第1章变压器概览  
1.1 变压器的用途
电力变压器是一种静止的电器，它由绕在同一个铁芯上的两个或两个以上的绕组组成，绕组之间通过交变的磁通相互联系着。它的功能是将一种电压等级的交流电能，转变成为同频率的另一种电压等级的交流电能。
为了将发电厂发出的电能经济地传输、合理地分配和安全地使用，都要用到电力变压器。图1-1是简单的输配电系统图。发电机发出的电压不可能太高，一般只有10.5～20kV, 要想将发出的大功率电能直接送到很远的用电区去，几乎是不可能的。这是因为，低电压大电流输电，除了在输电线路上产生很大损耗外，线路上产生的压降也足以使电能送不出去。为此，需要用升压变压器将发电机端电压升高到较高的输电电压。当输电的功率一定时，电压升高，电流就减小，输送过程产生的损耗将降低，能比较经济地将电能送出去。一般说来，输电距离越远，输送的功率越大，要求的输电电压也越高。例如，输电距离为200～400km，输送容量为200～300GW的输电线，输电电压一般需要220kV，输电距离在1000km以上，则要求有更高的输电电压。
图1-1 简单的输配电系统图
当电能送到用电区，还要用降压变压器将电压降低为配电电压，然后再送到备用电分区，最后再经配电变压器将电压降到用户所需要的电压等级，供用户使用。大型动力设备采用6kV或10kV，小型动力设备和照明用电则为380/220V，因此就要用到不同等级的配电变压器。有时，为了将两个不同电压等级的电力系统彼此联系起来，还常常要用到三绕组变压器（如图1-1中的联络变压器）。此外，还有各种专门用途的变压器，如整流变压器、电炉变压器等。由此可见，变压器的用途十分广泛，其品种、规格也很多。通常，变压器的安装容量约为发电机安装容量的6～8倍。由此可见，电力变压器对电能的经济传输、灵活的分配和安全使用具有重要意义。
1.2 变压器的分类与基本结构
1.2.1 变压器的分类  变压器有多种分类方法。
按用途分类，有电力变压器和特种变压器；
按绕组数目分，有双绕组变压器、三绕组变压器和自耦变压器；
按相数分，有单相变压器和三相变压器。
电力变压器是电力系统中输配电的主要设备，容量从几十千伏安到几十万千伏安，电压等级从几百伏到500kV以上。电力系统中用得最多的是高、低压两套绕组的双绕组变压器，其次是具有高、中、低三套绕组的三绕组变压器和高、低压绕组公用一个绕组的自耦变压器。
1.2.2 电力变压器的基本结构
电力变压器主要由铁芯、带有绝缘的绕组、油箱、变压器油和绝缘套管组成，下面主要介绍铁芯、绕组和油箱。
1. 铁芯
变压器的铁芯构成变压器的磁路部分。为了减小涡流损耗，变压器的铁芯用双面涂绝缘漆的电工钢片叠成，钢片的厚度为0.35mm。变压器的铁芯平面如图1-2所示。铁芯结构可分为两部分，C为套线圈的部分，图1-2 变压器的铁芯平面
 (a)  单相变压器；  (b)  三相变压器
称为铁芯柱；Y为用以闭合磁路部分，称为铁轭。单相变压器有两个铁芯柱，三相变压器有三个铁芯柱。
变压器的铁芯材料结构有两种基本形式。第一种是为如图1-3 (a）所示芯式结构。这种铁芯结构的特点是铁轭靠着绕组的顶面和底面，不包围绕组的侧面。它结构简单、工艺简单，因此国产电力变压器均采用芯式结构。第二种为如图1-3 (b）所示的壳式结构。这种结构的铁芯不仅包围绕组的顶面和底面，而且还包围绕组的侧面。它机械强度高，制造复杂，耗材料多，仅在一些特种变压器中采用。
图1-3 变压器的结构形式
 (a)  芯式结构；  (b)  壳式结构
组成铁芯的钢片应先裁成所需用的形状和尺寸，称为冲片，然后按交错方式进行装配。图1-4 (a）表示单相变压器的铁芯，每层由四片冲片组合而成。图1-4 (b）表示三相变压器的铁芯，每层由六片冲片组合而成，每两层的冲片组合应用了不同的排列方式，使各层磁路的接缝处互相错开，这种装配方式称为交叠装配。交叠装配可避免涡流在钢片与钢片之间流通，且因各层冲片交错相嵌，所以在将铁芯压紧时可用较少的紧固件而使结构简单。为提高磁导率和减少铁芯损耗，电力变压器一般采用冷轧硅钢片，为减少接缝间隙和励磁电流，有时还采用由冷轧硅钢片卷成的卷片式铁芯。
