第1章 金融工程导论
1.1 金融工程的概念
金融工程是20世纪90年代初在西方国家出现的一门新兴的金融交叉学科。它运用工程技术的方法(如数学建模、数值计算、模拟仿真等)设计、开发和实施新型的金融产品，创造性地解决金融问题。这里的“开发”和实施新型的金融产品主要是指组合成混合证券或对某资产进行拆分，如将某证券集优先股和各种看涨看跌期权的特征于一体，按优先股结构设计，在4年后可以转换成公司普通股。又如一张抵押传递证券被拆分成本金和利息的证券。金融工程融现代金融理论、数学、统计学、信息技术与工程方法等于一体，因而迅速发展成为一门新兴的交叉学科，从而把金融学的研究推进到一个新的发展阶段，对金融业及经济领域产生了极其深远的影响。
1.2 国际主流金融理论发展
金融是经济系统的心脏，现在人们普遍认识到，股票、债券、基金、期货、期权等金融产品不再是发达资本主义国家的专利，随着经济全球一体化，不发达国家的人们同样可以选择各种金融产品，来发展本国的经济。
首先，20世纪50年代，哈利·马柯维茨(H. Markowitz)借助于统计与优化方法发展出了均值方差模型，该模型被广泛应用于实际的资产组合决策。哈利·马柯维茨的思路可以追溯到伯努利(Bernoulli)和费雪(Fisher)等人，前者考察了概率与博彩问题--不确定条件下的决策，后者考察了利息理论。这些早期的理论为后来的金融产品估价技术及金融工程学科的开拓打下了坚实的基础。不过，正是马柯维茨第一次系统地用数理统计和优化的语言描述了金融市场上投资者的可能行为。尽管当时他的研究并没有成为金融经济学的模型基础，但在华尔街却广为流行，成为众多投资者投资决策的技术依据。
其次，20世纪50年代，一些代表性的学者从理论和经验上分别注意到了投资者理性决策的重要性。阿罗(Arrow)通过对保险和风险的研究，特别是通过对一般均衡框架或有证券的研究发现： 只要针对未来的每一种潜在的可能性设计出相应的应对条款，就能构造出一种“阿罗证券”来确保总体经济的一般均衡。不过，阿罗也注意到，投资者理性决策依赖一定的信息条件，如果该条件得不到满足，金融产品的合同安排就可能不完全，如在保险业会出现“道德风险”问题。这些观点对后来的金融理论的发展产生了巨大影响。
再次，莫迪里亚尼(Modigliani)和米勒(Miller)也在20世纪50年代开始关注金融市场上的证券供给问题。他们采取了标准的微观经济学的均衡分析方法，在假定金融市场完全竞争的前提下，试图通过公司的融资成本--收益决策来推导出证券供给曲线，不过，现在人们已经很少关心这个内容，主要原因是他们的结论因为“MM定理”而闻名于世，其背后的证券供给曲线反而被忽视了。MM定理说明： 在给定若干假定条件下，公司的资本结构选择并不能给公司创造价值。这一结论奠定了现代公司金融理论的框架，因为该定理为复杂的公司金融活动分析创造了一个基本构架，相当于经济学中完全竞争市场的作用。
继承前面诸人的成果，夏普(Sharpe)、林特纳(Lintner)等人于20世纪60年代在马柯维茨工作的基础上发展出了资本资产定价模型，罗斯(Ross)等人又进一步发展出了套利定价模型，奠定了研究资本市场价格的理论框架。法马(Fama)等人在20世纪70年代提出了有效资本市场假说，并给出了金融市场价格运动规律的经验实证研究思路。布莱克(Black)、舒尔茨(Scholes)和莫顿(Merton)等人于20世纪70年代在MM定理和资本资产定价模型的基础上发展出了金融产品的定价模型，之后它们被广泛应用于实务，从而导致了金融产品的大量创新。
另外，阿罗早期的研究重新受到重视。20世纪70年代，大量的博弈论和信息经济学模型被用于分析金融市场，如罗斯、格罗斯曼(S. Grossman)、普雷思克特(E. Presctt)、斯蒂格利茨(J. Stuglitz)、利兰(H. Leland)、布雷纳(M. Brennan)、杰森(M. Jensen)、哈特(O. Hart)、哈里森(M. Harrison)、克瑞普斯(D. Kreps)、布哈塔斯瑞(S. Bhattacherya)等学者把金融产品看做是契约，如果当事人的信息不对称，就可能导致契约的不完全，从而出现逆向选择和道德风险问题，即金融市场资源配置的低效率。如果要提高资源配置效率，就必须采取有效的治理机制、恰当的证券设计及充分的信息披露，而这些正成为金融系统中日益重要的制度架构。
经过近40年的开拓，现代西方金融理论才真正成型，它不仅形成了以契约为基础的金融经济学，而且在公司和各种金融中介的金融活动、金融市场的价格运动、市场微观结构、金融系统的演变及金融监管等诸多方面都有专门的理论，从而构成了一个比较完善的理论体系和研究方法体系。
不过，随着金融产品的多样化和金融系统的复杂化，学者们逐渐发现，20世纪80年代以前的金融理论仅仅考虑定价、套利、均衡、合同等问题，这是不够的。比如，有效的资本市场假说的核心是完美套利，但现实世界中套利是不完美的，这就预示着作为理论基础的完全资本市场假定缺乏理论预见力；资本资产定价模型、代理理论模型等虽然比较精致，但缺乏足够的数据支持；以现值为基础的证券估价模型缺乏理论意义，扩展到不确定条件和多个时期也是如此；当事人的风险偏好假定不现实，越来越多的实验经济学研究结果证明了这一点；股权溢价之谜、市场效率异常等得不到合理解释，期限结构、波动理论等也是如此；金融市场的制度基础没有得到充分重视，制度如何影响价格还不清楚，等等。
正因为过去的理论有诸多局限，从20世纪80年代开始，金融学家进行了广泛的新探索。这一探索分两条线索展开： 一方面，在过去的金融理论模型中嵌入制度等因素，着重研究金融契约的性质和边界、金融契约选择与产品设计、金融契约的治理与金融系统演化、法律和习俗等制度因素对金融活动的影响等；另一方面，一些金融学家基于卡尼曼(D. Kahneman)等人发展的非线性效用理论，开始引入心理学关于人的行为的一些观点，来解释金融产品交易的异常现象，如有限套利、噪声交易、从众心理等，这些理论形成了现代金融理论中的行为学派，又称为“行为金融”. 
