运动的守恒定律 第2章讲解了牛顿牛顿第二定律，主要是用加速度加速度表示的式（2.3)的形式。该式表示了力和受力物体的加速度加速度的关系，那是一个瞬时关系，即与力作用的同时物体所获得的加速度加速度和此力的关系。实际上，力对物体的作用总要延续一段或长或短的时间。在很多问题中，在这段时间内，力的变化复杂，难于细究，而我们又往往只关心在这段时间内力 internal force内力的作用的总效果。这时我们将直接利用式（2.2)表示的牛顿牛顿第二定律形式，而把它改写为微分形式并称为动量动量定理 theorem of momentum动量定理。本章首先介绍动量动量定理动量定理，接着把这一定理应用于质点系 system of particles质点系，导出了一条重要的守恒定律--动量动量守恒定律动量守恒定律。后面介绍了和动量动量概念相联系的描述物体转动转动特征的重要物理量--角动量角动量动量，在牛顿牛顿第二定律的基础上导出了角动量角动量动量变化率和外力矩 moment of force,torque力矩的关系--角动量动量定理动量定理，并进一步导出了另一条重要的守恒定律--动量动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum。还导出了用于质心参考系参考系的动量动量定理角动量定理 theorem of angular momentum角动量定理。 如今能量已经成了非常大众化的概念了。例如,人们就常常谈论能源能源。作为科学的物理概念，大家在中学物理课程中也已学过一些能量以及和它紧密联系的功功的意义和计算。例如已学过动能 kinetic energy动能、重力势能 potential energy势能以及机械能 mechanical energy机械能守恒定律 law of conservation of mechanical energy机械能守恒定律。本章后面几节将对这些概念进行复习并加以扩充，将引入弹簧的弹性势能弹性势能弹性势能 elastic potential energy、引力引力势能势能的表示式并更全面地讨论能量守恒定律 law of conservation of energy能量守恒定律。之后综合动量动量和动能动能概念讨论碰撞碰撞的规律，并举了不少例题以帮助大家提高对动量动量和能量的认识与应用它们分析问题的能力。 3.1 动量定理与动量守恒定律 把牛顿牛顿第二定律公式（2.2）写成微分形式，即Fdt=dp(3.1)式中乘积Fdt叫做在dt时间内质点所受合外力外力的冲量冲量。此式表明在dt时间内质点所受合外力外力的冲量冲量等于在同一时间内质点的质点的动量动量的增量。这一表示在一段时间内，外力外力作用的总效果的关系式叫做动量动量定理. 如果将式(3.1)对t0到t′这段有限时间积分，则有∫t′t0Fdt=∫p′p0dp=p′-p0(3.2)左侧积分表示在t0到t′这段时间内合外力外力的冲量冲量，以I表示此冲量冲量，即 I=∫t′t0Fdt 则式(3.2)可写成I=p′-p0(3.3) 式(3.2)或式(3.3)是动量动量定理动量定理的积分形式，它表明质点在t0到t′这段时间内所受的合外力外力的冲量冲量等于质点在同一时间内的动量动量的增量。值得注意的是，要产生同样的动量动量增量，力大力小都可以: 力大，时间可短些；力小，时间需长些。只要外力外力的冲量冲量一样，就产生同样的动量动量增量。 动量定理动量定理常用于碰撞碰撞过程过程，碰撞碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程过程。在这一过程过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变。这种力通常叫冲力 impulsive force冲力。例如，球拍反击乒乓球的力，两汽车相撞时的相互撞击的力都是冲力冲力。图3.1是清华大学汽车碰撞碰撞实验室做汽车撞击固定壁的实验照片与相应的冲力冲力的大小随时间的时间的变化曲线。 图3.1 汽车撞击固定壁实验中汽车受壁的冲力冲力 (a) 实验照片； (b) 冲力冲力-时间曲线 对于短时间Δt内冲力冲力的作用，常常把式（3.2)改写成Δt=Δp(3.4)式中是平均平均冲力冲力，即冲力冲力对时间的平均平均值。平均平均冲力冲力只是根据物体动量动量的变化计算出的平均平均值，它和实际的冲力冲力的极大值可能有较大的差别，因此它不足以完全说明碰撞碰撞所可能引起的破坏性。例3.1 一辆装煤车以v=3m/s的速率速率从煤斗下面通过(图3.2)，每秒钟落入车厢的煤为Δm=500kg。