2. 绕组
绕组构成变压器的电路部分，一般用绝缘铜线或铝线绕制而成。在变压器中接到高压电网的绕组为高压绕组，接到低压电网的为低压绕组。变压器绕组的基本形式有同心式和交叠式两种，芯式变压器常用同心式绕组，壳式变压器常用交叠式绕组。如图1-5 (a）所示，高压绕组和低压绕组均做成圆筒形，然后同心地套在铁芯柱上。交叠式绕组又称为饼式绕组，如图1-5 (b）所示，高压绕组和低压绕组各分为若干个线饼，沿着铁芯柱的高度交错地排列着。为了排列对称起见，也为了使高压绕组离铁轭远一些以便于绝缘，高压绕组分为两个线饼，低压绕组分为一个线饼和两个“半线饼”。靠近上下铁轭处的线饼为低压“半线饼”，其匝数为位于中间的低压线饼匝数的一半。
图1-4 变压器铁芯的交叠装配
 (a)  单相变压器；  (b)  三相变压器
 
图1-5 变压器绕组
 (a)  同心式圆筒形绕组；  (b)  交叠式绕组
1-高压绕组； 2-低压绕组
3. 油箱
图1-6所示为管形散热器油箱及其附件图。
图1-6 管形散热器油箱的变压器
1-温度计； 2-吸湿器； 3-储油柜； 4-油表； 5-安全气道； 6-气体继电器； 7-高压套管；
8-低压套管； 9-分接开关； 10-油箱； 11-铁芯； 12-绕组； 13-放油阀
电力变压器的油箱一般都做成椭圆形。这是因为它的机械强度较高，且所需油量较少。为了防止潮气侵入，希望油箱内部与外界空气隔离。因为当油受热后，它会膨胀，便将油箱中的空气排出油箱；当油冷却收缩时，便又从箱外吸进含有潮气的空气。为了减少油与空气的接触面积，以降低油的氧化速度和侵入变压器油的水分，在油箱上安装一储油器（亦称油枕）。储油器为一圆筒形容器，横装在油箱盖上，用管道与变压器的油箱接通，使油面的升降限制在储油器中。储油器油面上部的空气由一通气管道与外部自由流通。在通气管道中存放有氯化钙等干燥剂，空气中的水分大部分被干燥剂吸收。在储油器的外侧，还安装有油位表以观察储油器中油面的高低。
4. 变压器油
除了极少数例外，装配好了的电力变压器的铁芯和绕组都需浸在变压器油中。变压器油为矿物油，它的作用是双重的： ①由于变压器油有较大的介质常数，可增强绝缘；②铁芯和绕组中由于损耗而发出热量，通过油在受热后的对流作用将热量传送到铁箱表面，再由铁箱表面散逸到四周。
在储油器与油箱的油路通道间常装有气体继电器。当变压器内部发生故障产生气体或油箱漏油使油面下降时，它可发出报警信号或自动切断变压器电源。
随着变压器容量的增大，对散热的要求也将不断提高，油箱形式也要与之相适应。容量很小的变压器可用平顶油箱，容量较大时需增大散热面积而采用管形油箱，容量很大时用散热器油箱。
5. 绝缘套管
绝缘套管由中心导电铜杆与瓷套等组成。导电管穿过变压器油箱，在油箱内的一端与绕组的端点连接，在外面的一端与外线路连接。如图1-6中的7、8. 
1.3 变压器的额定值与标么值1.3.1 变压器的额定值  变压器的主要额定值如下：
 (1)   额定容量SN:  变压器在额定条件下使用时输出视在功率的保证值，单位为V·A或kV·A。对于三相变压器而言是指三相的总容量。
 (2)   额定电压UN:  变压器在空载时额定分接头上的电压保证值，单位为V或kV。额定电压分为额定一次电压U1N和额定二次侧电压U2N。对于三相变压器而言，如不作特殊说明，铭牌上的额定电压是指线电压。
 (3)  额定电流IN:  额定容量除以各绕组的额定电压所计算出来的线电流值，单位为A或kA. 
对于单相变压器：
一次侧额定电流I1N=SNU1N (1-1)   二次侧额定电流I2N=SNU2N (1-2)   对于三相变压器，如不作特殊说明，铭牌上所标注的额定电流是指线电流。
一次侧额定线电流I1N=SN3U1N (1-3)   二次侧额定线电流I2N=SN3U2N (1-4)    (4)   额定频率fN:  我国的标准工业频率为50Hz，故电力变压器的额定频率是50Hz. 
