第1章随机事件及其概率
1.1随机事件和样本空间
1.1.1内容提要
1随机现象
世界上有各种各样的现象．在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象叫随机现象．它具有两个特点： 
(1) 在一次观察中，现象可能发生，也可能不发生，即结果呈现不确定性； 
(2) 在大量重复观察中，其结果具有统计规律性．
概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科．
2随机试验
观察随机现象的，具有以下几个特点的试验叫随机试验．
（1） 试验具有明确的目的； 
（2） 在相同条件下可以重复进行； 
（3） 试验的结果不止一个，所有结果事先都能明确指出来； 
（4） 每次试验之前，不能确定会出现哪个结果．
随机试验通常用字母E表示．
3随机事件
在随机试验E中，所有可能出现（或称发生）的结果都叫随机事件．随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．
随机事件有以下几类： 
（1） 基本事件：  最简单的不能再分的事件叫基本事件．一般用ei或ωi表示； 
（2） 复合事件：  由至少两个基本事件构成的事件叫复合事件．复合事件是若干个基本事件的集合事件； 
第1章随机事件及其概率
1.1随机事件和样本空间

（3） 必然事件：  在随机试验E中，必然出现的事件叫必然事件； 
（4） 不可能事件：  在随机试验E中，不可能出现的事件叫不可能事件； 
后两个事件是确定性的事件，并不是随机事件.为了研究问题的方便，把它们归入随机事件，作为随机事件的两个特殊情况．
4样本空间
（1） 样本点：  在随机试验E中，基本事件叫样本点； 
（2） 样本空间：  在随机试验E中，全体样本点的集合叫样本空间，记作Ω．
样本空间有3种类型： 
（1） 有限集合：  样本空间中的样本点的个数是有限的； 
（2） 无限可列集合：  样本空间中样本点的个数是无限的，但可以一一列出来； 
（3） 无限不可列集合：  样本空间中样本点的个数是无限的，又不能列出来.
5事件之间的关系（见图1.1）
（1） 包含关系：  设有事件A，B，若由B发生必然导致A发生，则称A包含B，或说B包含于A，记为AB．任何事件都包含于样本空间Ω中．
（2） 相等关系：  若AB，同时BA，则称A与B相等，记为A=B．
（3） 事件的并（和）：  设有事件A，B，C，若A，B中至少一个发生时，C就发生，则称C是A与B的并（和），记为C=A∪B．
n个事件A1,A2,…,An的并（和）记为∪ni=1Ai．无穷可列个事件的并记为∪∞i=1Ai．

图1.1


(4) 事件的交（积）：  若A，B同时发生时，C才发生，则称C为A，B的交（积），记为C=A∩B=AB．
n个事件A1，A2，…，An的交（积）记为∩ni=1Ai，无穷可列个事件的交记为∩∞i=1Ai．
（5） 互不相容（互斥）事件：  若A，B不能同时发生，即AB=，则称A，B为互不相容事件，又称互斥事件．任何两个不同的基本事件为互斥事件．
（6） 对立事件：  若AB=，且A∪B=Ω,则称A，B互为对立事件，记为A=或B=．是A的对立事件．可读作“A非”或“非A”.
（7） 事件的差：  A-B=A-AB=A．
6事件的运算
（1） 交换律：  A∪B=B∪A，AB=BA．
（2） 结合律：  A∪B∪C=(A∪B)∪C=A∪(B∪C）,