从目前的理论发展来看，两条线索互相竞争、互相促进、共同发展，基于信息不完全、不对称和一般均衡理论的模型在解释金融市场异常方面有明显不足，而行为金融还不能有效地应用于金融产品定价，并且现有理论模型本身缺乏更广泛的经验证据支持。双方正处于争论阶段，构成现代金融理论发展过程的主旋律。
很明显，现代金融理论从20世纪50年代开始逐步摆脱了过去那种纯货币理论的状态，确立了资本定价在金融学中的核心地位，如同一般均衡理论在经济学中的地位一样。所谓现代金融理论其实就是用标准的主流经济学的原理和方法精确刻画金融活动的产物。而20世纪80年代以后，经过经济学家的不懈努力，金融产品和金融系统的复杂性日益受到关注，金融理论开始走出资产定价技术这一狭窄范畴，越来越多的人开始从金融活动参与者的行为本身来解释纷繁复杂的金融现象。行为的多元化导致金融产品和金融系统的多元化，也导致了金融理论的多元化。现代金融理论的核心从资产定价转向参与者行为，这可以看做是向经济学本来面目的复归。
当现代西方金融理论日新月异发展的时候，国内的金融学研究还处于启蒙阶段。从教学上来看，货币银行学仍是金融专业最核心的课程，而且还是经济类专业的基础课程，如果按照课程体系的这一逻辑去理解，这有点本末倒置、不伦不类。从国际化的角度来看，金融工程学开始试点，但很多人仅仅把金融工程理解为纯技术的科学，忽视了它背后的经济学理论，这种把金融学等同数学的看法实际上是对现代金融理论新发展的片面理解。从研究层次来看，对国外研究成果模仿者居多，对现存问题描述性讨论较多，而缺乏对现象背后的内在逻辑的理解。实际上，金融问题与任何经济问题一样，都有其社会制度背景，如果忽略这种背景知识，盲目地和国际接轨，只能给人以隔靴搔痒的感觉。目前出版的各种金融理论读物，大多是对金融现象的描述分析，以文字描述较多，缺乏强有力的理论逻辑和科学的研究方法。国内金融著作的现状严重滞后于国外金融理论著作。因此，我国的金融市场要想得以繁荣，仅仅依靠一些缺乏理论和经验证据的政策辩论是毫无意义的。如果要形成正确的金融活动决策，就需要掌握科学的研究方法，这就要求我国学者对国外研究成果有一个较全面的掌握。
1.3 现代主流金融理论简介
1.3.1 投资组合理论
1952年马柯维茨提出的投资组合理论通常被认为是现代金融学的发端。马柯维茨在他的《投资组合》这篇具有划时代意义的论文中假设投资者均为风险厌恶者，即理性投资者的目标在于： 在风险给定的条件下，追求预期收益的最大化；而在收益给定的条件下，追求风险的最小化。若用E(rP)代表投资组合P的预期收益率，σ代表预期收益率的标准差(即投资组合的风险)，马柯维茨断言，投资者的目标是追求(σ, E(rP))空间中效用的最大化，从而给出了如何在众多的证券中建立起一个具有较高收益和较低风险的最佳证券组合。1958年托宾(Tobin)证明了风险规避型投资者在(σ, E(rP))空间中的无差异曲线必定具有一定曲率，且呈凸状。而在不存在无风险投资机会的条件下，投资有效界面(即马柯维茨有效边界)呈凹状。因此在(σ, E(rP))空间中，投资者的无差异曲线与投资有效界面将有且仅有一个切点，该切点所代表的证券组合便是投资者的最优投资组合。由于最优投资组合的确定需要计算大量的证券收益率、方差和证券间的协方差，且是一个二次规划，不适用于实际应用，因此，1963年夏普提出了简化形式的计算方法，即现在所称的单指数模型。这一简化形式，使组合投资理论特别是在大量的证券经营中更实用了。在这个模型中，夏普把证券的风险分为系统性(不可分散)风险和非系统性(可分散)风险两部分。系统性风险就是市场风险，指证券价格的哪一部分变动是由于整个市场价格变动的影响造成的。它反映各种证券的价格对市场价格变化的敏感性或反应性的强弱。每种证券的系统风险是不同的，可用β值(见后面章节)表示，说明证券价格受市场影响的程度。非系统性风险是指价格的哪一部分变动是由具体证券本身特点造成的。而证券本身的特点是指因发行单位的赢利能力、管理效率等因素的不稳定而产生的风险。单指数模型还指出，投资者因承担较大风险而获得较高收益，但收益只与系统风险相联系，与非系统性风险无关。因此，投资者不可能因承担可分散风险而得到报酬。
1.3.2 资本资产定价模型
资本资产定价模型(capital asset pricing model, CAPM)以马柯维茨的投资组合理论为基础，完整地回答了在资本市场均衡时，证券收益的决定机制问题。为使用现代组合投资理论的投资者提供了： 
(1) 组合投资风险与收益关系；
(2) 单个证券资产风险的度量；
(3) 单个证券资产风险与收益的关系。
这个模型的主要特点是一种证券资产的预期收益率可以用这种证券资产的风险的相对测度β因子测定，在不存在套利机会下，则存在一种均衡，即如果证券的风险相同，它们的预期收益率应该相同。该模型可以表述为E(rj)=rf+βj(E(rM)-rf)式中，E(rj)表示证券j的期望收益率；rf表示无风险利率；βj表示证券j的系统风险系数；E(rM)表示市场组合投资的期望收益率。
这个模型的主要框架为： 首先运用马柯维茨均值-方差准则，投资者能够估计到所有证券组合中每一种证券的预期收益率、标准差和协方差。根据这些估计值，投资者就能推导出马柯维茨有效集合。然后给定无风险资产收益率，投资者就能识别出切点处证券组合和线性有效集合的位置。最后，投资者对切点处证券组合进行投资，并按无风险收益率进行借或贷，具体的借或贷数量依赖于投资者对风险-收益的偏好。