此外，在变压器的铭牌上还标注有相数、接线图、额定运行效率、阻抗压降和温升。对于特大型变压器还标注有变压器的总质量、铁芯和绕组的质量以及储油量，供安装和检修时参考。
1.3.2 标么值
相对值运用的方便之处为人尽知，百分数就是人们所熟知的一种相对值。但是由于其总跟随着一个百分号“%" ，这在大量运算中着实不便。
标么值与百分数一样，也是一种相对值(因而它便有了相对值的一切优点)，只是它不是像百分数那样以“一百”作为基数，而是以“一”作为基数(“一”是人们以往认为的自然数中最小的数，念作“yao" ,写成汉字就是“么”)，因此，标么值就是将实际值标在基数“一”上的一种相对值。
在电机学中，通常都是以额定值为标么值的基数，某物理量的标么值，用在该物理量符号的右上角加一“”号表示。
在电机学中，标么值的运用除了具有相对值的其他一切优点外，使用中还具有以下优点：
(1) 不论电机容量大小，若用标么值表示其参数及性能数据，其值一般均处于一个很狭窄的范围之内，便于进行正确判断。
(2) 当采用标么值后，原副边的各参数和物理量的标么值都是一样的，没有原副边的差别。
习  题
1-1 为什么在电力系统中广泛应用变压器？试举几个在工业企业及其他行业中运用变压器的例子。
1-2 变压器有哪些主要部件？各部件起什么作用？
1-3 简述变压器铁芯结构和绕组结构的形式。
1-4 铁芯的作用是什么?为什么要用厚0.35mm、双面涂漆的硅钢片制造而成？
1-5 有一台单相变压器，额定容量SN=50kV·A，额定电压U1N/U2N=220/36V，求一、二次侧的额定电流。
1-6 有一台三相电力变压器，容量为SN=5000kV·A，一、二次绕组分别采用星形和三角形接法，U1N/U2N=10/6.3kV。求：   (1）变压器一、二次侧的额定电压和额定电流；  (2）变压器一、二次绕组的额定相电压和额定相电流。   第2章变压器的运行分析  本章首先从变压器空载运行和负载运行的基本电磁关系出发，分析了变压器的工作原理，得到了变压器的电压基本方程式。通过折算，得出变压器的等效电路、相量图和运行性能。最后分析了电力系统中特种变压器的工作原理。虽然本章的分析是以单相变压器为例，但所得出的结论完全符合三相变压器对称运行时每一相的情况。
2.1 变压器的空载运行
为叙述方便起见，通常称连接到电源的绕组为一次绕组，连接负载的绕组为二次绕组，相应符号分别用下标“1”和“2”标注，以示区别。
空载是指变压器的一次绕组接到电源，而二次绕组开路（负载电流为零）的运行工况。
2.1.1 空载运行时的物理情况
图2-1是一台单相变压器示意图。一、二次绕组的匝数分别为N1和N2. u1为外施于一次绕组上的交流电压，在二次绕组开路和外施电压作用下，一次绕组流过交流电流i0，该电流称为空载电流。空载电流全部用以励磁，故空载电流即励磁电流，用im表示，即i0＝im。空载电流产生的交变磁动势F·0=I·0N1，建立空载交变磁场。这个磁场分布情况很复杂，通常将它分为主磁通和漏磁通两部分。主磁通同时交链一、二次绕组，因而又称为互磁通，它沿着铁芯而闭合，主磁通通过互感作用传递功率；漏磁通1σ只交链一次绕组，称一次漏磁通，它沿着变压器油或空气等非铁磁材料闭合，漏磁通不传递功率。
图2-1 变压器空载运行示意图
由于铁磁材料的磁导率远比非铁磁材料大，故在空载运行时，主磁通要远大于漏磁通，约为500～1000倍。此外，铁芯材料存在饱和现象，主磁通与励磁电流呈非线性关系；而非铁磁材料是线性磁路，漏磁通与励磁电流呈线性关系。  与1σ都是交变磁通。根据电磁感应定律，将在其所交链的绕组中感应电动势。此外，空载电流还在一次绕组中产生电阻压降。综上所述，可将空载运行所发生的电磁现象汇总，如图2-2所示。其中，虚框以内为磁路性质，虚框以外为电路性质。下面详细分析电磁量大小及彼此之间的关系。
图2-2 变压器空载运行电磁现象
2.1.2 感应电动势
因为变压器中的电磁量都是时间的函数，其大小和方向都随时间以电源频率交替变化。因此在列写电路方程时，需选定参考正方向。正方向可任意选择，但在电机理论中，通常按习惯方式选择： 电流的正方向与该电流所产生的磁通正方向，磁通的正方向与其感应电动势的正方向均符合右手螺旋法则。各物理量的正方向的规定如图2-1所示。
