第一篇静力学



















第1章静力学分析基础





学习要点： 力系和刚体的概念，静力学公理，约束与约束反力，物体受力图的绘制。
1.1力的概念
1. 力的定义

人们在生活和生产实践中早就认识了力，也有了力的概念，但是有关力的科学定义却来自18世纪的牛顿力学定律。根据牛顿定律，可以将力定义为： 力是物体之间的相互作用。由此可知，力是成对出现的，并互为作用力和反作用力。

力是无形的，但力对物体作用的效果是可见的，力对物体的作用效果可分为两类： 一类是使物体的运动状态发生改变，称为力的外效应；  一类是使物体的形状发生改变，称为力的内效应。静力学就是研究物体在力的作用下的外效应。实践证明，力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。
2. 力的单位
力的单位是牛（N），来自牛顿的力学定律。用质量和它获得的加速度的乘积来作为力的度量，即1N=1kg·m/s2。
在建筑工程中，牛的单位太小，通常用千牛（kN）来度量。工程中将力称为荷载。有些作用力的作用范围可以不计，抽象化为一个点，称为集中力或称集中荷载，其单位是kN； 有些力作用的体积或面积不能忽略，称为分布力或称为分布荷载。对于分布于体积上的荷载，用体荷载集度来度量，其单位是kN/m3； 对于分布于面积上的荷载，用面荷载集度来度量，其单位是kN/m2;沿杆件轴线分布的荷载，称为线荷载，用线荷载集度来度量，其单位是kN/m。
图1-1所示为单层厂房桥式吊车梁的受力图，小车对梁的压为P3可视为集中荷载，其单位是kN； 吊车梁受地球的作用力分布于其体积上，称为体荷载，其度量单位是kN/m3； 如果将体荷载乘以梁的高度，就变为面荷载，其度量单位是kN/m2； 如果将面荷载再乘以梁的宽度，就变为沿轴线分布的线荷载，其线荷载集度用q表示，其单位是kN/m（见图1-1（b））。


图1-1单厂桥式吊车大梁受力简图

（a） 单厂横截面图，DE为桥式吊车大梁；  （b） DE梁的计算简图

建筑结构中所受的重力通常是恒量，因为重力加速度可视为恒量。
力是矢量，方向和加速度矢量一致。由力的三要素可知，力可用沿力作用线的有向线段来表示，见图1-2。


图1-2力矢量

3. 力系与力系的简化
1） 力系
作用于物体上的多个力称为力系。所有力的作用线都在同一个平面内，叫做平面力系。如果平面力系中的各力的作用线都汇交于一点，叫做平面汇交力系； 如果平面力系中各力都相互平行，叫做平面平行力系； 如果平面力系中各力作用线既不全平行也不汇交于一点，叫做平面一般力系。
2） 力系的简化
如果两个力系对物体在某方面的作用效果相同，就称这两个力系在这方面是等效力系； 两个等效力系，相互代换，以达到简化的目的，称为等效代换。
如果一个力和一个力系等效，就称这个力为这个力系的合力，力系中的各个力就是合力的分力。为达到简化的目的，合力与其分力也可相互等效代换。
 如果作用于某物体上的力系使物体处于平衡状态，就称这个力系为平衡力系。研究力系的平衡条件是静力学的主要内容。
1.2刚体的概念
力作用于物体，都会引起物体的变形。如果研究的物体变形很小，对研究的问题影响甚微，或没有影响，就可以将研究的物体视为不变形的物体——刚体。刚体就是受力后内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体。
刚体是一个理想化的力学模型，即在研究物体的平衡时，不考虑物体的变形。在研究物体某一局部的平衡时，将该局部视为刚体，称为局部刚化原理。
是否将物体视为刚体，要视研究的问题而定，当研究的问题和变形相关时，即使很微小的变形也必须考虑，这时物体就是变形体。
1.3静力学公理
静力学公理或原理是人类在长期的生产和生活实践中，经过长期观察和实验总结出来的客观规律，是不需要证明就可使用的真理。它是建立静力学全部理论的基础。
1. 二力平衡公理
作用于一个刚体上的两个力处于平衡状态的充分必要条件是：  大小相等、方向相反、作用在同一条直线上（见图1-3），即

