第1章 晶体的结构和晶体的结合
  固体可以分为晶体(晶态)和非晶体(非晶态)两大类。我们碰到的固体多数以晶体的形式存在，晶体内部的分子、原子或离子(以后统称为粒子)是按一定的周期排列的，即晶体的结构具有规则性。所以，研究固体是从研究晶体开始的。
由于粒子排列的规则性以及由此产生的宏观外形几何规则性是晶体的最基本的特征，也是研究晶体其他宏观性质和微观过程的基础，所以我们将首先讨论晶体中粒子规则排列的一些基本概念和基本规律。接着介绍晶体衍射(X射线衍射、电子衍射和中子衍射)，这是确定晶体结构的常用方法。最后说明粒子是怎样相互作用结合成晶体的，以及介绍晶体生长的基本知识。
1.1 晶体的特征与晶体结构的周期性
1.1.1 晶体的特征
常见的晶体往往是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是光滑的，称为单晶体。晶态物质在适当的条件下都能自发地发展为单晶体。发育良好的单晶体，外形上最显著的特征是晶面有规则的几何配置。
由于生长条件的不同，同一品种的晶体，其外形也不尽相同。例如，氯化钠(岩盐)晶体的外形可能是立方体或八面体，也可能是立方体和八面体的混合体，如图1.1.1所示。图1.1.2 表示石英晶体的一些外形。
图1.1.1 氯化钠的若干外形
(a) 立方体; (b) 八面体; (c) 立方体和八面体的混合体
外界条件能使某一组晶面相对地变小，或完全隐没。如图1.1.1(b)表示氯化钠立方体的六个晶面消失了，而发展成八面体的八个晶面。因此，晶面本身的大小和形状是受晶体生长时外界条件影响的，不是晶体品种的特征因素。
图1.1.2 石英晶体的若干外形
  那么晶体外形中，有没有受内在结构决定而不受外界条件影响的因素呢？这样的因素是有的，晶面间的夹角就是晶体品种的特征因素。每一品种，不论其外形如何，总具有一套特征性的夹角，例如石英晶体。图1.1.2所示的a、b面间的夹角总是141. 47′, b、c面间的夹角总是120. , a、c面间的夹角总是113. 08′。这个普遍的规律被概括为晶面角守恒定律： 属于同一品种的晶体，两个对应晶面(或晶棱)间的夹角恒定不变。因为同一品种的晶体，尽管外界条件使其外形不同，但内部结构相同。这种共同性就表现为晶面间夹角的守恒。
由于晶面的相对方位相对重要，所以可以用晶面法线的取向来表征晶面的方位，而以法线间夹角来表征晶面间的夹角(两个晶面的法线间的夹角是这两个晶面夹角的补角)。测量晶面间夹角可以有多种方法，但要准确测定晶面间夹角，需要专用测角仪。晶面角测定常用于矿石的鉴别。
晶体外形上的规则性是其内部粒子(分子、原子或离子)有序排列的结果。单晶体就是在整块材料中，粒子都是有规则地、周期性地重复排列着。由于粒子排列具有方向性，所以单晶体的宏观性质也往往呈现各向异性，即在不同方向上晶体具有不同的物理性质，如力学性质(硬度、弹性模量等)、光学性质(折射率等)、电学性质(电阻系数等)。因此，晶体在外力作用(如敲打、挤压、剪切、撞击等)下沿某一个或某几个确定方位容易劈裂开来，这种性质称为晶体的解理性。例如，硫酸钙晶体即石膏在敲打之后会沿着它的纹理有规律地裂开，碎裂后的“最小单元”都具有相同的晶形。沈括最早发现这种现象，可以说他是世界上最早认识晶体解理性的人，比西方最早认识晶体解理性的法国科学家阿羽依早了七百年。
微小的单晶也称作晶粒。晶粒的大小可以小到微米量级，也可以大到眼睛能够清晰看到的程度。由大量晶粒组成的晶体称为多晶体(多晶)。在每个晶粒内部，粒子的排列是规则的，但是在晶粒的交界处，粒子排列的规则性被破坏。由于晶粒有各种取向，所以多晶体的外形不具有规则性，其宏观性质往往表现为各向同性。金属一般都属于多晶体，用显微镜观察金属，可知金属由许多小晶粒组成；用X射线衍射方法对小晶粒进行的研究表明，小晶粒(线度为微米量级)内部是有序排列的。本章所讨论的晶体，如不特别说明，都是指单晶体。
晶态固体，例如金属、岩盐等具有一定的熔点；非晶态固体，例如白蜡、玻璃、橡胶等则没有固定的熔点。非晶态固体又称为过冷液体，它们在凝结过程中不经过结晶(即有序化)的阶段，非晶体中分子与分子的结合是无规的。雪花往往呈六角，这是因为水在凝结的时候，分子是按着一定的规则排列的。晶态固体的内部，至少在微米量级的范围内是有序排列的，这称为长程有序。在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体时对应着一定的熔点，非晶态固体因为没有长程有序，故也就没有固定的熔点。
1.1.2 晶体结构的周期性
从X射线研究的结果，我们知道晶体确实是由粒子有规则地、周期性地重复排列而成的，这种性质称为晶体结构的周期性。讨论晶体结构就是要搞清晶体的基本结构单元以及这些单元是如何在空间排列的。
晶体结构中存在基本的结构单元，称为基元。搞清基元就是要搞清此结构单元中有哪些粒子及其相对排列的情况。如图1.1.3所示，形似葡萄串的一组粒子就是基元，它们在空间周期性地重复排列着。虽然每个基元中各个粒子的周围情况不相同，但任何两个基元中相应粒子周围的情况是相同的。
图1.1.3 基元与结点示例图
基元的某个特征点（如重心）可表征基元在空间的位置，此点代表着结构中相同的位置，以后称为结点或阵点。一般而言，结点可以是基元中任意的点，但各个基元中相应的点的位置取法应是相同的。
晶体中所有的基元都是等同的。整个晶体的结构，可以看作是由这种基元沿空间三个不同的方向，各按一定的距离周期性地平移而构成，每一平移的距离称为周期。因此，在一定的方向有着一定的周期；不同方向上的周期一般不相同，这样，点阵中每个结点的周围情况都是一样的。
结点的总体，称为空间点阵或布喇菲点阵。晶体的布喇菲点阵描述了基元在空间的排列情况，可以这样概括晶体的结构，即
晶体结构 = 基元+布喇菲点阵
即使微小的晶粒也包含了成千上万个粒子，所以布喇菲点阵中的结点个数可以看作无限多。通过这些结点，可以作许多图1.1.4 晶体的网格
平行的直线族和平行的晶面族。这样，点阵就成为一些网格，称为晶格，又称布喇菲(Bravais)格子，如图1.1.4所示。因此结点也称为格点. 
