第一章


函数与极限


高等数学研究的对象是函数，使用的方法是极限.本章我们讨论这两个重要概念.
第一节映射与函数
一、 集合

1. 集合概念
集合是数学中的一个重要概念，它在现代数学的发展中起着非常重要的作用.
集合是指具有某种特定性质的事物的总体，常用大写拉丁字母A、B、C、X、Y等表示.组成集合的事物称为集合的元素，常用小写拉丁字母a、b、c、x、y等表示.
a是集合M的元素表示为a∈M，读作a属于M.如果a不是集合M的元素表示为aM或aM，读作a不属于M.
由有限个元素构成的集合，称为有限集； 由无限多个元素构成的集合，称为无限集.
表示集合的方法通常有以下两种.
列举法： 把集合的全体元素一一列举出来.
例如，由a，b，c，d，e，f，g七个元素组成的集合A，可表示为


A={a，b，c，d，e，f，g}


描述法： 若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表示为


M={x|x具有性质P}.


例如，设M为方程x2-5x+6=0的根构成的集合，可表示为


M={x|x2-5x+6=0}


下面是几个常见的数集： 
N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集： 


N={0，1，2，…，n，…}，N+={1，2，…，n，…}


R表示所有实数构成的集合，称为实数集.
Z表示所有整数构成的集合，称为整数集： 


Z={…，-n，…，-2，-1，0，1，2，…，n，…}.


Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集： 


Q=pqp∈Z，q∈N+且p与q互质


若x∈A，则必有x∈B，则称A是B的子集，记为AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A).
如果集合A与集合B互为子集，AB且BA，则称集合A与集合B相等，记作A=B.
若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB.例如，
NZQR.
不含任何元素的集合称为空集.空集记作，规定空集是任何集合的子集.


2. 集合的运算
设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并)，记作A∪B，即


A∪B={x|x∈A或x∈B}


设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交)，记作A∩B，即


A∩B={x|x∈A且x∈B}


设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差)，记作A＼B，即


A＼B={x|x∈A且xB}


如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称I＼A为A的余集或补集，记作AC.
集合的运算满足下列法则： 
设A、B、C为任意三个集合，则
(1) 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
(2) 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；
(3) 分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；
(4) 对偶律(A∪B)C=AC ∩BC，(A∩B)C=AC ∪BC.
(A∪B)C=AC ∩BC的证明： 
x∈(A∪B)C xA∪B xA且xB x∈A C且x∈BC  x∈AC ∩BC，所以(A∪B)C=AC ∩BC.
设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对(x，y)，把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积(或笛卡儿乘积)，记为A×B，即


A×B={(x，y)|x∈A且y∈B}.


例如，R×R={(x，y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合，R×R常记作R2.
3. 区间和邻域
设a<b，称数集{x|a<x<b}为开区间，记为(a，b)，即


(a，b)={x|a<x<b}


类似地有


［a，b］={x|a ≤x≤b }


称为闭区间，


［a，b)={x|a≤x<b }，(a，b］={x|a<x≤b }


称为半开区间.其中a和b称为区间(a，b)、［a，b］、［a，b)、(a，b］的端点，b-a称为区间的长度.
以上这些区间都称为有限区间.
［a，+∞)={x|x≥a }，
(-∞，b］={x|x≤b }，
(-∞，+∞)={x|| x|<+∞}.

区间(-∞，+∞)即全体实数的集合.
这些区间都称为无限区间.
区间可以在数轴上表示出来，如图1-1所示.


图1-1


以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a).
设δ是一正数，则称开区间(a-δ，a+δ)为点a的δ邻域，记作U(a，δ)，即


U(a，δ)={x|a-δ< x < a+δ}={x|| x-a|<δ}.


其中点a称为邻域的中心，δ 称为邻域的半径(图1-2).


