第3章 动力学
牛顿定律在伽利略变换下是不变的。洛伦兹变换取代了伽利略变换之后，势必要修正牛顿力学，使之在爱因斯坦的时空观里，满足狭久相对性原理，即要使得修正后的力学基本定律，在各个惯性系里仍有同样的表达形式。
在本章中，我们将着重阐述狭义相对论力学的一些基本概念和基本规律：质量-速度关系、质量-能量关系、能量-动量关系以及粒子的运动定律(主要以静质量恒定不变的质点为研究对象)。由于同时的相对性，一个物体能否当作质点，还得考虑在时空坐标的变换中，能否略去物体线度带来的时差影响；因此，有关广延物体的力学问题，在处理上就比原有的牛顿力学复杂得多。
3.1 质量-速度关系
前面已经指出，作为牛顿第一定律的惯性定律，理所当然地要在各个惯性系里继续有效；否则，惯性系就不能称其为惯性系了。只要粒子不受外界任何作用(不仅它所受的合外力为零，而且它与周围环境之间不发生任何能量交换)关于惯性定律的进一步讨论及其陈述，可见3.5节。，则它在各个惯性系里的运动状态将一直保持不变，继续静止或匀速直线运动着，它的动量也是一个常矢量。由此可以认为，在狭义相对论中，动量守恒定律仍然是物理学的一个基本规律。同样，我们也没有任何理由去怀疑质量守恒定律的有效性。
但是，在狭义相对论中，承认了动量守恒定律和质量守恒定律，却不能再认为质量是一个绝对的不变量。为了阐明这一点。并最后求得粒子的质量与其速度的关系式，我们讨论下述情况： 
1. 实物粒子
假定有两个全同的实物粒子，在Σ′系里平行于x′轴以同一速率v迎面碰撞；若碰撞是完全非弹性的，则碰撞前后它们分别在惯性系Σ和Σ′里的运动状态，可标示于图3-1中。(图中未画出坐标轴，惯性系Σ′与Σ之间的相对运动仍如图2-1所示。)
图3-1 两个全同粒子作完全非弹性碰撞
下面将要证明，运动粒子的质量与它静止时的质量是不同的，所以不妨事先就将它们区别开。为此，设碰撞粒子以速度u运动时的质量为m(u)，而静止时的质量m0≡m(0)；同样，对于碰撞后的合成粒子，相应地有M(v)和M0≡M(0)。在Σ系里使用质量守恒定律和动量守恒定律，应有m(u)+m0=M(v)
m(u)·u=M(v)·v由此二式，不难求得m(u)m0=vu-v(3-1)如果对于速度变换，仍沿用传统的平行四边形法则，则u=2v，因而式(3-1)给出m(u)=m0这表明，伽利略变换要求质量是绝对量，即粒子的质量与其运动状态无关。然而，在洛伦兹变换下，按照爱因斯坦的速度变换公式(2-15b)，这里应为u=2v1+(v/c)2(3-2)于是，m(u)不再等于m0；由此可知，粒子的质量与其运动状态有关，是适应了新时空观的需要。为了求出质量依赖于速度的函数关系m=m(u)，先将式(3-2)变形为v2-2c2uv+c2=0对v求解，得v=c2u1±(1-u2/c2)1/2]显然，括号中的加号是不可取的，于是u-v=(1-u2/c2)1/2v(3-3)由式(3-1)和式(3-3)，立即得出m(u)=m01-u2/c2(3-4)  这就是狭义相对论中粒子质量依赖于速度的关系式。它表明粒子的质量与它的运动状态有关，质量是一个相对量。并且，质量是速度的偶函数，即它仅与速度的量值有关，而与运动的方向无关；这一结论是理所当然的，因为，运动粒子在惯性系里的惯性表现，本来就应该在空间各向同性。
如果不采用上述的完全非弹性碰撞，而代之以其他的碰撞过程，同样也可以导出质速公式(3-4)\. 