由于晶格具有周期性，可取一个以结点为顶点、边长等于该方向上的周期的平行六面体作为重复单元，来概括晶格的特征。将晶体看作某种最小单元无空隙地堆砌而成，此最小重复单元称作固体物理学原胞或初基原胞，简称原胞。显然原胞包含基元及其周围空间，在三维情况下，原胞总可以取为平行六面体。
图1.1.5表示在二维情况下晶体结构、基元、原胞、布喇菲点阵的一个例子。在二维情况，原胞一般取为平行四边形，两相邻边方向上长度正好各为一个周期。应当指出，原胞的取法不是唯一的，即两边长的方向可以有不同取法，但平行四边形面积总是相同的。另外，不管原胞如何选取，布喇菲点阵是唯一的。
图1.1.5 二维晶体、基元、原胞、布喇菲点阵示例图
 (a) 二维晶体; (b) 基元； (c) 原胞; (d) 布喇菲点阵
在三维情况下，原胞取为平行六面体，如图1.1.6所示。原胞交于一点(如O)的三条棱(如OA、OB、OC)分别图1.1.6 平行六面体原胞 
代表了三个不同空间取向的三个周期，可以取作三个基矢，即a1=OA, a2=OB, a3=OC。基矢是三个独立矢量，如果以某一格点为坐标原点，则任一格点的位矢R都可表示为R=m1a1+m2a2+m3a3(1.1.1)其中m1、m2、m3都是整数。R也称为格矢。显然，基矢确定了，则原胞就确定了，同时也可以由式(1.1.1)把任意格点的位置决定下来。
如果晶体由完全相同的一种粒子组成，则相应的格子称为简单格子。在简单格子中，基元只包含一个粒子，这时晶格中的每一个粒子都对应着一个格点，粒子形成的网格与格点形成的网格是一回事，所以这样的格子也称布喇菲格子 如果格子中每点周围的情况都一样，则称布喇菲格子，这是布喇菲格子的另一种定义。。如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原子，则每个基元中，相应的同种粒子各构成和结点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成所谓复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。
应该指出： 如果晶体由一种粒子构成，但在晶体中粒子周围的情况并不同(例如用X射线方法，鉴别出粒子周围电子云的分布不一样)，则这样的晶格，虽由一种粒子组成，但不是简单格子，而是复式格子。如果粒子周围的情况可分为两类，则这种复式格子的原胞中就包含两个粒子，因为只有这样，才能反映粒子周围两类不同的情况，方能表述图1.1.7 同种原子组成的复式格子
晶格周期性的特征。例如在图1.1.7 中，由A原子所组成一维晶格中原子排列并不是等间距的，最近的两个原子中左侧的原子A1和右侧的原子A2周围情况不完全相同，应该区分为两种粒子，这样晶格的原胞如图1.1.7 (b）或（c）所示，每个原胞中包含两个原子，A1和A2组成一个基元。
由于晶体结构的周期性，在任意两个原胞中相对应的点上，晶体的微观物理性质完全相同。若设r为原胞中任意一点的位矢，V(r)为该点的某一微观物理量(如静电势能、电子云密度等)，则V(r)=V(r+R)(1.1.2)  或者说，把一个晶体结构平移任一格矢R，结果将与原来的晶体结构完全重合，没有任何改变。晶体结构的这种性质称为平移对称性(平移不变性)。这里认为从微观上看晶体是无限大的。
1.1.3 原胞与晶胞
如果只要求反映周期性的特征(即只需概括空间三个方向上的周期大小)，选取的重复单元可让结点只在顶角上，内部和面上皆不含其他结点。这样选取的重复单元体积最小，就是固体物理学原胞。实际上，除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性，为了同时反映对称的特征，结晶学上所取的重复单元体积不一定最小，结点不仅在顶角上，通常还可以在体心或面心上。这种能同时反映晶体周期性与对称性特征的重复单元称作结晶学原胞(也称布喇菲原胞或惯用原胞)，简称晶胞。晶胞的大小可以是固体物理学原胞的若干倍。一般用a1、a2、a3表示原胞的基矢，而用a、b、c表示晶胞的基矢。
结晶学中，属于立方晶系的布喇菲点阵有简单立方、体心立方和面心立方三种，其晶胞如图1.1.8所示。立方晶系晶胞的三个基矢长度相等，并且互相垂直，即a=b=c; a⊥b, b⊥c, c⊥a。晶胞的边长称为晶格常数。取晶轴方向为坐标轴，而i、j、k表示坐标系的单位矢量。下面对这三种结构分别讨论。
图1.1.8 立方晶系的晶胞
(a) 简单立方; (b) 体心立方; (c) 面心立方
1. 简单立方
结点在立方体的顶角上，晶胞其他部分没有结点，这样的晶胞自然是最小的重复单元，也即原胞。每个原胞实际上只包含一个结点，因为每一个结点为8个原胞所共有，所以它对一个原胞的贡献只有1/8；现在原胞有8个结点在其顶点，这8个结点对一个原胞的贡献恰好等同于一个结点。原胞的体积也是一个结点所“占”有的体积，这个原胞只包含一个结点，因此，原胞的基矢为a1=ai,  a2=aj, a3=ak  容易看出，对于简单立方，一个结点周围最近邻的结点有6个，距离为a；次近邻的结点有12个，距离为2a. 
