质点运动学
自然界是由物质组成的，一切物质都在不停地运动着。在自然界中，既没有不运动的物质，也没有脱离物质的运动。物体的运动形式是多种多样的，如机械运动、电磁运动及分子热运动等。机械运动是一种最简单的运动形式。我们通常用位移、速度、加速度等物理量描述物体的运动，并以此来区分不同的运动状态。在运动学中并不涉及物体间的相互作用，即物体产生运动的原因。
1.1 基本概念
1.1.1 参考系  
所有物体都在不断地运动，绝对静止的物体是不存在的。然而从观察者的角度来看，判断物体的运动与否是相对的。我们坐在火车上观察行李架上的行李都是静止的，但从地面上看，这些行李是以每小时几十、几百公里的速度在疾驰。因此，要准确描述物体的位置及运动状态，必须先选择一个参照物，选择的参照物不同，对同一物体的运动描述也不相同。这里选择的参照物称为参考系。在描述物体的运动时，必须指明是相对于什么参考系而言的。例如，我们经常描述物体相对于地面的运动，这时一般选取地面为参考系。地面参考系也称为实验室参考系。
要定量地描述物体的运动，还需要在参考系的基础上建立坐标系，如常用的直角坐标系、极坐标系等。我们用物体在坐标系中位置参数的变化来描述它的运动状态。
1.1.2 质点
运动中的物体上的各个点的运动状态是不完全一致的，并且物体的形状大小及其变化对物体的运动也有一定的影响。但是在某些情况下，这些因素对于我们所要描述的运动的影响可以忽略不计，这时可以把物体看作是一个有质量的点来简化这个物理模型。
例如，研究子弹出膛后的运动时，子弹的实际运动是短距离内向前方的直线运动和绕自身中轴线的旋转，若要计算从出膛到命中目标这一段的时间及速度，则可以忽略子弹的形状及自转，把子弹看作是一个直线运动的质点来处理。
一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是取决于研究问题的性质。例如当研究地球绕太阳的公转时可以将地球看作质点来处理，而研究地球的自转时，就不能把地球当做质点。
1.2 质点运动学方程
下面我们用矢量这个数学工具来讲述质点的位置矢量、运动学方程的概念。
1.2.1 位置矢量
若我们要描述飞机的运动，首先选择地面为参考系，并把飞机视为质点，记为P。为了定量地描述飞机的位置及位置随时间的变化关系，图1.1 P点的位置矢量
在地面任选一点为参考点O并建立直角坐标系，如图1.1所示。
由参考点O引向质点P所在位置的矢量称为质点的位置矢量(简称为位矢)，用r=OP表示。r在直角坐标系Oxyz中的正交分解形式为r=xi+yj+zk (1-1)其中x、y和z分别为r在坐标轴上的坐标，i、j和k分别为沿Ox轴、Oy轴和Oz轴上的单位矢量。矢量r的大小为|r|=x2+y2+z2位置矢量r的方向余弦为cosα=xr, cosβ=yr, cosγ=zr且cos2α+cos2β+cos2γ=1。其中α、β、γ分别为位置矢量r与Ox轴、Oy轴和Oz轴的夹角。
1.2.2 运动学方程
在质点运动的任意时刻，都有一位置矢量与之对应。在任意时刻t，质点P的位置矢量用函数r(t)表示，记为r=r(t)(1-2a)此式称为质点的运动学方程。它在直角坐标系中的正交分解形式为r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k(1-2b)x(t)、y(t)和z(t)分别为r(t)在Ox、Oy和Oz轴上的投影。
运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的运动方程，也可以说知道运动方程，就可以解决该质点的运动问题。
质点运动时所描绘出的轨迹(即位置矢量的矢端所画出的曲线)的轨迹方程可由在x(t)、y(t)和z(t)函数中消去参数t求得。
设一个质点的运动方程为r(t)=x(t)i+y(t)j，可知这个质点是在Oxy平面内运动，从x=x(t), y=y(t)中消去t得y=y(x)  (1-3)此即质点的轨迹方程。
1.2.3 位移
设质点沿如图1.2所示的轨迹运行，在t时刻位于A点，位置矢量为r(t)，在t+Δt时刻位于B点，位置矢量为r(t+Δt). 图1.2 位移矢量我们用这两个矢量之差Δr=r(t+Δt)-r(t)(1-4a)来表示质点在时间Δt内位置的变化，并把矢量Δr称为质点在这段时间内的位移。
位移Δr在直角坐标系下的分解形式可写为
   r(t+Δt)=x(t+Δt)i+y(t+Δt)j+z(t+Δt)k,
   r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
