 题 3-1
1. 求y=cosx的导数.
2. 求y=xn(n是正整数)的导数.
3. 求证y=ax(1≠a>0)的导数是(ax)′=axlna.
4. 若y=f(x)在x0处左、右导数都存在，证明在x0处连续.
5. 设f(0)=0，若limx→0f(x)x存在，证明 f′(0)存在.
6. 求抛物线y=x2过点(1,1)的切线和法线方程.
7. 讨论曲线y=x13在点x=0处的可导性.问函数在点(0,0)处是否有切线？这说明了什么？
3.2 基本求导方法3.2 基本求导方法
本节的目的是，求出基本初等函数的导数，建立求导运算的法则，从而只需要知道少量的导数公式就可以求出大量函数包括所有初等函数的导数.
3.2.1 四则运算的求导
定理1 如果函数u(x)及v(x)在区间I上都可导， 那么： 
(1) u(x)±v(x)也可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x); 
(2) u(x)v(x)可导，且［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);  
特别地，如果v(x)=c是常函数，则有［cu(x)］′=cu′(x);    
(3) u(x)v(x)可导，且u(x)v(x)′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)v2(x) (v(x)≠0).
证明 (1) 根据导数的定义，设f(x)=u(x)+v(x)，则limh→0f(x+h)-f(x)h=limh→0u(x+h)-u(x)h+limh→0v(x+h)-v(x)h
=u′(x)+v′(x).因此，u(x)±v(x)也可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).
(减法求导和加法方法推导过程类似，略)
(2) f(x)=u(x)v(x)，则limh→0f(x+h)-f(x)h=limh→0u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)h
=limh→0u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)h
+limh→0u(x+h)v(x)-u(x)v(x)h
=limh→0v(x+h)-v(x)hu(x+h)
+limh→0u(x+h)-u(x)hv(x).  由于函数u(x)可导，因此u(x)连续，从而limh→0u(x+h)=u(x)，于是u(x)v(x)可导，且［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
(3) 设f(x)=1v(x)，则limh→0f(x+h)-f(x)h=limh→01v(x+h)-1v(x)h=limh→0v(x+h)-v(x)h·-1v(x+h)v(x)
=-v′(x)v2(x).再利用求导的乘法法则就得到u(x)v(x)′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)v2(x).证毕  例1 求tanx及cotx的导数.
解 根据商的求导法则(tanx)′=sinxcosx′=(sinx)′cosx-(cosx)′sinxcos2x=1cos2x=sec2x.  类似地可以求得(cotx)′=-csc2x.
例2 求sec x以及csc x的导数.
解 (sec x)′=1cosx′=-(cosx)′cos2x=sec xtanx.
同样可以得到(csc x)′=-csc xcotx.3.2.2 反函数的求导
由于函数y=f(x)和反函数x=f-1(y)对应同样的图形，因此它们的导数必然存在某种联系.为了书写上的方便，我们记x=f-1(y)=φ(y).  定理2 若函数y=f(x)严格单调且可导，f′(x)≠0，则反函数x=φ(y)也可导，且在对应点上有下面关系φ′(y)=1f′(x), 其中y=f(x).
证明 若函数y=f(x)严格单调且可导，因而连续，从而其反函数也严格单调且连续，因此对于函数x=φ(y)的自变量y给出改变量Δy，函数有相应的改变量Δx，且Δx→0Δy→0.于是limΔy→0φ(y+Δy)-φ(y)Δy=limΔx→0Δxf(x+Δx)-f(x)=1f′(x).证毕图 3-2
  如图3-2所示： 从导数的几何意义上来看，导数表示的是切线的斜率，就是切线和自变量坐标轴夹角的正切.反函数x=φ(y)与原函数y=f(x)是同一曲线，因而是同一切线，这时自变量所在的轴是y轴，所以有tanβ=1tanα，即φ′(y)=1f′(x).  利用反函数的求导方法，可以求出一些函数的导数.
例3 求y=ax的导数(0<a≠1).
解 由于y=logax的反函数为x=ay，因此(ay)′=1(logax)′=xlna=aylna.  如果用x表示自变量，就得到 (ax)′=axlna.
例4 求反正弦函数和反余弦函数的导数.
解 y=arcsinx,  x∈［-1,1］ 和 x=siny, y∈-π2,π2互为反函数，因此有dydx=1dxdy=1cosy=11-sin2y=11-x2,  x∈(-1,1),即(arcsinx)′=11-x2,  x∈(-1,1).同理可以求得(arccosx)′=-11-x2,  x∈(-1,1).  例5 求反正切函数和反余切函数的导数.
解 y=arctanx, x∈(-∞,+∞)与函数x=tany, y∈-π2,π2互为反函数，因此有dydx=1dxdy=1sec 2y=11+tan2y=11+x2,  x∈(-∞,+∞),即(arctanx)′=11+x2, x∈(-∞,+∞).