2.  体心立方
除顶角上有结点外，还有一个结点在立方体的中心，故称体心立方。乍看之下，顶角和体心上结点周围情况似乎不同，实际上就整个空间的晶格来看，完全可把晶胞的顶点取在晶胞的体心上。这样心就变成角，角也就变成心，所以在顶角和体心上结点周围的情况仍然是一样的。不过这种自然方位晶胞中包含两个结点，固体物理中常要求布喇菲点阵的原胞中只包含一个结点，即按最小重复单元选取原胞，如图1.1.9(a)所示。
图1.1.9 固体物理学原胞的选取
(a) 体心立方; (b) 面心立方
按这个取法，基矢a1、a2、a3分别为a1=a2(-i+j+k),  a2=a2(i-j+k),  a3=a2(i+j-k)(1.1.3)容易证明，新取原胞的体积为a1·(a2×a3)=12a3. 
因为原来晶胞体积为a3，含有两个结点，新取原胞的体积恰为12a3，所以包含一个结点。
容易看出，对于体心立方，一个结点周围最近邻的结点有8个，距离为32a；次近邻的结点有6个，距离为a. 
3. 面心立方
除顶角上有结点外，在立方体的6个面的中心还有6个结点，故称面心立方。与对体心立方情形的论证相同，面心结点和顶角结点周围的情况实际上是一样的。每个面为两个相邻的晶胞所公有，于是每个面心结点只有12是属于一个晶胞，6个面心结点事实上只有3个属于这个晶胞，因此面心立方的晶胞具有4个结点。固体物理学中对面心立方晶格所选取的原胞如图1.1.9(b)所示。原来面心立方的6个面心结点和2个顶角结点构成了原胞的8个顶角结点。它的基矢分别为a1=a2(j+k),  a2=a2(k+i),  a3=a2(i+j) (1.1.4)则原胞的体积a1·(a2×a3)=14a3，原胞中只包含一个结点。
式(1.1.3)和式(1.1.4)具有旋环性，数学上表述很方便，它们分别是体心立方和面心立方的固体物理学原胞基矢的特征表示。
对于面心立方，一个结点周围最近邻的结点数不容易看出。可考虑一个面心，通过它作与上下面平行的平面，此面上有4个最近邻；通过它作与左右面平行的平面，此面上也有4个最近邻；同理在与前后面平行的面上也有4个，所以总共有12个最近邻结点，距离都为22a. 
1.1.4 实际晶体举例1. 氯化铯结构  氯化铯(CsCl)由铯离子(Cs+)和氯离子(Cl-)结合而成，是一种典型的离子晶体。它的结晶学原胞如图1.1.10所示。在立方体的顶角上是Cl-、在体心上是Cs+(也可取立方体，顶角上为Cs+，体心上是Cl-)，但Cl-或Cs+各自组成简单立方结构的子晶格。氯化铯结构是由两个简单立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1/2的长度套构而成。氯化铯型结构是复式格子，它的固体物理原胞是简单立方，不过每个原胞中包含两个原子(离子)，但不把它的结构说成是“体心立方”. 
2. 氯化钠结构
另一种典型的离子晶体是氯化钠,由钠离子(Na+)和氯离子(Cl-)结合而成。它的结晶学原胞如图1.1.11所示(钠离子和氯离子分别用较黑的小圆球和较亮的大圆球表示)。从图看出，如果只看Na+，它构成面心立方格子；同样Cl-也构成面心立方格子。这两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，只不过互相有一位移。氯化钠结构的固体物理学原胞的取法，可以按Na+的面心立方格子选基矢，新取的原胞的顶角上为Na+，而内部包含一个Cl-，所以这个原胞中包含一个Na+和一个Cl-。也可按Cl-的面心立方格子选基矢，其结果是一样的。
图1.1.10 氯化铯结构 
图1.1.11 氯化钠结构
为了避免混淆，这里强调指出： 按固体物理的观点，复式格子总是由若干相同结构的子晶格互相位移套构而成；说结构、取原胞都是对布喇菲点阵而言的。因此，例如说氯化钠型的结构是面心立方(而不说成是简单立方)；说氯化铯型的结构是简单立方(而不说成是体心立方). 
3.  金刚石结构
金刚石是由碳原子组成的。它虽由一种原子构成，但是它的晶格是一个复式格子。金刚石结构的晶胞如图1.1.12所示，碳原子分成两类，一类碳原子(不妨称作A类)在晶胞的表面上，构成面心立方排列。在晶胞内部还有4个碳原子(不妨称作B类)，这4个原子分别位于4个空间对角线的1/4处，它们与晶胞最近的4个顶角互不相邻。B类碳原子的位置正好是A类碳原子沿某条体对角线方向平移1/4到达的位置，A1→B1, A2→B2, A3→B3, A4→B4. 