主磁通和漏磁通1σ都按正弦规律变化，假设初相角为零，其瞬时值表达式可分别写为=Φmsinωt,  1σ=Φ1σmsinωt (2-1) 式中，Φm和Φ1σm分别为主磁通和漏磁通的最大值；ω＝2πf，为磁通变化的角频率。
根据电磁感应定律，主磁通在一、二次绕组产生的感应电动势表达式分别为e1=-N1ddt=-ωN1Φmcosωt=E1msin(ωt-90. ) (2-2) 
e2=-N2ddt=-ωN2Φmcosωt=E2msin(ωt-90. ) (2-3) 式中，E1m=ωN1Φm，为一次绕组感应电动势最大值；E2m=ωN2Φm，为二次绕组感应电动势最大值。
e1、e2写成时间相量的形式分别为E·1=-j12ωN1Φ·m=-j4.44fN1Φ·m
E·2=-j12ωN2Φ·m=-j4.44fN2Φ·m (2-4) 式中，E·1、E·2分别为感应电动势e1和e2的有效值相量； Φ·m为主磁通的最大值相量。E·1、E·2在时间相位上滞后于磁通Φ·m90. ，大小与频率f、绕组匝数N1及N2和主磁通最大值Φm成正比。
若取有效值，可得一、二次绕组相感应电动势E1和E2的大小分别为E1=4.44fN1Φm,  E2=4.44fN2Φm (2-5)   一、二次绕组相感应电动势的波形图和相量图如图2-3所示。
图2-3 主磁通及其感应电动势
 (a)  波形图；  (b)  相量图
同理，可得出漏磁通1σ在一次绕组产生的漏磁感应电动势的瞬时表达式、相量形式和有效值分别为e1σ=-N1d1σdt=-ωN1Φ1σcosωt=E1σmsin(ωt-90. ) (2-6) 
E·1σ=-j12ωN1Φ·1σm=-j4.44fN1Φ·1σm (2-7) 
E1σ=4.44fN1Φ1σm (2-8)   由于漏磁通所经过路径主要为非磁性物质，磁阻为常数，漏电感亦为常数，即漏磁通与产生该漏磁通的电流成正比且同相位。漏磁链ψ1σ等于漏电感与空载电流的乘积，即ψ1σ=L1σi0, L1σ为一次绕组漏电感。设i0=2I0sinωt，则漏磁电动势E·1σ=-j12ωN1Φ·1σm=-j12ωψ·1σ=-j12ωL1σI·0=-jI·0X1σ (2-9) 式中，X1σ=ωL1σ，为一次绕组的漏电抗。
2.1.3 电压平衡方程式和变比
前面已分析了在一、二次绕组产生的感应电动势e1、e2和漏磁电动势e1σ。考虑到一次绕组有电阻R1, i0流过R1产生的电阻压降为i0R1。按照图2-1规定的正方向，根据基尔霍夫电压定律，可写出一、二次绕组的电压平衡方程式为U·1=-E·1-E·1σ+I·0R1=-E·1+I·0(R1+jX1σ)=-E·1+I·0Z1
U·20=E·2 (2-10) 式中,Z1=R1+jX1σ，为一次绕组漏阻抗；U20为二次绕组开路电压。
由式（2-5）可得E1E2=4.44fN1Φm4.44fN2Φm=N1N2=k (2-11) 式中，k为电压变比，它决定于一、二次绕组匝数之比。换言之，只要N1≠N2，则E1≠E2，从而可以实现改变电压之目的。
变压器空载运行时，空载电流很小，一般为额定电流的5%左右，由此引起的漏阻抗压降很小。若略去电阻压降和漏磁电动势，则有U·1≈-E·1，因而变比又可写成k=U1U20 (2-12) 即变压器的变比可理解为变压器一次侧电压与二次侧空载时端点电压之比。
2.1.4 励磁电流
主磁通是励磁电流产生的，但是主磁通的量值大小受到外施电压及电路参数的制约，如不考虑电阻压降和漏磁电动势，则U1＝E1＝4.44fN1Φm。对已制成的变压器，N1是常数，通常电源频率亦为常数，故Φm正比于U1。换言之，当外施电压U1为定值，主磁通Φm也为一定值常数，励磁电流的大小和波形决定于变压器的铁芯材料及铁芯几何尺寸。因为铁芯材料是磁性物质，励磁电流的大小和波形将受磁路饱和、磁滞及涡流的影响。
1. 磁路饱和影响
磁性材料呈饱和现象，其饱和程度决定于铁芯磁通密度Bm. 
