1 数学基础与系统思想 3 第1章 数与形 学习目标：  熟悉反映事物及其关系的代数表示与几何描述。  理解抽象数学符号的书写规则与功能特点。  掌握坐标系概念与直线方程的几何表示。  了解矩阵及其秩的概念与线性方程组的结构。  了解函数、极限、导数、微分与积分等概念。  了解随机事件、概率、随机变量与数学期望等概念。 在现实世界中，数与形如影之随身，紧密相连。人类对数与形的认识随着社会的进步而不断深化。例如，自然数、有理数、无理数、实数等，就是人类对描述事物量方面的一个逐步完善的过程。在迄今形成的知识体系中，数学是研究广义的数与形概念及其关系的科学。经过千百年的发展，数学已成为一座浩如烟海的文化宝库。在此，为本课程核心内容的教学需要，作为必要的基础性准备知识，撷取少量的相关数学知识做一简单的叙述。对于已具备这方面基础的读者仅需浏览一下即可。 1.1数学的符号化 数学的语言是由数字、字母与多种特定符号所构成的，从而具有高度的抽象性，需要经过专门的训练才能理解。但是，也正是这一点，使其成为完全意义上的“世界语”。抽象的数学符号具有强大的功能，是反映与刻画客观世界中万事万物数量规律最合适的工具，成为蕴含人们理性思维过程丰富信息的绝妙载体。 数学符号的独特功能绝非任何一个民族的语言所能承担。当年英国虽然有伟大的Newton，但是因其所创设的数学符号远远劣于同时代德国的Leibniz，竟导致随后英国数学的发展一度落后于欧洲大陆。在我国历史上也有这方面的教训。清代数学家李善兰是中国近代科学的奠基者，他匠心独运，创译了一系列科学名词，如“代数”、“函数”、“方程式”、“微分”、“积分”、“级数”、“植物”、“动物”、“细胞”等，沿用至今并流布东亚。可叹的是，或许因其爱国心切，一方面引进西方数学，一方面严守祖宗家法，将所有的数学符号汉化，结果是不伦不类，宛若天书，反而阻碍了近代科学在中国的发展。 为彰显当今通用数学符号的优越性，在此列举李氏数学符号作为对照，以使读者有一深刻的印象。 （1） 阿拉伯数字“1、2、3、…”以“一、二、三、…”表示，巨大数字就难以表述。 （2） 拉丁字母（26个）以“天干地支（22个）”表示，缺少者以“天、地、人、元”补之。 （3） 希腊字母（24个）以“二十八宿（28个）”表示，多余者将“星、张、翼、轸”删之。 （4） 加（+）以“丄”表示，减（-）以“丅”表示， 函数f以“函”表示，对数底e以“讷”表示，对数ln以“对”表示，微分d以偏旁“彳”表示，积分∫以偏旁“禾”表示。 （5） 按汉文格式，先读者书于右旁与上方。 据此，不定积分 ∫dxa+x=ln(a+x)+C 被表示为 禾甲⊥天彳天=(甲⊥天）对⊥丙。 显然，两种数学符号孰优孰劣一看就明白了。必须强调，若要学习现代任何一门科学技术，则认识、熟悉、掌握所需的数学符号是一个必要的先决条件。 数据、模型与决策 第1章数与形 1.2解析几何简介 代数运算的基本对象是数，几何图形的基本元素是点，通过坐标法，使两者建立起紧密的联系，就产生了解析几何。 1. 坐标系 在直线上取定一个原点与单位长度，刻画出一条数轴，称为Ox轴，每一个实数x与Ox轴上的点成立一一对应关系，x称为点的坐标（图1-1）。一条数轴将全直线分为两部分——左半对应负数，右半对应正数，原点对应数值零。 图1-1一维坐标系 在平面内两条互相垂直的数轴（横轴与纵轴）构成一个坐标系，称为Oxy平面直角坐标系（简称Oxy系），每一对有序实数(x，y)与Oxy平面内的点成立一一对应关系，x与y各称为点的横坐标与纵坐标（图1-2）。两条数轴将全平面分为4部分，称为象限。 在空间中三条互相垂直的数轴（横轴、纵轴与竖轴）构成一个坐标系，称为Oxyz空间直角坐标系（简称Oxyz系），每一组有序实数(x，y，z)与Oxyz空间中的点成立一一对应关系，x，y与z各称为点的横坐标、纵坐标与竖坐标（图1-3）。三条数轴将全空间分为8部分，称为卦限。 图1-2二维坐标系 图1-3三维坐标系 为统一起见，数学中将确定点的位置所需要的坐标个数称为空间的维数。据此，点为0维空间，全直线为1维空间，全平面为2维空间，全空间为3维空间。以此类推，可定义更高维的空间。例如，Einstein空间为4维空间： 3个日常空间的位置坐标x，y，z，一个永不可逆的时间坐标t，合成（x，y，z，t），表示一个4维空间中的点。不难理解，(x1,x2,…,xn)就表示一个n维空间中的点。