金刚石中碳原子的结合是由于碳原子公有外壳层的4个价电子形成共价键，每个碳原子和周围4个原子共价。图1.1.12 金刚石结构 
8由图1.1.12 可以看出一个B类碳原子周围有4个A类碳原子，构成一个正四面体，B在正四面体的中心，同它共价的4个A类碳原子在正四面体的顶角上，中心的B类碳原子和顶角上每一个A类碳原子公有两个价电子。图中，棒状线条代表共价键。可以想象，在正四面体中心的B类碳原子价键的取向，同顶角上的A类碳原子是不同的，若一个的价键指向左上方，则另一个的价键必指向右下方，如图1.1.12所示。由于价键的取向不同，这两种碳原子的周围情况不同，因此，金刚石结构是个复式格子，由两个面心立方的子晶格彼此沿其空间对角线位移1/4的长度套构而成。图1.1.12画的是金刚石晶胞，不是最小重复单元，如果要取金刚石的原胞，则其取法与前面说的面心立方的原胞的取法相同，原胞中包含A类、B类碳原子各一个。
【例1-1】 以图1.1.12所示的晶胞中心为原点，写出金刚石晶胞中B类碳原子的直角坐标。 
解 为讨论方便，假设晶胞边长a=1. A类碳原子位于顶角和面心，顶角坐标可表示为±12,±12,±12，面心坐标可表示为±12,0,0, 0,±12,0, 0,0,±12. A类碳原子沿体对角线［1,1,1］方向平移14到B类碳原子，则坐标由(x,y,z)变为x+14,y+14,z+14，留在晶胞内的点应满足|x|<12,|y|<12,|z|<12，所以有4点，图1.1.13 金刚石结构中B类
碳原子排列状况即B1-14,-14,-14、B2-14,14,14、B314,-14,14、B414,14,-14. 
图1.1.13画出了这4个碳原子的排列情况。可见，金刚石晶胞内的4个碳原子排列在边长为12a的小立方体的顶角上，互不相邻，两个碳原子的连线沿小立方体的面对角线方向。任意3个碳原子可确定一个面，共有4个面，围成一个正四面体，所以4个碳原子也可看作位于一个正四面体的4个顶角上。另外，由图1.1.12可以看出，B1周围的4个碳原子A1、A2、A3、A4的相对排列也可以用一个小立方体联系起来，B1在中心，而A1、A2、A3、A4在小立方体的4个互不相邻的顶角上。搞清碳原子的排列情况，对于分析金刚石晶体的对称性十分重要。
重要的半导体材料，如锗、硅等，都有4个价电子，它们的晶体结构和金刚石结构相同。
4. 闪锌矿结构
III族元素Al、Ga、In和V族元素P、As、Sb按照1∶1化学比合成的III-V族化合物，它们绝大多数是闪锌矿型的晶体结构，与金刚石结构类似。所不同的是，闪锌矿结构由两种不同的原子组成。即两类原子各构成面心立方子晶格，沿空间对角线位移1/4的长度套构而成, 如图1.1.14 所示。许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿结构，在集成光学上显得很重要的磷化铟也是闪锌矿结构。
*5. 密堆积结构
晶体中的粒子在没有其他因素的影响下，由于彼此之间的吸引力会尽可能地靠近，以形成空间密堆积排列的稳定结构。将粒子近似地看成是等径的钢球，其平面密排图形如图1.1.15 中A球的排列所示。球的间隙有B和C两种。由于邻近的B与C的中心距离小于钢球直径，所以在排第二层时B和C间隙上不可能同时置放钢球。而邻近的B与B或C与C之间的中心距离正好等于钢球直径，故排第二层时将球都放到B间隙位置(或都放到C位)能得到最紧密的堆积。设第二层为B 位，则第二层形成的间隙位置正对着下面的A位或C位，所以排第三层时视球放置的位置不同而有两种密堆积结构。
图1.1.14 闪锌矿型结构 
图1.1.15 平面密堆积层及其间隙 
 (1)  立方密堆积。将第三层球放到C位，则第四层球放入第三层球形成的间隙 A处，并依ABCABC…规律重复地堆积下去，如图1.1.16所示。面心立方沿体对角方向堆积的情况就是如此，金属Cu、Al、Au等的结构属于这种结构。
 (2)  六角密堆积。将第三层球放到 A位，并依ABABAB…顺序堆积下去，如图1.1.17所示。金属Zn、Mg、Be等属于这种结构。
图1.1.16 立方密堆积 
(a) 钢球堆积（ABCABC…) ; (b) 在面心立方中的排列关系
图1.1.17 六角密堆积 
(a) 钢球堆积（ABAB…) ; (b) 两种粒子的排列关系 
1.2 晶列与晶面 倒格子1.2.1 晶列  对于布喇菲点阵的情形，所有格点周围的情况都是一样的；如果通过任何两个格点连一直线(图1.2.1), 图1.2.1 晶列
则这一直线上包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列。晶体外表上所见的晶棱是重要的晶列。晶列上格点的分布具有一定的周期性(即其上任意两相邻格点的间距是相等的)。由于所有格点周围的情况都是一样的，因此通过任何其他的格点作该晶列的平行线，其上的格点分布与该晶列相同。这样可以得到许许多多平行的晶列，即所谓的晶列族，它们把所有的格点包括无遗。在一平面中，相邻晶列之间的距离相等。此外，通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应，所以共有无限多族的平行晶列。
由于每一族中的晶列互相平行，并且完全等同，一族晶列的特点是平行晶列具有相同的取向，称为晶向。晶列的方向可以用简单的数字来表示。在图1.2.1中O与B是其晶列上的最近两点，取格点O为原点，a1、a2、a3分别为原胞的三个基矢，则格点B的位矢Rl为Rl=l1a1+l2a2+l3a3(1.2.1)式中l1、l2、l3是整数,OB方向可以用这三个整数来确定，习惯上用方括号来表示，记为［l1 l2 l3］。若两格点不是其晶列上的最近两点，则相对位矢用基矢展开时，系数l1、l2、l3不是互质的，需要简约为互质后才代表晶列的方向。
在图1.2.1中，若取OA为基矢a1方向，OB为基矢a2方向，则沿OB方向的晶列指数是［010］，沿OB1、OB2、OB3方向的晶列指数分别是［110］、［210］、［310］。可见，晶列中相邻格点距离越远，则晶列指数越大。格点之间距离近，则相互作用就强，所以晶体中重要的晶列是那些指数较小的晶列. 