ABC=(AB)C=A(BC).
(3) 分配律：  （A∪B)C=AC∪BC,

(AB)∪C=(A∪C)(B∪C).
(4) 德摩根律（又叫对偶律）： 
A∪B=，AB=∪； 
对n个事件有
∪ni=1Ai=∩ni=1i,∩ni=1Ai=∪ni=1i,
分别读作“并的非等于非的交”及“交的非等于非的并”.
1.1.2例题分析
例1.1对下面的3个随机试验，确定它们的样本空间： 
（1） E1：  掷一个均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数； 
（2） E2：  某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； 
（3） E3：  任取一只灯管，连续使用，直到损坏为止，记录它的寿命．
解确定随机试验的样本空间是概率论的基本问题，也是重要问题．做法是：  先分析基本事件，如果可以列出就把它列出来，它的全体就是样本空间．
（1） E1中，因为骰子是六面体，基本事件共有6个：  1，2，3，4，5，6，所以样本空间为Ω＝｛１，２，３，４，５，６｝．这是有限型样本空间．
（２） Ｅ２中，因为射击是一次一次地进行的，若击中目标，不再进行下次射击，若未击中目标，射击就要进行下去，因此它的基本事件为１，２，３，…，所以样本空间为Ω={1,2,3,…}．这是无限可列型样本空间．
（３） Ｅ３中，寿命是用时间表示的，时间是连续的，是不可列的．因此它的样本空间表示为Ω＝｛t|t≥0}，这是无限不可列型样本空间．
例1.2在例１.１的Ｅ１中．
（１） 设事件Ａ表示“出现奇数点”，事件Ｂ表示“点数小于５”，事件Ｃ表示“大于３的偶数点”，试用集合表示下列事件：  Ａ∪B,A∪B∪,AB，A-B,ABC； 
（２） 对Ａ，Ｂ验证德摩根律．
解本题采用列举法解之．例１.１中已写出：  Ω=｛１，２，３，４，５，６｝； 由题意知： A={1,3,5},={2,4,6},B={1,2,3,4},={5,6},Ｃ＝｛４，６｝，={1,2,3,5}.
(1) A∪B={1,3,5}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4,5}； 

A∪B∪={1,2,3,4,5}∪{1,2,3,5}={1,2,3,4,5}； 

AB={1,3,5}∩{1,2,3,4}={1,3}； 

A-B=A={1,3,5}∩{5,6}={5}； 

ABC={1,3}∩{4,6}=.
(2) 由（１）知A∪B={6},又={2,4,6}∩{5,6}={6}，所以很明显看出A∪B=； 
又由（1）知AB={2，4，5，6}，∪={2，4，6}∪{5，6}={2，4，5，6}，很明显看出AB=∪．
例1.3考察居民对3种报纸A，B，C的订购情况．设事件A，B，C分别表示订购报纸A，B，C，试表示下列事件：  （1）只订购A；  （2）只订购A及B；  （3）只订购A或B；  （4）只订购一种报纸；  （5）正好订购两种报纸；  （6）至少订购1种报纸；  （7）不订购任何报纸．
解首先要正确理解各个事件的含义，在这个基础上，不难写出各个事件：  （1）A ；  （2）AB；  （3） A∪B；  （4）A∪B∪C；  （5） AB∪BC∪AC；  （6）A∪B∪C；  （7）或A∪B∪C．
例1.4设A，B，C表示3个非不可能随机事件，试将下列事件用A，B，C的运算关系表示出来．
（1） A发生，B，C不发生； 
（2） A，B都发生，而C不发生； 
（3） 3个事件都发生； 
（4） 3个事件中至少有1个发生； 
（5） 3个事件中至少有两个发生； 
（6） 3个事件都不发生； 
（7） 不多于1个事件发生； 
（8） 不多于两个事件发生； 
（9） 恰有1个事件发生．
解(1) A； 
(2) AB； 
(3) ABC； 
(4) A∪B∪C； 
(5) AB∪BC∪CA； 
(6) ； 
(7) ∪A∪B∪C或AB∪BC∪CA或∪∪这3种表达式实际上是一样的； 
(8) ABC或∪A∪B∪C∪AB∪AC∪BC； 
(9) A∪B∪C.
例1.5设两事件A，B，若AB=，问A与B是什么关系？
解因为=A∪B，所以由AB=，可得AB=A∪B．又因为A∪BAB,所以AB=，即A∪B=，所以A∪B=Ω，故A与B是对立事件：  A=，B=．
例1.6设A，B为事件，问下列各事件表示什么意思？
（1） ∪；  （2） B；  （3） ．
解（1） ∪=AB表示A，B不都发生，或说A，B中至少一个不发生．
（2） B=B-AB表示B发生A不发生，或说B发生AB不发生．
（3） 表示A，B都不发生．
例1.7设A，B是两事件．
（1） “A，B都发生”，“A，B不都发生”，“A，B都不发生”中，哪两个是对立事件．
（2） “A，B至少发生一个”与“A，B最多发生一个”是否是对立事件．
解（1） “A，B都发生”=AB，

