微分学是微积分的重要组成部分.导数和微分是微分学的重要概念，它们可以用于研究函数的各种性态.本章主要介绍导数的概念、导数的运算法则、反函数与复合函数的导数以及高阶导数，以及如何利用导数来研究函数的一般性质，包括函数的增减性、极值等，并运用这些性质来解决最大(小)值问题.
本章知识框图 
3.1 导数的概念
3.1.1 导数的定义
数学中的许多概念都具有深刻的实际背景，导数就是一个典型的例子.在正式接触导数部分的内容之前，我们先来看几个实际问题.
引例3.1 已知变速直线运动物体走过的路程s=s(t)，求t0时刻物体的瞬时速度.
中学讲到的物理学知识告诉我们，直线运动物体从时刻t0到t0+Δt的平均速度可以记作:ΔsΔt=s(t0+Δt)-s(t0)Δt.如果是匀速直线运动，上面的比值是一个常量；如果是变速运动，则这个比值不仅与t0有关，而且与时间间隔Δt也有关.当Δt很小时，我们可以近似认为平均速度ΔsΔt就等于物体在t0时刻的瞬时速度.Δt越小，近似程度便越高.当Δt趋于0时，平均速度的极限便是物体在时刻t0时的瞬时速度，即v=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s(t0+Δt)-s(t0)Δt.(3.1)  引例3.2 设企业的产量为Q时，总成本为C(Q).如果产量Q增加(或减少)ΔQ，则总成本的改变量为ΔC(Q)=C(Q+ΔQ)-C(Q)，于是ΔC(Q)ΔQ=C(Q+ΔQ)-C(Q)ΔQ表示产量由Q变为Q+ΔQ时，总成本的变化与产量的变化的比率，即在区间\上的总成本对产量的平均变化率.ΔQ越小，该平均变化率越接近产量为Q时的瞬时变化率.
当ΔQ→0时，若总成本的平均变化率的极限存在，即limΔQ→0C(Q+ΔQ)-C(Q)ΔQ(3.2) 存在，则该极限表示企业产量为Q时，总成本相对于产量的变化率，经济学上称为产量为Q时的边际成本.
类似地，可用式(3.1)、式(3.2)的极限形式定义边际收益(企业总收益对销量的瞬时变化率)、边际利润(企业总利润对销量的瞬时变化率)、边际需求(市场需求对价格的瞬时变化率)等概念.图 3-1

引例3.3 在研究函数的几何图形时，函数曲线在某点的切线的斜率是一个重要概念。曲线的切线斜率可用下面的方法求得.
如图3-1所示，若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))有切线PL，点Q是曲线在x0+Δx的对应点，则割线PQ的斜率为kPQ=f(x0+Δx)-f(x0)Δx,  当Δx→0时，割线PQ的极限位置为曲线在点P处的切线PL，割线斜率kPQ的极限就是切线的斜率kPL.即limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx(3.3)表示曲线y=f(x)在点x0处的切线的斜率(注: 要求极限必须存在).
从以上引例可以看出: 虽然问题的背景不同，但式(3.1)、式(3.2)与式(3.3)在形式上完全一样，它们都可归结为函数值的改变量与自变量的改变量之商的极限.将这些问题中的共同点抽象出来，得到了导数的概念.
定义3.1 若函数f(x)在点x0附近有定义，且极限limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx存在，则称函数f(x)在点x0可导，称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数值，记为f′(x0)或f′(x)x=x0或dfdxx=x0，即f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(3.4)  若函数f(x)对区间I内的每一点x都可导，则称函数f(x)在区间I内可导.将式(3.4)中的x0换成变量x，即得导函数f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx导函数也可记为f′(x)或dfdx.
