几何学是数学中最古老的一门学科。最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现。图11所示图片显示了早期人类的几何兴趣，不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运用。


图11


根据古希腊学者希罗多德的研究，几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法，它的外国语名称geometry就是由geo（土地）与metry（测量）组成的。古埃及有专门人员负责测量事务，这些人被称为“司绳”。古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至公元前5世纪形成的所谓“绳法经”，就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载。中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法的著作，其中第一章叙述了西周开国时期（约公元前1000年）周公姬旦同商高的问答，讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定理，并举出了“勾三、股四、弦五”的例子。
古希腊数学家泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质，做了间接的测量工作； 毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名。在埃及产生的几何学传到希腊，然后逐步发展起来而变为理论的数学。哲学家柏拉图（公元前429年—前348年）对几何学做了深奥的探讨，确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念。此外，梅内克缪斯（约公元前340年）已经有了圆锥曲线的概念。
1欧几里得与《原本》
1.1《原本》产生的历史背景

欧几里得的《原本》“原本”的希腊文原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。1606年，中国学者徐光启与意大利传教士利玛窦合作完成了欧几里得的《原本》前6卷的中文翻译，并于翌年正式刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。清代李善兰与传教士伟烈亚力合译后面部分成中文，于1856年完成。是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。它的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作。从泰勒斯算起，已有三百多年的历史。泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者。他力图摆脱宗教，从自然现象去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样？”还要回答“为什么这样？”他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步。


接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系。他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容。这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》中算术几何化提供了线索。
希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心。雅典的巧辩学派提出几何作图的三大问题： ①三等分角； ②倍立方体——求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的两倍； ③化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆。问题的难处是作图只许用直尺（没有刻度，只能画直线的尺）和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律。
巧辩学派的安提丰为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”，孕育着近代极限论的思想。后来经过欧多克斯的改进，使其严格化，成为《原本》中的重要证明方法。埃利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾。例如第9卷20命题说： “素数的个数比任意给定的素数都多。”而不用我们现在更简单的说法： 素数无穷多。只说直线是可任意延长而不是无限长。
原子论学派的德谟克利特用原子法得到的结论： 锥体体积是同底等高柱体的13，后来也是《原本》中的重要命题。
柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响，欧几里得早年大概就是这个学派的成员。柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主动通过几何的学习培养逻辑思维能力，因而几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派的重要人物欧多克斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量。《原本》第5卷比例论大部分采自欧多克斯的工作。
柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件。
到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋。这时，形成一个严密的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。
建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造。公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明，都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动。从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作。其中有希波克拉底、勒俄、修迪奥斯等。但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得的《原本》。在漫长的历史岁月里，它历经沧桑而没有被淘汰，表明它有顽强的生命力。
1.2《原本》的结构与内容
欧几里得（活动于约公元前300年），古希腊数学家。以其所著的《原本》闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364年—前283年）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。
据普罗克洛斯记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说： “在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。斯托贝乌斯记载了另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说： 给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。
欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
为了纪念欧几里得这位为人类的数学事业作出巨大贡献的学者，许多数学名词都以欧几里得的名字命名，如欧几里得几何、欧几里得空间、欧几里得公理、欧几里得距离、欧几里得复形、欧几里得联络、欧几里得算法、欧几里得型、欧几里得多面体、欧几里得单纯复形等。