若指数为负值，也可将负号置于指数顶上，例如，l1=1, l2=-2, l3=3，则表示为［123］。因而，［hkl］与［］表示同一晶列的两个相反的方向。
晶体具有对称性，由对称性联系着的晶向可以只是方向不同，但它们在这些方向上的格点分布相同，物理性质相同，因而可视为等效的，等效晶向可以用〈hkl〉表示。例如立方晶系的［100］、［010］、［001］、［100］、［010］、［001］6个晶向，它们是等效晶向，用〈100〉表示。同样等效晶向〈111〉有8个，等效晶向〈110〉有12个。图1.2.2中标出了立方晶系中几个最为常见的重要的晶列指数。
图1.2.2 立方晶系中的重要的晶列指数 
(a) 〈100〉等价方向; (b) 〈111〉等价方向； (c) 〈110〉等价方向
在结晶学上，晶胞不是最小的重复单元，而晶胞的体积是最小重复单元的简单整数倍。实际上，除顶角外，格点也只在晶胞体心或面心上，所以当取任一格点O为原点，a、b、c为基矢时，任何其他格点B的位矢为m′a+n′b+p′c式中m′、n′、p′是有理数。也可以取三个互质的整数m、n、p，使m:n:p=m′:n′:p′,于是可用m、n、p来标示晶列OB的方向，记为［m n p］, 所以晶列的指数总是互质的整数。
1.2.2 晶面
同样，通过任一格点，可以作全同的晶面和一晶面平行，构成一族平行晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而图1.2.3 晶面族
无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。晶格中有无限多族的平行晶面(图1.2.3). 
同样，在每一族中晶面也是互相平行，并且完全等同，晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶列或晶面，只需标志其取向。
要描述一个平面的方位，通常就是在一个坐标系中表示出该平面的法线的方向余弦。但方向余弦不够简洁，我们希望用一组整数描写晶面取向。选取某一格点为原点，原胞的三个基矢a1、a2、a3方向为三个坐标轴，这三个轴不一定相互正交。晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距。考虑晶面族中离原点最近的晶面(图1.2.4中的ABC)，它在三个基矢方向的截距分别为d1、d2、d3. Kh为倒格子矢量，其长度反比于晶面族间距长度，后文将对Kh作具体介绍。由于a1、a2、a3矢量端点为格点，而一族晶面必包含了所有的格点，则d1必为a1的若干分之一，d2必为a2的若干分之一，d3必为a3的若干分之一，即d1=a1/h1,  d2=a2/h2,  d3=a3/h3(1.2.2)式中，h1、h2、h3为整数。用(h1 h2 h3)表示晶面的取向，称晶面指数. 
若晶面与某个基矢平行，则晶面与此轴不相交(或说相交于无限远)，故截距为无限大，按式(1.2.2)，相应的指数为0。图1.2.5为晶面指数的一些例子， 图中a1=a, a2=b，而a3图1.2.4 晶面族中离原点最近的面图1.2.5 晶面指数的例子 垂直于纸面，图中的直线代表与纸面垂直的平面，即都与a3平行。
上面是利用晶面族中离原点最近的晶面确定晶面指数的方法，而对于晶面族中任一晶面如何确定相应的晶面指数呢？例如，有一晶面族中离原点最近的晶面截距为d1=a1 , d2=a2/2 , d3=a3/3，按式(1.2.2)晶面指数为(123)。由于晶面族中的晶面相互平行，所以离原点第n个晶面的截距为d1′=na1 , d′2=n2a2 , d′3=n3a3，满足(d′1/a1):(d′2/a2):(d′3/a3)=11:12:13。也就是说，用天然长度单位表示的截距之比等于晶面指数的倒数之比. 
一般地，若任一晶面的截距为ra1、sa2、ta3，则应有r:s:t=1h1:1h2:1h3 或 1r:1s:1t=h1:h2:h3(1.2.3)  容易看出，任一晶面用天然长度单位表示的截距r、s、t是一组有理数，而三个整数h1、h2、h3是互质的。把晶面在坐标轴(基矢)上的截距(用天然长度单位表示)的倒数的比简约为互质的整数的比，所得的互质整数就是晶面指数. 
实际工作中，常以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示晶面指数，一般称密勒指数。密勒指数简单的晶面是重要的晶面，如(100)、(110)、(111)之类，如图1.2.6所示。实际上，密勒指数简单的晶面族中，面间距d大，所以这种晶面容易解理。对于一定的晶格，结点所“占”的体积(即最小重复单元的体积)是一定的，因此在面间距大的晶面上，格点的(即原子的)面密度必然大。这样的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表。又由于面上的原子密度大，对射线的散射强，因而密勒指数简单的晶面族，在X射线衍射中，往往与照片中的浓黑斑点所对应。
图1.2.6 立方晶系的部分重要晶面 
立方晶系中立方体的6个外表面的晶面指数分别为(100)、(010)、(001)、(100)、(010)、(001)。由于对称性，这些晶面是等效的，它们的面间距和晶面上原子的分布完全相同。在许多晶系中都有由对称性联系起来的等效晶面族，这些等效晶面族用{hkl}表示，例如上面所说的等效晶面表示成{100}. 