显然，函数f(x)在x0处的导数值等于导函数f′(x)在x0的值，即f′(x0)=f′(x)x=x0.  通常，ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx表示函数在区间\上的平均变化率.在各种实际背景下，有其具体含义.如引例3.1中，ΔsΔt=s(t0+Δt)-s(t0)Δt表示时间段\上的平均速度；引例3.2中，ΔC(Q)ΔQ=C(Q+ΔQ)-C(Q)ΔQ表示区间\上总成本对产量的平均变化率.导数limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx(平均变化率的极限)则表示函数f(x)在点x0的瞬时变化率，比如在引例3.1中，区间\上平均速度的极限limΔt→0s(t0+Δt)-s(t0)Δt(即走过的路程对时间的导数)表示t0时刻的瞬时速度；引例3.2中总成本的平均变化率的极限limΔQ→0C(Q+ΔQ)-C(Q)ΔQ，表示产量为Q时总成本的瞬时变化率即边际成本C′(Q).函数的瞬时变化率即函数的导数，在实际问题中有着非常广泛的应用.
例3.1 设函数f(x)在点x0可导，试求下列与f′(x0)有关的极限: 
(1) limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx;       (2) limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx;
(3) limx→0f(x0-2x)-f(x0)x;       (4) limΔx→0f(x0+aΔx)-f(x0+bΔx)Δx.
解 f(x)在点x0可导，根据导数的定义有f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.  (1) limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=lim-Δx→0f(x0+(-Δx))-f(x0)-Δx=f′(x0).
(2) limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)+f(x0)-f(x0-Δx)Δx
=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx+f(x0)-f(x0-Δx)Δx
=f′(x0)+f′(x0)=2f′(x0).
(3) limx→0f(x0-2x)-f(x0)x=-2limx→0f(x0+(-2x))-f(x0)-2x=-2f′(x0).
(4) limΔx→0f(x0+aΔx)-f(x0+bΔx)Δx=limΔx→0f(x0+aΔx)-f(x0)+f(x0)-f(x0+bΔx)Δx
=alimaΔx→0f(x0+aΔx)-f(x0)aΔx
 -blimbΔx→0f(x0+bΔx)-f(x0)bΔx
=af′(x0)-bf′(x0)=(a-b)f′(x0).
根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以遵循下面的步骤: 
(1) 在x处给出自变量的改变量Δx，并求出此时的函数值f(x+Δx); 
(2) 求出函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x); 
(3) 求出比值ΔyΔx=f(x+Δx)-f(x)Δx; 
(4) 求出极限f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.
例3.2 设f(x)=2-x3,求f′(x).
解 由导数的定义，得f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0\-(2-x3)Δx
=limΔx→0-3x2Δx-3x(Δx)2-(Δx)3Δx
=limΔx→0\
=-3x23.1.2 单侧导数
由于f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx是一个极限，而极限存在的一个充要条件是在点x0处的左右极限都存在求相等，所以f(x)在点x0处可导的充要条件是: limΔx→0-f(x0+Δx)-f(x0)Δx            (3.5)和limΔx→0+f(x0+Δx)-f(x0)Δx (3.6)存在且相等.我们称式(3.5)、(3.6)分别是函数f(x)在点x0处的左导数和右导数，记作f′-(x0)和f′+(x0)，即f′-(x0)=limΔx→0-f(x0+Δx)-f(x0)Δx,
f′+(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)-f(x0)Δx.  左导数和右导数统称为单侧导数.
定理3.1 函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f′-(x0)和右导数f′+(x0)都存在且相等.
例3.3 讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性.
解 因为f′-(x0)=limΔx→0-f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0-|Δx|-0Δx=limΔx→0--ΔxΔx=-1,
f′+(x0)=limΔx→0+f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0+|Δx|-0Δx=limΔx→0+ΔxΔx=1,故f′-(x0)≠f′+(x0)，从而由定理3.1知，函数f(x)=|x|在x=0处不可导.
3.1.3 导数的几何意义
由前面导数的定义知道，函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)即是曲线在点M(x0,y0)处的切线MT的斜率，即f′(x0)=k=tanα,其中α是切线的倾斜角，如图3-2所示.图 3-2

要求曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线，只要先求出函数在此点处的导数f′(x0)，即可得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).  当α=π2时，导数不存在，这时切线平行于y轴，切线方程为x=x0.