 (1)  如Bm<0.8T，通常其磁路处于未饱和状态，磁化曲线=f (i0）呈线性关系，磁导率是常数。当按正弦变化，i0亦按正弦变化，相应波形如图2-4所示。因为未考虑铁耗电流，所以励磁电流仅含磁化电流分量。
图2-4 作图法求励磁电流（磁路不饱和，未考虑磁滞损耗）
 (a)  磁化曲线；  (b)  磁通波和励磁电流波
 (2)  如Bm>0.8T，磁路开始饱和，=f (i0）呈非线性，随i0增大磁导率逐渐变小。当磁通为正弦波，i0为尖顶波，如图2-5所示。尖顶的大小取决于饱和程度。磁路越饱和，尖顶的幅度越大。设计时常取Bm＝1.4～1.7T，以免磁化电流幅值过大。同样，因为未考虑铁芯损耗，励磁电流仅含磁化电流分量。
图2-5 作图法求励磁电流（磁路饱和，未考虑磁滞损耗）
 (a)  磁化曲线、磁通波和励磁电流波；  (b)  励磁电流波形分析图
对尖顶波进行波形分析，除基波分量外，还包含有各奇次谐波。其中以3次谐波幅值最大。根据电路原理，尖顶波不能用相量表示，为便于计算和相量分析，可用一个等效正弦波来代替实际的尖顶波。由此可得出，磁化电流I·0r与Φ·m同相位。因为E·1滞后于Φ·m90. ，故I·0r滞后于-E·190. , I·0r具有无功电流性质。
2. 磁滞现象对励磁电流的影响
以上分析未考虑磁滞现象。实际上，在交变磁场作用下，磁化曲线呈磁滞现象，如图2-6 (a）所示。其励磁电流是不对称尖顶波，如图2-6 (b）所示。
图2-6 有磁滞作用时的励磁电流
 (a)  磁滞回线；  (b)  磁通波和励磁电流波
可将励磁电流分解成两个分量。其一为对称的尖顶波，它是前已叙述的磁化电流分量I·0r。另一电流分量I·h，其波形近似正弦波，频率为基波频率，由于量值较小，若认为它是正弦波不致引起多大误差，因此，可用相量I·h表示。I·h称为磁滞电流分量，I·h与-E·1同相位，是有功分量电流。
3. 涡流对励磁电流的影响
交变磁通不仅在绕组中感应电动势，也在铁芯中感应电动势，从而在铁芯中产生涡流及涡流损耗。与涡流损耗对应的电流分量也是一有功分量，用I·e表示，它是由涡流引起的，称为涡流电流分量。I·e与-E·1同相位。
由于I·h和I·e同相位，且都为有功电流分量，因此常合并而统称为铁耗电流分量，用I·0a表示I·0a=I·h+I·e (2-13) 所以，在变压器电路分析中，励磁电流可表示为铁耗电流和磁化电流两个分量，即I·0=I·0r+I·0a (2-14)   空载电流I·0的相位领先磁通Φ·m一个铁耗角，用αFe表示，使得I·0a与E·1相作用时吸收的有功功率等于变压器空载时的铁耗；吸收的无功功率则用于建立空载磁场。
2.1.5 电路方程、等效电路和相量图
从式（2-10）表示的电压平衡方程来看，这还是一个电路和磁路组合形态，如果感应电动势E1能采用式（2-9）的形式，表示成电抗引起的电压降，就可用一个纯电路的方式来等效地表示，该电路即为变压器的等效电路。
对感应电动势E·1的处理，可用类似于处理E·1σ的方法，但要考虑到主磁通在铁芯中引起的铁耗，就不能单纯地引入一个电抗，而还应引入一个电阻，使空载电流流过它产生的损耗等于铁耗。作了这样的处理之后，可将-E·1表示成-E·1=I·0Rm+jI·0Xm=I·0Zm (2-15) 式中，Rm称为励磁电阻，是对应于铁损耗的等效电阻；Xm称为励磁电抗，是反映铁芯磁路性能的等效电抗；Zm=Rm+jXm称为励磁阻抗。
于是空载时一次绕组的电动势平衡方程可写成U·1=-E·1+I·0(R1+jX1σ)=I·0(Rm+jXm)+I·0(R1+jX1)
=I·0(Zm+Z1) (2-16) 如前所述，参数Z1=R1+jX1σ是常数，但由于磁化曲线呈非线性，参数Rm和Xm都随主磁通变化而变化，Zm不是常数。变压器正常运行时，外施电压等于或近似等于额定电压，主磁通变化范围不大，在这种情况下，也可将Zm看成常数。
根据式（2-14）可画出相应的等效电路和相量图，如图2-7所示。因为实际值|Zm||Z1|, 为了清楚起见，在图2-7上将I0R1和I0X1σ画得比实际大得多，通过相量图可清楚地看出变压器在空载运行时各电磁量之间的关系。
图2-7 变压器空载时的相量图和等效电路
 (a)  相量图；  (b)  等效电路
电路方程、等效电路和相量图都是用来分析变压器运行性能的工具。电路方程清楚地表达了变压器各个部分的电磁关系，等效电路则便于记忆，相量图描述了各电磁物理量间的相位关系。
2.2 变压器的负载运行
变压器负载运行是指一个绕组接至电源，另一绕组接负载时的运行方式。各物理量的正方向均按惯例假定，如图2-8所示。
图2-8 单相双绕组变压器负载运行示意图
2.2.1 负载运行时的物理情况
接通负载后，二次绕组便流通电流，二次侧电流的存在，将建立起二次侧磁动势，它也作用在铁芯磁路上。因此改变了原有的磁动势平衡状态，迫使主磁通变化，导致电动势也随之改变。电动势的改变又破坏了已建立的电压平衡，迫使一次侧电流随之改变，直到电路和磁路又达到新的平衡为止。设在新的平衡条件下，二次侧电流为I·2，由二次侧电流所建立的磁动势为F·2=I·2N2；一次电流为I·1，由一次侧电流所建立的磁动势为F·1=I·1N1。负载后作用在磁路上的总磁动势为F·1+F·2=I·1N1+I·2N2。依据全电流定律应满足I·1N1+I·2N2=I·mN1 (2-17) 也就是说，负载时作用在主磁路上的全部磁动势应等于产生主磁通所需的励磁磁动势。