两式相减得Δr=［x(t+Δt)-x(t)］i+［y(t+Δt)-y(t)］j
+［z(t+Δt)-z(t)］k
=Δxi+Δyj+Δzk   (1-4b)此式表明位移可由位置坐标的增量决定。
应当注意，位移只给出质点在一段时间内位置变动的结果，并未给出质点运动的路径。一般来说，位移不表示质点在其轨迹上所经路径的长度。例如，运动员在400m的跑道上跑了一圈，但他在这段时间内的位移为零。我们一般用路程描述质点沿轨迹的运动: 质点在一段时间内沿其轨迹所经过路径的总长度称为路程。所以，质点的位移和路程是两个不同的概念，只有在Δt取无穷小的极限情况下，位移的大小|dr|才可以视作与路程相同。
1.2.4 速度
速度是描述质点运动快慢和方向的物理量。要全面描述质点的运动状态，还需要确定质点的瞬时速度。
图1.3 平均速度
我们考虑质点平面运动的情况，如图1.3所示，质点沿轨迹ABCD作曲线运动。定义质点由B点运动到C点的位移Δr=r(t+Δt)-r(t)与发生这一位移的时间间隔Δt之比为质点在这段时间内的平均速度，记作-, -=ΔrΔt=r(t+Δt)-r(t)ΔtΔr是矢量，1/Δt是标量，故平均速度-是矢量且方向和Δr一致。
平均速度-在直角坐标系Oxyz下的正交分解形式可写为-=ΔrΔt=Δxi+Δyj+ΔzkΔt=vxi+vyj+vzkvx、vy和vz分别是平均速度-在Ox、Oy和Oz轴上的投影。
平均速度粗略地描述了质点在一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，近似程度与所取时间间隔有关。显然，Δt越小，近似程度就越好。我们定义当Δt→0时，平均速度的极限值称为质点在t时刻的瞬时速度(简称速度)，用表示，即=limΔt→0ΔrΔt=drdt(1-5a)式(1-5a)表明质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率或一阶导数。在国际单位制中，速度单位为m·s-1。瞬时速度是一个矢量，它的方向沿轨迹曲线在质点所在处的切线并指向质点前进的方向，其大小v=limΔt→0|Δr|Δt=drdt称为瞬时速率。
速度在直角坐标系Oxyz下的正交分解形式可写为=drdt=dxdti+dydtj+dzdtk=vxi+vyj+vzk (1-5b)其中vx=dxdt,  vy=dydt,  vz=dzdt即瞬时速度矢量的投影等于位置坐标对时间的一阶导数。
瞬时速度的大小和方向余弦可分别表示为||=v2x+v2y+v2z
cosαv=vxv,  cosβv=vyv,  cosγv=vzv  瞬时速度和瞬时速率都与一定的时刻对应，很难直接测量。在实验中一般用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，现在瞬时速度的测量已经能够达到很高的精度了。
【例1.1】 一个质点在x轴上作直线运动，运动方程为x=2t3+4t2+8，式中x的单位为m, t的单位为s，求: ①任意时刻的速度； ②在t=2s和t=3s时刻，物体的位置和速度； ③在t=2s到t=3s时间内，物体的平均速度。
图1.4 例1.2图【解】 ①由速度的定义式，可求得v=dxdt=d(2t3+4t2+8)dtm·s-1=6t2+8tm·s-1  ② t=2s时,x=(2×23+4×22+8)m=40m
v=(6×22+8×2)m·s-1=40m·s-1t=3s时,x=(2×33+4×32+8)m=98m
v=(6×32+8×3)m·s-1=78m·s-1  ③ v-=ΔxΔt=98-403-2m·s-1=58m·s-1
【例1.2】 如图1.4所示，A、B两物体由一长为l的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定的速率v向左滑行，当α=60. 时，问物体B的速率为多少？
【解】 建立坐标系，如图1.4所示，物体A的速度为A=vxi=dxdti=-vi(1)物体B的速度为B=vyj=dydtj            		(2)由于OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度l为一常量，则有x2+y2=l2由于x、y是时间的函数，则两边求导可得2xdxdt+2ydydt=0即			   dydt=-xydxdt由式(2)可得B=-xydxdtj因为dxdt=-v, tanα=xy  所以B=vtanαj即B的方向沿y轴正向，当α=60. 时，物体B的速度大小为vB=1.73v. 