资本资产定价模型由夏普于1964年、林特纳于1965年和莫森(Mossion)于1966年从不同角度独立发现。它是马柯维茨模型的具体运用，其简单直观的特点使之从诞生之日起就备受投资者的青睐，得到了广泛的应用。为了提高资本资产模型的实用性，20世纪70年代上半期，经济学家们在简化最初构成模型的众多苛刻条件方面取得了巨大的进展。布莱克于1972年、布鲁南于1970年简化了模型无税收和无风险利率不变的假设；莫顿于1973年成功地将模型单周期的局限进行了拓展，建立了跨期资产定价模型(ICAPM). 
1.3.3 套利定价理论
在资本市场达到均衡时，在一定的假设下，一方面，CAPM给出了资产收益率的决定机制，但是由于难以得到真正的市场组合，CAPM不易被检验；另一方面，一些经验的结果如小公司现象： 当以公司的规模为基础形成资产组合时，考虑到估计β的差异后，小公司的年平均收益率比大公司的年平均收益率高出将近20%。这种现象不能用CAPM来加以解释。罗斯于1976年提出了一个旨在替代CAPM的套利定价理论。套利定价模型也是一个均衡资产定价模型，其不同于CAPM之处在于它并不要求投资者是风险规避者，即APT并不依据预期收益率和标准差来寻找最优投资组合，它更加强调资产收益率的生成结构，指出资产的收益率取决于一系列影响资产收益率的因素。而套利活动则能确保资本市场均衡的实现。其理论基础是一价定律，即两种风险-收益性质相同的资产不能按不同的价格出售。APT模型一经提出，经济学家们便围绕CAPM模型与APT模型孰优孰劣的问题各执一端、争论不休，但对它的研究已成为金融投资当中的重要内容。
1.3.4 期权定价
期权是20世纪国际金融市场创新实践的一个成功典范，它的诞生给金融理论和实践带来了巨大的影响。1973年，布莱克与舒尔茨的著名论文《期权定价与公司负债》及同年莫顿的论文《期权的理性定价理论》奠定了期权定价模型的理论基础，并推导出第一个完整、精确的期权定价公式，即Black-Scholes模型，为金融财务学开创了一个崭新的领域。舒尔茨和莫顿因其在建立期权定价模型方面所作出的开拓性贡献而于1997年被授予诺贝尔经济学奖，布莱克虽然因为在1995年8月逝世而未能享此殊荣，但其英名也将永载经济学史册。至今，关于期权理论与应用的研究已成为金融学领域最活跃的分支之一。
期权，按照最一般的定义是指在将来某一时刻按一定价格买卖某种资产的权利。而在期权交易中，如何给买卖双方确定公平的期权费即期权定价，自然是一个非常重要的问题。期权定价模型(Black-Scholes模型)给出了依赖于标的资产的执行价格X、现货价格S、到期时间T、波动率σ和无风险利率r的欧式看涨期权价格C0的定价公式： C0=SN(d1)-Xe-rTN(d2)式中，N(d)表示标准正态分布函数。N(d1)=ln (S/X)+r+12σ2TσT
N(d2)=ln (S/X)+r-12σ2TσT=d1-σT  上述公式是建立在一系列严格基础之上，包括： 
(1) 标的资产收益率服从正态分布；
(2) 标的资产可以自由买卖，且可以卖空；
(3) 标的资产到期前不支付红利；
(4) 投资者可以以无风险利率进行借贷；
(5) 没有税收、交易成本等额外费用；
(6) 标的资产价格具有连续性，服从几何布朗运动，其波动率的标准差为常数。
Black-Scholes公式是现代金融理论的重大突破，但其只能用于欧式期权定价，而实际场内交易的期权美式比欧式多，科克斯(Cox)、罗斯和鲁宾斯坦(Rubinstern)于1979年提出了二叉树(二项式)期权定价模型，使得标准期权有了定价基础。以后许多专家学者都试图通过放松Black-Scholes模型假设来修正期权定价公式，且在这一方面的尝试一直没有停止过。布莱克、舒尔茨和莫顿在期权方面的贡献远远超出了衍生工具定价的范畴，他们所提出的方法可以广泛运用于经济活动的各个方面，为资产定价在许多领域中的应用铺平了道路。
1.3.5 有效市场假说
在关于风险与收益的理论中，最为基础的理论是有效市场假说(efficient market hypothesis, EMH)。有效市场假说研究的是投资者的预期如何传递到证券价格的变化中去。如果市场是完全有效的，那么所有证券的价格都将等于它们的内在价值。换句话说，既没有价格被高估的证券，也没有价格被低估的证券。投资的收益率必然是由系统性风险决定的正常收益率。所以，市场是否有效以及有效的程度，对投资者具有非常重要的作用。因为，在一个完全有效的市场中，证券分析的基础分析法和技术分析法都是徒劳无益的；反之，如果市场并非完全有效，那么借助证券分析寻找价格被高估和低估的证券，将可以为投资者赢得超常的收益。
有效市场的概念，最初是由法马在1970年提出的。法马认为，当证券价格能够充分反映投资者可以获得的信息时，证券市场就是有效市场，即在有效市场中，无论随机选择何种证券，投资者都只能获得与投资风险相当的正常收益率。法马根据投资者可以获得的信息种类，将有效市场分成了三个层次： 弱形式有效市场(weak-form EMH)、半强形式有效市场(semi-strong-form EMH)和强形式有效市场(strong-form EMH). 
