第13章实 数 理 论
  本章讨论数学分析的基础理论问题，即实数理论和实数的连续性问题.为了保证微积分在逻辑上的严密性，由柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等数学家从不同的角度对实数集进行认识，从而完成了微积分的严格化.对于实数理论的阐述，根据数学工作者个人的偏好，可以分为逻辑主义、形式主义和直觉主义等不同的描述倾向.在本书里，我们不打算过于形式化地从自然数构造谈起，也不打算过于注重逻辑上的严密性而忽视了直觉的感受，主要是为了使读者了解实数集是一个具有什么样构造的集合.我们假定读者对于自然数和有理数的概念都是十分清楚的.
13.1 实数
在中学中，我们对于实数基于这样的直观感性认识： 全体实数刚好能够不多不少地摆在一条“直线上”，从左到右依次增大而且没有一个多余的、也没有一个空隙.这种直观上的认识形成了绝大多数人的空间观.这种空间观根深蒂固地存在于人们的头脑中，以至于有时不加怀疑地认为真实的空间本来就是这个样子的.不过古代希腊人并不是这样认为的： 比如当时的人们认为一切数都能写成两个整数相除的形式.因此在发现无理数之前人们认为直线是由一切有理数不多不少刚好排列在其上形成的.因此，同样都称为直线，其实是有区别的.从数学分析角度来看，我们认为由全体有理数组成的直线是有空隙的，由全体实数组成的直线是没有空隙的.这就是实数连续性的直观描述.
13.1.1 戴德金分划
首先我们给出有理数分划的定义.直观上来说，就是把有理数集分成左右两段.
定义 如果全体有理数分成了两个非空集合Q=A∪A′，且满足下面两个条件： 
(1) A∩A′=, 
(2) x∈A,x′∈A′，都有x<x′, 
那么就称为有理数的一个分划，记作分划(A|A′).A叫做此分划的下组, A′叫做此分划的上组.
从上述分划定义可以看出： 
(1) 如果某数x属于下组，那么当y<x时，y也属于下组；如果某数x′属于上组，那么当z>x′时，z也属于上组.
(2) 每个有理数必须而且只能属于上面两个集合中的一个.
(3) 根据分划的定义，知道下组或者上组之中的一个，分划便已经确定.
例1 A={x|x∈Q,x≤1},A′={x|x∈Q,x>1}，则(A|A′)是有理数的一个分划.显然下组A中有最大的数1, A′中无最小的数.我们把1称为此分划的界数.
例2 把一切满足不等式x2<4的正有理数及全体非正有理数归入下组A，把一切满足不等式x2≥4的正有理数归入上组A′.则显然(A|A′)是有理数的一个分划.而且下组中无最大的数，上组中有最小的数2.我们把2称为此分划的界数.
例3 把一切满足x2<2的正有理数及全体非正有理数归入下组A，把满足x2>2的全体正有理数归入上组A′.则(A|A′)是有理数的一个分划.
下面我们将说明，此分划中下组没有最大的数，上组也没有最小的数.因此此分划没有界数.假定正有理数a属于下组，即a2<2,则当n是足够大的正整数时，必有a+1n2<2.通过简单的演算容易得到，当n>2a+12-a2时即可.因此下组中没有最大的数.同样论证可以看出上组中没有最小的数.
通过上面的分析，我们发现对于有理数的分划，可以出现下面3种情形： 
(1) 下组中有最大的数a，上组中没有最小的数.分划产生界数a.
(2) 下组中没有最大的数，上组中有最小的数a′.分划产生界数a′.
(3) 下组中没有最大的数，上组中没有最小的数.分划没有界数.
对于有理数的任何一个分划，只能出现上述3种情况之一.我们可以简单地说明不会出现下面这种情况： 
(4) 下组中有最大的数a，上组中有最小的数a′.
如果这样，根据分划的定义，必有a<a′，则有理数a+a′2不在上下任何一个组，这与分划的定义不符合.
上述的第（3）种情况表明，有理数“直线”有空隙.分划中的上组和下组没有连接上.戴德金的实数构造理论就是把有理数之间的空隙加入新的数--无理数，有理数和无理数组成实数.
定义 对于有理数的一个分划(A|A′)，如果下组中没有最大的数，上组中没有最小的数，即分划没有界数，则称分划产生了一个无理数a，且无理数a大于下组中的任何有理数，小于上组中的任何有理数.
有理数的分划，在前两种情况下，分划产生了界数，我们也称为界数a是由分划产生的(有理数).只有第（3）种情况才产生无理数.我们把3种情况统称为由分划产生了实数.如例3 中的分划就产生了无理数2，它大于下组中的任何有理数，同时小于上组中的任何有理数.直观上，例3中的分划无界数，这意味着A与A′之间存在一个“缝隙”，这个“缝隙”刚好由2所填补.不过从字面上来看，说分划(A|A′)定义了无理数，似乎并没有回答无理数究竟是什么的问题.因为人们一直认为数应该是能够很清楚表达出来的.下面我们就以例3中定义的无理数来说明这个问题.
例4 计算例3所定义的无理数2的近似值，精确到小数点后5位.
解 因为2大于下组中的任何有理数，小于上组中的任何有理数，因此1<2<32, 所以0<2-1<12.从而各项平方得0<3-22<14, 继续平方得0<17-122<116, 再平方得0<577-4082<1256, 两边除以408就有0<577408-2<1104448.这表明，用577408代替2，略大一些，误差小于10-5.由于577408≈1.41421568, 因此2≈1.41421，且误差小于10-5.