1.2.5 加速度
在质点运动过程中，瞬时速度的大小和方向都可能变化，我们引入加速度的概念来衡量速度的变化。 图1.5 曲线运动的加速度

如图1.5所示，设质点在t时刻的速度为(t)，经Δt后速度变为(t+Δt)，则速度矢量的改变量为Δ=(t+Δt)-(t), Δ与发生这一变化所用时间Δt之比Δ/Δt称为这段时间内的平均加速度，记为a-, a-=ΔΔt  平均加速度a-在Δt→0时的极限值称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度，记为a，即a=limΔt→0ΔΔt=ddt      (1-6)即质点的加速度等于速度对时间的变化率或一阶导数。
由=limΔt→0ΔrΔt=drdt, 可得a=d2rdt2(1-7)即质点的加速度等于位置矢量对时间的二阶导数。
加速度a在直角坐标系Oxyz下的正交分解形式可写为a=ddt=dvxdti+dvydtj+dvzdtk=axi+ayj+azk   (1-8)其中ax=dvxdt=d2xdt2,  ay=dvydt=d2ydt2,  az=dvzdt=d2zdt2  在国际单位制中，加速度的单位为m·s-2。加速度是矢量，它的大小为|a|=a2x+a2y+a2z。加速度的方向为Δt→0时，速度增量Δ的极限方向。加速度的方向一般不与同一时刻速度的方向一致，而是指向质点轨迹曲线凹的一边。
【例1.3】 设某质点沿x轴运动，在t=0时的速度为v0，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为k(k>0)，试求速度随时间变化的关系式。
【解】 由题意及加速度的定义式，可知a=-kv=dvdt可得dvv=-kdt积分∫vv0dvv=∫t0-kdt图1.6 平面极坐标系得ln vv0=-kt所以v=v0e-kt因而速度的方向保持不变，但速度的大小随时间增大而减小，直到速度等于零为止。
1.3 圆周运动
本节我们讨论一种常见的曲线运动--圆周运动。掌握了圆周运动的规律，再去讨论一般的曲线运动就容易多了。圆周运动也是研究刚体定轴转动的基础。
1.3.1 平面极坐标系
在描述质点的平面运动时，可在该平面建立极坐标系，如图1.6所示。在参考系内取点O，引有刻度的射线Ox作为极轴，即可构成极坐标系。对于坐标系内的点A，由O点引线段OA，长度为r，称r为质点的矢径。由极轴Ox逆时针旋转至OA的角度θ称为质点的辐角，通常规定自极轴逆时针旋转至位置矢量的辐角为正，反之为负。则A点的位置可由坐标(r,θ)确定，这种坐标系称为平面极坐标系。质点A在平面直角坐标系中的坐标(x,y)与在平面极坐标系中的坐标(r,θ)之间的关系为x=rcosθ,  y=rsinθ1.3.2 圆周运动的速度
一质点在Oxy平面内做圆周运动，如图1.7所示，它和圆心的距离r为常数。如果以圆心为参考点O建立平面极坐标系，无论质点运动到何处，它的坐标(r,θ)中的r始终为常数，故我们只需考虑角坐标θ的变化，即只需考虑角坐标函数θ(t)的变化。
我们定义质点的角坐标函数θ(t)随时间的变化率为角速度，用ω表示，即ω=dθdt     (1-9)在国际单位制中，角速度的单位是rad·s-1. 
对于作曲线运动的质点，一般以公式v=dsdt来描述它的运动速率。在圆周运动中，质点所经过的路程和所转过的角度之间的关系为s=rθ，故v=dsdt=rdθdt=rω    (1-10)这就是作圆周运动物体的角速度和速率之间的关系。
图1.7 在平面上作圆周运动的点位置矢量
图1.8 切向单位矢量
1.3.3 圆周运动的加速度
如图1.8所示，设质点在圆周上运动到A点时的速度为，方向为沿A点的切线指向质点的运动方向。在A点沿切线方向取单位矢量τ来表示速度的方向，则质点在A点处的速度可表示为=vτ(1-11)单位矢量τ称为切向单位矢量，它是自然坐标系下的单位矢量，它的长度为1，方向为质点运动曲线的切线方向。τ的方向随质点在轨迹上的位置不同而变化，因此，它一般不是一个恒矢量。
质点作圆周运动时，它的运动方向是不断变化的，而速率v也不是一个恒定值，对于加速度a有a=ddt=dvdtτ+vdτdt(1-12)可以看出加速度矢量a有两个分矢量。先来讨论第一项dvdtτ,它是由速率的变化引起的，方向为τ，即和速度的方向相同。定义aτ=dvdtτ为质点的切向加速度，用来描述质点速率的变化。aτ的大小为|aτ|=dvdtτ=dvdt. 
