第11章 反常积分
11.1 反常积分的概念
定积分的定义有两个要求： (1)积分区间有限；(2)被积函数有界.
如果扩大讨论范围，即得两类反常积分--无穷限积分与瑕积分.
11.1.1 无穷限积分
定义1 设函数f(x)在［a,+∞)上有定义，且在任意区间［a,u］上可积，极限limu→+∞∫uaf(x)dx称为f(x)在［a,+∞)上的无穷限积分，记作∫+∞af(x)dx.ie: ∫+∞af(x)dx=limu→+∞∫uaf(x)dx.  如果极限limu→+∞∫uaf(x)dx存在，则称无穷限积分∫+∞af(x)dx收敛；如果limu→+∞∫uaf(x)dx不存在，则称无穷限积分∫+∞af(x)dx发散. 
同理可定义∫b-∞f(x)dx=limu→-∞∫buf(x)dx,
∫+∞-∞f(x)dx=∫a-∞f(x)dx+∫+∞af(x)dx.图 11.1  值得注意的是，∫+∞af(x)dx的敛散性与a无关.但∫+∞-∞f(x)dx收敛必须∫a-∞f(x)dx, ∫+∞af(x)dx都收敛.如果∫a-∞f(x)dx, ∫+∞af(x)dx有一个发散，则∫+∞-∞f(x)dx发散.
几何解释 如图11.1所示，∫+∞af(x)dx收敛是指图中阴影区域的面积趋于有限的定值.
例1 讨论无穷限积分∫+∞11xpdx的敛散性.
解 u>1，因为∫u11xpdx=11-p(u1-p-1),p≠1,
lnu,p=1,
所以limu→∞∫u11xpdx=1p-1,p>1,
+∞,p≤1.故无穷限积分∫+∞11xpdx当p>1时收敛，且收敛于1p-1，当p≤1时发散.
例2 讨论无穷限积分∫+∞-∞11+x2dx的敛散性.
解 因为limu→+∞∫u011+x2dx=limu→+∞arctanu=π2,
limu→-∞∫0u11+x2dx=limu→-∞(-arctanu)=π2.故无穷限积分∫+∞-∞11+x2dx收敛，且∫+∞-∞11+x2dx=π,参见图11.2.
图 11.2
图 11.3
例3 在地球表面发射火箭，要使火箭远离地球，初速度v0应为多大？
解 如图11.3所示，以地心为原点建立坐标系，设火箭的质量为m，则火箭在离地心x处的引力为F=mgR2x2，于是火箭由x=R到x=r所做的功为W=∫rRmgR2x2dx=mgR21R-1r, 从而∫+∞RmgR2x2dx=mgR.故由mgR=12mv20得v0=2gR≈11.2km/s，此即所求.
11.1.2 瑕积分
定义2 设函数f(x)在(a,b］上有定义，且在点a的任一右邻域内无界，而在［u,b］(a,b］上有界可积，极限limu→a+∫buf(x)dx称为f(x)在(a,b］上的反常积分，记作∫baf(x)dx.ie: ∫baf(x)dx=limu→a+∫buf(x)dx.  如果limu→a+∫buf(x)dx存在，则称∫baf(x)dx收敛，否则称其发散.无界函数的反常积分亦称为瑕积分，对上式而言a称为瑕点.同理可得b为瑕点时，∫baf(x)dx=limu→b-∫uaf(x)dx.当f(x)的瑕点c∈(a,b)时，则定义∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx=limu→c-∫uaf(x)dx+limu→c+∫buf(x)dx.若a,b都是f(x)的瑕点，则定义∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx=limu→a+∫cuf(x)dx+limu→b-∫ucf(x)dx.  例4 讨论瑕积分∫1011-x2dx的敛散性.  
解 显然，1为瑕点.而∫1011-x2dx=limu→1-∫u011-x2dx=limu→1-arcsinu=π2,故∫1011-x2dx收敛于π2.