读者可以继续算下去得到更接近2的小数.
定义 有理数及有理数的一切分划产生的无理数统称为实数.记作R或者R1.
在R中定义大小(序)关系如下： 
(1) 有理数之间原来的大小关系不变.
(2) 设a是一个有理数，b是一个由分划(A|A′)产生的无理数. 若a∈A，则规定a<b；若a∈A′，则规定b<a.
(3) 设a是一个由分划(A|A′)产生的无理数，b是一个由分划(B|B′)产生的无理数. 如果A=B，则a=b；如果AB(真包含)，则a<b；否则b<a.
(4) 规定a>b和b<a等价.
(5) 若a>0，称a是正实数；若a<0，称a是负实数.
容易验证实数的序关系保留了有理数序关系的一切性质，在此不一一列举.一旦有了序关系，就有了实数集上区间的定义，这些都是读者熟知的. 
13.1.2 实数的运算
由于有理数都是整数、有限小数以及无限循环小数，因此我们猜测无理数必然是无限不循环的小数.从例4可以看出，无理数2能够用有理数来逼近到小于预先设定的任何值.
定理1 对于有理数的任何分划(A|A′)产生的无理数β，总可以用十进制无限不循环小数来表示.
证明 设分划下组A中最大的整数为a0，则无理数β在a0和a0+1之间.假定在下组中a0+0.1,a0+0.2,…,a0+0.9最大的是a0+0.a1，再假定在下组中a0+0.a11,a0+0.a12,…,a0+0.a19最大的数是a0+0.a1a2，则a0+0.a1a2<β<a0+0.a1a2+10-2.这样对于任何正整数n，存在小数a0+0.a1a2…an，且0<β-a0+0.a1a2…an<10-n.从而β=limn→∞(a0+0.a1a2…an)=limn→∞∑nk=0ak10k=∑∞n=0an10n.证毕  无理数可以用十进制无限小数来表示.由于循环小数都是有理数，因此无理数必定是无限不循环的小数.当然，有理数也可以用十进制无限小数来表示，而且是循环小数.如13=0.3333333…,  2=2.0000…=1.9999…  从上面的定理可以看出，无理数的确是实实在在的数，而且也能用十进制来表示.一些常见的无理数如2, 3, 5, π, e，人们都能说出来小数点后的一两位.无理数的定义方式不止一种，戴德金分划只是其中的一种方式，虽然看起来有点别扭，没有给出无理数“确切”的表示，但是用分划来定义无理数具有构造简单而且逻辑严密等优点，也符合现代数学流行的作法.
对于有理数间的四则运算大家都很熟悉了，下面定义实数的四则运算.我们只定义包含无理数的运算，首先讨论加减法： 
定义 给定两个实数a,b，分别用十进制小数表示为a=∑∞n=0an10n, b=∑∞n=0bn10n, 其中a0,b0都是整数，n>0时，an,bn∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，规定：
(1) a±b=∑∞n=0an±bn10n; 
(2) a×b(或a·b)=∑∞m=0am10m×∑∞n=0bn10n=∑∞m,n=0ambn10m+n; 
(3) 若b是由有理数分划(A|A′)产生的正无理数，规定它的倒数1b是由分划(B|B′)产生的无理数，其中B′=1xx∈A′.若b是由有理数分划(A|A′)产生的负无理数，规定它的倒数1b是由分划(C|C′)产生的无理数，其中C=1xx∈B.
除法运算定义为ab=a×1b, b≠0.
容易验证，实数的四则运算保留了有理数四则运算的几乎全部性质，下面罗列如下.
定理2 实数的加减法运算满足下面规律： 
(1) 结合律，(a+b)+c=a+(b+c); 
(2) 交换律，a+b=b+a; 
(3) 0的单位性，a+0=a; 
(4) 负元的存在性，存在唯一的实数-a，使得a+(-a)=0; 
(5) a<ba+c<b+c, a>0-a<0.
根据加法运算的定义不难证明上面结论，在此省略不加证明.有兴趣的读者可以自己给出证明，尤其是(5)，看似简单，却具有挑战性.
定理3 实数的乘法运算具有下面的性质： 
(1) 结合律，(ab)c=a(bc); 
(2) 交换律，ab=ba; 
(3) 1的单位性，1·a=a; 
(4) 倒数的唯一性，对于任何非零实数a，存在唯一的倒数1a(或a-1)，使得a·a-1=1; 
(5) 乘法对加法的分配律，a(b+c)=ab+ac; 
(6) 序性质，若a<b,c>0，则ac<bc.
这些性质想必不列举也已经早知道了，因为这些性质完全是有理数所具有的全部性质.学习了无理数的定义，这些性质顺理成章地被继承了下来.在此省略这些枯燥乏味的证明，有兴趣的读者可以自己尝试论证.至于实数的其他形式运算，如指数、对数、三角函数等，我们不加详细讨论.有兴趣的读者可以仿照定义利用级数运算来刻画.
到此为止，我们从有理数的分划角度定义了无理数，进而填补了有理数之间的空隙.而且也定义了实数的大小关系以及四则运算.我们要问的问题是： 实数直线上还有没有空隙？本节最后我们讨论这个问题.
定义 如果全体实数分成了两个非空集合R=A∪A′，且满足下面两个条件： 
(1) A∩A′=; 
(2) x∈A,x′∈A′，都有x<x′.
那么就称为实数集的一个分划，记作分划(A|A′).A叫做此分划的下组, A′叫做此分划的上组.
