第一章


随机事件及其概率

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科.自20世纪以来，它广泛应用于工业、农业、国防、教育等各个方面.本章将介绍随机事件及其概率，这是概率论中最基本、最重要的概念之一.
第一节随机事件及其关系
〖*4/5〗
一、 随机现象与随机试验

在一定的条件下，无法准确预知其结果的现象称为随机现象.在自然界和现实生活中，随机现象到处可见，如掷一枚硬币、掷一枚骰子、明天沪市的大盘点数等.
和随机现象相对立的另一类现象称为确定性现象，即在一定的条件下必定出现的现象.如： 每天早上太阳从东方升起，作匀速直线运动的物体在不受外力的作用下不会改变其运动状态、在1标准大气压下水加热到100℃会沸腾等.
在相同的条件下可重复的随机现象又称为随机试验.在自然界和现实社会生活中，有些随机现象是可以重复的，如上面提到的掷硬币、掷骰子等； 而有些随机现象是不能够重复的，如某场足球比赛的输赢是不能重复的，某些经济现象(如就业率、GDP的增长速度)也是不能重复的.对于可重复的随机现象，人们可从大量的重复的随机试验中来发现其规律性，这种规律性我们把它称为随机现象的统计规律性.
历史上，研究随机现象的统计规律性最著名的试验有掷硬币试验、英文字母的频率试验等.表11和表12分别是历史上这两种试验的记录.


表11历史上掷硬币试验的若干结果



试验者掷硬币次数出现正面次数频率

De Morgan204810610.5181
Buffon404020480.5069
Feller1000049790.4979
Pearson1200060190.5016
K Pearson24000120120.5005


由表11可以看出，随着试验次数的增加，正面出现的频率越来越明显地呈现出稳定性，即正面出现的频率大致是在0.5这个数字的附近摆动.


表12英文字母的使用频率



字母使 用 频 率字母使 用 频 率字母使 用 频 率

A0.0788J0.0010S0.0634
B0.0156K0.0060T0.0978
C0.0268L0.0394U0.0280
D0.0389M0.0244V0.0102
E0.1268N0.0706W0.0214
F0.0256O0.0776X0.0016
G0.0187P0.0186Y0.0202
H0.0573Q0.0009Z0.0006
I0.0707R0.0594


由表12可以看出，英文中某些字母(如E，T，A)等出现的频率要高于另外一些字母(如Z，Q，J).但是，大量的统计数字表明，各个字母使用的频率却相当稳定，这一统计规律性对于计算机键盘的设计、信息的编码等方面都是十分有用的.




〖1〗〖2〗〖3〗概率论与数理统计

第一章随机事件及其概率
〖3〗

二、 样本空间与随机事件
对于一个随机试验，虽然在试验的结果中所有可能的结果是知道的，并且一次试验有且仅有一个结果出现，但在试验前却无法预知哪一个结果将出现.在此，我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点，通常用字母ω表示，试验的所有样本点ω1,ω2,…,ωn,…构成的集合称为样本空间，记为Ω，即Ω={ω1,ω2,…,ωn,…}.
例1.1设试验为掷一枚硬币，则有两个样本点： ω1=“正面向上”，ω2=“反面向上”，则样本空间可记为： Ω={ω1,ω2}.
例1.2观察某一商场一天内出现的顾客数，其样本点有可数无穷多个i(i=0,1,2,…)，则样本空间可简记为： Ω={0，1，2，…}.
例1.3设试验为测量车床加工零件的直径，则有样本点ωx=“测得零件的直径为x
mm”(a≤x≤b)，于是样本空间为不可数无穷多个样本点构成的集合： 