F1=-F2（1-1）

受两个力，并处于平衡状态的构件称为二力构件。
应注意，对于变形体，上述条件只是平衡的必要条件。
2. 作用、反作用公理
两物体间相互作用产生的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿同一条直线，且分别同时作用在两个物体上。
此公理就是牛顿力学中的第三定律，它不仅给出了力的定义，还说明两物体间相互作用产生的作用力和反作用力是共生共灭的同一类型的力，它们不能抵消，因为它们不是作用在同一个物体上的。
如图1-4（a）所示，重物A置于台面上。A对台面的压力FN和台面对A的支承力F′N构成了一对作用力和反作用力；  F′N和A的重量G，构成了一对平衡力。



图1-3刚体上二力平衡图



图1-4力的作用与反作用示意图


3. 力的平行四边形法则
作用于物体同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力。合力的大小和方向由这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线来确定（见图1-5），可表示为

FR=F1+F2（1-2）

式中，FR为F1和F2的矢量和。
作图时，可直接把力矢F2平移到力矢F1的末端，连力矢F1的始端和力矢F2的末端即为其合力矢（见图1-6）。这样就由力的平行四边形法则演化为力的三角形法则。
4. 加减平衡力系原理
从作用于刚体上的力系中，加上或减去任意平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效果。



图1-5二力合成平行四边形法则



图1-6二力合成的三角形法则


由这一原理可引出力的可传递性（见图1-7）：  作用在刚体上的力，可以沿其作用线在该刚体上移动，而不改变这个力对该刚体的作用效果。
由上述原理可推出三力平衡汇交定理：  刚体在不平行的三力作用下处于平衡时，此三力的作用线必共面且汇交于一点。

证明：  设在刚体的A，B，C三点上分别作用不平行的三个力F1，F2，F3（见图1-8）物体处于平衡状态，证明三力汇交于一点。



图1-7力的可传递性示意图



图1-8三力平衡汇交定理示意图



根据力的可传递性，将F1，F2移到其汇交点O；  利用平行四边形法则求得其合力F12；  因为F1，F2，F3是作用于刚体上的平衡力系，所以F3和F12是一对平衡力，必共线且交于O点，F3必与F1，F2共面且汇交于一点。证明完毕。
三力平衡汇交定理，是三力平衡的必要条件，不是充分条件。常用来确定刚体在不平行三力作用下处于平衡时，其中某一未知力的作用线。
应注意，二力平衡公理是对一个刚体而言，只适用于刚体；  作用反作用公理是对两个物体而言，它适用于刚体、变形体和运动物体及各种引力场。
1.4约束和约束反力
有些物体在空间的位移不受限制，称为自由体；  有些物体在空间的位移受到限制，称为非自由体。
限制非自由体移动的其他物体，称为对非自由体的约束，其作用力称为约束反力。作用于物体上的力可分为主动力（如重力等）和被动力两种。约束反力显然属于被动力，它随主动力的变化而变化，随主动力消失而消失。下面介绍工程中常见的几种约束类型及其约束反力的特性。
1. 柔性约束
绳索、链条等都可简化为柔性约束。这种约束的特点是只能限制物体沿柔性中心线延长方向的位移，因此柔性的约束反力必定沿着柔性的中心线且背离物体，即表现为拉力，如图1-9所示。约束反力为FT，其反作用力为F′T作用在绳上。
2. 光滑接触面约束
这种约束是由两个物体在无摩擦光滑的表面接触形成。物体沿接触面的公法线且指向接触面的位移受到限制，所以光滑表面对物体的约束反力作用于接触点，沿接触面公法线的方向指向被约束的物体，即为对物体的压力，如图1-10所示FN为约束反力，和球的重力G构成一对平衡力。



图1-9柔性约束示意图



图1-10光滑接触面约束示意图


3. 光滑圆柱铰链约束
铰链约束是两个物体连接常见的形式。如图1-11（a）所示，物体A，B上各制大小相同的光滑圆孔，由光滑螺栓C相连。这种约束简称为铰约束，图1-11（c）为其简化表示。


图1-11光滑铰约束图

（a） 铰构造图；  （b） 光滑铰约束力图；  （c） 铰约束计算简图；  （d） 铰约束反力图

这种约束的性质是：  两物体在铰连接处可相对转动，但不能有相对移动。由于接触点K不能确定，所以约束反力FN的方向也不能确定，通常将其分解为Fx，Fy，即将铰的约束反力用两个互相垂直的分力表示，如图1-11（b）、（d）所示，其方向是假定的。
4. 链杆与链杆支座约束
链杆是两端和其他物体用光滑铰连接，不计自重且中间不受力的杆件。链杆只在两铰处受力，且处于平衡状态，故称为二力杆。这两个力必定大小相等、方向相反地作用在链杆两个铰中心的连线上。
链杆对物体的约束反力方向必沿链杆两铰中心连线的方向，大小和指向待定。
链杆支座是由链杆构成的支座，其约束反力方向是假定的。
图1-12中，杆CB为二力杆，其约束反力方向如图1-12（b）所示，指向是假定的。
5. 活动铰支座约束
这种支座只限制构件沿支承面法线方向的移动。图1-13（a）可简化为图1-13（b），进一步简化为链杆支座图1-13（c）。支座反力如图1-13（d）所示，指向是假定的。



