第1章基 本 概 念
这一章介绍群的定义、一些基本概念及性质，并在1.2节中详细介绍置换和置换群的概念，
作为进一步研究一般群和置换群的基础.
1.1群 的 概 念

1.1群 的 概 念
1. 群的定义
定义1设G是一个非空集合，在G中定义了一种代数运算，称为乘法，记作“·”.即对于G中任意两个元素a,b，都唯一确定G中一个元素a·b，称为a,b的乘积.如果G对这种运算满足下面几个条件： 
（1） 结合律对G中任意3个元素a,b,c，都有
（a·b）·c=a·(b·c).
（2） 单位元素的存在G中存在一个元素e,对于G中任意元素a,都有
e·a=a·e=a.
（3） 逆元素的存在对于G中任一个元素a，都可找到G中一个元素a-1，使得
a-1·a=a·a-1=e.
那么G就称为一个群.元素e称为G的单位元素，a-1称为a的逆元素.
定义2如果群G还满足： 

（4） 交换律对于G中任意两个元素a,b，都有
a·b=b·a.
那么G就称作一个交换群或阿贝尔群.
如果群G的运算不满足交换律，则称G为非交换群.

为了简便起见，在不致混淆的情况下，我们常用ab表示a与b的乘积.
有时候，有些交换群的运算用加法表示，记作“+”，a+b称为a与b的和.那么条件（1）~（4）就成为： 
（1′） 结合律对G中任意3个元素a,b,c,都有
（a+b）+c=a+(b+c).
（2′） 零元素的存在G中存在一个元素0，对于G中任一个元素a，都有
0+a=a+0=a.
（3′） 负元素的存在对于G中任一个元素a,都可找到G中一个元素-a，使得
(-a)+a=a+(-a)=0.
（4′） 交换律对于G中任意两个元素a,b，都有
a+b=b+a.
0称为G的零元素，-a称为a的负元素.
2. 群的例子
例1全体整数所成的集合Z对于数的加法成一交换群.因为Z对数的加法满足条件（1′）~（4′)，群Z的零元素就是整数0，整数n的负元素就是-n.
同样地，全体有理数所成集合Q，全体实数所成集合R，全体复数所成集合C，对于数的加法也都成为交换群.
例2全体非零有理数Q*，全体非零实数R*，全体非零复数C*对数的乘法都构成交换群.

但是全体非零整数对数的乘法不构成群，因为不满足条件（3）.全体正整数对数的加法也不构成群，因为不满足条件（2′）及（3′）.
例3设n是一个正整数.全部n次单位根所成集合Un对于数的乘法组成一个交换群.
例4用Mn,m(R)表示全部n×m实矩阵所成的集合.Mn,m(R)对矩阵的加法构成一个交换群.
例5设F是一个域设F是一个至少包含两个元素的集合.F中定义了两种运算： 加法和乘法.如果F对加法构成一个交换群，F中非零元素全体对乘法也构成一个交换群，并且F的乘法对加法满足分配律，那么F就称为一个域.元素个数有限的域称为有限域，元素个数无限的域称为无限域.，用GLn(F)表示F上全部n阶可逆矩阵所成的集合.GLn(F)对矩阵的乘法构成一个群，称为F上n级一般线性群.当n≥2时，GLn(F)是非交换的.
例6用SLn(F)表示域F上全部行列式等于1的矩阵组成的集合.SLn(F)对矩阵的乘法构成一个群，称为F上n级特殊线性群.当n≥2时，SLn(F)是非交换的.
例7设V是域F上一个n维线性空间，用GLn(V)表示V的全部可逆线性变换所成的集合.GLn(V)对该变换的乘法构成一个群.当n≥2时，这个群是非交换的.
例8设F是一个域，F对F的加法构成一个交换群.F中非零元素的集合F*对F的乘法也成为一个交换群.
例9设V是域F上一个线性空间.V对向量的加法构成一个交换群.
例10设G={a,b,c,d}.用下列乘法表定义G的运算： 


abcd
aabcd
bbadc
ccdab
ddcba
表中第i行第j列处的元素表示左边的第i个元素与表上边第j个元素之积.例如，上表说明
a·a=a,b·c=d，
等等.
请读者自己验证G对这个运算构成一个交换群.
用乘法表来给出一个群是常常采用的方法，我们在以后还会遇到.
3. 简单性质
从群的定义，可以推出下面的一些性质.
（1） 群中单位元素是唯一的.
证明设G是一个群，e是G的单位元素.如果e′也是G的单位元素，那么，因为e是单位元素，所以
e·e′=e′.
又因e′也是单位元素，所以
e·e′=e.
因此，必须有
e′=e，
所以G的单位元素是唯一的.
（2） 在群中，每个元素只有一个逆元素.
证明设a是群G中的一个元素，e是G的单位元素，a-1是a的逆元素.如果a′也是a的逆元素，那么，根据逆元素的定义，有
(a′·a)a-1=e·a-1=a-1，

a′·（a·a-1）=a′·e=a′.
由结合律，即得
a′=a-1.
所以逆元素是唯一的.
由逆元素的唯一性，可得
（3） （a-1）-1=a.
（4） 群中消去律成立，即： 如果ab=ac,则有b=c； 如果ba=ca，则有b=c.
证明设ab=ac.用a-1左乘等式两端，得
a-1(ab)=a-1(ac).
于是
(a-1a)b=(a-1a)c.
从而
eb=ec,b=c.
同样可证第二个等式.
（5） 在群中，对于任意两个元素a,b,方程
ax=b及ya=b
都有解，而且解是唯一的.
证明显然，元素a-1b及ba-1分别是这两个方程的解，解的唯一性可由消去律得出.
需要注意的是，因为群中交换律不一定成立，所以上面两个方程的解一般是不相等的，只有在a与b可交换，即ab=ba时，这两个解才相等.
对于群中一个元素a,我们把n(n＞0)个a相乘所得的元素记作an，即


a·a·…·a=an.n个

对于负整数-n(n＞0)，规定
a-n=(a-1)n,
并约定a0表示群的单位元素.an（n为任意整数）称为a的方幂.根据结合律，可知
（6） 群中指数律成立，即

an·am=an+m，n,m为任意整数；

（an）m=anm，n,m为任意整数.