同理可求得(arccot x)′=-11+x2,  x∈(-∞,+∞).3.2.3 复合函数求导
定理3 若u=φ(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=φ(x)处可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处可导，且y′(x)=f′(u)·φ′(x) 或 dydx=dydu·dudx.  分析 对于自变量x的改变量Δx，中间变量有相应的改变量Δu，从而函数值有相应改变量Δy，因此ΔyΔx=ΔyΔu·ΔuΔx.根据可导和连续的关系可知当Δx→0时，Δu→0，取极限就得到了我们要的结论.然而这里面有一个小小的漏洞： 当Δx→0的过程中，如果Δu=0，我们就不能用Δu作为分母.为了克服这个漏洞，我们采取迂回的方式.
证明 由于y=f(u)可导，因此limΔu→0ΔyΔu=f′(u), 根据极限和无穷小的关系可知ΔyΔu=f′(u)+α,即Δy=f′(u)Δu+αΔu,  (1)其中α是当Δu→0时的无穷小.值得注意的是，当Δu=0时，显然(1)式照样成立.对于自变量x的改变量Δx，中间变量有相应的改变量Δu，从而函数值有相应改变量Δy，因此ΔyΔx=f′(u)ΔuΔx+αΔuΔx.根据可导和连续的关系可知当Δx→0时，Δu→0，从而α→0，于是利用导数定义可得y′(x)=f′(u)·φ′(x).证毕
例6 求幂函数y=xμ(x>0)的导数.
解 两边取对数可得 lny=μlnx，再化为指数的形式得y=eμlnx，它可以看成由函数y=eu和u=μlnx 复合而成，因此dydx=dydu·dudx=eu·μx=eμlnx·μx=xμ·μx=μxμ-1.这样，我们得到了幂函数在一般情况下的求导公式.
例7 y=x2+1，求y′.
解 y=x2+1由 y=u=u12和u=x2+1复合而成，因此y′=12u-12·2x=x1+x2.  在运算熟练的情况下，可以不必写出复合函数的分解过程，在计算的时候心里有数就可以了.
例8 求函数y=arctanx的导数.
解 y′=11+(x)2·(x)′=11+x·12x-12=12x(1+x).
如果一个复合函数经过多次复合而形成，求导方法和前面的类似，基本原理都相同，只不过多一些步骤而已.
例9 求函数y=ln sin x2的导数.
解 y′=1sinx2(sinx2)′=cosx2sinx2(x2)′=2xcotx2.
例10 y=ln|x|，求y′.
解 当x>0时，y′=(lnx)′=1x; 
当x<0时，y′=［ln(-x)］′=1-x·(-x)′=1x.
因此，  (ln|x|)′=1x.这是一个重要的结果，今后我们还要经常用到它.
例11 求y=xx的导数.
解 y=xx既不是幂函数也不是指数函数，现有的结果都不能直接使用.同例6，可得y=exlnx, 因此y′=(exlnx)′=exlnx·(xlnx)′=xx(lnx+1).3.2.4 总结
至此，所有的基本初等函数求导公式都已经得到，由于我们已经有了四则运算和复合运算的求导法则，因此所有初等函数的导数都可以根据现有的公式解决.鉴于基本初等函数的导数非常重要，现总结如下： 
(1) C′=0;               (2) (xα)′=αxα-1; 
(3) (sinx)′=cosx; (4) (cosx)′=-sinx; 
(5) (tanx)′=sec2x; (6) (cotx)′=-csc2x; 
(7) (sec x)′=secxtanx; (8) (csc x)′=-cscxcotx; 
(9) (ax)′=axlna; (10) (ex)′=ex; 
(11) (logax)′=1xlna; (12) (ln|x|)′=1x; 
(13) (arcsinx)′=11-x2; (14) (arccosx)′=-11-x2;
(15) (arctanx)′=11+x2; (16) (arccotx)′=-11+x2.
需要注意的是，上面的求导公式是指函数在某一个区间上有这样的表达式才可以直接套用公式，当不能直接套用现成的公式的时候，还要回到函数导数的定义.
例12 求函数f(x)=x2sin1x+x,x≠0,
0,x=0的导数.
解 无论是x>0还是x<0，函数在这两个区间上都有相同的表达式f(x)=x2sin1x+x.因此f′(x)=(x2sin1x+x)′=2xsin1x-cos1x+1 (x≠0).  如果求在x=0处的导数，直接用f′(0)=0′=0就错了，而应该是f′(0)=limx→0f(x)-f(0)x-0=limx→0f(x)x=limx→0xsin1x+1=1.  因为我们求在x=0处的导数，根据导数的定义，要涉及这点周围的函数值，因此不能用常数导数是0来套用.我们说常数导数是0是指在一个区间上是常数那样的函数.而本例子中的函数，在0周围函数值不再是0，下面我们把函数写成另一种形式，看看错误的套用公式而不看条件的后果.对于分段函数f(x)=x2sin1x+x,x≠0,
2x,x=0.
此函数本质上还是例12中的函数，如果不加思考而直接套用公式的话，会得出f′(0)=2这样的结论.