图1-12二力杆结构受力图

（a） 二力杆结构；  （b） AD、CB杆受力图



图1-13活动铰支座

（a） 活动铰支座构造图；  （b） 活动铰支座计算简图； 

（c） 链杆支座；  （d） 活动铰支座和链杆支座约束反力


6. 固定铰支座约束
这种支座限制构件在水平方向和沿支承面法线方向的移动。图1-14（a）可简化为图1-14（b），进一步简化为链杆支座，如图1-14（c）所示，其支座反力如图1-14（d）所示，指向是假定的。


图1-14固定铰支座

（a） 固定铰支座构造图；  （b）、（c） 固定铰支座计算简图；  （d） 固定铰支座约束反力

1.5物体的受力分析和受力图
解决力学问题，首先要确定研究的对象，其上受哪些主动力（一般是已知的），周围有哪些性质的约束，约束反力（是未知的）的作用点、指向及其大小如何确定，这个分析物体的受力过程称做物体的受力分析。
物体的受力分析有两个步骤：  一是将被研究的物体脱离出来，这个过程称做取脱离体；  二是在脱离体上标出所有的力，已知力标实际方向，未知力标“正”向（这个“正”向是设定的），这个过程称做画受力图。
下面举例说明受力图的画法。
［例1-1］图1-15（a）所示结构，画出其受力图。


图1-15［例1-1］图

（a） 简支梁计算简图；  （b） 简支梁受力图




图1-16［例1-2］图

（a） AB杆处于平衡状态；  

（b） AB杆受力图


解（1） 取AB为脱离体，将A，B两处约束去掉。
（2） 画出主动力（即已知外力F，q）；  根据A，B两点约束的性质，画出相应的约束反力FAx,FAy,FB（指向是假定的正方向），即为受力图，如图1-15（b）所示。
［例1-2］画出图1-16（a）中AB杆的受力图。
解（1） 取AB为脱离体。
（2） 画出所有的力：  主动力G；  约束反力FA垂直于AB（即沿其公法线方向），约束反力FB垂直于地面，DE为柔性约束，约束反力FD沿绳DE方向，指向离开D点，即为拉力。受力图如图1-16（b）所示。
［例1-3］三铰刚架如图1-17（a）所示，画出整体受力图和AC、BC的受力图。
解法1（1） 画整体受力图。取整体为研究对象，解除A，B处约束。BC为二力杆，FB沿CB方向，由三力平衡汇交定理，FB交F于E点；  FA作用线沿AE方向。受力图如图1-17（b）所示。

（2） 取BC为研究对象，解除C，B处约束。CB为二力杆，所以C，B处支反力FC，FB的作用线沿CB方向，且FB=-FC，受力图如图1-17（c）所示。
（3） 取AC为研究对象，解除A，C处约束。在AC上画出主动力F，由作用力与反作用力定律，F′C=-FC，且F′C交F于E点，FA沿AE连线方向，受力图如图1-17（d）所示。


图1-17［例1-3］图一

（a） 三铰刚架；  （b） 三铰刚架受力图；  （c） BC受力图； （d） AC受力图



解法2（1）画整体受力图。取整体为研究对象，画上已知力F，解除A，B两点约束，根据约束性质画出约束反力，见图1-18（a）。


图1-18［例1-3］图二

（a） 整体受力图； 
（b） AC受力图； 
（c） BC受力图


（2） 画AC受力图。取AC为研究对象，画已知力F，解除A,C约束，根据约束性质画出约束反力，见图1-18（b）。
（3） 画BC受力图。取BC为研究对象，解除CB约束，根据约束性质画出约束反力。在此应注意，解除铰C约束时，在画AC受力图时，已设FCy,FCx的正向，在画CB受力图时，C铰约束反力应符合作用力反作用力公理，即F′Cx=-FCx,F′Cy=
-
F′Cy。见图1-18（c）。
习题
1-1指出下列物体受力图的错误并改正。


题1-1图