绪论
1. 本课程的研究对象、性质和任务
本课程是工科各专业必修的一门技术基础课。主要研究
绘制和阅读工程图样的原理和方法，培养学生的空间想像能力和创造性
思维能力。同时，它又是学生后继课程和课程设计、毕业设计不可缺少的基础。

画法几何是研究空间几何问题图示法和图解法的学科。图示法是运用投影理论在平面上表示空间几何元素(点、线、面)及其相对位置的方法； 图解法是运用投影理论在平面上用几何作图解决空间几何问题的方法。学习图示法和图解法的过程，也是逐步培养和发展空间想像力和空间构思能力的过程。
机械制图则涉及机械工程图样的绘制与阅读。工程图样是工程与产品信息的载体，是工程界表达、交流设计思想的语言。它是工程技术部门的一项重要技术文件，可以用二维图形表达，也可以用三维图形表达； 可以用手工绘制，也可以由计算机生成。在现代工业中，设计、制造、组装各种设备时都离不开工程图样，在使用、维修、检测设备过程中也需要阅读工程图样来了解其结构和性能。因此，每个工程技术人员都必须能够绘制和阅读工程图样。
本课程的任务： 
(1) 培养使用投影的方法用二维平面图形表达三维空间立体的能力。
(2) 培养对空间形体的形象思维能力。
(3) 培养创造性构型设计能力。
(4) 培养使用绘图软件绘制工程图样及进行三维造型设计的能力。
(5) 培养仪器绘图、徒手绘图和阅读专业图样的能力。
(6) 培养工程意识及贯彻、执行国家标准的意识。
2． 本课程的学习方法
(1) 本课程是实践性很强的技术基础课，在学习中要坚持理论联系实际。在掌握基础知识的基础上通过一系列的绘图和读图实践，来掌握本课程的基本原理和基本方法。
(2) 在学习中，应注意空间几何元素位置的分析以及空间几何元素与其投影的关系，完成“从空间到平面，再从平面到空间”的反复转化，只有这样，才能不断提高和发展空间想像能力以及分析问题和解决问题的能力。
(3) 本课程系统性强，是按点、线、面、体等几何要素，由简到繁，由易到难，由浅入深的顺序编排的，前后内容之间的联系十分紧密，学习时必须抓住一条主线，由点到线，由线到面，再由面推及立体，环环相扣，循序渐进地进行学习。
(4) 认真听课，在听课时应积极主动地思考，课下应及时进行练习，独立完成作业，以加深对所学内容的理解，巩固所学的知识。并逐步养成实事求是的科学态度和严肃认真、耐心细致、一丝不苟的工作作风。

















画法几何基础篇




第1章投影法和点的投影
第1章投影法和点的投影
1.1投影法概述

投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法，所得到的图形叫做投影或投影图。所有投射线的起源点，称为投射中心； 发自投射中心且通过物体上各点的直线，称为投射线； 在投影法中得到投影的面称为投影面； 如图1-1中的S称为投射中心，SA、SB、SC称为投射线，P称为投影面，点a、b、c为投射线与投影面的交点，称为点A、B、C在投影面P上的投影或投影图。△abc称为△ABC的投影或投影图。
工程图样的绘制主要以投影法为依据。常用的投影法有中心投影法和平行投影法。
1.1.1中心投影法
如图1-1所示，投射中心S位于有限远处，投射线SA、SB、SC汇交于一点的投影法称为中心投影法。所得的投影称为透视投影。
用中心投影法得到的物体的投影与物体对投影面所处的位置有关，投影不能反映物体表面真实形状和大小，但图形富有立体感。该方法常用于绘制建筑物或产品的立体图，也称为透视图或透视。
1.1.2平行投影法
若投射中心位于无限远处，则所有的投射线都相互平行，这种投射线相互平行的投影法称为平行投影法，如图1-2所示。