Ω={ωx|a≤x≤b}

随机试验的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，通常用大写字母A、B、C等表示.例如，在掷一枚骰子试验中，A=“出现偶数点”即是一个随机事件，且A={2,4,6}.
由上随机事件的定义我们可以看出： 
(1) 任一随机事件A是相应样本空间的一个子集； 
(2) 在一次试验中，当事件A中的某个样本点出现了，就说事件A发生了； 
(3) 由样本空间Ω中一个元素组成的子集称为基本事件，而样本空间Ω称为必然事件，空集称为不可能事件.
掷一枚骰子，其样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，事件A=“出现奇数点”，即A={1，3，5}； 事件B=“出现4点”，即B={4}，为一基本事件； 事件C=“点数小于7”，即C=Ω，为必然事件； 事件D=“点数大于6”，即D=，为不可能事件.
三、 随机事件间的关系与运算
由于任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件的关系及运算与集合的关系及运算是完全类似的.在下面的讨论中，我们叙述事件的关系和运算所采用的符号也与集合的关系及运算基本上是一致的.
(1) 若AB，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B.其含义是事件A
的发生必将导致事件B的发生，显然AΩ.
(2) 若A=B，则称事件A与事件B相等.其含义是事件A(或B)的发生必将导致事件B(或A)的发生，即AB且BA.
(3) 事件A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}称为事件A与事件B的并(和)，其含义是当且仅当事件A，B中至少有一发生时事件A∪B才发生.
“n个事件A1,A2,…,An中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A1,A2,…,An的并，记作A1∪A2∪…∪An(简记为∪ni=1Ai).
(4) 事件A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}称为事件A与B的交(积)，其含义是当且仅当事件A,B同时发生时事件A∩B发生，事件A∩B可简记为AB.
 “n个事件A1,A2,…,An都发生”这一事件叫做事件A1,A2,…,An的交，记作A1∩A2∩…∩An或A1A2…An(简记为∩ni=1Ai).
(5) 事件A-B={ω|ω∈A且ωB}称为事件A与B的差，其含义是当且仅当事件A发生且事件B不发生时事件A-B发生.
(6) 若A∩B=，则称二事件A与B是互不相容的(或互斥的)，其含义是二事件A与B不可能同时发生.
(7) A∩B= 且 A∪B=Ω，则称事件A与事件B是对立的(或互逆的)，称事件A为事件B的对立事件(逆事件).其含义是，对于每一次试验而言，事件A
与事件B有且仅有一个必然发生，事件A的逆事件记为，显然=Ω-A.
(8) 互不相容的完备事件组
设A1,A2,…,An为有限个事件，若满足： 
① AiAj=,1≤i<j≤n； 
② ∪ni=1Ai=Ω

则称A1,A2,…,An构成了一个互不相容的完备事件组，也称A1,A2,…,An是样本空间Ω的一个划分.显然，事件A和构成一互不相容的完备事件组.
事件的关系及运算也可见下面的文氏图(图11~图13)： 



图11AB




图12A∩B




图13A∪B



事件的运算规律与集合的运算规律类似.设A,B,C为三个随机事件，有
(1) 交换律： A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； 
(2) 结合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(AB)C=A(BC)； 
(3) 分配律： A(B∪C)=AB∪AC，A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)； 
(4) 德摩根(De Morgen)定律： A∪B=，AB=∪(两个事件)，∪ni=1Ai=∩ni=1Ai，∩ni=1Ai=∪ni=1Ai(多个事件)； 
(5) 自反律： =A.
例1.4检查产品质量时，从一批产品中任意抽取5件样品进行检查，若用Ai表示发现i
件次品，i=0,1,…,5，则可能的结果是： A0,A1,…,A5，用Ai表示下列事件： 
(1) “发现2件或3件次品”(事件B)，则B=A2∪A3； 
(2) “最多发现2件次品”(事件C)，则C=A0∪A1∪A2； 
(3) “至少发现1件次品”(事件D)，则D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5或D=A0.
例1.5设A,B,C表示3个随机事件，试通过A、B、C表示下列随机事件.
(1) A发生而B,C不发生： A； 
(2) A,B都发生而C不发生： AB； 
(3) A,B,C都发生： ABC； 
(4) A,B,C至少有1件发生： A∪B∪C； 
(5) A,B,C至少有2件发生： AB∪BC∪AC； 
(6) A,B,C都不发生： 或A∪B∪C； 
(7) A,B,C不多于1件发生： ∪A∪B∪C； 
(8) A,B,C不多于2件发生： ABC； 
(9) A,B,C恰有2件发生： AB∪AC∪BC.
第二节随机事件的概率及性质
在这一节中，我们将给出随机事件概率的定义及确定方法，这是概率论中最基本的一个问题.简单而直观的说法就是： 概率是随机事件发生的可能性的大小，虽然在一次试验中一个随机事件A是否发生不能确定，但是事件A发生可能性的大小——概率却是可以确定的. 
一、 概率的统计定义
定义1.1若在相同的条件下重复进行n次试验，其中事件A发生的次数为rn(A)，则称