图1-2

点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作U°(a，δ)，即


U°(a，δ)={x |0<| x-a |<δ}


二、 映射
1. 映射的概念
设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作


f : X→Y


其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x)，即


y=f(x)


而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；  集合X称为映射f的定义域，记作Df，即


Df=X


X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为Rf，或f(X)，即


Rf=f(X)={f(x)|x∈X}


需要注意的问题： 
(1) 构成一个映射必须具备以下三个要素： 集合X，即定义域Df=X；  集合Y，即值域的范围RfY；  对应法则f，使对每个x∈X，有唯一确定的y=f(x)与之对应.
(2) 对每个x∈X，元素x的像y是唯一的；  而对每个y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的；  映射f的值域Rf是Y的一个子集，即Rf Y，不一定Rf=Y.
例1-1设f: R→R，对每个x∈R，f(x)=x2.
显然，f是一个映射，f的定义域Df=R，值域Rf={y|y≥0}，它是R的一个真子集.对于Rf 中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.
例1-2设X={(x，y)|x2+y2=1}，Y={(x，0)||x|≤1}，f : X →Y，对每个(x，y)∈X，有唯一确定的(x，0)∈Y与之对应.
显然f是一个映射，f的定义域Df=X，值域Rf=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间［-1，1］上.
例1-3f: -π2，π2→［-1，1］，对每个x∈-π2，π2，f(x)=sinx.
f是一个映射，定义域Df=-π2，π2，值域Rf=［-1，1］.
设f是从集合X到集合Y的映射，若Rf=Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；  若对X中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为X到Y的单射；  若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).
上述三例各是什么映射？
2. 逆映射与复合映射
设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf，有唯一的x∈X，适合f(x)=y，于是，我们可定义一个从Rf 到X的新映射g，即


g: Rf →X


对每个y∈Rf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射，记作f-1，其定义域Df-1=Rf，值域Rf-1=X.
按上述定义，只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？
设有两个映射


g: X→Y1，f: Y2→Z


其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映射成f［g(x)］∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg，即


fg: X →Z
(fg)(x)=f［g(x)］，x∈X


注意： 映射g和f构成复合映射的条件是： g的值域Rg必须包含在f的定义域内，RgDf.否则，不能构成复合映射.由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，fg有意义并不表示gf也有意义.即使fg与gf都有意义，复映射fg与gf也未必相同.
例1-4设有映射g: R→［-1，1］，对每个x∈R，g(x)=sinx，映射f : ［-1，1］→［0，1］，对每个u∈［-1，1］，f(u)=1-u2.则映射g和f构成复映射fg: R→［0，1］，对每个x∈R，有


(fg)(x)=f［g(x)］=f(sinx)=1-sin2x=|cosx|


三、 函数
1. 函数概念
定义1-1设数集DR，则称映射f: D →R为定义在D上的函数，通常简记为


y=f(x)，x∈D


其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D.
注意： 记号f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“f(x)，x∈D”或“y=f(x)，x∈D”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数f.
函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其他字母，例如“F”，“φ”等.此时函数就记作y=φ(x)，y=F(x).
函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.
函数的定义域通常按以下两种情形来确定： 一是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定； 二是取使运算式子有意义的自变量值的全体.
例1-5求函数y=1x-x2-4的定义域.
解要使函数有意义，必须x≠0，且x2-4≥0.
解不等式得| x |≥2.

所以函数的定义域为D={x|| x |≥2}，或D=(-∞，-2］∪［2，+∞).
在函数的定义中，对每个x∈D，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x∈D，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2 给出.显然，对每个x∈［-r，r］，由方程x2+y2=r2可确定出对应的y值，当x=r或x=-r时，对应y=0一个值；  当x取(-r，r)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.
对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中，附加“y≥0”的条件，即以“x2+y2=r2且y≥0”作为对应法则，就可得到一个单值分支y=y1(x)=r2-x2；  附加“y≤0”的条件，即以“x2+y2=r2且y≤0”作为对应法则，就可得到另一个单值分支y=y2(x)=-r2-x2.
表示函数的主要方法有三种： 表格法、图形法、解析法(公式法)，这在中学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集


{P(x，y)|y=f(x)，x∈D}


称为函数y=f(x)，x∈D的图形(图1-3).图1-3中的Rf 表示函数y=f(x)的值域.
下面是几个特殊函数的例子.
例1-6函数


y=|x|=x，x≥0

-x，x<0


称为绝对值函数(图1-4).其定义域为D=(-∞，+∞)，值域为Rf=［0，+∞).