例5 讨论瑕积分∫101xqdx的敛散性.
解 x=0为瑕点，由于∫1u1xqdx=11-q(1-u1-q),q≠1,
-lnu,q=1,故当0<q<1时，∫101xqdx收敛，且∫101xqdx=11-q;当q≥1时，∫101xqdx发散.  
对于∫+∞0f(x)dx，有∫+∞0f(x)dx=∫a0f(x)dx+∫+∞af(x)dx, 即可分为两部分讨论之.   
11.1 
1. 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值.
(1) ∫+∞0xe-x2dx;            (2) ∫+∞-∞xe-x2dx; 
(3) ∫+∞01exdx;               	(4) ∫+∞11x2(1+x)dx; 
(5) ∫+∞-∞14x2+4x+5dx;         	(6) ∫+∞0e-xsinxdx; 
(7) ∫+∞-∞exsinxdx;             	(8) ∫+∞111+x2dx.
2. 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值.
(1) ∫ba1(x-a)pdx(p∈R);             	(2) ∫1011-x2dx; 
(3) ∫201|x-1|dx;             	(4) ∫10x1-x2dx; 
(5) ∫10lnxdx;               	(6) ∫10x1-xdx; 
(7) ∫101x-x2dx;            	(8) ∫101x(lnx)pdx(p∈R).
3. 举例说明: 瑕积分∫baf(x)dx收敛时，∫baf2(x)dx不一定收敛.
4. 举例说明: 瑕积分∫+∞af(x)dx收敛，且f(x)在［a,+∞)上连续时，不一定有limx→+∞f(x)=0.
5.  证明: 若∫+∞af(x)dx收敛，且limx→+∞f(x)=A存在，则A=0.  
6. 证明: 若f(x)在\x→+∞f(x)=0.11.2 无穷限积分的性质与收敛判别11.2.1 无穷限积分的性质  由无穷限积分的定义知11.2 无穷限积分的性质与收敛判别∫+∞af(x)dx收敛limu→+∞∫uaf(x)dx存在；由极限的柯西收敛准则得limu→+∞∫uaf(x)dx存在ε>0,G≥a,  "u1,u2>G∫u2u1f(x)dx<ε" .所以有下面的定理.
定理1 ∫+∞af(x)dx收敛ε>0,G≥a,  "u1,u2>G∫u2u1f(x)dx<ε" .
由定理1可得下面的性质.
性质1 若∫+∞af1(x)dx,∫+∞af2(x)dx都收敛，则k1,k2, ∫+∞a\dx也收敛，且∫+∞a\dx=k1∫+∞af1(x)dx+k2∫+∞af2(x)dx.  性质2 若u>a,f(x)在［a,u］上可积，则b>a, ∫+∞af(x)dx与∫+∞bf(x)dx同时收敛或同时发散，且∫+∞af(x)dx=∫baf(x)dx+∫+∞bf(x)dx.  性质3 若u>a,f(x)在［a,u］上可积，则∫+∞a|f(x)|dx收敛∫+∞af(x)dx收敛，且∫+∞af(x)dx≤∫+∞a|f(x)|dx.
证 因为∫+∞a|f(x)|dx收敛，则ε>0,G≥a,  "u1,u2>G∫u2u1|f(x)|dx<ε" .
而∫u2u1f(x)dx≤∫u2u1|f(x)|dx,故∫+∞af(x)dx收敛.
又u>a,∫uaf(x)dx≤∫ua|f(x)|dx,于是令u→+∞得∫+∞af(x)dx≤∫+∞a|f(x)|dx.  定义1 如果∫+∞a|f(x)|dx收敛，则称∫+∞af(x)dx绝对收敛.
由性质3知∫+∞af(x)dx绝对收敛∫+∞af(x)dx收敛，反之不成立.如果∫+∞af(x)dx收敛，而∫+∞a|f(x)|dx发散，则称∫+∞af(x)dx条件收敛.