如果使车厢的速率速率保持不变，应用多大的牵引力引力拉车厢?(车厢与钢轨间的摩擦忽略不计) 解 先考虑煤落入车厢后运动状态的改变。如图3.2所示，以dm表示在dt时间内落入车厢的煤的质量。它在车厢对它的力f带动下在dt时间内沿x方向的速率速率由零增加到与车厢速率速率v相同，而动量动量由0增加到dm·v。由动量动量定理动量定理式（3.1)得，对dm在x方向，应有图3.2 煤dm落入车厢被带走 fdt=dp=dm·v(1)对于车厢，在此dt时间内，它受到水平拉力F和煤dm对它的反作用f′的作用。此二力的合力合力沿x方向，为F-f′。由于车厢速度不变，所以动量动量也不变，式（3.1)给出(F-f′)dt=0(2)由牛顿牛顿第三定律f′=f(3)联立解式（1)～式(3)可得F=dmdt·v以dm/dt=500kg/s, v=3m/s代入得 F=500×3=1.5×103(N) 在一个问题中，如果我们考虑的对象包括几个物体，则它们总体上常被称为一个物体系统或简称为系统。系统外的其他物体统称为外界 surroundings外界。系统内各物体间的相互作用力称为内力内力, 外界外界物体对系统内任意一物体的作用力称为外力外力。例如，把地球与月球看做一个系统，则它们之间的相互作用力称为内力内力，而系统外的物体如太阳太阳以及其他行星对地球或月球的引力引力都是外力外力。本节讨论一个系统的动量动量变化的规律。 先讨论由两个质点组成的系统。设这两个质点的质点的质量分别为m1,m2。它们除分别受到相互作用力(内力内力)f和f′外，还受到系统外其他物体图3.3 两个质点的质点的系统的作用力(外力外力)F1,F2,如图3.3所示。分别对两质点写出动量动量定理动量定理式（3.1),得(F1+f)dt=dp1, (F2+f′)dt=dp2将这二式相加，可以得(F1+F2+f+f′)dt=dp1+dp2 由于系统内力内力是一对作用力和反作用力，根据牛顿牛顿第三定律，得f=-f′或f+f′=0，因此上式给出(F1+F2)dt=d(p1+p2) 如果系统包含两个以上，例如i个质点，可仿照上述步骤对各个质点写出牛顿牛顿定律公式，再相加。由于系统的各个内力内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现的，所以它们的矢量总和等于零。因此，一般地又可得到∑iFidt=d∑ipi(3.5)其中∑iFi为系统受的合外力外力，∑ipi为系统的总动量动量。式（3.5)表明，系统的总动量动量随时间的时间的变化率等于该系统所受的合外力外力. 内力内力能使系统内各质点的质点的动量动量发生变化，但它们对系统的总动量动量没有影响。（注意: “合外力外力”和“总动量动量”都是矢量和！）式（3.5）可称为用于质点系质点系的动量动量定理动量定理. 如果在式（3.5)中，∑iFi=0,立即可以得到d∑ipi=0,或∑ipi=∑imii=常矢量 ∑iFi=0(3.6) 这就是说当一个质点系质点系所受的合外力外力为零时，这一质点系质点系的总动量动量就保持不变。这一结论叫做动量动量守恒定律动量守恒定律. 一个不受外界外界影响的系统，常被称为孤立系统. 一个孤立系统在运动过程过程中，其总动量动量一定保持不变。这也是动量动量守恒定律动量守恒定律的一种表述形式. 应用动量动量守恒定律动量守恒定律分析解决问题时，应该注意以下几点。 (1) 系统动量动量守恒的条件是合外力外力为零，即∑iFi=0. 但在外力外力比内力内力小得多的情况下，外力外力对质点系质点系的总动量动量变化影响甚小，这时可以认为近似满足守恒条件，也就可以近似地应用动量动量守恒定律动量守恒定律。例如两物体的碰撞碰撞过程过程，由于相互撞击的内力内力往往很大，所以此时即使有摩擦力摩擦力或重力等外力外力，也常可忽略它们，而认为系统的总动量动量守恒。又如爆炸过程过程也属于内力内力远大于外力外力的过程过程，也可以认为在此过程过程中系统的总动量动量守恒。 (2) 动量动量守恒表示式(3.6)是矢量关系式。在实际问题中，常应用其分量式,即如果系统沿某一方向所受的合外力外力为零，则该系统沿此方向的总动量动量的分量守恒。例如，一个物体在空中爆炸后碎裂成几块，在忽略空气阻力的情况下，这些碎块受到的外力外力只有竖直向下的重力，因此它们的总动量动量在水平方向的分量是守恒的。 (3) 由于我们是用牛顿牛顿定律导出动量动量守恒定律动量守恒定律的，所以它只适用于惯性惯性系。 以上我们从牛顿牛顿定律出发导出了以式(3.6)表示的动量动量守恒定律动量守恒定律。应该指出，更普遍的动量动量守恒定律动量守恒定律并不依靠牛顿牛顿定律。