由v=dsdt=rdθdt=rω可得dvdt=rdωdt定义角速度随时间的变化率dωdt为角加速度，用α表示,则有α=dωdt=d2θdt2      (1-13)角加速度的单位为rad·s-2. 
将α=dωdt=d2θdt2和dvdt=rdωdt代入aτ=dvdtτ中，可得
aτ=rατ  (1-14)
此式即为作圆周运动物体的角加速度和切向加速度之间的关系。
图1.9 切向单位矢量随
时间的变化率
我们再来讨论式(1-12)第二项中的dτdt，即切向单位矢量τ随时间的变化率。如图1.9所示，质点在t到t+Δt的时间间隔内，由A点运动到B点，在Δt的时间间隔内，τ的增量为Δτ=τ(t+Δt)-τ(t)。图1.9中τ(t+Δt)与τ(t)的夹角Δθ等于在Δt的时间间隔内质点的位置矢量r所转过的角度。在Δθ→0时，有|Δτ|=|τ|Δθ=Δθ  此时，Δτ的方向趋近于与τ(t)垂直，即趋近于指向圆心的方向。定义在A点处沿曲线的法向方向指向圆心的单位矢量n为法向单位矢量，则有Δτ=Δθn。在Δt→0时，有dτdt=limΔt→0ΔτΔt=limΔt→0ΔθΔtn=dθdtn由此，式(1-12)中的第二项vdτdt可写作vdτdt=vdθdtn这个加速度分量的方向沿圆周的法向方向，故称为法向加速度，用符号an表示。即an=vdτdt=vdθdtn(1-15a)由ω=dθdt及v=rω可得an=rω2n=v2rn   (1-15b)由aτ=dvdtτ和an=rω2n=v2rn，可得作圆周运动质点的加速度为a=aτ+an=dvdtτ+v2rn=rατ+rω2n图1.10 圆周运动
的加速度
其中切向加速度aτ反映质点速度大小变化的快慢，法向加速度an反映速度方向变化的快慢。
根据矢量的加法法则，由图1.10可知，a的大小和方向分别为a=a2τ+a2n,  tanθ=anaτ  根据圆周运动加速度的讨论所得出的结果，对于一般的曲线运动仍然适用，只需把曲线微元看成一段圆弧，从而用曲率半径代替圆的半径来处理即可。
1.3.4 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动1. 匀速率圆周运动  质点作圆周运动时，如果在任意相等的时间内通过相等的圆弧长度，则这种运动称为匀速率圆周运动。此时，质点的速率v为常量，方向沿该点的切线方向。其切向加速度aτ=0, 法向加速度an=rω2=v2r. 
设t=0时，θ=θ0，可得质点作匀速率圆周运动时的运动规律为θ=θ0+ωt2. 匀变速率圆周运动
质点作匀变速率圆周运动时，其角加速度α=常量，故圆周上某点的切向加速度的值为aτ=rα=常量；而法向加速度的值为an=rω2=v2/r，不为常量。于是匀变速率圆周运动的加速度为图1.11 例1.4图a=aτ+an=rατ+rω2n  设t=0时，θ=θ0, ω=ω0，可得质点作匀变速率圆周运动时的运动规律为ω=ω0+αt
θ=θ0+ω0t+12αt2  【例1.4】 如图1.11所示，一超声速歼击机在高空A点时的水平速率为1940km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到B点，其速率为2192km/h，所经历的时间为3s，设圆弧AB的半径约为3.5km，且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求: ①飞机在点B的加速度； ②飞机由点A到点B所经历的路程。
【解】 ① 因飞机作匀变速率运动，所以aτ和β为常量。对aτ=dvdt分离变量有∫vBvAdv=∫t0aτdt则aτ=vB-vAt=23.3m·s-2在点 B 的法向加速度an=v2Br=106m·s-2可得飞机在点B的加速度为a=a2τ+a2n=109m·s-2a与法向之间夹角β为α=arctan aτan=12.4.   ② 在时间t内矢径r所转过的角度θ为θ=ωAt+12αt2飞机经过的路程为s=rθ=vAt+12aτt2代入数据得s=1722m1.4 相对运动
前面提到，运动的描述是相对的，在不同的参考系中，对于同一质点运动的描述是不同的。例如在一辆沿直线轨道匀速行驶的火车中垂直向上抛起一个小球，火车上的观察者看到小球垂直上升并垂直下落，而位于地面的观察者却看到小球的轨迹为一抛物线。下面我们就来研究不同参考系对于同一质点运动描述之间的关系。图1.12 相对运动

如图1.12所示，设观察者A在地面上，以地面为参考系S建立坐标系Oxy，另一观察者位于运动的列车上，以列车为参考系S′建立坐标系O′x′y′, O′点在Oxy中以速度u作匀速直线运动。在t=0时刻，坐标系Oxy与坐标系O′x′y′重合。
在两个参考系下同时观察同一物体的运动，设在t时刻，质点P在两个参考系下的位置矢量分别为r(t)和r′(t), O′点在Oxy中的位置矢量为R(t). 