11.2.2 比较判别法
比较判别法仅应用于绝对收敛的判别.  
由于F(u)=∫ua|f(x)|dx单调上升，所以∫+∞a|f(x)|dx收敛F(u)=∫ua|f(x)|dx有上界.  定理2 若u>a,f(x),g(x)在［a,u］上可积，且x>a, |f(x)|≤g(x), 则∫+∞ag(x)dx收敛∫+∞a|f(x)|dx收敛;而∫+∞a|f(x)|dx发散∫+∞ag(x)dx发散.  例1 讨论∫+∞0sinx1+x2dx的敛散性.  
解 因为x>0,sinx1+x2≤11+x2, 而∫+∞011+x2dx=π2, 所以∫+∞0sinx1+x2dx绝对收敛.  
推论(比较判别法的极限形式) 若u>a,f(x),g(x)在［a,u］上可积，x>a,g(x)>0, 且limx→+∞|f(x)|g(x)=c, 则: 
(1) 0<c<+∞∫+∞a|f(x)|dx与∫+∞ag(x)dx同时收敛或同时发散；
(2) 当c=0时，∫+∞ag(x)dx收敛∫+∞a|f(x)|dx收敛；
(3) 当c=+∞时，∫+∞ag(x)dx发散∫+∞a|f(x)|dx发散.
当选用∫+∞11xpdx为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法.
定理3(柯西判别法) 若u>a>0,f(x)在［a,u］上可积，则：
(1) 当|f(x)|≤1xp,且p>1时，∫+∞a|f(x)|dx收敛；
(2) 当|f(x)|≥1xp,且p≤1时，∫+∞a|f(x)|dx发散.
定理3′(柯西判别法的极限形式) 若u>a>0,f(x)在［a,u］上可积，且limx→+∞xp|f(x)|=λ，则：
(1) 当0≤λ<+∞,且p>1时，∫+∞a|f(x)|dx收敛；
(2) 当0<λ≤+∞，且p≤1时，∫+∞a|f(x)|dx发散.
例2 讨论∫+∞1xαe-xdx的敛散性.
解 因为limx→+∞x2·xαe-x=limx→+∞xα+2ex=0，即λ=0,p=2，所以∫+∞1xαe-xdx收敛.
例3 讨论∫+∞0x2x5+1dx的敛散性.
解 因为limx→+∞x12·x2x5+1=1，即λ=1,p=12，所以∫+∞0x2x5+1dx发散.  
注 对于∫a-∞|f(x)|dx, 亦可用比较判别法讨论.
 11.2.3 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
此法是对一般无穷限积分的敛散性的判别.  
定理4(狄利克雷判别法) 若u>a,F(u)=∫uaf(x)dx有界，g(x)在［a,+∞)上单调，且limx→+∞g(x)=0，则∫+∞af(x)g(x)dx收敛.
证 设u∈\∫uaf(x)dx≤M,因为limx→+∞g(x)=0,所以ε>0, G≥a,   "x>G|g(x)|<ε4M" .  又g(x)在［a,+∞)上单调，由积分第二中值定理得u1>u2>G, ξ∈［u1,u2］, 
 "∫u2u1f(x)g(x)dx=g(u1)∫ξu1f(x)dx+g(u2)∫u2ξf(x)dx" .于是∫u2u1f(x)g(x)dx≤|g(u1)|∫ξaf(x)dx-∫u1af(x)dx
 +|g(u2)|∫u2af(x)dx-∫ξaf(x)dx
≤ε4M·2M+ε4M·2M=ε.故由柯西收敛准则知∫+∞af(x)g(x)dx收敛.
定理5(阿贝尔判别法) 若∫+∞af(x)dx收敛，g(x)在［a,+∞)上单调有界，则∫+∞af(x)g(x)dx收敛.  
