第1篇复变函数论

自变量为复数的函数就是复变函数.在复变函数论中，许多基本概念和性质是高等数学中相应概念和性质在复数域中的推广，如极限、连续、导数、积分等.从形式上看，虽然很多定义完全类似，但实际含义却不尽相同.在复变函数论中，我们主要研究解析函数，它不仅对数学自身的发展起过重大作用，而且在物理学和工程技术中也有着广泛的应用.







第1章复数与复变函数
本章将在中学所学复数理论的基础之上对复数作简要的复习和补充，并介绍复平面上的区域及复变函数的极限与连续性等概念,为进一步研究解析函数理论奠定必要的基础.
1.1复数的概念及其表示方法
1.1.1复数的概念

定义1.1设x,y为任意实数，i=-1为虚数单位，称形如x+iy的数为复数，记作z=x+iy.其中x和y分别称为复数z的实部和虚部，记作


x=Rez，y=Imz.（1.1.1）


特别地，当x=0,y≠0时，z=iy为纯虚数； 当y=0时，z=x为实数，因此，复数可以看作是实数概念的推广.当x=y=0时，z=0为复数0.
定义1.2称复数x-iy为z=x+iy的共轭复数，记作z*或z-.
显然，（z*)*=z.
需要注意的是，复数是无序的，一般不能比较大小，只能说复数相等与否.两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.特别地，一个复数z等于0当且仅当它的实部和虚部分别等于0.
1.1.2复数的几何表示
复数的定义形式z=x+iy为复数的代数表示形式.在几何上，复数还可以用平面上的点、向量以及球面上的点来表示，分别称为复数的平面表示法和球面表示法.
1. 复平面
（1) 点表示一个复数z=x+iy在本质上是由一个有序实数对（x,y)所唯一确定的，因此，在建立了直角坐标系之后，复数的全体便与直角坐标平面xOy上的点的全体形成了一一对应关系： 


复数z=x+iyxOy平面上的点z（x,y).


于是，我们可以用横坐标为x，纵坐标为y的点来表示复数z=x+iy,如图1.1（a)所示. 这种用来表示复数的xOy平面称为复平面，记作，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.
既然复数与平面上的点具有一一对应关系，因此平面点集也可以用复数所满足的某些关系式来表示.例如： {z： Imz>0}表示上半平面.


图1.1复数的平面表示


（a) 复数的点表示； （b) 复数的向量表示


（2) 向量表示对于复平面上的任意一点z，它可以唯一地确定一个从原点出发并指向该点的向量Oz，因此，复数z=x+iy与向量Oz也形成了一一对应关系： 


复数z=x+iy向量Oz.


因此，我们也可以用向量Oz来表示复数z=x+iy，如图1.1（b)所示.
定义1.3向量Oz的长度称为复数z的模，记作|z|或ρ.
由图1.1（b），易知


|z|=x2+y2，|x|≤|z|，|y|≤|z|，|z|≤|x|+|y|.（1.1.2)


定义1.4当z≠0时，向量Oz与实轴正向之间的夹角称为复数z的辐角，记作Argz或φ.
显然，


x=ρcosφ，y=ρsinφ，tanφ=yx.（1.1.3）


需要指出的是，由于两个向量之间的夹角有无穷多个，而且任意两个夹角之间相差2π的整数倍，因此任何一个非零复数有无穷多个辐角.如果φ0是z的某一个辐角，则z的全部辐角可以表示为


Argz=φ0+2kπ，k=0,±1,±2,….（1.1.4）


我们将属于（-π,π］的辐角称为Argz的主值或z的主辐角，记作argz.于是，又有


Argz=argz+2kπ，k=0,±1,±2,….（1.1.5）


当z≠0时，z的主辐角可由下面的公式来确定： 


argz=arctanyx，点z在第一、四象限以及x轴正半轴； 
π2，点z在y轴正半轴； 
arctanyx+π，点z在第二象限以及x轴负半轴； 
arctanyx-π，点z在第三象限； 
-π2，点z在y轴负半轴.（1.1.6）


其中-π2<arctanyx≤π2.
注： 当z=0时，z的模为零而辐角无意义.
（3) 三角表示利用直角坐标与极坐标的关系x=ρcosφ，y=ρsinφ，可以把非零复数z=x+iy表示成三角形式


z=ρ（cosφ+isinφ).（1.1.7）


（4) 指数表示利用欧拉（Euler）公式eiφ=cosφ+isinφ,也可以将复数z表示成指数形式


z=ρeiφ.（1.1.8）


例1.1将复数z=-12-2i化为三角形式和指数形式.
解由于 tanφ=yx=212=33，而且z位于第三象限，所以argz=-56π.又因为


ρ=|z|=x2+y2=12+4=4,


所以，z的三角形式为 


z=4cos56π-isin56π.


指数形式为


z=4e-56πi.