1.2.3 倒格子
设任意矢量P用基矢a1、a2、a3展开，系数为p1、p2、p3，即P=p1a1+p2a2+p3a3。如果a1、a2、a3不正交，则系数p1不能由P与a1的点乘求得。如果找到一个矢量b1，它与a2、a3都正交(例如b1∝a2×a3)，则P·b1=p1(a1·b1)，即P与b1的点乘只与p1有关。同理，找到矢量b2与a1、a3正交，b3与a1、a2正交。有了矢量b1、b2、b3，则任意矢量用基矢a1、a2、a3展开时，展开系数很容易求出。实际上，矢量b1、b2、b3还有许多用途，下面给出更准确的定义。
1. 倒格子的定义
设晶格的基矢为a1、a2、a3，由它们构成另一组矢量b1=2π［a2×a3］Ω,  b2=2π［a3×a1］Ω,  b3=2π［a1×a2］Ω(1.2.4)式中，Ω是晶格原胞的体积，即 Ω=a1·(a2×a3)。以b1、b2、b3为基矢可以构成一个新格子，称为倒格子，而把原来的晶格(即以a1、a2、a3为基矢构成的格子)称为正格子. 
不难验证，式(1.2.4)的定义满足下面关系ai·bj=2πδij=2π,i=j
0,i≠j(1.2.5)2. 倒格子与正格子的关系
由式(1.2.4)可知b1垂直于a2与a3组成的平面，b2垂直于a3与a1组成的平面，而b3垂直于a1与a2组成的平面，如图1.2.7所示。若ai为图1.2.7 正格子和倒格子的几何关系
正交系，则a1与a2、a3都垂直，故b1与a1平行，结合式(1.2.5)知，b1=2π/a1。另外两个基矢也类似。所以，对于正交系，有
   b1=2πa21a1,  b2=2πa22a2,  b3=2πa23a3(1.2.6)
再看倒格子原胞体积Ω*，利用矢量公式
   A×(B×C)=(A·C)B-(A·B)C(1.2.7)
则
 b2×b3=(2π)2Ω2(a3×a1)×(a1×a2)=(2π)2Ω2{［(a3×a1)·a2］a1-［(a3×a1)·a1］a2}
而(a3×a1)·a2=Ω, (a3×a1)·a1=0，所以上式化为b2×b3=(2π)2Ωa1(1.2.8)所以Ω*=b1·(b2×b3)=(2π)2Ωb1·a1=(2π)3Ω(1.2.9)也就是说，除(2π)3因子外，正格子原胞的体积Ω和倒格子原胞体积Ω*互为倒数。
再看看倒格子的倒格子。若将倒格子的倒格子的基矢取为c1、c2、c3，则由式(1.2.4)得 c1=2π［b2×b3］Ω*,  c2=2π［b3×b1］Ω*,  c3=2π［b1×b2］Ω*(1.2.10)应用式(1.2.8)和式(1.2.9)，得： c1=2π［b2×b3］Ω*=2πΩ*(2π)2Ωa1=a1。同理，c2=a2, c3=a3，即倒格子的倒格子就是原来的正格子。图1.2.8表示几种不同晶格的正格子和倒格子，第1种简单格子的倒格子还是简单格子，第2种面心格子的倒格子是体心格子，第3种体心格子的倒格子是面心格子，第4种底心格子的倒格子还是底心格子。
图1.2.8 几种不同晶格的正格子和倒格子
另外，正格子线度的量纲为［米］，倒格子线度的量纲为［米］-1。在倒格子定义式(1.2.4)中引入2π因子，可以为处理波矢有关的问题带来方便。实际上，正格子与倒格子互为傅里叶变换空间，正格子对应的是坐标空间，倒格子对应的是波矢空间。
3. 倒格矢与晶面族法线的关系
在倒格子中，倒格点的相对位矢称为倒格矢，常用符号K或G表示。设倒格子的基矢为b1、b2、b3，一般倒格矢可表示为Kh=h1b1+h2b2+h3b3 (1.2.11)式中，h1、h2、h3为整数。
可证，正格子中一族晶面(h1 h2 h3) 和倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3是正交的。参看图1.2.4，晶面族(h1 h2 h3) 中最靠近原点的晶面ABC在基矢a1、a2、a3上的截距为a1/h1、a2/h2、a3/h3。由图可知，ABC面上的两个矢量CA和CB可表示为CA＝OA-OC=a1/h1-a3/h3, CB=OB-OC=a2/h2-a3/h3如果能够证明CA和CB都与Kh垂直，即满足Kh·CA=0和Kh·CB=0，则Kh必与晶面族(h1 h2 h3) 正交。事实上，因为ai·bj=2πδij，所以Kh·CA=(h1b1+h2b2+h3b3)·(a1/h1-a3/h3)=0
Kh·CB=(h1b1+h2b2+h3b3)·(a2/h2-a3/h3)=0  另外，由倒格矢Kh的长度很容易求出晶面族(h1h2h3) 中邻近的两个面的距离。图1.2.4中的ABC面就是晶面族(h1h2h3) 中最靠近原点的晶面，因此这族晶面的面间距dh1h2h3就等于原点到ABC面的垂直距离。而这族晶面的法线方向可用Kh表示，所以dh1h2h3就等于OA在Kh方向的投影值(当然也可以是OB或OC的投影值，结果是一样的)，即dh1h2h3=a1h1·Kh|Kh|=a1h1·h1b1+h2b2+h3b3|Kh|=2π|Kh| (1.2.12)1.3 晶体结构的对称性 晶系1.3.1 物体的对称性与对称操作  对称性，特别是几何形状的对称性，是很直观的性质。例如，图1.3.1中的圆形、正方形、等腰梯形和不规则四边形，就有明显的不同程度的对称。但是怎样用一种系统的方法才能科学地、具体地来概括和区别所有这些不同情况的对称性呢？我们可以结合图1.3.1的具体例子来回答这个问题。
图1.3.1 几何形状的对称性
(a) 圆形; (b) 正方形; (c) 等腰梯形; (d) 不规则四边形
首先，它们不同程度的对称性可以从图形的旋转中来分析。显然，圆形绕过圆心并与纸面垂直的轴旋转任何角度都是不变的，正方形则只有绕中心轴旋转π2、π、3π2的情况下才会与自身重合，而等腰梯形和不规则四边形则在任何旋转下都不能保持不变。