如果ab=ba，则有

（ab）n=anbn,n为任意整数.
如果所讨论的群是交换群，而且群的运算用加法表示，那么，上面的一些性质可以叙述为： 
（1′） 群中只有一个零元素.
（2′) 在群中，每个元素只有一个负元素.
（3′) -(-a)=a.
以后，常用a-b表示a+(-b).
（4′) 如果a+b=a+c，则有b=c.
（5′) 对于任意两个元素a,b,方程
a+x=b
有唯一解x=b-a.
对于加法交换群来说，一个元素的方幂就是这个元素的倍数.当n＞0时，我们用na表示n个a相加所得之和，即

a+a+…+a=na.n个

规定
(-n)a=n（-a）=-(na)，
并约定0a表示群的零元素.于是下列倍数律成立： 
(6′) na+ma=(n+m)a,n,m为任意整数；

m(na)=mna,n,m为任意整数；

n(a+b)=na+nb,n为任意整数.
4. 阶
定义3如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群.否则称G为无限群.有限群G所包含的元素个数称为G的阶.
定义4设a是群G中一个元素，如果存在正整数k使得ak=e，则a称为有限阶元素.满足ak=e的最小正整数k称为a的阶.如果不存在正整数k使得ak=e，则a称为无限阶元素.
定义中的条件ak=e在加法群时应改为ka=e.以后我们只讨论乘法群，而对加法群的情形就不另外说明了.
例如，在前面所举的群例中，例3中的群的阶等于n； 例10中的群的阶等于4；其余的群，除例8外，都是无限群.至于例8中的群则要根据域F来决定： 当F是无限域时，加法群F及乘法群F*都是无限群.当F是有限域时，加法群F的阶等于F中元素数|F|；而乘法群
F*的阶|F*|等于|F|-1.
在例1中，除去零元素的阶等于1外，其他元素都是无限阶元素.在例10中，单位元素a是1阶元素，其他元素的阶都等于2.
从定义可以看出，在一个群中，单位元素（零元素，如果是加法群）是唯一的一个1阶元素.
我们以后主要讨论有限群.有限群中的元素一定都是有限阶元素.这个事实可以这样来证明，设a是有限群G中一个元素.考虑下列元素
a,a2,a3,….
由于G是一个有限群，所以这些元素中一定有相同的.即有正整数k1＜k2，使得
ak1=ak2.
于是
ak2-k1=e，k2-k1＞0.
根据定义，a是一个有限阶元素.
如果一个群中的所有元素都是有限阶元素，那么这个群称为周期群.有限群一定是周期群.
关于元素的阶有下述重要性质.
定理1如果a是群G的一个k阶元素，e是G的单位元素.那么
（1） al=ek|l； 
（2） al=amk|l-m.

如果a是一个无限阶元素，那么

al=aml=m.
证明（1） 如果k|l，那么可设l=kd，d是一个整数.于是
al=ak d=(ak)d=ed=e.
反之，如果kl,可设
l=kd+r,0＜r＜k.
于是
al=ak d+r=ak d·ar=e·ar=ar≠e.
（2） 因为
al=amal-m=e，
故由（1）即得
al=amk|l-m.
关于无限阶元素的结论可以从定义直接得到.
关于群及元素的阶还有一些重要的性质.请读者参考本章习题.
1.2置换群
1.2置换群
置换群是一类最重要的有限群.作为群的例子，这一节介绍置换及置换群的概念.关于置换的进一步性质，将在第3章中讨论.
1. 置换及对称群
设Ω是由n个文字组成的集合： 
Ω={α1,α2,…,αn}.
Ω到自身的一个一一映射称为（作用于）Ω上的一个置换，或n元置换，简称置换.有时候也称为α1,α2,…,αn的一个置换.
设σ是Ω={α1,α2,…,αn}上的一个置换.用ασi(i=1,2,…,n)表示αi在σ下的象，而把σ表成
σ=α1α2…αn

ασ1ασ2…ασn,
或者可以简单地表示为
σ=αi
ασi.
为了简单起见，有时常用1,2,…,n表示Ω的n个元素，此时，σ就可表成
σ=12…n

1σ2σ…nσ=i
iσ.
因为σ是一个一一映射，所以1σ,2σ,…,nσ是1，2，…，n的一个排列.两个不同的置换σ，τ所对应的排列1σ,2σ,…,nσ与1τ，2τ，…，nτ是不同的.而且，任给1，2，…，n的一个排列α1,α2,…,αn,都有唯一的一个置换σ使得
iσ=αi,i=1,2,…,n,
即
σ=12…n

α1α2…αn.
因此n元置换与n元排列之间有一个一一对应.我们知道n元排列一共有n！个，所以一共有n!个n元置换.我们用Sn表示这n!个n元置换所成的集合.例如，一共有6个3元置换： 
σ1=123
123,σ2=123
132，

σ3=123
213,σ4=123
231，

σ5=123
312,σ6=123
321，