实数的分划完全按照有理数的分划方式进行的，我们的目的是要证明实数按照这种分划不会产生空隙了.首先先证明一个关于有理数的定理.
定理4(有理数的稠密性) 任何区间(a,b)内都有无限多个有理数.
证明 a可以看作是由有理数分划下组为(-∞,a)∩Q所产生的，b可以看作是由有理数分划下组为(-∞,b)∩Q所产生的，若(a,b)内没有有理数，便有(-∞,a)∩Q=(-∞,b)∩Q，因此a=b，这与a<b矛盾.从而必有r∈Q，使a<r<b.再重复上面过程，在区间(a,r)与(r,b)内也存在有理数，因而(a,b)内有无限多个有理数.证毕
定理5(分划定理) 对于实数集的任何一个分划(A|A′)，下面两种情况只有而且必有一种情况成立： 
(1) 下组A中有最大的数；
(2) 上组A′中有最小的数.
证明 对于实数集的任何一个分划，得到了有理数集的一个分划(A∩Q|A′∩Q)，则此分划产生了实数a，因此必然有a∈A或者a∈A′.(1)当a∈A时，下面证明a是A中的最大数.如果A中还有实数a′>a，由有理数的稠密性，则此时必有有理数r，满足a<r<a′，则r∈(a,a′)A，因此r∈A∩Q，这与分划(A∩Q|A′∩Q)产生的实数a要大于下组中的每个有理数矛盾，因此a是A中的最大数.(2)当a∈A′时，则同样可以证明此a是A′中的最小数.证毕
至此，利用分划方式来定义无理数而构造的实数集，不再有空隙.
习 题13-1
1. 求3的近似值，精确到10-5.
2. 利用分划给出正实数a算术根a的定义.
3. 定义|a|=a2，证明绝对值有下面性质： 
(1) |a±b|≤|a|+|b|; 
(2) |ab|=|a|·|b|.
4. 证明任何区间内都有无限多个无理数.
5. 证明 a>ba-b>0.
6. 证明： a<ba+c<b+c, a>0-a<0.
7. 证明： 若a<b,c>0，则ac<bc.
13.2 实数连续性理论(一)
13.2 实数连续性理论(一)13.1节根据戴德金分划法构造了实数集，这种通过填补有理数的空隙来构造实数的方式，得到了实数直线的无间隙性.实数的连续性有几个等价但表现方式不同的定理，这些定理中无论哪一个作为公理都可以得出数学分析的基本理论.本节和13.3节将讨论这一点.
在第1册中，以确界定理为基本定理，证明了关于实数连续性的一些结论.在这里，以13.1节定理5为出发点，先来证明确界定理，再由此证明其他定理.为了结构上的完整性，有些定理虽然在第1册中证明过了，在这里还会重复证明.我们将证明，这些定理之间在逻辑上是完全等价的，也就是说，在逻辑上互为因果关系，或者用佛经《阿含经》中一段话来说就是： 此有故彼有，此无故彼无，此生故彼生，此灭故彼灭.
13.2.1 确界定理
先回顾确界的定义.
定义 设E是任何一个非空数集，如果存在一个实数α，满足
(1) α是E的一个上界，
(2) 如果α′<α，则α′不是E的上界，
则称α是数集E的上确界，记作α=supE.
定义 设E是任何一个非空数集，如果存在一个实数β ，满足
(1) β是E的一个下界，
(2) 如果β′>β，则β′不是E的下界，
则称β是数集E的下确界，记作β=infE.
简而言之，上确界是最小的上界，下确界是最大的下界.
定理1(确界定理) 任何非空且有上界的实数集必有上确界，且是唯一的.
证明 用E表示非空有上界的数集，现在构造实数的一个分划： A表示不是E的上界的实数组成的集合，即x∈A，当且仅当存在E中某实数x′，使得x<x′.A′表示E的上界组成的集合，即x∈A′，当且仅当对于E中任何实数y，都有y≤x.显然A中的任何数都小于A′中的任何数，因此(A|A′)是实数的一个分划.因此或者A中有最大数，或者A′中有最小数.若A中有最大数a，由于a不是E的上界，因此存在E中某实数x′，使得a<x′，如此容易看出，a+x′2<x′，因此a+x′2也是A中的数，而且比a大.因此A中没有最大的数，从而可知A′中有最小数α，即α是最小下界，因此α=supE.由于上确界是最小的上界，因此上确界唯一.证毕
同理可证关于下确界的相关结论： 任何非空有下界的实数集必有下确界.
13.2.2 广义实数系
在现代数学中,为了应用上的方便,有必要对实数系进行扩充，通过增加两个元素±∞将实数扩充为广义实数集=R∪{±∞}，且约定对其他实数都有-∞<a<+∞, a∈R.应该说明的是，±∞和普通实数有很大的差别，不加区别的使用可能导致很多混乱，因此有许多教科书都尽量不使用它们.但是只要运用得恰当，会给运算和一些理论的表达带来方便性和完整性，在后面讨论过程中我们将看到这一点.
对于没有上界的数集，其上确界规定为+∞；对于没有下界的数集，其下确界规定为-∞.在极限情况下，在第1册已经涉及了无穷大±∞.今后将用“有极限”表示极限可以是无穷大的情形，用“收敛”表示极限是普通实数的情形.
无穷大可以参与一些运算，比如+∞+(+∞)=+∞,
+∞-(-∞)=+∞,
±∞±a=±∞,
±∞×a=±∞, a>0, 
±∞×a=∞, a<0.但+∞-(+∞),+∞+(-∞),±∞×0等都是没有意义的.