上面的分析表明，考察图形在旋转中的变化，可以具体地显示出图1.3.1(a)、(b)、(c)之间不同程度的对称，但是，还不足以区别图(c)和图(d)之间的差别。为了进一步能显示出这样的区别，可以考察图形按一个平面作左右反射(或说镜面成像)后发生怎样的变化。显然，圆形对包含任意的直径并与纸面垂直的平面作反射都不改变，正方形则只有对包含对边中心的连线或包含对角线的垂直平面作反射才保持不变，等腰梯形只有对包含两底中心连线的垂直平面作反射而不变，不规则四边形则不存在任何左右对称的垂直平面。
以上分析所用的方法，概括起来说，就是考察在一定几何变换之下物体的不变性。我们注意上面所考虑的几何变换(旋转和反射)都是正交变换(即保持两点距离不变的变换)。概括宏观对称性的系统方法正是考察物体在正交变换下的不变性。在三维情况，正交变换可以写成x
y
z→x′
y′
z′=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33x
y
z(1.3.1)其中矩阵 (aij）是正交矩阵(i, j＝1, 2, 3)。正交变换分成两大类，一类是变换矩阵的行列式等于+1，这实际代表一个空间转动。例如，绕z轴旋转π后，坐标变换关系为x→x′=-x, y→y′=-y, z→z′=z，记变换矩阵为R，则R=-100
0-10
001(1.3.2)另一类是变换矩阵的行列式等于-1，例如对x-y平面作反射，则x→x′=x, y→y′=y, z→z′=-z，即变换矩阵为M=100
010
00-1(1.3.3)然而，变换矩阵的行列式等于-1的最简单情况是所谓中心反演，即x→x′=-x, y→y′=-y, z→z′=-z。或用位矢表示，变换为r→-r。中心反演的变换矩阵为I=-100
0-10
00-1(1.3.4)  由式(1.3.2)～式(1.3.4)可知，M=IR。这就是说，平面反射等价于绕垂直轴旋转π后再进行中心反演。参见图1.3.2, 图1.3.2 镜面等价于旋转π加中心反演 图中所示P点经转动到P′，再经中心反演到P" ,很容易看出，P" 正好是P点在通过原点垂直转轴的平面M的镜像。所以一般来说，变换矩阵的行列式等于-1，代表着一个空间转动加上通过原点的反演。
如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。说明一个物体的对称性，就归结为列举它的全部对称操作。显然，一个物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。上面对图1.3.1所做的分析，实际上就指出了各图形所具有的对称操作。下面举例说明三维物体的对称性。
【例1-2】 分析立方体的对称性，找出立方体的全部对称操作。 
解 立方体三条边长相等，并互相垂直。
(1) 绕对面中心连线(也称立方轴，即图1.3.3(a)中的OA、OB或OC)转动π/2、π、3π/2. 3个立方轴，共9个对称操作。
(2) 绕对棱中心连线(也称面对角线，见图1.3.3(b)中中心面上的对角线)转动π, 6个不同的面对角，共6个对称操作。
(3) 绕对角连线(也称体对角线，见图1.3.3(c))转动2π/3、4π/3. 4个不同的体对角线，共8个对称操作。
显然，正交变换E=100
010
001(1.3.5)即不动，也算一个对称操作。这样加起来，一共是24个对称操作。
图1.3.3 立方体的对称轴
显然，立方体的几何中心也是对称中心，即对此点进行中心反演立方体保持不变。因此，以上每一个转动加一中心反演都仍是对称操作。
以上便是立方体所具有的全部对称操作，总共为48个。
【例1-3】 分析正六角柱的对称性，找出它的全部对称操作。 
解 (1) 绕底面中心连线(或称中心轴线)转π/3、2π/3、π、4π/3、5π/3，共 5个对称操作。
图1.3.4 正六角柱的对称性
(2) 绕对棱中点连线转π，如图1.3.4所示共有3条这样的连线(实线)，共3个对称操作。
(3) 绕图示相对的面中心的连线(虚线)转π，这样的连线共有3条，共3个对称操作。
加上式（1.3.5）所示正交变换E，共12个对称操作。
以上每一对称操作加上中心反演仍为对称操作。这样得到全部24个对称操作。
在具体概括一个物体的对称性时，为了简便，有时不去一一列举所有对称操作，而是描述它所具有的所谓“对称素”。如果一个物体绕某一个轴转2π/n仍与原来的物体重合时，这个轴便称为物体的n度(也称n重或n次)旋转轴，简称为n度轴。如果不是简单转动，而是附加反演，就称为旋转-反演轴。一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称为物体的“对称素" 。显然，列举出一个物体的对称素和列举对称操作一样，只是更为简便。n度旋转轴和n度旋转-反演轴有时简单用n和n-分别标记。
*1.3.2 晶体的对称点群
一些晶体在几何外形上表现出明显的对称，如立方、六角等对称。这种对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中，对于研究晶体的性质有极其重要的意义。
晶体具有各种宏观对称性，原因就在于原子的规则排列。周期排列是所有晶体的共同性质，而正是在粒子周期排列的基础之上产生了不同晶体所特有的各式各样的宏观对称性。
1. 对称操作的组合
设正交变换A和正交变换B都是物体的对称操作，即物体通过变换A或B都是不变的。那么，物体经过变换A后紧接着进行变换B，物体也应该不变。这就是说，如果A和B都是对称操作，则其组合C=BA也是对称操作。这是不是意味着，如果物体有两个对称操作，就可以组合出第三个对称操作，第三个对称操作与前面的对称操作组合可以得到第四个，依此类推，物体可以有无限多个对称操作？其实不然，两个对称操作的组合虽然也是对称操作，但可能不是新的对称操作。下面举例说明。
【例1-4】 立方体如图1.3.5所示，证明绕OA转π接着绕OB转π，等价于绕OC转π(结论对长方体同样适用).  