上述关系式称为磁动势平衡式。由磁动势平衡式可求得一、二次侧电流间的约束关系。将式（2-17）除以N1并移项得I·1=I·m-I·2N2N1=I·m+I·1L (2-18) 式中，I·1L=-I·2N2N1，为一次侧电流的负载分量。
式（2-18）表明当有负载电流时，一次侧电流I·1应包含有两个分量。其中I·m用以产生主磁通Φ·m，作用与空载时的I·0相同，I·m和I·0大小基本相等。而I·1L所产生负载分量磁动势I·1LN1，用以抵消二次侧磁动势I·2N2对主磁路的影响，即有或I·1LN1=-I·2N2N1N1=-I·2N2
I·1LN1+I·2N2=0 (2-19)   换言之，当二次绕组流过电流I·2，一次绕组便自动流入负载分量电流I·1L，以满足I·1LN1+I·2N2=0。故励磁电流的值仍决定于主磁通Φ·m，或者说决定于E·1。因此，仍然按上节所述的方法，用参数Zm将励磁电流和电动势联系起来，即-E·1=I·0Zm. 
一、二次侧电流还产生漏磁通Φ·1σ和Φ·2σ，并在各自绕组感应漏磁电动势E·1σ和E·2σ。通常将感应漏磁电动势写成漏电抗压降形式，推导方法同上节。即有-E·1σ=jX1σI·1
-E·2σ=jX2σI·2 (2-20) 式中，E1σ、X1σ分别为一次绕组的感应漏磁电动势和漏电抗；E2σ、X2σ分别为二次绕组的感应漏磁电动势和漏电抗。
一、二次侧电流还在各自绕组中产生电阻压降I1R1及I2R2. 
综上所述，将变压器负载运行时所发生的电磁现象汇总如图2-9所示。
图2-9 变压器负载运行时的电磁关系
2.2.2 基本方程式
由以上电磁物理分析可列出变压器负载运行时的一组基本方程式一次电压平衡式U·1=-E·1+I·1Z1
二次电压平衡式U·2=E·2-I·2Z2
励磁支路电压降-E·1=I·0Zm
电压变比E1E2=N1N2=k
电流方程式I·1=I·0+-I·2N2N1
负载电压平衡式U·2=I·2ZL (2-21) 式中，Zm＝Rm＋jXm，为励磁阻抗；Z1＝R1＋jX1σ，为一次绕组漏阻抗；Z2＝R2＋jX2σ，为二次绕组漏阻抗；ZL＝RL＋jXL，为负载阻抗。
2.2.3 折合算法
利用上面的方程组可对变压器运行作出定量计算。但求解复数形式的联立方程组很繁杂，且变压器变比k较大，一、二次绕组的电量和电参数相差很大，计算误差较大，绘制相量图时更加困难。为此，用一假想的绕组替代其中一个绕组使之成为k＝1的变压器，这种方法称为绕组折算。折算后的量在原来的符号上加上一个撇号以示区别，折算后的值称为折算值。
绕组的折算有两种方法，一种方法是保持一次绕组匝数N1不变，设想有一个匝数为N′2的二次绕组，用它来取代原有匝数为N2的二次绕组，令N′2=N1，就满足了变比k=N′2N1=1,  这种方法称为二次侧折算到一次侧；另一种方法是保持二次绕组匝数N2不变，设想有一个匝数为N′1的一次绕组，用它来取代原有匝数为N1的一次绕组，令N′1=N2也就满足了变比 k=N′1N2=1，这种方法称为一次侧折算到二次侧。
折算的目的纯粹是为了计算方便。因此，折算不应改变实际变压器内部的电磁平衡关系和能量关系。对绕组进行折算时，该绕组的全部物理量均应作相应折算。现以二次绕组折算到一次侧为例说明各物理量的折算关系。
1. 二次侧电流的折算值
根据折算前后磁动势应保持不变原则，二次侧电流的折算值应满足I′2N′2=I2N2
I′2=I2N2N′2=I2N2N1=I2k (2-22) 二次绕组匝数增加到其k倍。为保持磁动势不变，二次侧电流的折算值减小到原来的1/k倍。
2. 二次侧电动势的折算值
根据折算前后二次侧电磁功率应维持不变的原则，二次侧电动势的折算值应满足E′2I′2=E2I2
E′2=I2I′2E2=kE2 (2-23) 二次绕组匝数增加为其k倍。而主磁通Фm及频率f均保持不变，折算后的二次侧电动势应增加到其k倍。
3. 电阻的折算值
根据折算前后铜耗应保持不变的原则，二次绕组电阻的折算值应满足I′22R′2=I22R2
R′2=I2I′22R2=k2R2 (2-24) 由于二次绕组匝数增加到其k倍，其绕组长度相应也增加到其k倍；二次侧电流折算值减少到原来的1/k，相应折算后的二次绕组截面积应减少到原来的1/k，故二次侧电阻应增加到原来的k2倍。
4. 漏抗的折算值
根据折算前后二次侧漏磁无功损耗应保持不变的原则，二次侧漏电抗的折算值应满足I′22X′2σ=I22X2σ
X′2σ=I2I′22X2σ=k2X2σ (2-25) 绕组的电抗和绕组的匝数平方成正比。由于折算后二次侧匝数增加到其k倍，故漏电抗应增加到原来的k2倍。
5. 负载的折算值
变压器二次侧匝数进行折算后，为保持二次侧电压的平衡和负载功率不变，负载的端电压以及负载阻抗也应进行如下折算:U′2=kU2
Z′2=k2Z2 (2-26) 即二次侧端电压应乘以k，负载阻抗应乘以k2. 