1. 弱形式有效市场
弱形式有效市场假设所涉及的信息，仅仅是指证券以往的价格信息。当弱形式有效市场假设成立时，投资者单纯依靠以往的价格信息，不可能持续获得非正常收益。换言之，同一证券不同时间的价格变化是不相关的，所以投资者无法根据证券的历史价格预测未来的走势。在弱形式有效市场假设中，包含以往价格的所有信息已经反映在当前的价格之中，所以利用移动平均线和K线图等手段分析历史价格信息的技术分析方法是无效的。
2. 半强形式有效市场
除了证券以往的价格信息之外，半强形式有效市场假设中的信息还包括发行证券的企业的年度报告、季度报告、股息分配方案等在新闻媒体中可以获得的所有信息，即半强形式有效市场假设中涉及的信息囊括了所有的公开信息。如果半强形式有效市场假设成立，所有公开可获得的信息都已经完全反映在当前的价格之中，投资者根据这些公开信息无法持续获取非正常收益。那么，依靠企业的财务报表等公开信息进行的基础分析也是无效的。
3. 强形式有效市场
强形式有效市场假设中的信息既包括所有的公开信息，也包括所有的内幕信息，如企业内部高级管理人员所掌握的内部信息。如果强形式有效市场假设成立，上述所有的信息都已经完全反映在当前的价格之中，那么即便是掌握内幕信息的投资者也无法持续获取非正常收益。
包括有效市场假设在内的传统金融理论都是以市场参与者完全理性为前提的。事实上，市场参与者仅仅拥有在认知能力、行为能力、利己心均受到一定约束下的有限理性。外部世界的复杂性与其自身有限的信息收集处理能力，决定了市场参与者只能实现过程理性，而无法达到实质理性。完全理性这一前提的动摇，对传统金融理论的分析形成了巨大的挑战。无论是有效市场假设，还是以之为基础的资本资产定价理论与模型都有待修正。
4. 投资策略
根据投资者对市场有效性的判断，可以把投资策略分为主动投资策略和被动投资策略两种。如果认为市场是有效的，那么投资者应选择被动投资策略。例如，指数基金管理公司可以简单地投资于指数期货，或者按照市场指数中各种证券所占的比重建立组合。如果认为市场是无效的，即相信通过证券分析可以发现价格被低估或高估的证券，从而获得超常的投资收益率，那么投资者应选择主动投资策略。
1.3.6 固定收益证券
固定收益证券中有四个重要的内容，即利率期限结构、久期、凸性、免疫。利率期限结构是由一个已知的即期利率和一系列的远期利率组成的。久期是衡量债券价格对收益率变化的敏感度，定义为价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。凸性则是斜率的变化量。免疫是久期的应用，即如果投资者能使另一个债券的久期等于这个债券的到期期限，那么那个债券是免疫的，免疫策略能够避免市场利率的风险。
1.3.7 资本结构
在不存在税收的完美市场条件下，公司的价值只依赖于其产品的EBIT(息税前收益)，而与其负债比例的大小即资本结构无关。这是莫迪里亚尼和米勒(简称MM)著名命题的基本思想。此理论提出了现代金融学一个重要的方法--无套利均衡定价分析方法，而且成为金融工程的基本原理，使金融学的分析方法从传统的经济学中分离出来，有了自己独特的分析方法。
当然，MM命题并没有完全回答资本结构问题。现实中存在所得税和市场不完美。但MM的思想告诉人们资本结构在哪里起作用。后来这种分析方法得到推广，形成了最优资本结构理论。
1.4 金融衍生产品与参与者
金融工程主要研究金融衍生品的风险管理及其定价，基础的金融衍生产品主要包括远期、期货、互换和期权等。
远期是指一个在确定的将来时间按确定的价格购买或出售某项资产的协议。期货是两个对手之间签订的一个在确定的将来时间按确定的价格购买或出售某项资产的协议，主要有商品期货和金融期货。远期与期货的差别在于远期是私人协议，因此属于非标准化的协议，而期货在期货交易所交易，属于标准化的协议。
互换是指两个或两个以上当事人按照商定条件，在约定的时间内交换一系列现金流的合约。交换对象既可以是不同种类的货币、债券，也可以是不同种类的利率、汇率、价格指数等，因此，互换主要有利率互换和货币互换两种。
期权又称为选择权，是指投资者(持有者)在未来特定时间内，按某一事先约定的价格(执行价格)，买进或卖出一定数量的特定标的资产的权利。有两种常见的期权合约： 看涨期权和看跌期权。看涨期权又称为买入期权，看跌期权又称为卖出期权。看涨期权是赋予期权持有者在未来某个时点，按照合约规定，购买一定数量标的资产的权利。期权持有人购买标的资产的价格在期权合约中是规定的，称为期权的执行价格，当标的资产价格大于执行价格时，持有者执行看涨期权是有利可图的。看跌期权则是赋予期权持有者在未来某个时点，按照合约规定，卖出一定数量标的资产的权利。当标的资产价格小于执行价格时，持有者执行看跌期权是有利可图的。
按执行方式的不同，有欧式期权和美式期权。欧式期权是指持有人只在期权到期日才能行权的期权合约，而美式期权则赋予持有人在期权到期日之前任何时点行权的权利。
金融衍生市场的参与者主要有套期保值者、投机交易者和套利者。这三类投资者是金融衍生市场的重要组成部分，都必须根据对市场走势的判断来确定交易的方向，选择买卖时机的方法及操作手法基本相同。但三者有一定区别： 从交易的目的来看，套期保值的目的是规避现货市场的价格风险，投机交易的目的是赚取风险利润，套利的目的是赚取无风险利润，获取较为稳定的价差收益；从承担风险的角度来看，套期保值承担的风险最小，套利的次之，投机交易的风险最大。