只是因为人们身处其中的日常空间仅是3维的，所以更高维空间中的图形无法形象展示，然而高维空间的抽象概念具有重要的科学研究意义。 坐标系概念的创立沟通了几何与代数两大数学分支，开辟了用代数方法来研究几何问题的新天地。由此发端，形成了数学中最基本的学科之一——解析几何学。伟大的革命导师Engels（1820—1895）将这一成果誉为数学的转折点，自此人类进入变量数学的发展阶段。 2. 直线方程 平面上的线（直线或曲线）可以看做动点按一定规则产生的轨迹。当在平面上建立起Oxy平面直角坐标系后，点就对应有坐标为(x，y)； 当点在运动过程中，x与y就成为两个变量。于是，动点形成之线轨迹就可以表示为由x与y两个变量组成的某种代数关系式，称为线的方程式。 在此，仅简述直线方程的表达形式。因为直线可以看做一般曲线的特殊形式，而任何平面直线方程都是二元一次代数方程，所以直线又称为一次曲线。在数理学科中，凡是研究对象之间的关系被表达为变量的一次关系式，就称为线性关系。而今“线性”一词已被应用于广泛的知识领域中。 （1） 斜截式 除与y轴平行的直线以外，所有直线方程都可以表示为下列形式 y=kx+b（1-1） 其中k称为斜率，b称为截距，所以此直线方程称为斜截式（图1-4）。 设直线L与x轴交于P点，则以P点为中心，逆时针方向取x轴正向为始边而L为终边的最小正角α称为L的倾角，与x轴平行的直线倾角为零。成立 k=tanα （2） 截距式 设不通过原点的直线L在x轴与y轴上各有截距a与b，则直线方程可以表示为下列形式（图1-5） xa+yb=1（1-2） 图1-4斜截式 图1-5截距式 图1-6一般式 （3） 一般式 所有直线方程都可以表示为下列形式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0）（1-3） 注意： A，B相同而C不同的直线彼此平行（图1-6）。 （4） x轴的方程是y=0，平行于x轴的直线（水平线）方程是y=C，C表示任意常数。 （5） y轴的方程是x=0，平行于y轴的直线（垂直线）方程是x=C，C表示任意常数。 附记著名法国哲学家、数学家、物理学家和生理学家Descartes，（1596—1650）创建了平面坐标系，是解析几何学奠基人之一，其名言“我思故我在”流传至今。李善兰（1811—1882）依据体现中华元典《易经》思想的《系辞》中“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”一语，创译了象限、卦限等名词。 1.3线性代数简介 线性代数主要处理线性关系问题，一个经典的问题是线性方程组的解法，矩阵理论是其中心内容之一。 1. 行列式概念 对n×n个数aij（i,j=1,2,…,n）排成n行n列的方形数表 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann 规定一种代数运算，运算结果表示为 D=a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann（1-4） D称为n阶行列式。 2. 行列式运算 二阶行列式的具体运算规定为 a11a12 a21a22=a11a22－a12a21 这种形式的运算被称为对角线法则。 注意： 三阶行列式的运算恰巧也成立类似的对角线法则。但是，这一运算法则不适用于更高阶行列式，理论上已证明高阶行列式可以逐步降阶展开（称为Laplace法则），因此任一高阶行列式恒能逐步化为一系列二阶行列式来求得结果。总而言之，行列式名为“式”，实际上是通过所规定的运算得出的一个数。至于最简单的一阶行列式a就等于a，切不可与绝对值相混淆。 3. 矩阵概念 对m×n个数aij（i=1,2,…,m； j=1,2,…,n）排成m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，记作 A=a11a12…a1n a21a22…a2n  am1am2…amn（1-5） 简记A=(aij)m×n，aij称为矩阵的第m行第n列元素。 （1） 行数与列数相等的矩阵称为方阵，此数称为方阵的阶，设此数为n，则矩阵称为n阶方阵。n阶方阵A对应一个n阶行列式|A|。 （2） n阶方阵A=(aij)n×n满足aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称为对称矩阵。 （3） n阶方阵A=(aij)n×n满足 aij=1（i=j） 0（i≠j） 称为n阶单位矩阵，记作I。 （4） 单行矩阵称为行矩阵，又称为行向量，记作 A=(a1,a2,…,an) （5） 单列矩阵称为列矩阵，又称为列向量，记作 B=b1 b2  bm 由此可知，空间中的点可以表示为行向量或列向量，于是向量中的元素又可称为向量的坐标。上述的行向量A称为n维行向量，列向量B称为m维列向量。 行（列）向量中只有一个坐标为1而其余皆为0者，称为单位行（列）向量。单位矩阵I全由单位行（列）向量构成。 （6） 元素全为零的矩阵（向量）称为零矩阵（向量），记作O。 （7） 两个行数与列数相等的矩阵称为同型矩阵； 若两个同型矩阵的对应元素相等，则称为两个矩阵相等。 4. 矩阵运算 （1） 加减法 设有两个同型矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n，规定 A±B=(aij±bij)m×n （2） 数与矩阵相乘 数k与矩阵A=(aij)m×n相乘，规定 kA=(kaij)m×n （3） 矩阵与矩阵相乘 设有两个矩阵A=(aij)m×s与B=(bij)s×n，规定 AB=(cij)m×n=C 其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj (i=1,2,…,m； j=1,2,…,n)。 注意： A的列数等于B的行数时方可进行左A右B的矩阵乘法运算，运算所得的结果cij是A的第i行元素与B的第j列元素依序对应相乘之和。因为m不一定等于n，所以左B右A的矩阵乘法运算不一定可以进行； 即使m等于n（此时A与B已是同阶方阵），BA的运算结果也不一定等于AB。总之，矩阵乘法不成立交换律。 例1-1已知 A=10 21，B=410 123。 求AB。 解 C=AB= 10 21410 123 =1×4+0×11×1+0×21×0+0×3 2×4+1×12×1+1×22×0+1×3=410 943 例1-2已知 A=(a1,a2,a3)，B=b1 b2 b3。 求AB，BA。 解 AB=(a1,a2,a3)b1 b2 b3=a1b1+a2b2+a3b3=∑3i=1aibi BA=b1 b2 b3(a1,a2,a3)=b1a1b1a2b1a3 b2a1b2a2b2a3 b3a1b3a2b3a3 （4） 矩阵的转置 将矩阵A的行换成同序数的列所得矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。 例如 A=410 943，AT=49 14 03。 显然，同维的行向量与列向量互为转置向量，所以m维列向量 B=b1 b2  bm 可以记作 B=(b1,b2,…,bm)T。 5. 矩阵的秩 在m×n矩阵A中，任取k行k列（k≤min{m,n}），取其交叉处的元素按原位置构成一个k阶行列式，称为A的k阶子式。设A有一个非零的r阶子式D且高于r阶的子式全为零或不存在，则D称为最高阶非零子式，r称为A的秩，记作R（A）。规定零矩阵的秩恒为0。 例1-3已知 A=123 23-5 471 求R（A）。 解取二阶子式 D=12 23=－1≠0 而经计算可知唯一的三阶子式为0，故得R（A）=2。 6. 线性方程组 设有n个未知数m个方程的线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2  am1x1+am2x2+…+amnxn=bm（1-6） 令A=a11a12…a1n a21a22…a2n  am1am2…amn,X=x1 x2  xn,b=b1 b2  bm 则此线性方程组可以表示为 AX=b 其中A称为系数矩阵，X称为解向量，b称为常向量。b=O，称为齐次线性方程组； b≠O，称为非齐次线性方程组。将A为右b为左合在一起的矩阵称为增广矩阵，记作（A，b）。 通过对增广矩阵进行初等变换（化为一系列等价的同解方程组），线性方程组的求解问题已经圆满解决，归纳为下列结论。 （1） 不存在解的充分必要条件是R（A）< R（A，b）。 （2） 有唯一解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）= n。