2.2.4 折算后的基本方程和等效电路
折算后，基本方程组（2-21）可写成U·1=-E·1+I·1Z1
U·′2=E·′2-I·′2Z′2
-E·1=I·0Zm
E·1=E·′2
I·1=I·0+(-I·′2)
U·′2=I·′2Z′L (2-27)   式（2-27）用纯电路的形式，表示出变压器在负载运行时一次和二次及一、二次之间电和磁的相互关系，称之为变压器的等效电路。又因为电路参数Z1、Z′2和Zm连接形式如同英文大写字母“T" ，故常称它为T形等效电路，如图2-10所示。
图2-10 变压器的T形等效电路
T形等效电路虽能完整地表达变压器内部的电磁关系，但运算较繁琐。如前所述，变压器的励磁电流与额定电流相比其值较小，因此，将励磁支路移至端点处，计算时引起的误差并不大，这种电路称为近似等效电路，如图2-11所示。
如采用近似等效电路，可将R1、R′2合并为一个电阻Rk=R1+R′2，同理，可将X1σ、X′2σ合并为一个电抗Xk=X1σ+X′2σ, Zk=Rk+jXk. Rk、Xk和Zk分别称为短路电阻、短路电抗和短路阻抗，这些参数可通过短路实验求得。
如果进一步略去励磁电流，这时的等效电路称为简化等效电路，如图2-12所示。用简化等效电路进行计算有较大误差，常用于定性分析。图2-11 变压器的近似等效电路
图2-12 变压器的简化等效电路
2.2.5 相量图
变压器的电磁关系除了可用基本方程式和等效电路表示外，还可用相量图表示。相量图并未引进任何新的概念和原理，只是将所得到的表达式用相量图形表示。
需强调指出的是，相量图的做法必须与方程式的写法一致，而方程式的写法又必须与所规定的正方向一致。
画相量图时，认为电路参数为已知，且负载亦已给定。具体作图步骤如下：图2-13 感性负载变压器的相量图

 (1)  首先选定一个参考相量（只能有一个，常选定U·′2) ，根据给定的负载画出负载电流相量I·′2; 
 (2)  根据二次侧电压平衡式U·′2=E·′2-I·′2Z′2可画出相量E·′2，由于E·1=E·′2，因此也可以画出相量E·1; 
 (3)  主磁通Φ·m应超前E·190. ，励磁电流又超前Φ·m一铁耗角αFe=arctanRmXm; 
 (4)  由磁势平衡方程I·1=I·0+(-I·′2)可画出I·1; 
  (5)  由一次侧电压平衡式U·1=-E·1+I·1Z1可画出U·1. 
图2-13是按感性负载所画出的变压器相量图，从图中可以直观地看出各物理量的相位关系。
2.3 变压器的参数测定2.3.1 短路实验  短路实验可用来求参数Rk和Xk。如将变压器的一侧短路，则外施电压全部落在变压器的内部阻抗上。由于Zk很小，为了测量参数，短路实验应降低电压进行。正因为短路实验时外施电压很低，励磁电流便可略去不计，所以电磁关系可用简化等效电路分析。
短路实验通常在高压侧进行，实验电路接线图如图2-14所示。设所测得的数值均已化为每相值，图2-14 变压器短路实验线路图令Uk表示每相电压，Ik表示每相电流，pk表示每相输入功率即等于每相短路损耗，则不论是单相变压器或三相变压器均有相同计算式|Zk|=UkIk,  Rk=pkI2k
Xk=|Zk|2-R2k (2-28)如需分离一、二次侧电阻和漏电抗参数，通常认为一次侧电阻、漏电抗和二次侧电阻、漏电抗的折算值相等，即R1=R′2=Rk/2, X1σ=X′2σ=Xk/2. 