1.5 风险中性定价法与无套利定价法1. 风险中性定价实例  在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道，在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期、协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价格为0元。
为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界的真实概率是不同的。实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定： e-0.1×0.25\=10
P=0.6266  这样，根据风险中性定价原理，我们就可以求出该期权的价值： f=e-0.1×0.25(0.5×0.6266+0×0.3734)=0.31(元)2. 风险中性定价法
假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得S=e-r(T-t)\即P=er(T-t)-du-d  知道了风险中性概率后，期权价格就可以通过下式来求： f=e-r(T-t)\3. 无套利定价法思路
我们通过一个一般的例子来说明无套利定价法及其应用。
假设一只无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd(u>1, d<1)。当股票价格上图1-1 股票价格和期权价格升到Su时，我们假定期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd，如图1-1所示。
首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头的证券组合，并计算出该组合为无风险时的Δ值。
如果股票价值上升，该组合在期权末期的价值是SuΔ-fu；如果股票价格下降，该组合在期权末期的价值是SdΔ-fd。为了求出使得该组合为无风险组合的Δ值，我们令SuΔ-fu=SdΔ-fd得到Δ=fu-fdSu-Sd(1-1)  如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是(SuΔ-fu)e-r(T-t)，而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=(SuΔ-fu)e-r(T-t)将式(1-1)代入上式化简得f=e-r(T-t)［Pfu+(1-P)fd］式中P=er(T-t)-du-d(1-2)  从上可见无套利定价法与风险中性定价法是一致的。
思 考 题
1. 简述金融工程的概念。
2. 简述现代金融理论的发展。
3. 简述现代金融理论的主要内容。
4. 简述无套利定价法的思路。
5. 简述风险中性定价法的思路。
第2章
远期合约、期货合约及其定价  本章将介绍衍生证券中的远期合约、期货合约，重点讨论各种衍生证券的价格与其标的资产的价格之间的相互关系，并以此为基础来分析各种衍生证券的价值。
远期合约和期货合约是衍生市场中最基本的金融工具。因此，本章将先介绍远期合约及其价值，然后介绍期货合约的概念及其价值。
2.1 远期合约及其定价2.1.1 远期合约的概念  远期合约(forward contract)是指一个在确定的将来时间按确定的价格购买或出售某项资产的协议。它是最基本的衍生证券之一。通常两个金融机构之间或金融机构与公司客户之间会签署远期合约。一般而言，它不在正式的交易所内交易。
按习惯，我们把远期合约的买方和卖方分别称作多头和空头。所谓多头(long position)，就是指远期合约中同意在将来某个确定的日期以某个确定的价格购买标的资产的一方。所谓空头(short position)，就是指远期合约中同意在同样的日期以同样的价格出售标的资产的一方。远期合约交割的那一天称为到期日。远期合约交割时，空头的持有者交付标的资产给多头的持有者，多头支付等于价格的现金。
在远期合约中的特定价格称为交割价格(delivery price)。决定远期合约价格的关键变量是标的资产的市场价格。在合约签署的时刻，所选择的交割价格应该使得远期合约的价值对于双方而言都为零。这意味着交易方无须成本就可以处于远期合约的多头或空头状态。但随着时间的推移，远期合约可能是具有正的或负的价值，这取决于标的资产价格的变动。例如，如果合约签署之后该标的资产的价格很快上涨，则远期合约多头的价值将变为正值，而远期合约空头的价值变为负值。
1. 远期价格
  某个远期合约的远期价格(forward price)定义为使得该合约价值为零的交割价格。随着时间的推移，远期价格可能随时发生变化。因此，在合约开始后的任何时刻，除非偶然，远期价格和交割价格一般并不相等。而且一般来说，在任何给定时刻，远期价格随该合约期限变化而变化。例如，3个月期的远期合约的价格肯定不同于9个月的远期合约价格。