从图1.12中可以看出: r(t)=r′(t)+R(t)上式对时间求导可得dr(t)dt=dr′(t)dt+dR(t)dt即=′+u(1-16)其中=dr(t)dt是质点相对于S参考系的速度；′=dr′(t)dt是质点相对于S′参考系的速度；u=dR(t)dt是S′参考系相对于S参考系的速度，一般称为牵连速度。通常把视为静止的参考系S称为基本参考系，质点相对于静止参考系的速度称为绝对速度；把相对于S参考系运动的参考系S′称为运动参考系，质点相对于运动参考系的速度′称为相对速度。则式(1-16)可理解为物体相对于基本参考系的绝对速度，等于物体相对运动参考系的相对速度′与运动参考系相对基本参考系的牵连速度u的矢量和。此式也称为伽利略速度变换式。
【例1.5】 轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北，船速计指出船速为20km/h。若水流向正东、流速为5km/h，问船对地的速度是多少？驾驶员需将船头指向何方才能使船向正北航行？
【解】 如图1.13所示，以正东为x方向，正北为y方向建立坐标系。视地面为基本参考系，水流为运动参考系，则有水地=5ikm/h
船水=20jkm/h
船地=船水+水地=5i+20jkm/h故船对地的速度大小是船地=52+202km/h=20.6km/h其方向为北偏东θ角θ=arctan520=14. 2′若要船对地的速度指向正北，则如图1.14所示′船地=2船水-2水地=202-52km/h=19.4km/h图1.13 例1.15图1
图1.14 例1.5图2
其方向为北偏西θ′角θ′=arcsin520=14. 29′小结
本章重点是掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量，并借助于各种坐标系计算各量。本章难点是运动学中各物理量的矢量性和相对性，以及将数学的微积分和矢量运算方法应用于物理学。
1. 质点的位矢、位移
在直角坐标系中r=xi+yj+zk
Δr=Δxi+Δyj+Δzk质点的运动方程--描述质点运动的空间位置与时间的关系式r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k注意位移Δr和路程Δs的区别，一般情况下|Δr|≠Δs |Δr|≠Δr  (或|Δr|)2. 速度和加速度
在直角坐标系中=drdt=dxdti+dydtj+dzdtk
a=ddt=d2rdt 或 a=d2xdt2i+d2ydt2j+d2zdt2k注意速度和速率的区别: ||=drdt，但一般情况下drdt≠drdt. 
3. 圆周运动
角速度: ω=dθdt
角加速度: α=dωdt=d2θdt2，且有关系式: v=Rω
aτ=dvdt=Rα
an=v2R=Rω24. 相对运动
伽利略速度变换式: =′+u. 