电阻随温度而变化，而漏电抗与温度无关。如短路实验时的室温为θ (℃) ，按照电力变压器标准规定应换算到标准温度75℃时的值，又如果绕组材料为铜线，则θ温度下的短路参数Rk(75℃)=Rk234.5+75234.5+θ,  Zk(75℃)=R2k(75℃)+X2k (2-29)   如在短路实验时，调整外施电压使短路电流恰为额定电流，这个短路电压用UkN表示，它是一个很重要的数据，常标注在变压器铭牌上，以额定电压百分数表示，称为阻抗电压。阻抗电压可分为阻抗电压的有功分量uka和阻抗电压的无功分量ukr两部分。uk=UkNU1N×100%=I1NZk(75℃)U1N×100% (2-30) 2.3.2 空载实验
应用空载实验可测定变比k、励磁电阻Rm、励磁电抗Xm和空载损耗p0，接线图如图2-15所示。图2-15 变压器空载运行实验接线图

空载实验通常在低压侧进行。令U0为外施每相电压，I0为每相电流，U20为二次侧电压，p0为每相输入功率即等于每相的空载损耗。在变压器空载时，由于漏阻抗远小于励磁阻抗，因此可得
k=U0U20,  |Zm|≈U0I0,  Rm≈p0I20, 
Xm=|Zm|2-R2m (2-31) 
  需强调指出的是，励磁参数值随饱和程度而变化。由于变压器总是在额定电压或很接近于额定电压情况下运行，空载实验时应调整外施电压等于额定电压，这时所求得的参数才真实反映了变压器运行时的磁路饱和情况。
例2-1 三相变压器额定容量为2500kV·A，额定电压为60/6.3kV，一、二次绕组分别采用星形/三角形接法，室温为25℃时测得实验数据如表2-1所示。试求：表2-1 实验数据实验类型电压/V电流/A功率/W备 注短路480020.4626500在高压侧测量空载630011.467700在低压侧测量   (1)  高压和低压侧的额定电压和电流。
 (2)  等效电路参数的欧姆值和标么值，画出近似等效电路图。
 (3)  短路电压的百分数。
  解  (1)  高压绕组星形接法，则额定线电压U1N＝60kV额定相电压U1N=U1N3=34.64(kV)额定相电流等于额定线电流：I1N=I1N=SN3U1N=25000×1033×60×103=24.06(A)  低压绕组三角形接法，则相电压和线电压相等：U2N=U2N=6.3kV额定线电流I2N=SN3U2N=25000×1033×6.3×103=229.11(A)额定相电流I2N=I2N3=229.113=132.28(A)   (2)  空载实验在低压方测量，则线电流为11.46A，三相空载损耗为7700W, p0=7700/3W. 可求得相电流I20=I203=11.463=6.62(A)励磁电阻Rm=p0I220=7700/36.622=58.57(Ω)励磁阻抗Zm=U2NI20=6.300×1036.62=951.66(Ω)励磁电抗Xm=Z2m-R2m=951.662-58.572=949.86(Ω)对于折算至高压侧的值分别为k=U1NU2N=34.646.3=5.5
Z′m=k2Zm=5.52×951.66=28787.72(Ω)
R′m=k2Rm=5.52×58.57=1771.74(Ω)
X′m=k2Xm=5.52×949.86=28733.27(Ω)  短路实验在高压侧测量，高压侧星形接法，相电流和线电流都等于24.06A，线电压为4800V，三相短路损耗为26500W, pk=26500/3W。那么短路相电压Uk=Uk3=48003=2771.36(V)短路阻抗Zk=UkIk=2771.3624.06=115.18(Ω)短路电阻Rk=pkIk=26500/324.062=15.26(Ω)短路电抗Xk=Z2k-R2k=115.182-15.262=114.16(Ω)  Rk为t=25℃测得的数值，应折算至75℃时的电阻，即Rk(75℃)=Rk234.5+75234.5+θ=15.26×234.5+75234.5+25=18.20(Ω)折算至75℃时的短路阻抗值Zk(75℃)=R2k(75℃)+X2k=18.202+114.162=115.60(Ω)低压侧阻抗基值Z1b=U1NI1N=3464024.06=1439.73(Ω)高压侧阻抗基值Z2b=U2NI2N=6300132.28=47.63(Ω)励磁阻抗标么值Zm=ZmZ2b=951.6647.63=19.98励磁电阻标么值Rm=RmZ2b=58.5747.63=1.23励磁电抗标么值Xm=XmZ2b=949.8647.63=19.94短路阻抗标么值Zk=ZkZ1b=115.601439.73=0.080短路电阻标么值Rk=RkZ1b=18.201439.73=0.013短路电抗标么值Xk=XkZ1b=114.161439.73=0.079