2. 复球面与无穷远点


图1.2测地投影


前面我们将模为有限的复数与复平面上的有限远点一一对应了起来，而在复变函数论中，通常还需要将模为无

穷大的复数与复平面上的一点也对应起来，并称这一点为无穷远点.关于无穷远点，可作如下理解： 将一个球放在复平面上，并使该球以南极S与复平面相切于原点.对于复平面内任意一点z，用一条直线将z与球的北极N相连，交球面于点P，如图1.2所示，这样，复平面上的有限远点与球面上除N之外的点便形成了一一对应关系，我们称这种对应关系为测地投影. 测地投影最初是在天文学中引入的，后来又被应用在地理学中，利用测地投影，可以把各种天体表示在平面上.
当复平面上的点z的模越来越大时，它在球面上的测地投影越来越接近于北极N，而球面上只有一个北极，因此我们约定复平面上有一个理想的点，称为无穷远点，记作∞，它与球面上的北极N通过测地投影一一对应, 称这样的球面为复球面.因此，复数不仅可以用复平面上的点来表示，也可以用复球面上的点来表示.

对于无穷远点，还可以用变换（或映射）的语言来定义.例如，变换w=1/z建立了复数z和复数w之间的一种一一对应关系.复数z=0对应于w=∞，而z=∞对应于w=0.
对于复数∞，我们约定： |∞|=∞，而它的实部和虚部以及辐角都没有意义.
1.2复数的基本代数运算
1.2.1复数的四则运算
1. 定义


两个复数的加法、减法、乘法及除法定义如下．
定义1.5设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2为任意复数，z1与z2的四则运算定义如下： 
加（减）法


z1±z2=（x1±x2)+i（y1±y2)； （1.2.1）


乘法


z1z2=（x1x2-y1y2)+i（x1y2+x2y1)； （1.2.2）


除法


z1z2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1-x1y2x22+y22，z2≠0.（1.2.3)


其中除法是乘法的逆运算.显然，复数的加法运算满足交换律和结合律，乘法运算满足交换律、结合律和分配律.
结合共轭复数的定义，易得共轭复数的下列运算性质： 




z1±z2=z1±z2，z1z2=z1z2，z1z2=z1z2

z+z-=2Rez，z-z-=2iImz，zz-=（Rez)2+（Imz)2.



（1.2.4）


2. 四则运算的几何意义
设z1，z2为两个复数，z1与z2的加、减法满足向量运算的平行四边形法则，如图1.3所示.


图1.3平行四边形法则


（a) 向量的加法； （b) 向量的减法


由向量相加减的几何性质，很容易得到复数的和与差满足下列不等式： 


|z1±z2|≤|z1|+|z2|，（1.2.5）

|z1±z2|≥||z1|-|z2||.（1.2.6）


由图1.3（b）可知，|z1-z2|表示点z1和z2的距离.
对于复数的乘除运算，为了简便计算，设


z1=ρ1（cosφ1+isinφ1)=ρ1eiφ1，

z2=ρ2（cosφ2+isinφ2)=ρ2eiφ2.


则


z1z2=ρ1ρ2［cos（φ1+φ2)+isin（φ1+φ2)］=ρ1ρ2ei（φ1+φ2)，（1.2.7）

z1z2=ρ1ρ2［cos（φ1-φ2)+isin（φ1-φ2)］=ρ1ρ2ei（φ1-φ2)，z2≠0.（1.2.8）


因此，两个复数相乘，就是它们的模相乘，辐角相加； 两个复数相除，就是它们的模相除，辐角相减.在几何上，z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Argz2； z1z2相当于将z1的模缩小为原来的1/|z2|并反向旋转一个角度Argz2.
1.2.2复数的乘幂与方根
1. 乘幂

利用数学归纳法将两个复数的乘积公式（1.2.7）推广到n个复数相乘，得


z1z2…zn=ρ1ρ2…ρn［cos（φ1+φ2+…+φn)+isin（φ1+φ2+…+φn)］

=ρ1ρ2…ρnei（φ1+φ2+…+φn).（1.2.9）


于是，z的n次乘幂为


zn=ρn（cosnφ+isinnφ)=ρneinφ，n=0,1,2,….（1.2.10）


令z-n=1zn，则有


z-n=ρ-n［cos（-nφ)+isin（-nφ)］=ρ-ne-inφ，n=0,1,2,….（1.2.11）


因此，对于任意整数n，总有


zn=ρn（cosnφ+isinnφ)=ρneinφ，n=0,±1,±2,….（1.2.12）


特别地，当ρ=1时，可以得到棣摩弗（De Moivre） 公式： 


（cosφ+isinφ)n=cosnφ+isinnφ.（1.2.13)