在广义实数系下,可以得到下面的极限定理.
定理2 单调增加(单调减少)的数列以上确界(下确界)为极限；单调有界数列必收敛.
具体叙述为： 如果a1≤a2≤…≤an≤…+∞ (a1≥a2≥…≥an≥…), 则limn→∞an=sup{an|n=1,2,…} (limn→∞an=inf{an|n=1,2,…}).  证明 只考虑{an}单调增加的情形，单调减少的情形类似.
(1) 如果{an}没有上界，则对于任意的正数A，存在某个aN+1，使得aN+1>A.于是根据单调性，当n>N时，总有xn>A，从而limn→∞an=+∞=sup{an|n=1,2,…}.
(2) 如果{an}有上界，根据确界定理,存在唯一的上确界a=sup{an|n=1,2,…}.由于a是最小的上界，因此对于任意的正数ε, a-ε不再是上界，因此必存在某一项aN+1，使a-ε<aN+1.又根据上确界本身是一个上界，因此还有an≤a (n=1,2,…) .于是有a-ε<aN+1≤aN+2≤…≤a<a+ε.因此，对于任意的正数ε，存在N∈N，使得当n>N时总有|an-a|<ε.证毕
实数理论及实数的连续性和数列收敛有着密不可分的关系，然而对于数列，不施加任何条件，很难得到关于收敛性的结果.但是，可以在一个数列中选取出能够有极限的“子列”，从而得到一个普遍性的结论.这就是所谓的“列紧性" .
定理3(Bolzano-Weierstrass定理) 任何有界的数列必存在收敛的子列.
证明 为了讨论问题方便，我们定义： 如果数列中的某一项大于这项后面所有的项，即当n>N0时总有aN0>an，我们称这一项是一个“大佬”，不是大佬的项称作“马仔”.
第一种情况： 如果数列中存在无限多项“大佬”，显然这无限多项“大佬”依次组成了严格递减的子列.
第二种情况： 如果数列中只存在有限多项(甚至没有)“大佬”，那么从某一项开始数列中所有的项都是“马仔”，将开始这一项记作an1，根据“马仔”的定义，an1后面至少存在一项an2(n2>n1) ，使得 an1≤an2, an2也是马仔，因此an2后面至少存在一项an3(n3>n2) ，使得 an2≤an3，递推便得到{an}的一个递增子列{ank}.
综合上面两种情况可知，{an}必有一个单调递增或者递减的子列，由单调有界原理便知{an}有收敛的子列.证毕
任意给定数列{an}，如果存在子列{ank}，使得limk→∞ank=a(-∞≤a≤+∞)，则称a为{an}的一个子极限.
例如数列an=(-1)n-1不是收敛的数列，但是却有两个收敛的子列{a2k-1}和{a2k}.因此-1和1都是数列an=(-1)n-1的子极限.
定理3还有一个推论，这是在广义实数系下讨论的.
推论 任何数列必存在有极限的子列(证明留作习题).
13.2.3 上极限和下极限
一个数列可能没有极限,却一定有子极限.关于子极限，有下面的定理. 
定理4 任何数列的一切子极限必有最大者和最小者.
证明 对于任何数列{an}，因为必有子极限，因此子极限组成的集合E是非空的，因此在广义实数系内必有上确界和下确界，下面证明上确界和下确界就是E的最大者和最小者.我们只证明上确界就是最大者，下确界是最小者的证法相同.
(1) 若supE=+∞，同定理2的证明，可以证明E是无界的，因此存在某个子列以+∞为极限.
(2) 若supE=-∞(此时E中只有一个元素-∞)，可以证明{an}的任何子列都以-∞为极限.
(3) 若supE=α, α∈R，则对于ε1=1，存在{an}的收敛子列，记作a1,1,a1,2,…, a1,n,…, 使得α-1<limn→∞a1,n≤α.由极限的保号性，上述子列从某一项以后都有α-1<a1,n≤α (n>N1)，其实这以后的所有项还是{an}的一个子列.为了表达的简洁，仍然用a1,1,a1,2,…, a1,n,…来表示.同样道理，存在{an}的收敛子列{a2,n}，使得对一切项都满足α-12<a2,n≤α.重复上面的过程，存在{an}的收敛子列{am,n}，使得对一切项都满足α-1m<am,n≤α.现构造{an}的子列{bn}为a1,1,a2,2,…,an,n,….根据上面讨论，容易看出{bn=an,n}满足α-1n<bn≤α.因此limn→∞bn=α.证毕
定义 称数列{an}的子极限中最大者为上极限，记作limn→∞an；称子极限中最小者为下极限，记作limn→∞an.
例如对于数列an=(-1)n-1，显然limn→∞an=1, limn→∞an=-1.
上极限和下极限可以通过数列本身很具体地构造出来，只是构造的数列不一定是原来数列的子列.
定理5 对于任何一个数列{an}，下面公式成立：limn→∞an=limn→∞Mn, Mn=sup{an,an+1,an+2,…},  n=1,2,3, …,    (1)
limn→∞an=limn→∞mn, mn=inf{an,an+1,an+2,…},  n=1,2,3, ….    (2)  证明 只证明(1)式，(2)式的证法与(1)式的证法类似.
第一种情形： sup{a1,a2,a3,…}=+∞，同前面定理2的证明可知，limn→∞an=+∞=limn→∞Mn.  第二种情况，sup{a1,a2,a3,…}≠+∞时，对于{an}的任何子列{ank}，显然有an1≤M1=sup{a1,a2,a3,…}, 因为an1正是后面无限项中的某一项；an2≤M2=sup{a2,a3,a4, …}, 因为an2正是后面无限项中的某一项;……, ank≤Mk=sup{ak,ak+1,ak+2, …}, 因为ank正是后面无限项中的某一项.