早在狭义相对论创建之前，考夫曼(W.Kaufmann)于1901年就使用电磁偏转法观测了β射线（以高速运动的电子束），发现这种电子的荷质比e/m与其速度有关。粒子具有的电量，与它的运动状态无关。见4.1节.1906年他公布了新的实验结果，得出的电子质量依赖于速度的关系并不利于式(3-4)；但当时的实验精确度是不高的，不足以成为判定性实验。其后，Bucherer于1908年, Guye和Lavanchy于1915年分别作了类似的实验，才较好地与式(3-4)一致。他们的实验结果，集中表示于图3-2中。1963年Meyer等人对接近光速(0.987c~0.990c)运动的电子质量进行了测定，其结果在0.04%的精度内与质速公式(3-4)一致。(见第2章的参考文献\)
图3-2 电子质量对速度的依赖关系
总之，虽然在自然界的各种变化(物理的、化学的、生物的)中，质量总是一个守恒量，然而它却不是一个绝对量。运动粒子的速率u越大，它的质量m也越大；在u→c时m→∞，这为通常的实物粒子(m0≠0)，不能用简单的加速办法使之变为光速粒子或超光粒子，提供了一个动力学上的依据。当然，在特定条件下，实物粒子还是可以转化为光子的；但是，那种转化是质的飞跃，而不是渐近的加速过程。
2. 扩大应用
将质速公式(3-4)用于光子，则要求光子的静质量为零。这已从各个方面获得了精度较高的验证；有关光子静质量(m0)的分析表明，它的最强上限m0<10-63kg\C.Amsler et al., Phys. Letters B, vol. 667(2008)31给出的推荐值为m0<1×10-18eV，约1.8×10-54kg.。又，根据光速不变原理，任何惯性系里的真空光速都恒等于c，于是，光子在所有惯性系里仍可以具有确定的惯性。
将公式(2-17)用于光子，则公式(3-4)给出mm′=m(u)m′(u′)=1-(u′/c)21-(u/c)2
=1-(v/c)21-βcosθ(3-5)另一方面，根据光的波动性，已知光波频率的变换公式(2-70)，由此可将上式写成mm′=νν′(3-6)即同一光子在不同惯性系里的质量比，等于它们所对应的频率比。在下一节的质能公式推导中，我们将要用到这个关系式。
顺便在这里提一下，既然质速公式(3-4)可适用于光子，于是有人认为，这个公式也并不排斥超光粒子的存在；只要我们假定超光粒子的静质量是虚的，则真正起作用的质量m(u)仍然是实量。在前一章中，速度变换式(2-18)已表明，若超光粒子存在，则它们在任何一个惯性系里的速率都大于c，不可能找到一个与超光粒子相对静止的惯性系；正因为如此，它的静质量才可以是虚数。这与光子的静质量为零，在理解上颇为相似，反正这些静质量都不具有直接的物理意义。
3.2 质量-能量关系1. 期待的关系  由光子的质量与频率的关系式(3-6)，以及已知的光子的能量公式E=hν, (其中h为普朗克常数)，就得到E∝m(3-7)这表明，光子的能量与其质量有简单的正比关系。将比例式(3-7)推广于所有的物质粒子，下一步的任务，在于如何确定该式中的比例系数。为此，可将质速公式(3-4)按幂级数展开，两边再乘以c2，即有mc2=m0c2+12m0u21+34uc2+…](3-8)从此式的右边不难看出，mc2不仅是物质粒子的运动状态的函数，具有能量的量纲，而且在低速条件(uc)下，式右的第二大项就回到牛顿力学中通常动能的表示式，将式(3-8)与(3-7)对比，应有E=mc2(3-9)这就是著名的爱因斯坦质能公式。这个公式，也可以实物粒子为对象，通过功能定理推导出来(见3.4节). 
2. 通常的推导
这里，假定事先已确认实物粒子的运动方程。为此，将牛顿第二定律写成f=dpdt其中p(≡mu)是实物粒子的动量，f为它所受的合外力，于是，该粒子的动能Ek的增长率应为dEkdt=f·u
=u·ddtm0u(1-u2/c2)1/2
=m0(1-u2/c2)1/2u·dudt+m0u2/c2(1-u2/c2)3/2·ududt因为u·dudt=ududt即得dEkdt=m0u(1-u2/c2)3/2·dudt
  =ddtm0c2(1-u2/c2)1/2]
Ek=m0c21-u2/c2+AA为积分常数。显然，当速度u=0时，动能Ek应为零，故A=-m0c2
Ek=m0c21-u2/c2-m0c2爱因斯坦认为，m0c2是粒子静止时具有的能量，从而运动粒子的总能E=Ek+m0c2=m0c21-u2/c2这正是式(3-9). 