动量动量概念不仅适用于以速度运动的质点或粒子粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量动量不再能用m这样的形式表示。考虑包括电磁场在内的系统所发生的过程过程时，其总动量动量必须也把电磁场的动量动量计算在内。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系质点系所发生的过程过程，动量动量守恒定律动量守恒定律成立；而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的系统所发生的过程过程，如光子光子和电子电子的碰撞碰撞，光子光子转化为电子电子，电子电子转化为光子光子等过程过程，只要系统不受外界外界影响，它们的动量动量都是守恒的。动量动量守恒定律动量守恒定律实际上是关于自然界的自然界的一切物理过程过程的一条最基本的定律。例3.2 图3.4 例3.2用图如图3.4所示，一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M，停在光滑的水平面平面上，另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静静止下滑。求当小物体m滑到底时，大物体M在水平面平面上移动的距离。 解 选如图3.4所示的坐标系，取m和M为系统。在m下滑过程过程中，在水平方向上，系统所受的合外力外力为零，因此水平方向上的动量动量守恒。由于系统的初动量动量为零，所以，如果以和V分别表示下滑过程过程中任一时刻m和M的速度，则应该有0=mvx+M(-V)因此对任一时刻都应该有mvx=MV就整个下落的时间t对此式积分，有m∫t0vxdt=M∫t0Vdt以s和S分别表示m和M在水平方向移动的距离，则有s=∫t0vxdt, S=∫t0Vdt因而有ms=MS又因为位移位移的相对性，有s=R-S,将此关系代入上式，即可得S=mm+MR值得注意的是，此距离值与弧形槽面是否光滑无关，只要M下面的水平面平面光滑就行了。 3.2 质点的质点的角动量角动量定理和角动量守恒定律3.2 质点的质点的角动量角动量定理和角动量守恒定律角动量守恒定律 本节将介绍描述质点运动的另一个重要物理量--角动量角动量动量。这一概念在物理学上经历了一段有趣的演变过程过程。18世纪在力学中才定义和开始利用它，直到19世纪人们才把它看成力学中的最基本的概念之一，到20世纪它加入了动量动量和能量的行列，成为力学中最重要的概念之一。角动量角动量动量之所以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律，在近代物理中其运用是极为广泛的。 一个动量动量为p的质点，对惯性惯性参考系惯性参考系参考系中某一固定点O的角动量角动量动量L用下述矢积定义: L=r×p=r×m(3.7)式中r为质点相对于固定点的径矢径矢(图3.5)。根据矢积的定义，可知角动量角动量动量大小为L=rpsinφ=mrvsinφ其中φ是r和p两矢量之间的夹角。L的方向垂直于r和p所决定的平面平面，其指向可用右手螺旋法则确定，即用右手四指从r经小于180. 角转向p，则拇指的指向为L的方向。 按式(3.7), 质点的质点的角动量角动量动量还取决于它的径矢径矢，因而取决于固定点位置的选择。同一质点，相对于不同的点，它的角动量角动量动量有不同的值。因此，在说明一个质点的质点的角动量角动量动量时，必须指明是对哪一个固定点说的。 一个质点沿半径为r的圆周运动圆周运动，其动量动量p=mv时，它对于圆心O的角动量角动量动量的大小为L=rp=mrv(3.8)这个角动量角动量动量的方向用右手螺旋法则判断，如图3.6所示。 在国际单位制国际单位制中，角动量角动量动量的量纲量纲为ML2T-1,单位名称是千克千克二次方米每秒，符号是kg·m2/s，也可写做J·s. 图3.5 质点的质点的角动量角动量动量 图3.6 圆周运动圆周运动对圆心的角动量角动量动量 例3.3 电子电子的轨道角动量角动量动量. 根据玻尔假设，氢原子内电子电子绕核运动的角动量角动量动量只可能是h/2π的整数倍，其中h是普朗克普朗克常量 Planck constant普朗克常量，它的大小为6.63×10-34kg·m2/s。已知电子电子圆形轨道的最小半径r=0.529×10-10m，求在此轨道上电子电子运动的频率频率ν. 