3 相对运动网络及类基尔霍夫
电压定律解法  传统教科书中的相对运动问题一般涉及一个运动物体、一个相对参考系和一个绝对参考系，不少研究仍局限于传统的方法［4］。但有许多实际问题涉及多质点系统，多质点系统的相对运动问题十分复杂，用传统的方法很难解决。解决多质点系统的相对运动问题可从基尔霍夫电压定律中得到启发。在网络电路中，基尔霍夫电压定律指出: 任何时刻，沿任意回路，所有支路电压的代数和恒等于零。应用基尔霍夫电压定律方法解决复杂的相对运动问题将十分有效。但为了研究复杂的多质点系统的相对运动关系，需要重新定义参与相对运动的各项，并引入相对运动网络的概念。一个运动物体、一个相对参考系和一个绝对参考系的相对运动关系就是最简单的单环相对运动网络。更为复杂的相对运动关系可以形成多环相对运动网络。
3.1 几个概念
定义3.1 在相对运动中，运动物和参照系都统称为相对运动网元，简称网元。
定义3.2 相对运动的全部网元称为相对运动网络，简称网络。
定义3.3 由若干个网元组成的网络，而网元与网元按照相对运动关系若构成一个封闭的环，就称为相对运动网环，简称网环。
3.2 相对运动网络及解法
多环网络是指在二维或三维空间中参与相对运动的各个网元按它们的相对运动关系可以构成多个网环的网络。图 3.1这样的网络可以用图形表示。以立体四元四环网络为例，网络图如图3.1所示。网元a、b、c和d在三维空间中运动，假设b相对a的速度是ba, c相对d的速度是cd, d相对a的速度是da, c相对b的速度是cb, b相对d的速度是bd, a相对c的速度是ac，图3.1所标示的速度不是这些速度的真实矢量，而是象意性的标记，反映的是网元与网元之间的相对运动关系。
根据上述运动关系得到4个闭合网环，分别是a-c-d-a、a-d-b-a、a-b-c-a和b-c-d-b，从而形成三维空间的4个面。对这4个网环，任意选定循行方向，类似电学的基尔霍夫电压定律的方法，顺着循行方向可写出正确的速度矢量方程组: -bd-da+ba=0
-cd-ac-da=0
ac+cb+ba=0
cd-cb-bd=0  解此方程除了待求的速度量外，还需要知道各速度的大小和方向。其中每一个网元相对另一个网元的相对速度方向角取该速度方向对直角坐标各轴的夹角。注意到: 在二维坐标中两个夹角中只有一个夹角是独立的，因此只需其中一个夹角就可以；在三维坐标的三个夹角中只有两个是独立的，因此只需其中两个夹角就可以。 
3.3 算例
3.3.1 算例1
文献［4］中的例(EXAMPLE 3-14)属于平面三元单环网络(见图3.2),是一种简单的相对运动网络，根据题意及应用类似基尔霍夫电压定律的方法作循行方向，按循行方向建立的式子为-PE+PA+AE=0式中，正号表示象意性矢量方向与循行方向相同，负号表示象意性矢量方向与循行方向相反。上式与文献［5］所建立的式子相同。
图 3.2
图 3.3
3.3.2 算例2
太平洋海面上有快艇A、B、C和D。快艇A的观察员测出快艇B的相对航速是90km/h, 测出快艇D的相对航速是70km/h，相对航向北偏西40. ；快艇C的观察员看到快艇B的相对航向东偏南23. ，测出快艇D的相对航速是65km/h，相对航向北偏东20. 。求快艇B相对快艇D的速度。
此例的网络由A、B、C和D四个网元组成。据题意，B和D分别相对A的速度为BA(90km/h,方向未知，用αBA表示)和DA(70km/h,130. )，分别相对C的速度为BC(大小未知，-23. )和DC(65km/h,70. ). B相对D的速度为BD(待求，方向用βBD表示)。因此，其网络为平面四元二环网络，如图3.3所示。类似电学的基尔霍夫电压定律的方法，在两个网环上分别作循行方向(见图3.3)，顺着循行方向可写出正确的速度矢量方程组：BA-BD-DA=0
-BC+DC+BD=0   (3.1)  用直角坐标系，并设x的正向为东，y的正向为北，所有角度量统一参照x轴给出，如北偏西40. 在坐标系上为130. 。将式(3.1)写成对x轴和y轴投影式，代入已知速度大小和角度值后，得到方程组: 90cosαBA-vBDcosβBD-70cos(130. )=0
90sinαBA-vBDsinβBD-70sin(130. )=0
-vBCcos(-23. )+65cos(70. )+vBDcosβBD=0
-vBCsin(-23. )+65sin(70. )+vBDsinβBD=0解得vBD=160.8km/h, βBD=-46. 58′. 
3.4 结语
利用类似电学的基尔霍夫电压定律的方法解决相对运动问题，既体现了相对运动问题的本质，又为方便地解决相对运动问题提供了一种十分有用的技巧，特别是对于解决复杂的和多质点的相对运动问题起到了很好的作用。从前面的例解可以看出，这种方法与传统的方法不同，解决问题的过程顺序自然，规则清楚，具有程式化的特点。也因此，这一方法可为计算机求解相对运动问题提供一种理论依据。