图1-3




图1-4



例1-7函数


y=sgnx=1，x>0
0，x=0
-1，x<0


称为符号函数(图1-5).其定义域为D=(-∞，+∞)，值域为Rf={-1，0，1}.
例1-8设x为任一实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］.函数


y=［x］


称为取整函数(图1-6).其定义域为D=(-∞，+∞)，值域为Rf=Z.



图1-5




图1-6



例如，57=0，［2］=1，［π］=3，［-1］=-1，［-3.5］=-4.
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
例1-9函数
y=2x，0≤x≤1

1+x，x>1
这是一个分段函数，其定义域为D=［0，1］∪(0，+∞)=［0，+∞).
当0≤x≤1时，y=2x；  当x>1时，y=1+x.
例如，f12=212=2；  f(1)=2 1 =2；  f(3)=1+3=4.这个函数的图形如图1-7所示.


图1-7

2. 函数的几种特性
1) 函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集XD.如果存在数K1，使对任一x∈X，有f(x)≤K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方.
如果存在数K2，使对任一x∈X，有f(x)≥ K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是，函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方.
如果存在正数M，使对任一x∈X，有| f(x) |≤M，则称函数f(x)在X上有界；  如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.图形特点是，函数y=f(x)的图形在直线y=-M和y=M之间.
函数f(x)无界，就是说对任何M，总存在x1∈X，使| f(x)|> M.
例如
(1) f(x)=sinx在(-∞，+∞)上是有界的： |sinx|≤1.
(2) 函数f(x)=1x在开区间(0，1)内是无上界的.或者说它在(0，1)内有下界，无上界.
这是因为，对于任一M >1，总有x1:0<x1<1M<1，使


f(x1)=1x1>M


所以函数无上界.
函数f(x)=1x在(1，2)内是有界的.
2) 函数的单调性
设函数y=f(x)的定义域为D，区间I D.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有


f(x1)< f(x2)


则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(图1-8).
如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有


f(x1)> f(x2)


则称函数f(x)在区间I上是单调减少的(图1-9).



图1-8




图1-9



单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
例如，函数y=x2在区间(-∞，0］上是单调增加的，在区间［0，+∞)上是单调减少的，在(-∞，+∞)上不是单调的.
3) 函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D，则-x∈D).如果对于任一x∈D，有


f(-x)=f(x)


则称f(x)为偶函数(图1-10).
如果对于任一x∈D，有


f(-x)=-f(x)


则称f(x)为奇函数(图1-11)



图1-10




图1-11



偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
例如，y=x2，y=cosx 都是偶函数.y=x3，y=sinx都是奇函数，y=sinx+cosx是非奇非偶函数.
4) 函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±l)∈D，且


f(x+l)=f(x)




图1-12

则称f(x)为周期函数(图1-12)，l 称为f(x)的周期.
周期函数的图形特点： 在函数的定义域内，每个长度为l 的区间上，函数的图形有相同的形状.
例1-10狄利克雷(Dirichlet)函数


D(x)=1，x∈Q

0，xQ


容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.
3. 反函数与复合函数
设函数f: D→f(D)是单射，则它存在逆映射f-1: f(D)→D，称此映射f-1为函数f的反函数.
按此定义，对每个y∈f(D)，有唯一的x∈D，使得f(x)=y，于是有


f-1(y)=x


这就是说，反函数f-1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.
一般地，y=f(x)，x∈D的反函数记成y=f-1(x)，x∈f(D).


图1-13


若f是定义在D上的单调函数，则f : D→f(D)是单射，于是f的反函数f-1必定存在，而且容易证明f-1也是f(D)上的单调函数.
把函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x是对称的(图1-13).这是因为如果P(a，b)是y=f(x)图形上的点，则有b=f(a).按反函数的定义，有a=f-1(b)，故Q(b，a)是y=f-1(x)图形上的点；  反之，若Q(b，a)是y=f-1(x)图形上的点，则P(a，b)是y=f(x)图形上的点.而P(a，b)与Q(b，a)是关于直线y=x对称的.
复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述.
设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)在D上有定义且g(D) D1，则由下式确定的函数