fn(A)=rn(A)/n

为事件A发生的频率.
显然，随机事件的频率具有如下性质： 
(1) 0≤fn(A)≤1
(2) fn(Ω)=1
(3) 设A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则

fn(A1∪A2∪…∪An)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(An)


由上一节掷硬币试验和英文字母的频率等试验我们可以看出，在大量重复试验中，随机事件的频率存在着某种客观规律性——频率的稳定性，也即在事件A发生的频率fn(A)总是在一个确定的数字p附近，而且偏差随着试验次数的增大而越来越小，这就是频率的稳定性，由此我们引出概率的统计定义.
定义1.2在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数n增大而稳定地在一个确定的数字p(0≤p≤1)附近摆动，称p为事件A的概率，记为P(A).
由此定义可以看出，利用概率的统计定义来估计某一事件A的概率时，试验次数必须要充分大.如上面提到的掷硬币试验中，事件“正面向上”的概率为0.5.
二、 概率的公理化定义
上述概率的统计定义只适合于一类随机现象(可重复进行)，它并不适合于一切随机现象，对于随机事件概率的更一般的定义最早于1900年由希尔伯特提出.1933年，苏联数学家科尔莫格洛夫给出了概率的公理化定义，只要满足定义中的三条公理，都可以说是概率.这一公理化体系很快获得了举世公认，可以说概率的公理化定义的给出是概率论发展史上的一座里程碑.
定义1.3设E为一随机试验，Ω为其样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数P(A)
，若P(A)满足下列三个条件： 
(1) 非负性公理： P(A)≥0； 
(2) 正则性公理： P(Ω)=1； 
(3) 可列可加性公理： 若A1,A2,…,An，…互不相容，有

P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai)

则称P(A)为事件A的概率.
概率的公理化定义并没有告诉人们如何去确定随机事件的概率.历史上，公理化定义出现之前，概率的统计定义、古典定义及几何定义等都从不同的场合给出了计算事件概率的方法，所以在有了概率的公理化定义之后，把它们看做确定概率的方法是恰当的.
三、 概率的性质
利用概率的公理化定义，可以推出概率的一系列性质，以下我们逐个给出概率的一些常用性质.
性质1.1P()=0
证明由于Ω=Ω∪∪∪…∪∪…，根据可列可加性公理可得

P(Ω)=P(Ω)+P()+P()+…+P()+…

由正则性公理P(Ω)=1得

P()+P()+…+P()+…=0

再由非负性公理知P()=0.
性质1.2(有限可加性)若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件组，则有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1.1)

证明令Ak=,k>n，则A1,A2,…,An，…两两互不相容，根据可列可加性公理得

 P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai)=∑ni=1Ai


性质1.3P()=1-P(A)(1.2)
证明由于A与互不相容，且A∪=Ω，由性质1.2可得

P(A)+P()=1，即P()=1-P(A)

性质1.4P(A-B)=P(A)-P(AB)(1.3)
证明因为A-B=A，而A=A∩Ω=A∩(B∪）=AB∪A，且AB与A互不相容，由性质1.2可得P(A)=P(AB)+P(A），进一步可得P(A-B)=P(A)-P(AB).
推论1.1若AB，则