金融工程理论与应用第2章 远期合约、期货合约及其定价许多跨国公司经常使用外汇远期合约。表2-1中表示的是1995年5月8日英镑兑美元的汇率。忽略佣金和其他交易成本，表中第二行报价表示在即期市场(即立即交割)买卖英镑的价格是每英镑1.6080美元，第三行报价表示买卖30天期英镑远期合约的价格(或远期汇率)为每英镑1.6076美元，第四行报价表示买卖90天期英镑远期合约的价格为每英镑1.6056美元；第五行报价表示买卖180天期英镑远期合约的价格为每英镑1.6018美元。表2-1 1995年5月8日英镑兑美元的即期和远期报价汇 率 类 型数  据汇 率 类 型数  据即期汇率1.608090天远期汇率1.605630天远期汇率1.6076180天远期汇率1.60182. 远期合约的损益
假设投资者在1995年5月8日签署了一份100万英镑90天期的远期合约，交割汇率为1.6056。这样投资者就必须在90天后支付1605600美元来购买1000000英镑。如果在90天后即期汇率上升，假设为1.6500，投资者将获得44400美元(1650000-1605600)，因为投资者可以用购得的100万英镑在即期市场以1650000美元的价格立即兑换成美元。同样，如果90天后即期汇率立即跌至1.5500，投资者将损失55600美元，因为远期合约使投资者购买同样数量的英镑要比市场价格多支付55600美元。
一般来说，一单位资产远期合约多头的损益(payoff，也称收益、回报等)等于ST-K式中，K表示交割价格；ST表示合约到期时资产的即期价格。
这是因为合约的持有者有义务用价格K购买价值为ST的资产。
类似地，一单位资产远期合约空头的损益等于K-ST2.1.2 远期合约的定价1. 基本知识  1) 假设
在本章中，我们假定对于部分市场参与者而言，以下几条全部是正确的： 
(1) 不计算交易费用；
(2) 市场参与者能够以相同的无风险利率(一般认为是再回购利率)借入和贷出资金；
(3) 当套利机会出现时，市场参与者将在利润动机的驱使下迅速参与套利活动；
(4) 所有的交易收益(减去交易损失后)使用同一税率。
我们并不要求所有的市场参与者都能满足这几条假设。我们只要求这些假设对部分参与者是正确的，如大的投资机构。投资者一旦发现套利机会就会进行套利，这意味着在现实中一出现套利机会，很快就会消失。因此，有理由假设在市场上不存在套利机会，或者说市场是均衡的。
2) 符号
本节中将要用到的符号及其含义如下： 
T:  远期合约到期的时间(年); 
t:  现在的时间(年); 
S:  远期合约标的资产在时间t时的价格；
ST:  远期合约标的资产在时间T时的价格；
K:  远期合约中的交割价格；
f :  时刻t时远期合约多头的价值；
F:  时刻t时远期合约中标的资产的远期理论价格；
r:  对于T时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续复利计算的无风险利率。
变量T和t是从合约生效之前的某个日期(具体是什么时间无关紧要)开始计算的，以年为单位。在我们现在的分析中，感兴趣的变量当然是T-t，其代表远期合约中，以年为单位表示的剩下的时间。
这里，我们要区分远期价格F和远期合约的价值f，两者是完全不同的概念。任何时刻的远期价格都是使得合约价值为零的交割价格。合约开始生效时，一般设定交割价格K等于远期价格，所以，F=K且f=0。对于同一个远期合约来讲，随着时间的推移，交割价格K是不变的，而f和F都在变化。
3) 连续复利
在计算衍生证券的价格时，一般都采用连续复利的利率。因此，在本章中，除非特别说明，所使用的利率均以连续复利来计算。在期权以及其他复杂衍生证券定价时，连续复利得到广泛的应用。
我们首先给出连续复利与年复利的相互转换公式。假设R1是连续复利的利率，R2是与之等价的每年计m次复利的利率，则有R1=mln 1+R2m  上式可将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复利的利率；反之亦然。
证明如下： 
假设本金A以年利率R投资了n年。如果利率按每年计m次复利计算，则以上投资的终值为A1+Rmmn  当m趋于无穷大时，就称为连续复利。在连续复利情况下，本金A以利率R投资了n年后，将达到limm→∞A1+Rmmn=AeRn  将以上的推导公式用公式可以表示为AeR1n=A1+R2mmn  两边取自然对数后，就得到R1=mln 1+R2m. 
4) 即期利率和远期利率
n年即期利率是指从当前开始计算并持续n年期限的投资的利率。这里的投资应该是中间没有支付的“纯粹”的n年投资。这意味着所有的利息和本金在n年年末支付给投资者。N年即期利率也就是n年零息票收益率。由定义可知，该收益率正好是不付息票债券的收益率。
远期利率是指由当前即期利率所隐含的将来时刻的一定期限的利率。计算方式如下： 
我们假定T年期的即期利率为r，且T>T，则T-T期间的远期利率为r^=rT-rTT-T  证明如下： erTer^(T-T)=erT  所以rT+r^(T-T)=rT  求出r^，即得r^=rT-rTT-T. 