阅读材料A
伽利略·伽利雷（Galileo Galilei, 1564-1642)是近代实验物理学的开拓者，被誉为“近代科学之父”.  他是为维护真理而进行伽利略
不屈不挠斗争的战士。恩格斯称他是“不管有何障碍，都能不顾一切而打破旧说，创立新说的巨人之一”. 1564年2月15日生于比萨，他反对教会的陈规旧俗，晚年受到教会迫害，并被终身监禁。他以系统的实验和观察推翻了亚里士多德诸多观点，他的工作为牛顿的理论体系的建立奠定了基础。 
1590年，伽利略在比萨斜塔上做了“两个球同时落地”的著名试验，从而推翻了亚里士多德“物体下落速度和重量成比例”的学说，纠正了这个持续了1900年之久的错误结论。来自世界各地的人们都要前往参观比萨斜塔，他们把这座古塔看做伽利略的纪念碑。 
1609年，伽利略创制了天文望远镜（后被称为伽利略望远镜)，并用来观测天体。他发现了月球表面的凹凸不平，并亲手绘制了第一幅月面图。1610年1月7日，伽利略发现了木星的四颗卫星，为哥白尼学说找到了确凿的证据，标志着哥白尼学说开始走向胜利。借助于望远镜，伽利略还先后发现了土星光环、太阳黑子、太阳的自转、金星和水星的盈亏现象、月球的周日和周月天平动，以及银河是由无数恒星组成，等等。这些发现开辟了天文学的新时代。 
  伽利略著有《关于太阳黑子的书信》、《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》、《关于两门新科学的谈话和数学证明》和《试验者》等著作。
习题一、 思考题1-1 有人说:“分子很小，可以将其当成质点；地球很大，不能当成质点。”对吗？
1-2 质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？
1-3 若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？
1-4 “瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？
1-5 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的呢？
1-6 已知质点的运动方程为r=x(t)i+y(t)j，有人说其速度和加速度分别为v=drdt, a=d2rdt2其中r=x2+y2。这对吗？
1-7 下列说法是否正确: 
① 质点作圆周运动时的加速度指向圆心。
② 匀速圆周运动的加速度为恒量。
③ 只有法向加速度的运动一定是圆周运动。
④ 只有切向加速度的运动一定是直线运动。
1-8 一质点作匀速率圆周运动，取其圆心为坐标原点，试问: 质点的位矢与速度,位矢与加速度，速度与加速度的方向之间有何关系？
1-9 如果有两个质点分别以初速10和20抛出，10和20在同一平面内且与水平面的夹角分别为θ1和θ2。有人说，在任意时刻，两质点的相对速度是一常量，对吗?
二、 选择题
1-10 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r=at2i+bt2j(其中a、b为常量)，则该质点作(  ). 
A. 匀速直线运动  B. 变速直线运动  C. 抛物线运动  D. 一般曲线运动
1-11 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为v=2m/s, 瞬时加速度为a=-2m/s2, 则一秒钟后质点的速度(  ). 
A. 等于零B. 等于-2m/sC. 等于2m/sD. 不能确定
1-12 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为v，某一段时间内的平均速度为-，平均速率为v-，它们之间的关系必定有(  ). 
A. ||=v, |-|=v-B. ||≠v, |-|=v-
C. ||≠v, |-|≠v-D.  ||=v, |-|≠v-
1-13 在下面对物体的速度和加速度关系的说法中正确的描述有哪些？(  )
A. 某时刻物体的加速度很大，它的速度也很大
B. 物体的速度为0时，它的加速度也一定为0
C. 物体有向北的速度，同时可有向东的加速度
D. 物体的速度和加速度不是同向就是反向
1-14 下述几种运动形式，哪一种运动是加速度矢量保持不变的运动？(  )
A. 抛体运动 
B. 匀速率圆周运动  
C. 单摆的运动						
D. 以上三种运动都不是加速度矢量保持不变的运动
1-15 做直线运动的质点具有的性质是(  ). 
A. 位置矢量方向不变
B. 法向加速度为0
C. 加速度减小时，速度也减小
D. 平均速度恒等于初速和末速的平均值
1-16 乘坐在正以加速度a做匀加速上升的电梯里的人，不慎从手中落下一个重物，以竖直向下为正方向，则地面观察者看到重物落到地板前的加速度是(  ). 
A. g   			B.-g   		C. g+a   			D. g-a 
图1.15 题1-17图
1-17 若湖中有一小船，岸边有一人用绳子跨过一定滑轮用恒定的速率v拉船靠岸，如图1.15所示，则(  ). 
A. 船速大于v 				
B. 船速小于v
C. 船作匀速运动
D. 从定滑轮到船头的这段绳上各点速率均相等
三、 计算题
1-18 质点的运动学方程为
① r=(3+2t)i+5j
② r=(2-3t)i+(4t-1)j
求质点轨迹并用图表示。
1-19 质点运动学方程为r=4t2i+(2t+3)j，求： ①质点轨迹，②自t=0至t=1质点的位移。
1-20 如图1.16所示，雷达站于某瞬时测得飞机位置为R1=4100m, θ1=33.7. ; 0.75s后测得R2=4240m, θ2=29.3. . R1、R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(α角). 
1-21 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，如图1.17所示。抛物线轨道为y=x2/200(长度，mm)，第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。
图1.16 题1-20图
图1.17 题1-21图
1-22 一人在北京音乐厅内听音乐，距演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州距北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？已知声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s. 