图1.3.5 操作的等价性
证 取坐标x、y、z分别沿OA、OB、OC，则绕OA转π的变换矩阵为A=100
0-10
00-1；绕OB转π的变换矩阵为B=-100
010
00-1；绕OC转π的变换矩阵为C=-100
0-10
001。因为BA=C，所以绕OA转π接着绕OB转π，等价于绕OC转π. 
如果将式(1.3.5)所示的单位矩阵E包含在内，则E、A、B、C四个操作无论怎么组合，都仍然是这四个操作，不会产生新的对称操作。组合关系可由表1.3.1表示：表1.3.1 四个操作的组合表操作EABC操作EABCEEABCBBCEAAAECBCCBAE  一般来说，一个物体的全部对称操作将构成一个闭合的体系，其中任意两个“元”（对称操作）相乘，结果仍包含在这个体系之中。前面指出，我们把原位操作E也列为物体的对称操作之一，很容易看到，只有这样，才能保证对称操作的上述闭合性。
实际上，一个物体的对称操作构成数学上的“群”，上面说明的闭合性正是群的最基本的性质，对称性的系统理论就是建立在群的数学理论基础之上的。
2. 点群
下面先分析晶体的布喇菲点阵的对称性，说明由于晶体周期性的限制，布喇菲点阵的对称轴只有若干种类型。图1.3.6 布喇菲格子的对称轴 

设想有一转动对称轴，转角为θ。我们画出布喇菲点阵中垂直转轴的晶面，在这个晶面内有两个近邻点A与B，如图1.3.6所示。如绕A转θ，则将使B格点转到B′的位置，由于是对称操作,在B′处必定原来就有一格点。因为布喇菲点阵的特点是所有的格点都是等价的，B和A完全等价，所以转动也同样可以绕B进行，设想绕B作(-θ)转动，这将使A格点转至图中A′位置，说明 A′处原来也必有一格点。不难看出，B′A′平行于AB，两条平行晶列上的格点分布完全相同，而前面假定A与B是近邻格点，即相距一个周期，故B′A′距离应为AB距离的整数倍，即|B′A′|=n|AB|(1.3.6)其中n为整数。另一方面，根据图形的几何关系得|B′A′|=|AB|+2|AB|cos(π-θ)=|AB|(1-2cosθ)(1.3.7)由式(1.3.6)和式(1.3.7)得n=1-2cosθ因为cosθ必须在-1到+1之间，n只能有-1、0、1、2、3五个值，相应地θ＝0. 、60. 、90. 、120. 、180. (1.3.8)上述对转角θ的取值表明，不论任何晶体,它的宏观对称只可能有下列10种对称素： 
1, 2, 3, 4, 6 和 1, 2, 3, 4, 6
值得指出对称素2代表先转动π再对原点作中心反演，前面已经指出(见图1.3.2)，这相当于有一个对称面。因此，这个对称素一般称为镜面，常引入符号m表示。
在以上10种对称素的基础上组成的对称操作群，一般称为点群。
具体的分析证明，由于对称素组合时受到的严格限制，由10种对称素只能组成32个不相同的点群。这就是说，晶体的宏观对称只有32个不同类型，分别由32个点群来概括，见表1.3.2所列。
表1.3.2 晶体的32种宏观对称类型符号符号的意义对称类型数目Cn具有n度轴C1、C2、C3、C4 、C65Ci具有对称中心(i)Ci 1Cs具有对称面(m)Cs 1Cnhh代表除n度轴外还有与轴垂直的水平对称面C1h＝C1V、C2h、C3h、C4h、C6h4CnVV代表除n度轴外还有通过该轴的铅垂对称面C2V、C3V、C4V、C6V4Dn具有n度轴及n个与之垂直的2度轴D1＝C2、D2、D3、D4、D64Dnhh的意义与前相同D2h、D3h、D4h、D6h4Dndd表示还有一个平分两个2度轴间夹角的对称面D2d、D3d2Sn经n度旋转后，再经垂直该轴的平面的镜像(S2= Ci, S1= Cs, S3= C3h)①
S4、S62T代表有四个3度轴和三个2度轴(正四面体的旋转对称性)T1Thh的意义与前相同Th1