通过曲线上的一点且垂直于该点处的切线的直线，叫做曲线在该点处的法线.因为切线与法线垂直，所以当f′(x0)≠0时，法线的斜率是-1f′(x0)，于是得到曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的法线方程: y-y0=-1f′(x0)(x-x0).3.1.4 函数可导性与连续性的关系
设函数y=f(x)在点x处可导，即limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)存在，于是ΔyΔx=f′(x0)+α,其中α是当Δx→0时的无穷小量.上式两边同时乘以Δx，得Δy=f′(x0)Δx+αΔx,由此可知，当Δx→0时，Δy→0，这就是说函数y=f(x)在点x处是连续的.所以，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么说函数在该点必连续，但反之未必成立.
例3.4 分析函数y=3x在点x=0处是否可导、连续？
解 因为函数y=3x在(-∞,+∞)内连续，当然在点x=0处连续.又由于limx→0f(x)-f(0)x=limx→03xx=+∞,所以函数y=3x在点x=0处不可导.
例3.5 求分段函数f(x)=x1+e1x,x≠0,
0,x=0在分段点x=0处的导数.
解 因为limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0Δx1+e1ΔxΔx=limΔx→011+e1Δx=0,所以f′(0)=0.
3.2 导数的运算法则
利用导数的定义来计算导数比较复杂，一些常用的导数公式及求导法则可以帮助我们简化问题.
3.2.1 基本初等函数的导数公式
(1) C′=0(C为常数);
(2) (xμ)′=μxμ-1(μ∈R);
(3) (ax)′=axlna，特别地(ex)′=ex;
(4) (logax)′=1xlna，特别地(lnx)′=1x;
(5) (sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(tanx)′=sec2x;(cotx)′=-csc2x;(secx)′=secxtanx;(cscx)′=-cscxcotx;(arcsinx)′=11-x2;(arccosx)′=-11-x2;(arctanx)′=11+x2;(arccotx)′=-11+x2.
3.2.2 导数的四则运算法则
设函数f(x)和g(x)均在点x处可导，则有
(1) \′=f′(x)±g′(x);
(2) \′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，特别地，\′=cf′(x);
(3) f(x)g(x)〗′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0).
例3.6 求y=2x3+x+1x-5的导数.
解 y′=6x2+12x-1x2.
例3.7 求f(x)=2+sinx+lnx-x2的导数.
解 f′(x)=cosx+1x-2x.
例3.8 求y=sinxcosx的导数.
解 y′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos2x-sin2x=cos2x.
例3.9 求f(x)=xlnx-xsinx的导数.
解 f′(x)=lnx+1-sinx-xcosxsin2x.
3.2.3 复合函数的求导法则
设函数y=f(u)在u处可导，u=φ(x)在x处可导，则复合函数y=f(φ(x))也在x处可导，且dydx=dydu·dudx=f′(u)·u′(x)=f′(φ(x))φ′(x).该公式也称为复合函数的链式法则.
例3.10 设y=lnsinx，求dydx.
解 令u=sinx，则y=lnu，从而由链式法则，有dydx=dydu·dudx=1u·(sinx)′=cosxsinx=cotx.  例3.11 设y=cos4x，求y′.
解 令u=cosx，则y=u4，从而由链式法则，有y′=(u4)′u·(cosx)′=4u3(-sinx)=-4sinxcos3x.  例3.12 设y=cotx2，求y′.
解 y′u=x2(cotu)′u·(x2)′=-csc2u·2x=-2xcsc2x2.
例3.13 设y=xsinx+sinx2，求y′.
解 y由两项构成，xsinx是乘法运算，应用四则运算求导公式.sinx2复合函数，应用复合函数求导法则.所以y′=sinx+x(sinx)′+cosx2·(x2)′=sinx+xcosx+2xcosx2.  例3.14 求幂指函数y=f(x)g(x)的导数.