1-23 火车进入弯道时减速。最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30. 方向行驶，求列车的平均加速度。
1-24 ①r=Rcosti+Rsintj+2tk, R为正常数。求t=0, π2时的速度和加速度。
② r=3ti-4.5t2j+6t3k，求t=0, 1时的速度和加速度(写出正交分解式). 
1-25 跳伞运动员的速度为v=β1-e-qt1+e-qt   v铅直向下，β、q为正数常量，求其加速度。讨论当时间足够长时(t→∞)，速度和加速度的变化趋势。
1-26 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v0=180km/h，其速率变化规律如图1.18所示，求列车行至x=1.5km时加速度的大小。
1-27 在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图1.19所示的装置把它们联结起来，C点与桌面固定。已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。图1.18 题1-26图
图1.19 题1-27图 
1-28 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0向上抛两枚石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求这两枚石子何时何处相遇？
1-29 电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？
1-30 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点，分别以30. 、60. 为发射角同时抛出两球，如图1.20所示，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8m/s. 
1-31 迫击炮的发射角为60. ，发射速率为150m/s，炮弹击中倾角为30. 的山坡上的目标，发射点正在山脚，如图1.21所示，求弹着点到发射点的距离OA. 
图1.20 题1-30图
图1.21 题1-31图
1-32 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，如图1.22所示。在我们所讨论的范围内，其运动学方程为s=80t-t2(长度单位为m，时间单位为s), t=0时，列车在图中O点处。已知此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。
1-33 火车以200km/h的速度驶入半径为300m圆弧形轨道，司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g，求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？
1-34 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图1.23中所示位置时，轨道曲率半径为150m，斗车速率为50km/h，切向加速度aτ=0.4g，求斗车的加速度。
图1.22 题1-32图
图1.23 题1-34图
1-35 飞机在某高度的水平面上飞行。机身的方向是自东北向西南，与正西方向的夹角为15. ，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南方向夹角为45. ，结果飞机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。
1-36 一卡车在平直路面上以恒速度30m/s行驶，从此车上射出一个抛体，要求在车前进60m时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向(空气阻力不计). 
1-37 河的两岸互相平行。一艘船由A点朝与岸垂直的方向驶去。经10min到达对岸C点。若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点，需要12.5min. 已知BC=120m，求: 
① 河宽l;
② 第二次渡河时船的速度u;
③ 水流速度. 
1-38 圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交，如图1.24所示。某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶，汽车乙在θ=30. 的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。
图1.24 题1-38图




牛顿运动定律
第1章我们用位移、速度来描述质点的运动状态，用加速度描述质点运动状态的改变，但没有涉及物体运动状态发生变化的原因。质点运动状态改变是由物体间的相互作用引起的，即和作用在物体上的力有关。这一章我们研究物体在力的作用下的运动规律，即动力学。自牛顿发表《自然哲学的数学原理》以来，牛顿三定律就成为动力学的基础。本章将对牛顿定律做简要说明，并介绍其在质点运动方面的初步应用。
2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿运动定律  
牛顿运动定律在中学物理课程中已经出现过了，但那时只讨论了一些简单、特殊情况下物体的运动规律，在大学物理中将用矢量及微积分的知识来研究物体的一般运动。下面先概括介绍一下牛顿三定律的内容。
1686年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中提出了著名的牛顿三定律。