图12




图13



希腊文化以柏拉图学派的时代为顶峰，以后逐渐衰落，而埃及的亚历山大学派则渐渐繁荣起来，它长时间成了文化的中心。古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成13卷的《原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学（简称欧氏几何）。
《原本》是一部划时代的著作，是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神，是从少数的几个原始假定（定义、公设欧几里得在这里采用了亚里士多德对公理和公设的区分。亚里士多德深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设。他认为公理是一切科学公有的真理； 而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理。、公理）出发，通过逻辑推理，得到一系列命题。这种精神，充分体现在欧几里得的《原本》中。公元前7世纪以来，希腊几何学已积累了相当丰富的知识，在欧几里得以前，已有希波克拉底（公元前5世纪下半叶）、修迪奥斯（公元前4世纪）等学者做过综合整理工作，想将这些零散的材料组织在严密的逻辑系统之中，但都没有成功。当欧几里得集前人之大成的《原本》出现的时候，这些工作都湮没无闻了。
在印刷本出现之前，《原本》的各种文字的手抄本已流传了1700多年，以后又以印刷本的形式出了1000多版。从来没有一本科学书籍像《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物。古希腊的海伦、帕普斯、辛普利休斯等人都做过注释。亚历山大的赛翁提出一个修订本，对正文作了校勘和补充。这个本子成为后来所有流行的希腊文本和译本的蓝本，一直到19世纪初，才在梵蒂冈发现早于赛翁的希腊文手抄本。
《原本》全书共分13卷欧几里得的原著只有13卷，14，15卷是后人添加上去的。一般认为第14卷出自普西克勒斯之手，而15卷是6世纪时达马斯基乌斯所著。，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题。以下简要介绍《原本》的内容。第1卷首先给出23个定义。如“点是没有部分的”，“线有长无宽”，等等。还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、圆、直径、等腰三角形、等边三角形、菱形、平行线等定义。接着是5个公设，前4个很简单： 
公设1任两点可连一线； 
公设2直线可任意延长； 
公设3以任何中心、任何半径可作一圆； 
公设4凡直角都相等。
第5个就是著名的欧几里得第五公设： “如果一直线和两直线相交，所构成的同旁内角和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角和小于两直角的一侧相交。”这公设比其他四个复杂得多，而且并不那么显而易见，因此引起长达2000多年的争论，最后导致非欧几里得几何学的产生。
公设之后是5个公理： 
公理1等于同量的量彼此相等； 
公理2等量加等量，和相等； 
公理3等量减等量，差相等； 
公理4彼此重合的图形是全等的； 





图14


公理5整体大于部分。
近代数学不区分公设与公理，凡是基本假定都叫公理。《原本》后面各卷不再列出其他公理。这一卷在公理之后给出48个命题，包括三角形的角与边、垂线、平行线、平行四边形等命题。下面给出其中的几个命题。
命题1在给定线段上作一等边三角形。
证明是简单的（如图14所示）。以A为中心以AB为半径作圆。以B为中心以AB为半径作圆。设C是一个交点，ABC便是所求的三角形。
命题2过一已知点（作为一个端点）作一直线段使之等于一已给直线段。
命题4若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等。
证法是把一个三角形放到另一个三角形上，指明它们必须重合。
命题5等腰三角形两底角相等。

书中证法比目前许多中学课本中的好（如图15所示），因后者在这一阶段就假定了角A存在角平分线。把AB延长到F，把AC延长到G，使BF=CG。于是△AFC≌△AGB。因而FC=GB,∠ACF=∠ABG,∠F=∠G。现有△CBF≌△BCG，由此推得∠CBG=∠BCF，所以∠ABC=∠ACB。
第47命题就是有名的勾股定理： “在直角三角形斜边上的正方形（以斜边为边的正方形的面积）等于直角边上的两个正方形的面积之和”。它的证明是用面积来做的，如图16所示，首先证明△ABD≌△FBC，推得矩形BL的面积=正方形GB的面积。同理推得矩形CL的面积=正方形AK的面积。



图15




图16



第2卷包括14个命题，用几何的语言叙述代数的恒等式。
第3卷有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。
第4卷有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形（5边、6边、15边）的作图。
第5卷是比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。后世的评论家认为这是《原本》的最高成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。同《原本》任何其他部分相比，它的内容被人讨论得最多，它的意义被人争论得最激烈。毕达哥拉斯学派也有关于比例（两个比相等的关系）的理论，即关于可公度量（其比可用整数比表示的那种量）的比例理论。在欧多克斯以前应用比例关系的数学家，一般在用不可公度量时没有可靠的理论依据。第5卷把比例关系的理论推广到不可公度量而避免了无理数。
《原本》第5卷中给出的比例定义相当于（原文是用文字叙述的）说： 设A,B,C,D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积等），C和D同类。如果对于任何两个正整数m和n，关系mA>nB（=,<情况同理）是否成立，相应地取决于关系mC>nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即A,B,C,D四量成比例。
这一定义并未限制涉及的量是可公度的还是不可公度的，因此可以运用它来证明许多早期毕达哥拉斯学派只对可公度量证明了的命题。举一个例子。
定理如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底之比。
毕达哥拉斯学派的证明： 如图17(a)所示，考虑两个三角形ABC和ADE，它们的底(BC和DE)处于同一直线MN上。设BC和DE分别包含一个公度单位的p倍和q倍，在BC和DE上画出这些分点，并与顶点A连接。△ABC和△ADE分别被划分成p和q个小三角形，它们等底等高，因此根据已知结果，它们的面积相等。由此得S△ABC∶S△ADE=p∶q=BC∶DE，但由于不可公度量的出现，上述证明以及许多其他定理的证明都不再适用。