解 由于是最小半径，所以有L=mrv=2πmr2ν=h2π 于是 ν=h4π2mr2=6.63×10-344π2×9.1×10-31×(0.529×10-10)2=6.59×1015(Hz) 角动量角动量动量只能取某些分立的值，这种现象叫角动量角动量动量的量子化。它是原子系统的基本特征之一。根据量子理论，原子中的电子电子绕核运动的角动量角动量动量L由式L2=2l(l+1)给出，式中=h/2π,l是正整数(0,1,2,…)。本题中玻尔关于角动量角动量动量的假设还不是量子力学的正确结果。 我们知道，一个质点的质点的线动量动量(即动量动量p=m)的变化率是由质点受的合外力外力决定的，那么质点的质点的角动量角动量动量的变化率又由什么决定呢? 让我们来求角动量角动量动量对时间的时间的变化率，有dLdt=ddt(r×p)=r×dpdt+drdt×p由于dr/dt=,而p=m,所以(dr/dt)×p为零。又由于线动量动量的变化率等于质点所受的合外力外力，所以有dLdt=r×F(3.9)此式中的矢积叫做合外力外力对固定点(即计算L时用的那个固定点)的力矩力矩，以M表示力矩力矩，就有M=r×F(3.10)这样，式(3.9)就可以写成M=dLdt(3.11)这一等式的意义是: 质点所受的合外力矩力矩等于它的角动量角动量动量对时间的时间的变化率(力矩力矩和角动量角动量动量都是对于惯性惯性系中同一固定点说的)。这个结论叫质点的质点的动量动量定理角动量定理角动量定理。式（3.11)也可以写成微分形式dL=Mdt. 大家中学已学过力矩力矩的概念，即力F对一个支点O的力矩力矩的大小等于此力和力臂r⊥的乘积。图3.7 力矩力矩的定义力臂指的是从支点到力的作用线的垂直距离。如图3.7所示，力臂r⊥=rsinα。因此，力F对支点O的力矩力矩的大小就是M=r⊥F=rFsinα(3.12)根据式(3.10)，由矢积的定义可知，这正是由该式定义的力矩力矩的大小。至于力矩力矩的方向，在中学时只指出它有两个“方向”，即“顺时针方向”和“逆时针方向”。其实这种说法只是一种表面的直观的说法，并不具有矢量方向的那种确切的含意。式(3.10)则给出了力矩力矩的确切的定义，它是一个矢量，它的方向垂直于径矢径矢r和力F所决定的平面平面，其指向用右手螺旋法则由拇指的指向确定。 在国际单位制国际单位制中，力矩力矩的量纲量纲为ML2T-2，单位名称是牛［顿］米，符号是N·m. 根据式(3.11)，如果M=0,则dL/dt=0，因而L=常矢量 (M=0)(3.13)这就是说，如果对于某一固定点, 质点所受的合外力矩力矩为零, 则此质点对该固定点的角动量角动量动量矢量保持不变。这一结论叫做动量动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律. 动量动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律和动量动量守恒定律动量守恒定律一样，也是自然界的自然界的一条最基本的定律，并且在更广泛情况下它也不依赖牛顿牛顿定律。 关于外力矩力矩为零这一条件，应该指出的是，由于力矩力矩M=r×F，所以它既可能是质点所受的外力外力为零，也可能是外力外力并不为零，但是在任意时刻外力外力总是与质点对于固定点的径矢径矢平行或反平行。 3.3 质点系的动量动量定理角动量定理角动量定理3.3 质点系的动量动量定理角动量定理角动量定理 一个质点系对某一定点的角动量角动量动量定义为其中各质点对该定点的角动量角动量动量的矢量和，即L=∑iLi=∑iri×pi(3.14)图3.8 质点系的动量动量定理角动量定理角动量定理 对于系内任意第i个质点，动量动量定理角动量定理角动量定理式(3.9)给出dLidt=ri×Fi+∑j≠ifij其中Fi为第i个质点受系外物体的力，fij为它受系内第j个质点的质点的内力内力(图3.8)；二者之和与径矢径矢ri的矢积表示第i个质点所受的对定点O的力矩力矩。将上式对系内所有质点求和，可得dLdt=∑iri×Fi+∑iri×∑j≠ifij=M+Min(3.15)其中M=∑iri×F(3.16)表示质点系所受的合外力矩力矩，即各质点所受的外力矩力矩的矢量和，而Min=∑iri×∑j≠ifij(3.17)表示各质点所受的各力矩内力矩 internal torque内力矩的矢量和。在式(3.17)中，由于内力内力fij和fji是成对出现的，所以与之相应的力矩内力矩内力矩也就成对出现。对i和j两个质点来说，它们相互作用的力矩力矩之和为ri×fij+rj×fji=(ri-rj)×fij式中利用了牛顿牛顿第三定律fji=-fij。