P(A-B)=P(A)-P(B)(1.4)
推论1.2若AB，则

P(A)≥P(B)
性质1.5对任意两个事件A、B,有

 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)(1.5)

证明因为A∪B=A∪B∪AB，且事件A、B、AB两两互不相容，则

P(A∪B)=P(A）+P(B)+P(AB)

而P(A）=P(A)-P(AB)，P(B)=P(B)-P(AB)，进一步可得

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

性质1.5一般称为概率的加法定理，而且两个事件的加法定理可推广到一般情况.对于n个事件A1,A2,…,An，有

P∪ni=1Ai=∑ni=1P(Ai)-∑1≤i<j≤nP(AiAj)+∑1≤i<j<k≤nP(AiAjAk)

+…+(-1)n-1P(A1A2…An)(1.6)

例1.6已知随机事件A,B,A∪B的概率分别是0.5，0.6和0.7，求P(A-B)和P(B-A).
解由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)可得P(AB)=0.4
，所以

P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.1

P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.2

四、 古典概型与几何概型
1. 古典概型



确定概率的古典方法是概率论历史上最开始研究的情形，它简单、直观，不需要做大量重复试验，因此也是实际应用中最常用的一种概率模型.古典概型的基本思想如下： 
(1) 随机试验E的样本空间中只有有限个(n个)样本点； 
(2) 每个样本点在一次试验中出现的可能性是相同的； 
(3) 若事件A中含有m个样本点，则事件A的概率为

P(A)=mn(1.7)

并称此概率为古典概率.
例1.7从0，1，…，9十个数字中任取一个数字，求取得奇数数字的概率.
解随机试验的样本空间Ω={0，1,2,…,9}，样本空间中样本点的个数n=10，取得奇数数字这一随机事件A={1,3,5,7,9}，其包含样本点的个数为： m=5，且此概率类型为古典概型，则由式(1.7)可得

P(A)=mn=0.5

注： 在本例中，由于样本空间中样本点的个数比较少，我们可以轻松地把它们一一列举出来，根据古典概型中随机事件概率的计算公式求出其概率.但是，对于一些随机试验，样本空间中样本点的个数比较多，不方便把它们一一列举出来，而实际上对于求某随机事件的概率，我们只需要知道这里的n和m就够了.
例1.8一个袋子中有100个黑球和50个白球，从中任取2个，求取出的2个球都是黑球的概率.
解样本空间中样本点的个数n=C2150=11175，“取出的2个球都是黑球”这一随机事件A中样本点的个数m=C2100=4950，则

P(A)=mn=495011175=66149


例1.9袋子中有a个白球和b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回.接连取k个球(1≤k≤a+b)，求第k次取得白球的概率.
解由于考虑到取球的顺序，我们可以认为： 袋子中的a个白球和b个黑球都是有区别的，所以样本空间中可能的样本点的个数为

n=Aka+b=(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)

设事件Ak表示第k次取得白球，由于第k次取得的白球可以是a个白球中的任一个，故有a种取法； 而其余k-1个球可在前k-1次中依次从a+b-1个球中任意取出，故有Ak-1a+b-1种取法.所以，事件Ak包含的样本点的个数为

m=a·Ak-1a+b-1=a·(a+b-1)(a+b-2)…(a+b-k+1)

所求的概率为

P(Ak)=mn=a·(a+b-1)(a+b-2)…(a+b-k+1)(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)=aa+b