3. 公式的意义
质能公式(3-9)表明，任何物质所具有的能量，与其质量之间，总有着简单的正比关系；其比例系数是普适的，即各种情况下都是真空光速的平方。于是，质量守恒定律就可以用来表征能量守恒定律，反过来也如此。
式(3-8)右边的第二大项为物质粒子的动能，因而可称第一项m0c2为静能，或称之为固有能，它是物质粒子静止时所具有的能量。静能对应于静质量m0；相应地，我们可以将动能项除以c2，而称之为动质量。对于光子，显然其静能为零，动能即是它的全部能量。
将质能公式改写成增量形式，在实用上往往是方便的，这时ΔE=c2Δm(3-10)这表明，质量的增减总伴随着能量的增减，反之亦然。于是，能量的传递就一定伴随着质量的迁移；声波的传播、热量的吸放等过程，都是如此。由于被迁移的质量仅仅是被传递的能量的c2分之一，在通常情况下，其量值极其微小而往往略去不计；例如，将103kg的水从0℃加热到100℃，它的质量大约只增加了5×10-9kg，这当然是微不足道的。
另一方面，正是由于这个质能公式，原子核能的利用才有了可能；今天，巨大的核能释放，无论在军事上或在工业上，都已显示出无比威力，并且在天文学中，被引用来解释恒星经久不衰的强大辐射。
以太阳为例，其辐射功率约3.8×1026W，根据公式(3-10)，这相当于太阳的质量每秒减少4×109kg；由于太阳的质量是如此之大(约2×1030kg)，即使今后太阳仍像现在这样耗散能量，上亿年也用不着担心它会暗淡无光。一般认为，太阳内部激烈地进行着一系列的核聚变反应，简而言之，其结果主要是每次将参与反应的4个质子(氢核)结合成一个α粒子(氦核)。我们可以从它们的静质量来估算释放出的动能：
质子的静质量mp=1.008a.m.u.a.m.u.即原子质量单位。
1a.m.u.=(1.65979±0.00004)×10-27kg.
氦核的静质量mα=4.003a.m.u.4mp-mα=0.029a.m.u.
0.029a.m.u.的静质量亏损，相当于释放动能27MeV。于是，若有1kg的氢全部转变为氦，则反应中将放能4.0×1027MeV，即6.4×1014J；这是一个巨大的能量，在通常的情况下，足以将2.4×108kg 0℃的水变为100℃的蒸汽。
直接通过核反应来验证质能公式，已经完成了大量的实验，现将其中的一些结果，列入表3-1内\。设每一反应中静质量的亏损值为(-ΔM0)，则反应后动质量应有等量的增长，即理论上要释放动能(-ΔM0)c2.表3-1 一些核反应释放的动能核 反 应理论值(-ΔM0)c2/MeV实测值ΔEk/MeV73Li+11H242He17.2517.28199F+11H168O+42He8.168.1563Li+21H242He22.1722.20105B+21H116C+10n6.386.38126C+21H136C+11H2.762.71147N+42He178O+11H-1.15-1.16  再强调一次，质能公式(3-10)只是告诉我们，质量和能量的增减总是平行进行的，丝毫不意味着质量与能量之间可以按照此式相互转换。但是，静质量与动质量之间、静能与动能之间，却是可以彼此向对方转化的；动、静质量之间所发生的小量转化，与之对应的动能与静能之间的转化将是巨大的。一方面，轻核聚变及重核裂变中所释放出来的大量可用的动能，即来自参与反应的原子核的静能，反应过程中的总能始终是守恒的；另一方面，过程中体系的静质量是减少了，然而却增大了动质量，总质量也仍然是守恒的。当然，还存在与上述反应相反的过程，例如，在一定条件下光子转变为一对正、负电子即是如此；这时，电子偶所固有的静能，是由光子的能量(动能)转化来的，相应地，电子偶的静质量是由光子的动质量转化来的(使这一反应可能发生的能量计算，见3.3节的第4部分). 
总之，客观世界中并不存在质量转化为能量或者能量转化为质量的过程。所谓质、能可以相互转换，其实质在于将质量与静质量、能量与动能等同了起来，忘掉了质量中还有动质量、能量中还有静能。因此，质量守恒定律和能量守恒定律是两条平行的定律，在任何自然过程中，质量和能量都是分别守恒的；所谓质能守恒定律，至少在提法上是含糊不清的，它容易给人以错觉，似乎质量与能量之间可以相互转换而其总和守恒。
也许可以这样认为：在同时并存着的动能与动质量之间，是能量的属性得到了突出的表现，在这个意义上，就说这时是能量处于主导地位；另一方面，在同时并存的静质量与静能之间，潜藏的能量远不及惯性的表现来得明显，于是，相应地又说这时是质量处于主导地位；因此，在静质量向动质量(伴随着静能向动能)或者反过来发生转化时，就可以说成是质、能之间的主导地位发生了转化。显然，这种说法具有较浓的哲学味道，它并不能改变我们在前面所进行的物理分析。
3.3 能量-动量关系
由质速公式、质能公式和动量的通常定义，可以求得能量与动量之间的关系。在洛伦兹变换下，能量与动量彼此制约着，并紧密地联结为一个统一的整体。
按动量的定义p=mu(3-11)和质能公式(3-9)、质速公式(3-4)，立即可得p2-E2c2=-m2c21-u2c2=-m20c2(3-12a)
或
E2=m20c4+p2c2(3-12b)