图1-1中心投影法




图1-2平行投影法

(a) 斜投影法； (b) 正投影法



在平行投影法中，根据投射线与投影面的角度不同，又分为两种： 
(1) 斜投影法。投射线与投影面相倾斜的平行投影法称为斜投影法。根据斜投影法所得到的图形称为斜投影(斜投影图)，如图1-2(a)所示。
(2) 正投影法。投射线与投影面相垂直的平行投影法称为正投影法。根据正投影法所得到的图形称为正投影(正投影图)，如图1-2(b)所示。
正投影在空间平面平行于投影面时能正确地表达平面的真实形状和大小，作图方便，在工程上广泛运用，在后续的学习中，若不加说明，投影均指正投影。
1.1.3正投影的投影特性
1. 实形性

当直线或平面平行于投影面时，其在该投影面上的投影反映实长或实形。如图1-3(a)、(b)所示，AB∥H,则 ab=AB； △ABC∥H,则 △abc≌△ABC。
2． 积聚性
当直线或平面与投影面垂直时，则直线或平面在该投影面上的投影积聚为一点或一条直线。如图1-4所示，△ABC⊥H，则abc积聚为一直线； DE⊥H,则d(e)积聚为一点。



图1-3实形性




图1-4积聚性



3. 类似性
当直线或平面图形既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图形的类似形。在正投影下，投影小于实长或实形，如图1-5(a)、(b)所示。
4． 平行性
两相互平行的直线，其投影仍然平行。如图1-6所示,AB∥CD,则ab∥cd。



图1-5类似性




图1-6平行性



5． 定比性
两平行线段的长度之比，与其投影的长之比相等。如图1-6所示，AB∥CD，则AB∶CD=ab∶cd。直线上一点把直线分成两线段，两线段长度之比，与其投影长之比相等，如图1-7所示，AC∶CB=ac∶cb。
6． 从属性
 若点在一条直线上，则点的投影必然在这条直线的同面投影上。同样线在平面上，则线的投影也必然在该面的同面投影上。如图1-8(a)、(b)所示，C∈AB,则c∈ab； AD∈△ABC,则ad∈△abc。



图1-7定比性




图1-8从属性



1.1.4工程上常用的几种投影图
1. 多面正投影图

按正投影法绘制多面正投影图的立体感不足，即直观性较差，但由于其度量性方面的突出优点，在机械制造行业和其他工程部门中，被广泛采用，如图1-9所示。


图1-9多面正投影图


2. 轴测投影图
轴测投影图是按斜投影法或正投影法绘制的，能同时反映出几何体长、宽、高三个方向的形状，以增强立体感，如图1-10所示。轴测投影图以其良好的直观性，经常用作书籍中的插图或工程图样中的辅助图样。
3. 透视投影图
按中心投影法绘制，它与照相成影的原理相似，图形接近于视觉映像，如图1-11所示。透视投影图富有逼真感、直观性强。适于表达大型工程设计和房屋、桥梁等建筑物。



图1-10轴测图




图1-11透视图



4. 标高投影图
按正投影法原理绘制，标高投影图常用来表示不规则曲面，如船舶、飞行器、汽车曲面及地形等，如图1-12所示。画法是： 把不同高度的点或平面曲线投射到投影面上，然后在相应的投影上标出符号和表示该点或曲线高度的坐标。例如图中的点a在标有40的曲线上，表示点A距水平面的高度为40单位。标高投影适宜于表达高度与长、宽比较小的曲面。


图1-12标高投影图 

1.2点的两面投影
1.2.1两投影面体系的建立

在图1-13中，已知空间点 A 和投影面 H，过点A作 H 面的投射线，投射线与 H 面的交点 a 即为点 A 在 H 面的投影，A点有唯一确定的投影。当投影方向确定时，投射线上的其他点(A1和A2)的投影(a1和a2)都重影在点a 上。所以点的一个投影不能确定它在空间的位置，至少需要两个投影面。
因此，要确定点的空间位置，必须增加其他投影面。如图1-14所示为两个相互垂直的投影面，正立投影面(简称 V 面或正面)和水平投影面(简称 H 面或水平面)，两个投影面的交线称为 OX 轴。这两个投影面就组成一个两投影面体系，称为V/H两投影面体系。水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个区域，每一区域叫做分角。分别称为第Ⅰ分角、第Ⅱ分角、第Ⅲ分角、第Ⅳ分角。我国采用第Ⅰ分角投影。