注： 由此例可以看出，所求的概率与k是没有关系的，这说明无论哪一次取得白球的概率都是一样的.此例和我们现实生活中许多情形是类似的，如抽奖时，先抽和后抽中奖的概率都是一样的.
2. 几何概型
古典概型是假设试验的样本空间包含的样本点的个数为有限个时的情形，因此对于试验的样本点为无穷多个的情形，概率的古典定义显然是不适用的.这里，我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域、立体空间等的等可能试验的概率模型——几何概型.其基本思想是： 
(1) 某一随机试验的样本空间Ω充满某个区域，其度量(长度、面积、体积等)大小用μΩ来表示； 
(2) 任一点落在度量相同的子区域是等可能的； 
(3) 若事件A为样本空间Ω的一个子区域，其度量大小用μA来表示，则事件A的概率为


P(A)=μAμΩ(1.8)

例1.10在区间［-1,1］中随机地任取一点，求事件“此点与原点的距离小于0.5”的概率.
解随机试验的样本空间Ω为线段［-1,1］，其长度μΩ=2，设事件A=“此点与原点的距离小于0.5”，即A=(-0.5,0.5)，则其长度为μA=1，根据概率的几何意义，可得

 P(A)=μAμΩ=0.5


例1.11(会面问题)甲、乙二人相约在上午8： 00—8： 30内在某地点会面，先到的人等候另一人，经过20分钟后方可离开.求甲、乙二人会面的概率.假设他们在上午8： 00—8： 30内的任一时刻到达约会地点是等可能的.
解设甲、乙二人到达指定点的时刻分别为x和y(8： 00为起始点)，则样本空间为

Ω={(x,y)|0≤x,y≤30}
设事件A表示二人能会面，则

A={(x,y)||x-y|≤20,0≤x,y≤30}

由于甲、乙二人在任一时刻到达约会地点是等可能的，显然，这是一个几何概型，有

P(A)=μAμΩ=302-102302=89


第三节条件概率与乘法定理
〖*4/5〗
一、 条件概率

如果我们在事件B已经发生的条件下考虑事件A的概率，则这种概率叫做事件A
在事件B已发生的条件下的条件概率，记作： P(A|B).它一般是与P(A)不同的.
例1.12某种机器零件由甲乙两台车床生产，从中取出100件，其产品结构如表13所示.


表13



合 格 品 数次品数总计
甲车床401050
乙车床45550
总计8515100




从这100个零件中任取一件，则取得次品(设为事件A)的概率为

P(A)=15100=0.15

如果已知取出的零件是由甲车床生产的(设为事件B)，则其为次品的概率为

P(A|B)=1050=0.2

显然P(A|B)≠P(A)，若对上面条件概率P(A|B)的分子、分母同时除以100，则可得

P(A|B)=10/10050/100=P(AB)P(B)

其中事件AB=“甲车床生产的次品率”.若将上述关系式推广到一般情形，便得到条件概率的定义.
定义1.4设A,B为两个随机事件，且P(B)>0，则称

P(A|B)=P(AB)P(B)(1.9)

为事件B发生的条件下，事件A的概率.
注： 由例1.12可以看出，一般情况下，P(A|B)≠P(A)，这是因为P(A)是在整个样本空间Ω上考察事件A发生的概率，而计算P(A|B)
时，样本空间发生了改变，由原来的集合Ω变成了现在的集合B，因此，一般P(A|B)≠P(A).
由于条件概率也是概率的一种，因此，概率的公理化体系对于条件概率也是适合的，即
(1) P(A|B)≥0
(2) P(Ω|B)=1
(3) 设A1,A2,…,An是两两互不相容的事件组，则

P(A1∪A2∪…∪An|B)=P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)

(1.10)

例1.13掷两颗骰子，以事件A表示“两点数之和为10”，以事件B表示“第一颗点数大于第二颗点数”，求下列条件概率P(A|B)和P(B|A).
解试验的样本空间中样本点的个数为n=36； 
事件A中样本点的个数为mA=3； 
事件B中样本点的个数为mB=15； 
事件AB中样本点的个数为mAB=1； 
所以

P(A|B)=P(AB)P(B)=115，P(B|A)=P(AB)P(A)=13


二、 乘法定理
由上条件概率的定义经过变形之后立即可得

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(1.11)