2. 无收益证券的远期合约
最简单的远期合约是基于不支付收益证券的远期合约，因而也是最容易定价的。例如，不付红利的股票和贴现债券等。
由于不存在套利机会，对于无收益证券而言，该证券远期价格F与现价S之间的关系可表示为F=Ser(T-t)(2-1)  下面我们来证明以上关系式。
不妨假设F>Ser(T-r)。此时就会出现无风险的套利机会。因为投资者可以无风险利率r借入S美元用来购买该证券资产，期限为T-t，同时卖出该证券的远期合约(即持有远期合约空头)。到时刻T，按合约中约定的价格F卖掉资产，同时归还借款本息Ser(T-t)，投资者就实现了F-Ser(T-t)的利润。市场上众多套利行为的共同结果导致标的资产的即期价格S上升，远期价格F下降，使F与Ser(T-t)的差距逐步缩小，直至为0，套利机会迅速消失。
再假设F<Ser(T-r)。投资者可以卖空标的证券，将所得收入S以年利率r进行投资，期限为T-t，同时购买该证券的远期合约(即持有远期合约多头)。在时刻T，投资者按合约中约定的价格F购买资产，冲抵了原来的空头头寸，同时投资本息所得为Ser(T-t)，实现的利润为Ser(T-t)-F。同样道理，这在均衡市场上也是不会出现的。因此，远期均衡价格只能是F=Ser(T-t). 
为给出严格的证明，分析远期合约多头的价值f与远期合约的交割价格K之间的关系，考虑如下两个证券组合： 
组合A，即一个远期合约加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金；
组合B，即一单位标的证券。
在组合A中，假设现金以无风险利率投资，则到时刻T时，现金数额将达到K。在远期合约到期时，这笔钱正好可用来购买该标的证券，在时刻T，两个组合都将包含一单位的标的证券。可以知道，在时刻t时，两个组合的价值也应该相等，否则，投资者就可以通过购买相对便宜的组合、出售相对昂贵的组合来获得无风险利润。
因此有f+Ke-r(T-t)=S或f=S-Ke-r(T-t)(2-2)  根据远期价格的定义，当一个新的远期合约生效时，远期价格等于合约规定的交割价格，且使该合约本身的值为0。因此，远期价格F就是公式f=S-Ke-r(T-t)中令f=0的K值。
【例2-1】 2010年8月31日，6个月的无风险年利率为4.17%。市场上正在交易一份标的资产为1年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为980元，该债券的现价为960元。对于该远期合约的多头和空头而言，远期价值分别为多少？
解 根据题意，我们有S=960, K=980, r=4.17%, T-t=0.5  则根据式(2-2)，该远期合约多头的远期价值f为f=S-Ke-r(T-t)=960-980×e-4.17%×0.5≈0.221459(元)  该远期合约空头的远期价值为-f=-0.221459(元). 
3. 支付已知现金收益证券的远期合约
 现在我们考虑另一种远期合约，该远期合约的标的资产将为持有者提供可完全预测的现金收益。例如，支付已知红利的股票和固定利息的债券。
设I为远期合约有效期间所得收益(现金红利和债券利息等)的现值，贴现率为无风险利率。
由于不存在套利机会，该证券远期价格F与现价S之间的关系可表示为F=(S-I)er(T-t)(2-3)  简略证明方法同无收益证券的远期合约。
或者，将前一例中的组合B变为
组合B:  一单位标的证券加上以无风险利率借入期限为T-t、数额为I的资金。
由于证券的收益可以用来偿还借款，因此在时刻T，组合B与一单位的证券具有相同的价值。组合A时刻T也具有同样的价值。因此，在时刻t，这两个组合应具有相同的价值，即f+Ke-r(T-t)=S-I或者f=S-I-Ke-r(T-t)   远期价格F就是上式令f=0的K值。
【例2-2】 2010年8月31日，6个月期和1年期的无风险年利率分别为4.17%、411%。市场上一种10年期国债现货价格为990元，该债券1年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到60元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前。求该合约的价值。
解 根据已知条件，可以先算出该债券已知现金收益的现值： I=60×e-4.17%×0.5+60×e-4.11%×1=116.3459(元)  根据f=S-I-Ke-r(T-t)，可算出该远期合约多头的价值为f=S-I-Ke-r(T-t)=990-116.3459-1001×e-4.11%×1=-87.04(元)  相应地，该合约空头的远期价值为87.04元。
4. 提供已知红利收益率证券的远期合约
红利收益率(q)表示在一段时期内，按证券价格百分比计算的收益。
为确定远期合约的价值，在分析无收益证券的远期合约时所举的例子中的组合B可以变更为
组合B:  e-q(T-t)个证券，并且所有的收入都再投资于该证券。
组合B中拥有证券的数量随着获得红利的增加而不断增长，因此，到时刻T时，正好拥有一个单位的该证券。在时刻T时，组合A和组合B价值相等，在时刻t两者也相等，可得f+Ke-r(T-t)=Se-q(T-t)或者f=Se-q(T-t)-Ke-r(T-t)  远期价格F就是令f=0的K值，即F=Se(r-q)(T-t)(2-4)  如果在远期合约有效期间红利收益率是变化的，F=Se(r-q)(T-t)仍然是正确的，此时q等于平均红利收益率。
【例2-3】 A股票现在的市场价格是25元，年平均红利率为5%，无风险利率为8%。若该股票6个月的远期合约的交割价格为27元，求该远期合约的价格及远期价格。
解 f=Se-q(T-t)-Ke-r(T-t)=25×e-0.05×0.5-27×e-0.08×0.5=-1.00374(元)
所以，该远期合约多头的价值为-1.00374元。
其远期价格为F=Se(r-q)(T-t)=25×e0.03×0.5=25.37783(元)5. 一般结论