又当n=1时，得欧拉公式


eiφ＝cosφ+isinφ.（1.2.14）


2. 方根
称满足方程wn=z（n为正整数）的复数w为z的n次方根，记作nz，即w=nz.于是


|w|neinArg w=|z|eiArg z，


比较上式两端的模和辐角，有


|w|=n|z|,
Argw=Argzn=argz+2kπn.（1.2.15）


因此，z的n次方根为


w=n|z|cosargz+2kπn+isinargz+2kπn

=n|z|eiargz+2kπn,k=0,1,2,…,n-1.（1.2.16）



图1.4方程w6=z的根


由求根公式（1.2.16）可以看出，任何一个确定的复数z，它的n次方根有n个不同的值，分别对应k=0,1,2,…,n-1等n个不同情形.在复平面上，只要我们先求出w0=n|z|eiargzn，然后由w0绕着原点依次旋转2πn，就能得到其他的根.不难看出，方程wn=z的n个根恰好是以原点为圆心、n|z|为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.（图1.4为n=6时的情形)

例1.2计算41+i.
解由于


1+i=2cosπ4+isinπ4，


利用求根公式（1.2.16），得


41+i=82cosπ4+2kπ4+isinπ4+2kπ4，k=0,1,2,3.


因此，1+i的四次方根为


w0=82cosπ16+isinπ16，
w1=82cosπ/4+2π4+isinπ/4+2π4=82cos9π16+isin9π16，
w2=82cosπ/4+4π4+isinπ/4+4π4=82cos17π16+isin17π16，
w3=82cosπ/4+6π4+isinπ/4+6π4=82cos25π16+isin25π16.


1.3复变函数
前面我们介绍了复数的一些基本概念及运算，接下来讨论复变函数.首先给出复变函数的变化范围，即区域的概念.
1.3.1区域的相关概念
邻域复平面上以点z0为圆心，以任意小正实数ε为半径的圆的内部所有点构成的集合|z-z0|<ε称为点z0的ε邻域.由不等式0<|z-z0|<ε所确定的点集称为点z0的去心邻域.
内点对于平面点集E，若点z0及其某一邻域均属于E，则称点z0为E的内点.
外点若z0及其邻域均不属于E，则称点z0为E的外点.
边界若点z0的任意一个邻域内既有属于点集E的点，又有不属于E的点，则称z0为E的边界点. E的所有边界点组成的集合称为E的边界，记作E.
开集若点集E的每个点都是内点，则称E为开集.
区域满足下列两个条件的点集D称为区域： 


图1.5内点、外点、边界点与区域


（1） 全部由内点组成（开集）； 

（2） 具有连通性，即点集内任意两点都可以用一条折线连接起来，而且折线上的点全部属于该点集.
闭区域区域D及其边界所组成的点集称为闭区域，记作.
区域的相关概念如图1.5所示.

例1.3由|z-1|<1和|z+1|<1构成的点集E是开集但不是区域.
例1.4设z0为复平面上的一点，r,a,b为正实数，则点集|z-z0|<r表示圆形域，|z-z0|≤r表示闭圆域； a<|z-z0|<b表示环形域，a≤|z-z0|≤b表示闭环域.
简单曲线没有重点的连续曲线C称为简单曲线.若简单曲线C的两个端点重合，则称C为简单闭曲线，如图1.6所示.


图1.6简单曲线与闭曲线


（a)简单、闭； （b)简单、不闭； （c)不简单、闭； （d)不简单、不闭


单通区域对于复平面上的区域D，若在其中任作一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D，则称D为单连通区域，简称单通区域.
复通区域一个区域不是单通区域，则为复通区域（或多通区域).对于复通区域，我们总可以通过作一些适当的割线将复通区域不相连的边界连接起来，从而使复通区域单连通化.


图1.7复通区域边界的正方向


区域边界的正方向为了以后学习环路积分方便，我们通常约定： （当人）沿区域的边界环行时，若包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界的正方向.
对于有界的单通区域，逆时针方向即为正方向，而复通区域的外边界以逆时针方向为正方向，内边界以顺时针方向为正方向, 如图1.7所示.

1.3.2复变函数的概念
定义1.6设E为平面点集（复数集），若对于E中的每一个点（复数）z=x+iy，按照一定的法则f，总有一个或多个复数w=u+iv与之对应，则称复变量w为复数z的复变函数，记作w=f（z)，其中E称为函数f（z)的定义域，z为自变量，w为因变量.
若对应z的w是唯一的，则称函数w=f（z)是单值函数； 若对应z的w有两个或两个以上，则称函数w=f（z)是多值函数.
例1.5f（z)=|z|，f（z)=zz-1（z≠1）及f（z)=zn=ρn（cosnφ+isinnφ)均为z的单值函数； 
f（z)=nz=nρcosφn+isinφn （n为正整数）为n值函数； 
f（z)=Argz为无穷多值函数.
注： 设z=x+iy，w=f（z)=u+iv，由于复数z总可以由实部x和虚部y来确定，所以，复变函数w=f（z)的实部u和虚部v也随x，y而确定，因而，w=f（z)也常写作