所以任何有极限子列的极限都小于等于limn→∞Mn,从而有limn→∞an≤limn→∞Mn. (3)   如果{Mn}无下界，即limn→∞Mn=-∞，则有limn→∞Mn=-∞≤limn→∞an，从而有limn→∞an=limn→∞Mn.  如果{Mn}有下界，因为显然{Mn}是一个递减的数列，因此必定收敛于某个数M.如果{an}没有任何子列以M为极限，则存在M的某个邻域(M-ε0,M+ε0)，在此邻域内至多有{an}的有限多项.假定其下标最大的那项是aN0，则当n>N0时，|an-M|>ε0，因此更有|an-MN0+1|>2ε0,  n>N0, 这与MN0+1=sup{aN0+1,aN0+2,…}矛盾.因此{an}必有某子列收敛于M.由此知M≤limn→∞an，再由(3)式便知limn→∞an=limn→∞Mn.证毕
根据定理5，上、下极限又可以直接写成下面的形式： limn→∞an=limn→∞sup{xk|k≥n}=infn≥1supk≥n{xk},     (4)
limn→∞an=limn→∞inf{xk|k≥n}=supn≥1infk≥n{xk}.     (5)  请读者认真阅读并理解上述表达式的含义.
关于数列的上、下极限，也有相应的初等运算，只是不一定是等式.
定理6 下列不等式成立： limn→∞an+limn→∞bn≤limn→∞(an+bn),    (6)
limn→∞(an+bn)≤limn→∞an+limn→∞bn.    (7)  如果an≥0,bn≥0，则(limn→∞an)(limn→∞bn)≤limn→∞(anbn)≤limn→∞(anbn)≤(limn→∞an)(limn→∞bn).   (8)  证明 只证(7)式，(6)式与(8)式留作习题.
设αn=sup{an,an+1,…}, βn=sup{bn,bn+1,…}，则根据上确界首先是上界便知αn+βn≥am+bm, m=n,n+1,n+2,….于是αn+βn是集合{an+bn,an+1+bn+1,…}的一个上界，再根据上确界是最小的上界可知αn+βn≥sup{am+bm,m=n,n+1,n+2,…}.取极限便有limn→∞(an+bn)≤limn→∞an+limn→∞bn. 证毕
下面的定理给出了数列有极限的一个必要充分条件.
定理7 数列{an}有极限的充分必要条件是limn→∞an=limn→∞an.
证明 如果数列{an}有极限，则它的任何子列都有同一个极限，因此当然有limn→∞an=limn→∞an.  反过来，由于Mn=sup{an,an+1,an+2,…}以及mn=inf{an,an+1,an+2,…}，因此必然有mn≤an≤Mn, n=1,2,3,….  再根据limn→∞an=limn→∞Mn,limn→∞an=limn→∞mn，及limn→∞an=limn→∞an，可知{an}有极限.证毕
利用上、下极限讨论问题的方便之处在于，不需要在数列是否有极限的问题上花费太多功夫，而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系，从而少绕了不少弯.下面就是一个例子，如果不使用上、下极限的工具，论证将会较繁琐.
例1 设非负数列{an}满足0≤am+n≤am+an,  m=1,2,…;n=1,2, ….证明limn→∞ann=infann,n=1,2,….
证明 反复利用条件 0≤am+n≤am+an 可得0≤an≤na1.因此数列ann是有界数列，从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令β=infann,n=1,2,…, 则有limn→∞ann≥β.取定正整数m，则对于任意的正整数n，必有n=pm+q(p,q∈N,q<m)，于是      an≤pam+aq, 因此    ann≤pampm+q+aqn.对于固定的m, n→∞p→∞，取上极限便有limn→∞ann≤limn→∞pampm+q+limn→∞aqn=amm对于每一个m都成立，因而limn→∞ann≤infammm=1,2,…=infann,n=1,2,…=β,从而有limn→∞ann≤limn→∞ann.又根据limn→∞ann≥limn→∞ann，所以limn→∞ann=infann,n=1,2,….证毕
上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.
我们知道，用比值和根值判别法能判断某些正项级数的收敛性，现在回顾一下这两个判别法.
达朗贝尔判别法： 比值判别法 设∑∞n=1un为正项级数，且      limn→∞un+1un=ρ, 则：
(1) 当ρ<1时，级数∑∞n=1un收敛；
(2) 当ρ>1或为无穷大时，级数∑∞n=1un发散；
(3) 当ρ=1时，级数∑∞n=1un可能收敛也可能发散.
柯西判别法： 根值判别法 设∑∞n=1un为正项级数，且      limn→∞nun=ρ,则:
(1) 当ρ<1时，级数∑∞n=1un收敛；
(2) 当ρ>1或为无穷大时，级数∑∞n=1un发散；
(3) 当ρ=1时，级数∑∞n=1un可能收敛也可能发散.
下面给出的改进型判别法就是针对以上两个判别法中的极限limn→∞un+1un=ρ与limn→∞nun=ρ不存在的情形给出的.
定理8 对于正项级数∑∞n=1un, 令ρ=limn→∞nun.那么:
(1) 当ρ<1时，级数∑∞n=1un收敛；
(2) 当ρ>1或无穷大时，级数∑∞n=1un发散；
(3) 当ρ=1时，级数∑∞n=1un可能收敛也可能发散.