牛顿第一定律: 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种运动状态为止。
牛顿第二定律: 物体运动量的改变与所加的力成正比，其方向沿着该作用力的作用方向。
牛顿第三定律: 两物体之间的相互作用力大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。
这三条定律是相互关联的。牛顿第一定律是牛顿第二定律在外力为零时的结果，牛顿将其单独提出，是为了强调第一定律的重要性，这就是物体有保持运动状态不变的一个重要属性--惯性。因此，牛顿第一定律也称惯性定律。牛顿第二定律概括了两个力学的基本概念--力和质量，牛顿把运动量定义为质量和速度的乘积，定律中所说的改变是对时间的改变，即d(mv)dt。近代物理证明，当物体的速度v远小于光速时，物体的质量m可认为是常量，所以有F=d(m)dt=mddt=ma(2-1)设两个物体的质量分别为m1、m2，在相同外力的作用下有m1m2=a2a1        (2-2)式(2-2)说明，在相同力的作用下，质量大的物体加速度小，即反抗运动变化的能力强，也就是惯性大。这样度量的质量称为惯性质量。
应用牛顿第二定律时要注意，合外力F与加速度a都是矢量，方向相同，它们之间的关系是瞬时对应关系，一旦力去掉，加速度也立即消失；力是物体产生加速度的原因，而不是物体具有速度的原因；力是可以叠加的，若有几个力同时作用，合外力F所产生的加速度a是每个外力Fi所产生的加速度ai的矢量和。
另外，牛顿第二定律只适用于质点的运动。对于平动的物体，其上各点的运动状态相同，可当做质点来处理。当物体不能作为质点时，可以把它看成由许多足够小的部分组成，每一部分作为一个质点，把物体当做一个质点系处理。关于质点系的知识将在第3章介绍。
2.1.2 惯性系
牛顿运动定律研究的是机械运动的规律，而研究机械运动首先要选择一个参考系。在运动学中，我们选择参考系是任意的，但在动力学中要应用牛顿定律，这时应该选择惯性参考系。如果在某个参考系中，物体不受其他物体的作用，而保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为惯性系。
一个参考系是否是惯性系，唯一的鉴别方法就是通过实验来判断。绝对的、理想的惯性系至今尚未找到，但已找到很多近似的惯性系。大量的观察和实验表明，研究地球表面附近的许多现象，在相当高的实验精度内，地球是惯性系。然而，从更高的精度来看，地球并不是严格的惯性系，讨论某些问题时，以地球为惯性系会出现明显的偏差。如讨论人造地球卫星运动时，一般选择以地心为原点，坐标轴指向恒星的地心-恒星参考系，这是比地球精确的惯性系。在研究行星等天体运动时，可选择以太阳中心为原点，坐标轴指向其他恒星的日心-恒星参考系，这是更精确些的惯性系。
图2.1 相互作匀速直线运
动的两个参考系显然，凡是相对于任意惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。若一参考系相对于某惯性系作加速运动，则这个参考系是非惯性系。例如，若选地球为惯性系，那么在一平直轨道上作匀速直线运动的火车可以看做是惯性系，而加速运动的火车就是非惯性系了。从另一方面说，牛顿定律适用的参考系称为惯性系，不适用的参考系称为非惯性系。
2.1.3 伽利略的相对性原理
设有两个参考系S(Oxyz)和S′(O′x′y′z′)，如图2.1所示。
它们对应的坐标轴都相互平行。其中S系为惯性系，S′系相对于S系以恒定速度u运动，则S′系也是惯性系。若有一质点A相对S′系的速度为′，相对S系的速度为，则由1.4节相关知识可知: =′+u将上式对时间t求导，由于u为常量，故可得ddt=d′dt即a=a′(2-3)式(2-3)表明，当惯性系S′相对于S系以恒定速度u运动时，质点在两个惯性系中的加速度是相同的。在S′惯性系中，质点所受到的力为F′=m′a′。对于经典力学，在不同惯性系中测出的质量相同，即m=m′，又由a=a′可得F′=m′a=ma=F由此可知，牛顿第二定律的数学表达式在两个惯性系中有相同的形式，即F=ma对于两个相对速度为u的惯性系，牛顿第二定律方程的形式不变。对于描述力学规律来说，一切惯性系都是等价的；不能借助在惯性系中所作的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动的速度。这称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。
到20世纪，爱因斯坦建立了狭义和广义相对论，把相对性原理推广到全部物理学。
2.2 单位制和量纲
2.2.1 单位制  
在物理学中，说明某个物理量的数值时，必须同时说明它的单位，否则这个物理量没有意义。当选取的单位不同时，同一规律所对应的物理公式会有所区别，这主要体现在公式中的常数因子上。
在1960年第11届国际计量大会上通过了国际单位制(SI)，我国现行的单位制为国家技术监督局于1993年颁布的中华人民共和国国家标准,这个标准是以国际单位制为基础制定的。
国际单位制规定的力学部分的基本量为长度、质量和时间，其单位分别为m(米)、kg(千克)和s(秒)。这三个单位是力学部分的基本单位，其他单位为导出单位。如速度的单位为“米每秒”，记作“m/s" 。本书所涉及的物理量和单位，将在具体的内容中给出。
2.2.2 量纲
导出单位取决于基本单位的选择，以及导出量与基本量之间的关系式。导出单位与基本单位之间的关系式称为该导出量的量纲。力学部分的基本量长度、质量和时间的量纲分别用L、M和T表示。对于力学部分国际单位制中任意的物理量A，它的量纲表示为dimA=LpMqTnp、q和n为量纲指数。
如速度的量纲为: dimv=LT-1，加速度的量纲为dima=LT-2，力的量纲为dimF=