又因为满足牛顿牛顿第三定律的两个力总是沿着两质点的质点的连线作用，fij就和(ri-rj)共线，而上式右侧矢积等于零，即一对力矩内力矩内力矩之和为零。因此由式(3.17)表示的所有力矩内力矩内力矩之和为零。于是由式(3.15)得出M=dLdt(3.18)它说明一个质点系所受的合外力矩力矩等于该质点系的角动量角动量动量对时间的时间的变化率(力矩力矩和角动量角动量动量都相对于惯性惯性系中同一定点)。这就是质点系的动量动量定理角动量定理角动量定理。它和质点的质点的动量动量定理角动量定理角动量定理式(3.11)具有同样的形式。不过应注意，这里的M只包括外力外力的力矩力矩，力矩内力矩内力矩会影响系内某质点的质点的角动量角动量动量，但对质点系的总角动量角动量动量并无影响。 在式(3.18)中，如果M=0，立即有L=常矢量，这表明，当质点系相对于某一定点所受的合外力矩力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量角动量动量将不随时间改变。这就是一般情况下的动量动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律. 3.4 功功和动能定理 功功和能是一对紧密相连的物理量。一质点在力F的作用下，发生一无限小的元位移位移dr时（图3.9)，力对质点做的功功dA定义为力F和位移位移dr的标量积，3.4 功和动能定理即dA=F·dr=F|dr|cosφ=Ft|dr|(3.19)式中φ是力F与元位移位移dr之间的夹角，而Ft=Fcosφ为力F在位移位移dr方向的分力。 按式(3.19)定义的功功是标量。它没有方向，但有正负。当0≤φ<π/2时，dA>0，力对质点做正功功；当φ=π/2时，dA=0，力对质点不做功功；当π/2<φ≤π时，dA<0，力对质点做负功功。对于这最后一种情况，我们也常说成是质点在运动中克服力F做了功功。 一般地说，质点可以是沿曲线L运动，而且所受的力随质点的质点的位置发生变化（图3.10). 在这种情况下，质点沿路径L从A点到B点力F对它做的功功AAB等于经过各段无限小元位移位移时力所做的功功的总和，可表示为AAB=L ∫(B)(A)dA=L ∫(B)(A)F·dr(3.20)这一积分在数学上叫做力F沿路径L从A到B的线积分. 图3.9 功功的定义 图3.10 力沿一段曲线做的功功 比较简单的情况是质点沿直线运动，受着与速度方向成φ角的恒力作用。这种情况下，式（3.20)给出AAB= ∫ (B)  (A) F|dr|cosφ=F∫(B)(A)|dr|cosφ =FsABcosφ (3.21) 式中sAB是质点从A到B经过的位移位移的大小。式（3.21)是大家在中学已学过的公式。 在国际单位制国际单位制中，功功的量纲量纲是ML2T-2,单位名称是焦［耳］，符号为J, 1 J=1 N·m其他常见的功功的非SI单位有尔格(erg)、电子电子伏 electron volt电子伏(eV), 1 erg=10-7J 1 eV=1.6×10-19J 例3.4 重力做功功。一滑雪运动员质量为m，沿滑雪道从A点滑到B点的过程过程中，重力对他做了多少功功？ 图3.11 例3.4用图解 由式（3.20)可得，在运动员下降过程过程中，重力对他做的功功为Ag=∫(B)(A)mg·dr由图3.11可知，g·dr=g|dr|cosφ=-gdh其中dh为与dr相应的运动员下降的高度。以hA和hB分别表示运动员起始和终了的高度（以滑雪道底为参考零高度），则有重力做的功功为Ag=∫(B)(A)mg|dr|cosφ=-m∫(B)(A)gh=mghA-mghB(3.22)此式表示重力的重力的功功只和运动员下滑过程过程的始末位置（以高度表示）有关，而和下滑过程过程经过的具体路径形状无关。例3.5 弹簧的弹力做功功。有一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球(如图3.12所示)。求弹簧的伸长量从xA变化到xB的过程过程中，弹力对小球做的功功。设弹簧的劲度系数劲度系数系数为k. 图3.12 例3.5用图 解 这是一个路径为直线而力随位置改变的例子。取x轴与小球运动的直线平行，而原点对应于小球的平衡位置。这样，小球在任一位置x时，弹力就可以表示为fx=-kx小球的位置由A移到B的过程过程中，弹力做的功功为Aela=∫ (B)  (A) f·dr=∫xBxAfxdx=∫xBxA(-kx)dx计算此积分，可得Aela=12kx2A-12kx2B(3.23)这一结果说明，如果xB>xA，即弹簧伸长时，弹力对小球做负功功；如果xB