图17


欧几里得《原本》中的证明（欧多克斯）： 如图17(b)所示，在CB延长线上从点B起相继截取m-1个与CB相等的线段，分别将分点B2,B3,…,Bm与顶点A连接。同样从DE延长线上从E点起相继截取n-1个与DE相等的线段，把分点E2,E3,…,En与顶点A连接。这时有

BmC=m(BC),△ABmC=m(△ABC);DEn=n(DE),△ADEn=n(△ADE)。
根据已证明的结果，可知△ABmC>(=,<)△AEnD取决于BmC>(=,<)EnD，也就是说m(△ABC)>(=,<)n(△ADE)取决于m(BC)>(=,<)n(DE)。因此，根据欧多克斯比例定义，有S△ABC∶S△ADE=BC∶DE。
由此看到，《原本》第5卷将比例理论由可公度量推广到不可公度量，使它能适用于更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦。同《原本》的其他部分相比，第5卷的内容颇引人争议。
第6卷把第5卷已建立的理论用到平面图形上去，共33个命题。
第7，8，9三卷是数论。
第10卷是篇幅最大的一卷，包含16个定义和115个命题，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），但只涉及相当于a±b之类的无理量。
第10卷的第一个命题对《原本》其后几卷的讲解是重要的。命题1： 对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来较小的量。欧几里得在证明的结尾说，若定理中所减去的是一半的量，这也能证明。他的证明里有一步用了一个没有被他自觉意识到的公理： 在两个不等的量中，较小者可自己相加有限倍而使其和超过较大者； 欧几里得把有问题的这一步建立在两个量之比的定义上。但此定义并不足以证明这一步是对的。这定义说当两个量之中的任一量自身相加足够多次后便能超过另一量，则此两量有一个比； 因此欧几里得应该证明这一点对他所说的量是可以做到的。但他却假定他的量可以相比，并利用了较小量自身相加足够多次后可以超过较大量的事实。据阿基米德所说，欧几里得是用过这个公理的（严格地说是其等价说法），他是把它作为一个引理建立起来的。
第11卷讨论空间的直线与平面的各种关系（相交、垂直、平行等）以及平行六面体的体积等问题。
第12卷利用穷竭法证明“圆面积的比等于直径平方的比”，“球体积的比等于直径立方的比”以及“锥体体积的比等于同底等高的柱体的13”等。
第13卷着重研究5种正多面体。
1.3《原本》的优缺点
欧几里得《原本》被称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。它的主要贡献在于： 
（1） 成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。
（2） 对命题作了公理化演绎。从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系，称为其后所有数学的范本。
（3） 几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。
因为《原本》是最早一本内容丰富的数学书，而且为所有后代人所使用，所以它对数学发展的影响超过任何别的书。读了这本书之后，可以对数学本身的看法，对证明的想法，对定理按逻辑次序的排法，都学到一些东西，而且它的内容也决定了其后的思想发展。
欧几里得对公理的选择是很出色的。他能用一小批公理证出几百个定理，其中好多是深奥的。他的选择是费了心机的。他对平行公理的处理特别显得聪明。任何这样的公理都不免或明或暗的要提到在无限远空间所必须成立的事项的任何说法，它的具体意义总是含混不清的，因为人的经验是有限的。然而他也认识到这样的公理不能省掉。于是就采取了这样一种说法，提出二直线能交于有限远处的条件。更有甚者，他在求助于这一公理以前先证明了所有无需它来证的定理。
欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。