“A，B不都发生”=AB=∪，

“A，B都不发生”=．
由于AB与AB是对立事件，所以“A，B都发生”与“A，B不都发生”是对立事件．而与“A，B都不发生”不是对立事件．
（2） “A，B至少发生一个”可表示为
A∪B=A∪B∪AB．
“A，B最多发生一个”可表示为
A∪B∪．
由于A∪B=≠A∪B∪,所以，两者不是对立事件．
从直观上讲，“A，B中至少发生一个”与“A，B中最多发生一个”有交事件为“A，B中正好发生一个”，所以两者不是互斥事件，故不是对立事件．
解题说明近年来，MBA考试中兴起一种“条件充分性判断”题，要求判断所给出的条件（1），（2）能否充分支持题干中陈述的结论．在每一个题目中仔细阅读条件（1），（2）和结论后，据下列说明选择A，B，C，D，E中的一个．
A：  条件（1）充分，但条件（2）不充分； 
B：  条件（2）充分，但条件（1）不充分； 
C：  条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分； 
D：  条件（1）充分，条件（2）也充分； 
E：  条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分．
例1.8在本题中，进行条件充分性判断： 
设A，B，C都是非空事件，（A∪B）C=A∪BC．
（1） B=.(2) ∪C=Ω.
解分析：  因为（A∪B）C=AC∪BC（由分配律），而题中为（A∪B）C=A∪BC，所以应有AC=A．
由（1）,B=，即B-C=，由此得出BC，得不出AC=A，所以条件（1）不充分．
由（2）,∪C=Ω,两边求对立事件，并在等式左边应用德摩根律有A∪C=A=,又AC∪A=A，所以AC=A，故有（A∪B）C=A∪BC．所以条件（2）充分，本题中应选B．
例1.9图1.2是一个电路图：  事件A表示灯亮，事件Bi表示第i个开关闭合（i=1,2,3)，试说明这4个事件之间的关系．

图1.2


解显然，（1）开关1，2同时闭合或开关1，3同时闭合时，灯就亮，即B1B2∪B1B3=A，AB1B2,AB1B3．（2）开关1不闭合或开关2，3都不闭合，灯就不亮，即1∪23=． 1,23．(3)由（2）还可得1A=,23A=．
1.1.3习题
1.1甲、乙两人共同做一个随机试验：  甲掷一枚硬币，乙从装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子里任取一球．求此试验的样本空间．
1.2掷两个骰子，观察朝上一面出现的点数： 
（1） E1记录两个骰子的点数之和； 
（2） E2记录两个骰子点数之差的绝对值； 
（3） E3记录两个骰子点数之乘积．
试确定E1，E2，E3的样本空间．
1.3试确定下列随机试验的样本空间： 
（1） E1在区间［0,1］上任取一点，记下它的坐标； 
（2） E2在顶点为原点和（1，1）的正方形内任取一点，记录它的坐标； 
（3） E3在中心在原点，半径为R的圆周上任取一点，记录它的坐标； 
（4） E4在中心在原点，半径为R的圆周内任取一点，记录它的坐标； 
（5） E5将长为a的杆截成三段，记录三段的长度．
1.4从文氏图上表示下面各事件等式： 
（1） （A∪B)C=AC∪BC； 
(2) AB∪C=(A∪C)(B∪C)．
1.5指出下列各题中哪些成立（记为“是”）哪些不成立（记为“否”）？
（1） A∪B=A∪B； 
（2） B=A∪B； 
（3） A∪B C=； 
(4) (AB)(A）=； 
(5) AB∪A=Ω； 
(6) AB∪A=A； 
(7) 若AB，则AB=B； 
（8） 若AB=，且AC，则BC=； 
(9) 若AB,则； 
（10） 若AB，则A∪B=A．
1.6在某一随机试验中，已知Ω={0,1,2,3,4,5}，定义事件A，B，C为：  A为不大于3的数； B为不小于2的数，C为偶数．试具体写出下列各事件： 
（1） B； (2) A； (3) ； 
(4) AB； (5) (A∪B∪C)C； (6) (A∪B).
对下面两题进行条件充分性判断： 
1.7设A，B为非不可能事件，A=，即A，B为对立事件．
（1） AB=； (2) A∪B=Ω.()
1.8设A，B为非不可能事件，（A-B）（A∪B)=A．
（1） AB=； (2) B.()
1.9袋中有10个产品，其中8个正品，2个次品，从中取3次，每次取1个，不放回．试用事件表示第3次取到次品．
1.10在1.9题中，用事件表示取到次品之前取到正品．
1.2随机事件的概率
1.2.1内容提要
1概率的一般定义
对一个随机事件A，如果用一个数能表示事件A发生的可能性的大小，则称这个数为事件A的概率，记作P（A）．