图1-13点的单面投影




图1-14两投影面体系



1.2.2点在两投影面体系第Ⅰ分角中的投影
在V/H两投影面体系第Ⅰ分角(图1-15(a))中,将空间点A按正投影法向正立投影面和水平投影面作投影，即由点A分别向V面和H面作垂线，得垂足a′和a，则a′和a称为空间点A的正面投影和水平投影。
规定： 空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等，点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′等。
在图1-15(a)中，Aa′和Aa构成了一个平面，这个平面分别与V面﹑H面和OX轴垂直，所以OX⊥a′ax、OX⊥aax(ax为平面a′Aa与OX轴的交点)。此时，四边形Aaaxa′是一个矩形，所以Aa′= aax，Aa= a′ax。
为使两个投影a′和a画在同一平面上，需把相互垂直的两个投影面展开重合到一个平面内。规定V面不动，将H面绕OX轴按图1-15(a)所示箭头方向旋转90°，使之与V共面，此时aax随之也旋转90°与a′ax在同一条直线上,如图1-15(b)所示。为简化作图，可不画投影面的外框线(图1-15(c))，就得到了A点在V/H两投影面体系中的投影图。a′a连线画成细线，称为投影连线。


图1-15点的两面投影


1.2.3点的两面投影特性
根据以上分析，点的两面投影有如下特性： 
(1) 点的投影连线垂直于投影轴，即a′a⊥OX。
(2) 点到某一投影面的距离，等于该点在另一个投影面上的投影到其投影轴的距离，即Aa′= aax，Aa= a′ax。
1.3点的三面投影
1.3.1三投影面体系的建立

为了完整清晰地表达物体的形状和结构，有时需采用三个或三个以上的投影面。在V/H两投影面体系的基础上，再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面(简称W面或侧面),就构成了一个三投影面体系(图1-16(a))，图中V 面与W面的交线为 OZ轴，H面与W面的交线为OY轴。X、Y、Z轴交于点O，称为原点。
1.3.2点在三投影面体系的投影
在图1-16(a)中，在V/H两投影面体系的投影基础上空间点A再向W面作正投影，得投影a″(点的侧面投影用相应小写字母加两撇表示)。


图1-16点的三面投影


为了把上述空间的三面投影表示在同一平面上，需要将投影面展平。展平方法为： V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合； W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合，如图1-16(b)所示。不画投影面边框线，即得到点的三面投影图,如图1-16(c)所示。
1.3.3点的三面投影特性
根据点在两投影面体系中的投影特性，可得出点在三投影面体系的投影特性： 
(1) 点的两投影连线垂直于相应的投影轴，即有

a′a⊥OX，a′a″⊥OZ

(2) 点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应投影面的距离，即有

a′ax=a″ay=Aa,aax= a″az= Aa′,aay= a′az=Aa″

在投影图中，为了作图方便，一般自点O作45°辅助线，以实现aax=a″az的关系，如图1-16(b)、(c)所示。
1.3.4点的投影与坐标
将三个投影面H、V、W作为直角坐标平面，投影轴作为坐标轴，O作为坐标原点。规定X轴由O向左为正方向、Y轴由O向前为正方向、Z轴由O向上为正方向。点A到H、V、W的距离分别用x、y、z坐标值表示。则点的投影与其坐标的关系为：  
A到W面的距离Aa″=aay=a′az=XA坐标
A到V面的距离Aa′=aax=a″az=YA坐标
A到H面的距离Aa =a′ax=a″ay=ZA坐标

此时，空间点A可表示为A(x，y，z)。
点A的水平投影a由 XA、YA两坐标确定； 点A的正面投影a′由 XA、ZA两坐标确定； 点A的侧面投影a″由 YA、ZA两坐标确定。点的任何一个投影都只包含两个坐标，因此仅有点的一个投影不能确定它的空间位置； 而只要有两个投影就能唯一确定它的空间位置。
总之，根据点的坐标(x，y，z),可在投影图上确定该点三个投影，反之,由于点的任意两个投影均反映该点的三个坐标，若已知点的任意两个投影，通过作图可得到该点的第三个投影。
1.3.5特殊位置点的投影
空间点在投影面上或投影轴上，称为特殊位置的点。如图1-17所示，点A位于V面