证明 (1) 根据极限的保序性，存在某个正数σ以及正整数N，满足ρ<σ<1，且当n>N时，总有nun<σ，因此有un<σn，由比较判别法便知∑∞n=1un收敛.
(2) 根据上极限的定义，一定有某个子列满足limk→∞nkunk=ρ>1，因此由保序性可知有无限多项满足nkunk>1，这样有无限多项un>1，因此与收敛必要条件limn→∞un=0矛盾.因此级数发散.证毕
对于比值判别法，也有类似的结论(证明从略).
定理9 对于正项级数∑∞n=1un,  
(1) 如果limn→∞un+1un<1，则级数∑∞n=1un收敛；
(2) 如果limn→∞un+1un>1，则级数∑∞n=1un发散；
(3) 当上面(1)中的上极限等于1或者(2)中的下极限等于1时，级数∑∞n=1un可能收敛也可能发散.
例2 考虑级数12+13+122+132+123+133+…, 可以求得limn→∞un+1un=limn→∞23n=0,  limn→∞un+1un=limn→∞32n=+∞.因此用比值判别法无法判别出此级数是否收敛.然而，limn→∞nun=limn→∞2n12n=12，因此用根值判别法可以判断出此级数收敛.
之所以根值判别法比比值判别法更为细致，其原因是有下面的不等式成立，请读者试着证明. 
定理10 对于任何正数数列{un}，总有limn→∞un+1un≤limn→∞nun≤limn→∞nun≤limn→∞un+1un.  利用上面的改进型判别法，可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.首先回顾一下关于幂级数收敛半径的结论： 
对于幂级数∑∞n=0anxn, 如果   limn→∞an+1an=ρ 或 limn→∞n|an|=ρ,则幂级数的收敛半径R=1/ρ,ρ≠0; 
+∞,ρ=0; 
0,ρ=+∞.如果上述极限不存在，用上、下极限就可以得到完整的结论.
定理11 对于幂级数∑∞n=0anxn, 令limn→∞n|an|=ρ,则幂级数的收敛半径R=1/ρ,ρ≠0; 
+∞,ρ=0; 
0,ρ=+∞.  证明 只证明0<ρ<+∞的情形，其他情形读者自证.据定理8，这里|anxn|就是定理8的un，因此limn→∞nun=limn→∞n|anxn|=ρ|x|,于是在|x|<1ρ时幂级数收敛，在|x|>1ρ时幂级数发散，从而收敛半径必然是R=1ρ.证毕
最后我们简单介绍函数的上、下极限.
定义 设f(x)在点x=a的某去心邻域内有定义，如果存在点列xn→a(xn≠a)使limn→∞f(xn)=A (A∈)，则称x→a时，f(x)存在子极限A.或者说A是当x→a时f(x)的一个子极限.
与数列的情形类似，可以证明子极限必有最大者M与最小者M，分别称作上极限与下极限，记为limx→af(x)以及limx→af(x).同样有limx→af(x)存在当且仅当limx→af(x)=limx→af(x).
例3 设f(x)=sin1x，求limx→0f(x), limx→0f(x).
解 根据函数的有界性可知，任何子极限都介于-1和1之间.选取数列xn=12nπ+π2→0，则f(xn)→1  (n→∞) .若选取yn=12nπ+3π2→0，则f(yn)→-1  (n→∞) .因此可知limx→0f(x)=1,  limx→0f(x)=-1.可以证明，任何介于［-1,1］之间的实数都是x→0时f(x)=sin1x的子极限.
习 题13-2
1. 利用实数分划定理证明： 任何非空有下界的实数集必有下确界.
2. 证明定理3的推论1:  任何数列必存在有极限的子列.
3. 证明limn→∞sinn=1; limn→∞sinn=-1.(提示： π是一个无理数，可以用有理数列来逼近)
4. 证明: (1) limn→∞an+limn→∞bn≤limn→∞(an+bn);
 (2) 如果an≤bn，则limn→∞an≤limn→∞bn;
 (3) 如果an≥0,bn≥0，则有(limn→∞an)(limn→∞bn)≤limn→∞(anbn)≤limn→∞(anbn)≤(limn→∞an)(limn→∞bn).对于每个不等式都举一个例子，使得表达式每个“≤”都能取到严格不等号“<" .
5. 证明任何介于［-1,1］之间的实数都是x→0时f(x)=sin1x的子极限.
6. 设f(x)=e1x，求limx→0f(x)与limx→0f(x).
7. 设非负数列{an}满足0≤am+n≤am·an,  m=1,2,…;n=1,2, ….证明limn→∞nan存在.
8. 对于任何正数数列{un}，证明总有limn→∞un+1un≤limn→∞nun≤limn→∞nun≤limn→∞un+1un,并举一个例子，使上面表达式每个“≤”都能取到严格不等号“<" .
13.3 实数连续性理论(二)13.3.1 柯西准则与区间套定理  13.3 实数连续性理论(二)下面证明柯西(Cauchy)收敛准则，首先回顾一下基本列的概念.
定义 设有数列{an}，如果对于事先给定的任意正数ε，都存在N，使得对于任意的m、n>N，都有|am-an|<ε, 则称数列{an}为基本列或者柯西列.
定理1(柯西收敛准则) 数列{an}收敛的必要充分条件是{an}是基本列.
证明 必要性.假设limn→∞an=a，那么对于任意正数ε，考虑a的邻域Ua,ε2, {an}最终在Ua,ε2内，因此数列{an}中各项的距离最终都小于ε.