解 由于y=f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x),于是，根据复合函数的求导法则，有y′=eg(x)lnf(x)′=eg(x)lnf(x)(g(x)lnf(x))′
=eg(x)lnf(x)\
=eg(x)lnf(x)g′(x)lnf(x)+g(x)f′(x)f(x)〗
=f(x)g(x)g′(x)lnf(x)+g(x)f′(x)f(x)〗.3.2.4 反函数的求导法则
定理3.2 若函数x=f(y)在区间Iy内严格单调、可导，且f′(y)≠0，则它的反函数y=f-1(x)在区间Ix={x|x=f(x),y∈Iy}内也可导，且f-1(x)〗′=1f′(y) 或 dydx=1dxdy.3.3 高阶导数
从前面的计算可以看出，一个函数的导数(一阶导数)仍然是一个函数.如果一阶导数可导，则称一阶导数的导数为二阶导数.进一步，如果函数的二阶导数可导，可以得到函数的三阶导数.
设函数y=f(x)，分别记
f(x)的二阶导数: y" =(y′)′;    
f(x)的三阶导数: y=(y" )′;     
…
f(x)的n阶导数: y(n)=(y(n-1))′(n为正整数).
注 y=f(x)的n阶导数还可记为f(n)(x), dnydxn, dnfdxn. 
由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求导数.因此，仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数.
例3.15 求下列函数的二阶导数: 
(1) y=x3+3x2-7x+5; 
(2) y=sin3x.
解 (1) 因为y′=3x2+6x-7，所以y" =6x+6; 
(2) 因为y′=3cos3x，所以y" =-9sin3x.
例3.16 求利润函数L=L(Q)=250Q-5Q2的二阶导数.
解 L′(Q)=250-10Q, L" (Q)=-10.
例3.17 求收益函数R=20Q-Q25的二阶导数.
解 R′(Q)=20-25Q,R" (Q)=\′=20-25Q′=-25.
例3.18 求指数函数y=ex的n阶导数.
解 由于y′=ex, y" =ex, y=ex, y(4)=ex,所以可得y(n)=ex.
例3.19 求幂函数y=xα(α∈R)的n阶导数.
解 y′=αxα-1,
y" =α(α-1)xα-2,
y=α(α-1)(α-2)xα-3,
…
一般地，可得y(n)=α(α-1)(α-2)…(α-n+1)xα-n.特别地，当α=n(n∈N)时，有y(n)=n!.显然，y(n+1)=(xn)(n+1)=0.
3.4 微分3.4.1 微分的定义  导数研究的是函数在点x处的变化率，即描述函数在点x处变化的快慢程度.在实际问题中，有时还需要考虑当自变量有一微小改变量时，相应函数改变量的大小程度，由此引出了微分的概念.图 3-3

我们先来看一个例子.
引例3.4 有一边长为x0的正方形薄铁片，加热后其边长增加了Δx，如图3-3所示，问这铁片的面积增加了多少？
解 设边长为x的正方形的面积是A，则A=x2.
我们现在要求的是，当边长由x0变化到x0+Δx时，面积的改变量ΔA的大小.显然有ΔA=(x0+Δx)2-x20=2x0Δx+(Δx)2.
我们发现，ΔA由两部分组成，一部分是Δx的线性函数: 2x0Δx，即图中浅灰色的两个矩形面积之和；另一部分是比Δx高阶的无穷小量: (Δx)2，即(Δx)2=o(Δx)，它是图中深灰色的小正方形的面积.于是ΔA=2x0Δx+o(Δx).由此可见，当边长改变量Δx很微小时，面积的改变量ΔA可近似地用2x0Δx来代替，即ΔA≈2x0Δx.  定义3.2 如果函数y=f(x)在点x0的改变量Δy与自变量x的改变量Δx之间有下列关系Δy=AΔx+o(Δx), (3.7)其中A是与Δx无关的常数，则称函数f(x)在点x0处可微，称AΔx为函数f(x)在点x0的微分，记作dy，或df(x0)，即dy=AΔx 或 df(x0)=AΔx.  一个函数在点x0处可微与可导是两个不同的概念，但它们的关系密切.
定理3.3 函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是y=f(x)在点x0处可导.
证明(必要性) 因为函数y=f(x)在点x0处可微，故式(3.7)成立，将其两边同时除以Δx，得
ΔyΔx=A+o(Δx)Δx,
于是