远期合约在签署时，协议的交割价格即为当期远期价格，因此其初始价值为0。随着时间的推移，远期合约的价值会变为正值或负值。以下根据远期合约中的交割价格K与当前的远期价格F，给出时刻t一般远期合约多头的价值f的表达式。对于所有的远期合约，下式都是正确的。f=(F-K)e-r(T-t)2.2 期货合约及其定价2.2.1 期货合约的概念  期货合约(futures contract)是两个对手之间签订的一个在确定的将来时间按确定的价格购买或出售某项资产的协议。与远期合约不同，期货合约通常在正式的交易所内交易，而且为了使交易能够进行，交易所详细规定了期货合约的标准化条款。由于期货合约的双方不一定相识，交易所同时也向双方提供该期货合约的承兑保证。
世界上最大的期货交易所是芝加哥交易所和芝加哥商品交易所。在期货交易所中，期货合约的标的资产的范围非常广泛，包括许多大宗商品和金融资产。其中，商品包括猪肉、活牛、糖、羊毛、木材、铜、铝、黄金等。金融资产包括股票指数、外汇、短期国库券和债券等。
1. 期货合约与远期合约的比较
尽管期货合约与远期合约有许多相似的地方，但具体来讲还是存在不少差异。
1) 两者在交割条件上的不同
与远期合约不同，期货合约的交割日(月)和交割物的数量都是标准化的，并且只在有组织的交易所内交易。期货合约并不总是指定确切的交割日期。期货合约按交割月划分，由交易所指定在交割月中必须进行交割的交割期限。对于商品来说，交割期限通常为整个交割月。合约空头方有权在交割期限中选定他将要进行交割的时间。通常，在任何时候，不同交割月的期货合约都有交易。交易所指定一张合约应交割的资产数额、期货价格的标价方法，并且还可能规定任何一天中期货价格可以变化的范围。在商品期货中，交易所也可以指定产品的质量和交割的地点。例如，现在的芝加哥交易所中交易的小麦期货合约，规模大小为5000蒲式耳(计量单位)，有4个交割月份(3月、5月、9月、12月)的期货合约可供交易。交易所指定了可供交割的小麦的等级和交割的地点。
而远期合约通常是非标准化的(也就是说，每份合约的条件都是买卖双方单独议定的)，也没有清算所，而且通常没有二级市场。远期合约是一种在柜台交易的工具。
尽管期货合约和远期合约都规定了交割条件，但期货合约并不旨在通过实物交割来清算合约。实际上，一般只有不到2%的未清算合约是通过实物交割来清算的。与此相对照，远期合约则意在交割。
2) 两者在盯市要求上的不同
期货合约在每个交易日的终了都要调整至市价，因此期货合约会伴有期间现金流量： 在价格发生不利变动时需要追加保证金；在价格发生有利变动时可以提取现金。远期合约可能需要也可能不需要调整至市价，这取决于双方当事人的意愿。对于不必调整至市价的远期合约来说，因为不需要追加保证金，所以也不会有期间现金流量。
3) 两者在违约风险上的不同
因为远期合约的每一方当事人都有可能违约，所以他们都可能面临信用风险。而期货合约的违约风险是非常小的，因为与交易所相联的清算所保证了交易另一方的履约。
除了以上这些差异，我们所介绍的期货合约的大部分内容都适用于远期合约。
主要的期货合约有商品期货(如小麦、玉米、大豆、黄金、白银)、股票指数期货(指买入或卖出相应股票指数面值的期货合约，而股票指数面值定义为股票指数乘以某一特定货币金额所得的值，指现金交割，而不是实物交割)、外汇期货合约和利率期货期货等。
2. 期货价格与现货价格的关系
随着期货合约的交割月份的逼近，期货价格收敛于标的资产的现货价格。
当到达交割期限时，期货价格等于或非常接近于现货价格，否则，市场将存在一个明显的无风险的套利机会。我们不妨假设在交割期间，期货价格高于现货价格，则按以下投资策略必然会赢利： 卖空期货合约；买入资产；进行交割。
如果忽略交易费用，其赢利额等于期货价格高于现货价格的那部分。由于金融市场是完全开放透明的，交易者将很快发现这一套利机会，大量地卖空期货合约，并在现货市场上买入资产进行交割，结果导致期货价格下降以及现货价格上升，直至两者相等，套利机会消失；反之亦然。
例如，在某日，12月份的黄金期货的报价为500美元(这一价格不包括佣金)。在该价格上投资者可以买卖12月份交割的黄金。其价格与其他价格一样，是由场内交易决定的(即由供求关系决定)。如果愿意持有期货合约多头的投资者多于愿意持有期货合约空头的投资者，价格就会上升。如果情况相反，价格就会下降。
2.2.2 期货合约的定价1. 远期价格与期货价格的关系  根据一些经济学家的证明，当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有同样的价格。
但是在现实世界中，一般情况下利率变化是无法预测的，则远期价格和期货价格从理论上讲就不相同了。考虑以下情形： 标的资产价格S与利率高度相关。当S上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因每日结算而立即获利。由于S的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润将会以高于平均利率水平的利率进行投资。同样，当S 下降时，投资者立即亏损。亏损将以低于平均利率水平的利率融资。持有远期多头头寸的投资者将不会因利率变动而受到与上面期货合约同样的影响。因此，由于期货合约是每日结算的，对于投资者而言，持有期货多头显然要比持有远期多头更具有吸引力。所以，当S与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。相反，当S与利率的负相关性很强时，由类似上面的讨论可知远期价格比期货价格要高。
在大多数情况下，有效期仅为几个月的远期合约价格与期货合约价格之间的理论差异是小得可以忽略不计的。但是，随着合约有效期的增长，这个差异开始变大。实际上，许多没有反映在理论模型中的因素使得远期价格和期货价格不一样。这些因素包括税收、交易费用、保证金的处理方式等。同时，在一般情况下，期货合约远比远期合约的流动