充分性. 如果数列{an}是基本列，则对于ε0=1，存在N0∈N，使得当m,n>N0时，有|an-am|<1，特别是，当n>N0时，|an-aN0+1|<1.令M=max{|a1|,|a2|,…,|aN0|,|aN0+1|+1}, 则显然有|an|≤M  (n=1,2,…) .因此数列有界.根据列紧性定理(13.2节定理3)，数列{an}必存在收敛的子列{ank}使得ank→a.
由于数列{an}是基本列，因而对于任何正数ε，都存在N1，使得对任意的m, n>N1，都有|am-an|<ε/2；并且存在K，使得当k>K时都有|ank-a|<ε/2.令N=N1+nk+1，则 n>N 时，|an-a|=|(an-ank+1)+(ank+1-a)|≤|(an-ank+1)|+|(ank+1-a)|<ε.证毕  利用柯西收敛准则容易证明，单调增加且有上界的数列收敛(习题13-3, 1).
现在我们短暂回顾一下前面论证过程中的前后关系，可以看出有下面的逻辑顺序： 
分划定理→确界定理→单调有界原理→列紧性定理→柯西收敛准则→单调有界原理
因此我们首先看到： 单调有界原理，列紧性定理，柯西收敛准则这3个定理在逻辑上是彼此等价的.
区间套定理也是描述实数连续性的一个定理，具有直观易懂的特点.
定理2(区间套定理) 设有一列闭区间，满足
(1) ［a1,b1］［a2,b2］…［an,bn］…, 
(2)  limn→∞(bn-an)=0, 
则存在唯一的一个属于所有区间的点x0.或者说，这些区间的公共点恰好有一个.
证明 由条件(1)可知数列{an}是单调增加且以b1为上界的数列，因此收敛于某个数a；同样数列{bn}是单调减少且以a1为下界的数列，因此收敛于某个数b；再根据limn→∞(bn-an)=0可知a=b=x0.因为an≤x0≤bn(n=1,2,3, …)，因此x0属于所有的区间.又因为区间长度的极限limn→∞(bn-an)=0，因此不能有两个不同的点属于一切区间.证毕
13.3.2 覆盖与有限覆盖
设有闭区间［a,b］以及一族开区间Δ={δ}，如果对于［a,b］内的每一个点x，都能在Δ内找到某个开区间δ，使得x∈δ，则称这族开区间Δ={δ}覆盖了闭区间［a,b］.
例1 Δ=x-110,x+110,x∈［0,1］中含有无数多个长度为15的开区间，显然覆盖了闭区间［0,1］.
也可以定义其他类型的覆盖，如一族闭区间覆盖了某个开区间，等等.
关于覆盖，有下面的有限覆盖定理.
定理3(Borel有限覆盖定理) 设闭区间［a,b］被一族开区间Δ={δ}所覆盖，则从Δ中必然能找到有限个开区间δ1,δ2,δ3,…, δm，使得这有限个开区间就能覆盖闭区间［a,b］.
证明 用反证法，假定［a,b］不能被Δ={δ}中有限个元素所覆盖.把［a,b］分为两个区间a,a+b2,a+b2,b，则其中至少有一个不能被Δ={δ}中有限个元素所覆盖.留下一个不能被Δ={δ}中有限个元素所覆盖的区间记作［a1,b1］.同样，［a1,b1］等分后必有一个不能被有限个Δ中的开区间覆盖的区间［a2,b2］.重复上面过程，将得到一列区间， ［a1,b1］［a2,b2］…［an,bn］….  (1) 其中每一个都不能被Δ={δ}中有限个元素所覆盖；
(2) limn→∞(bn-an)=b-a2n=0.
因此由区间套定理可知存在点x0属于所有的区间，且limn→∞an=limn→∞bn=x0.假定Δ={δ}中区间(α,β)覆盖了点x0.根据极限的性质，数列{an},{bn}最终在包含x0的区间(α,β)内，因此必然存在N，使得当n>N时有an∈(α,β),bn∈(α,β).从而n>N时，［an,bn］只需要Δ={δ}中的一个开区间(α,β)就能覆盖.因此与性质(1)矛盾.从而假设不成立.证毕
  读者可以尝试在例1的无限个开区间中找出有限个来覆盖闭区间［0,1］.
利用有限覆盖定理，可以把一些涉及无限的问题转化为有限的问题，从而得到一些整体性的结论.这在数学分析中是很重要的方法.我们知道，函数在一点连续，那么函数具有局部有界性，但是我们经常需要讨论函数是否整体上有界的问题.下面是在第1册中证明过的问题，现在用有限覆盖定理来证明更能看到问题的本质.
例2 证明如果f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上有界.
证明 任取x0∈［a,b］，函数在x0点处连续，因此limx→x0f(x)=f(x0).从而对于ε=1，存在相应的δ0>0，使得当x0-δ0<x<x0+δ0时，有|f(x)-f(x0)|<1, 即|f(x)|<|f(x0)|+1.因此我们首先得出了局部有界性.
很显然，开区间族Δ={(x0-δ0,x0-δ0)|x0∈［a,b］}覆盖了闭区间［a,b］.根据有限覆盖定理，Δ={(x0-δ0,x0-δ0)|x0∈［a,b］}内有有限多个开区间(x1-δ1,x1+δ1),(x2-δ2,x2+δ2),…,(xm-δm,xm+δm)覆盖了［a,b］.令M=max {|f(xk)|+1|k=1,2,…,m},则对任意x∈［a,b］，它必然被上面有限个区间中的至少一个(xk-δk,xk+δk)所覆盖，因此有|f(x)|≤|f(xk)|+1≤M，有界性得证.证毕
上面定理的证明，用到了有限个正数必有一个最大者.其实有限个正数还有一个最小者.这些结论都是在“有限”的条件下成立.
下面给出一致连续的概念.
定义 设f(x)在区间I上满足下面条件： 
对于任意正数ε，都存在一个相应的正数δ，使得只要x′,x" ∈I且|x′-x" |<δ，就有|f(x′)-f(x" )|<ε，则称f(x)在区间I上一致连续.
一致连续和我们学过的连续有一定的联系.
定理4 若f(x)在区间I上一致连续，则f(x)在区间I上连续.
证明 固定点x0∈I，对于任意正数ε，由一致连续的条件，存在相应的正数δ，使得当|x-x0|<δ时，便有|f(x)-f(x0)|<ε.因此f(x)在每一点都连续.从而f(x)在区间I上连续.证毕
在证明中可以看出，一致连续性是比连续更强的条件，它能保证对于同一个正数ε，有一个通用的正数δ.这种性质反映了函数在整体上具有良好的性质.
例3 证明函数f(x)=1x在(0,2］上不是一致连续的.
函数f(x)=1x之所以不一致连续，在于尽管自变量之间距离很近，函数值的差距却可以任意大.因而找不到用在哪里都合适的正数δ.
证明 对于正数ε0=1，无论哪个正数δ，显然必存在自然数n，使得1n2<δ.于是取下面两个点x′=1n,x" =1n+1，虽然|x′-x" |=1n(n+1)<1n2<δ，却有|f(x′)-f(x" )|=1≥ε0.这正是一致连续的否定形式.证毕
下面的定理给出了一类一致连续函数.
定理5 若f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在区间［a,b］上一致连续.
证明 任取x0∈［a,b］，函数在x0连续，因此limx→x0f(x)=f(x0), 从而对于任意正数ε，存在相应的δ0>0，使得当x0-δ0<x<x0+δ0时，有|f(x)-f(x0)|<ε2, 即x′,x" ∈(x0-δ0,x0+δ0), |f(x′)-f(x" )|<ε.因此首先得出了f(x)在每一个局部邻域内一致连续性.
很显然，开区间族Δ=x0-δ02,x0-δ02x0∈［a,b］覆盖了闭区间［a,b］.根据有限覆盖定理，Δ={(x0-δ0,x0-δ0)|x0∈［a,b］}内有有限多个开区间x1-δ12,x1+δ12,x2-δ22,x2+δ22,…,xm-δm2,xm+δm2覆盖了［a,b］.令δ=minδ12,δ22,…,δm2,则x′,x" ，当|x′-x" |<δ时，不妨设x′属于这有限覆盖中的第k区间，即x′∈xk-δk2,xk+δk2, 从而|x" -xk|=|(x" -x′)+(x′-xk)|≤|(x" -x′)|+|(x′-xk)|<δ+δk2
≤δk2+δk2=δk.因此，这两个点属于共同的区间(xk-δk,xk+δk)，也就是x′,x" ∈(xk-δk,xk+δk),因此必有|f(x′)-f(x" )|<ε.证毕  闭区间上连续函数的一致连续性，是一种整体性质，在后面讨论函数可积性中需要这个结论.
下面介绍聚点的定义.
定义 设ER是一个非空集合，a是一个可以属于E也可以不属于E的实数，如果a的任何邻域(a-δ,a+δ)内都包含E的无数多个点，则称a是E的聚点.
例4 显而易见闭区间［a,b］上每一个点都是［a,b］的聚点，也都是(a,b)的聚点.
例5 全体有理数的集合的所有聚点是全体实数R(证明留给读者).
例6 如果数列{an}各项互不相同，且limn→∞an=a，则a是集合{an}的聚点.
证明 由limn→∞an=a可知，对于a的任何邻域(a-ε,a+ε)，数列各项最终都在这个邻域中，因此此邻域包含数列的无数多个点.证毕
下面定理告诉我们，无限多个点挤在有限的空间内，必然会产生聚点.
定理6 设ER含有无限多个元素且是有界的，则E必有聚点.
证明 ER有界，因此必存在闭区间［a,b］，使得E［a,b］.如果E没有聚点，则［a,b］内的任何一个点都不是E的聚点.因此，对于x∈［a,b］，都存在包含x的某邻域(x-δx,x+δx)，使得在(x-δx,x+δx)内包含E的有限个点(包括0个点).当x取遍［a,b］时，Δ={(x-δx,x+δx)}显然覆盖了［a,b］.根据有限覆盖定理，Δ中有有限个开区间足以覆盖［a,b］，即(x1-δ1,x1+δ1),(x2-δ2,x2+δ2),…,(xm-δm,xm+δm)覆盖［a,b］，也覆盖E.但是有限个区间，每一个都含有E的有限个点，因此会得出E只含有有限个点的结论.这与ER含有无限多个元素矛盾.证毕
利用聚点定理还可以证明前面证明过的列紧性定理.
例7 证明任何有界数列{an}必有收敛的子列.
证明 若数列{an}的值只有有限多个，则必有无限多项有相同的数值a，显然这无限多项组成的子列收敛于a.若{an}有无限多项各不相同，根据定理6, {an}有聚点x.则在(x-1,x+1)中含有{an}的无限多项，下标最小的项记作an1，同样在x-12,x+12中含有{an}的无限多项，不是an1且下标最小的项记作an2，如此下去，得到{an}的各项值互不相同的子列{ank}，且x-1k<ank<x+1k,