证 设x∈［a,+∞), |g(x)|≤M，因为∫+∞af(x)dx收敛，所以ε>0, G≥a,   "u≥G∫+∞af(x)dx<ε4M" .  又g(x)在［a,+∞)上单调，由积分第二中值定理得u1>u2>G, ξ∈［u1,u2］, 
 "∫u2u1f(x)g(x)dx=g(u1)∫ξu1f(x)dx+g(u2)∫u2ξf(x)dx" .于是∫u2u1f(x)g(x)dx≤|g(u1)|∫+∞u1f(x)dx-∫+∞ξf(x)dx
 +|g(u2)|∫+∞ξf(x)dx-∫+∞u2f(x)dx
≤M·2ε4M+M·2ε4M=ε.故由柯西收敛准则知∫+∞af(x)g(x)dx收敛.
例4 讨论∫+∞1sinxxpdx(p>0)的敛散性.
解 当p>1时，∫+∞1sinxxpdx绝对收敛.
实因x≥1,sinxxp≤1xp，而p>1时，∫+∞11xpdx收敛，故∫+∞1sinxxpdx收敛.
当0<p≤1时，∫+∞1sinxxpdx条件收敛.
实因u≥1,∫u1sinxdx≤2,而1xp单调0,所以∫+∞1sinxxpdx收敛.
又sinxxp≥sin2xxp=12xp-cos2x2xp.而∫+∞112xpdx发散，∫+∞1cos2x2xpdx收敛，所以∫+∞1sinxxpdx发散，故∫+∞1sinxxpdx条件收敛.
例5 证明∫+∞1sinx2dx条件收敛.
证 设x2=t得∫+∞1sinx2dx=∫+∞1sint2tdt.设f(t)=sint, g(t)=12t，则其满足狄利克雷判别法的条件，所以∫+∞1sinx2dx收敛.
又∫+∞1|sinx2|dx=∫+∞1sint2tdt发散，故结论成立.
11.2 
1. 设f(x)与g(x)是定义在\u>a,f(x)与g(x)在\上可积,证明: 若∫+∞af2(x)dx与∫+∞ag2(x)dx都收敛，则∫+∞af(x)g(x)dx与∫+∞a\2dx亦收敛.
2. 设f(x),g(x),h(x)是定义在\13x4+1dx;            (2) ∫+∞1x1-exdx;
(3) ∫+∞011+xdx;          	(4) ∫+∞1xarctanx1+x3dx;
(5) ∫+∞1ln(1+x)xndx(n>0);      	(6) ∫+∞0xm1+xndx(m,n>0).
4. 讨论下列无穷限积分是绝对收敛还是条件收敛:
(1) ∫+∞1sinxxdx;        	(2) ∫+∞0sgn(sinx)1+x2dx;
(3) ∫+∞0xcosx100+xdx;(4) ∫+∞0ln(lnx)lnxsinxdx.
5. 举例说明: ∫+∞af(x)dx收敛时，∫+∞af2(x)dx不一定收敛；∫+∞af(x)dx绝对收敛时，∫+∞af2(x)dx也不一定收敛.
6. 证明: ∫+∞af(x)dx若绝对收敛，且limx→+∞f(x)=0,则∫+∞af(x)dx必定收敛.
7. 证明: 若f(x)是\x→+∞f(x)=0.
8. 证明: 若f(x)是\x→+∞f(x)=0.
9. 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法.
11.3 瑕积分的性质与收敛判别11.3.1 瑕积分的性质11.3 瑕积分的性质与收敛判别  设a为瑕点，由瑕积分的定义知∫baf(x)dx收敛limu→a+∫buf(x)dx存在，由极限的柯西收敛准则知limu→a+∫buf(x)dx存在ε>0,δ>0,  "u1,u2∈(a,a+δ)∫u2u1f(x)dx<ε" .所以有下面的定理.
定理1 设a为瑕点，则∫baf(x)dx收敛ε>0,δ>0,  "u1,u2∈(a,a+δ)∫u2u1f(x)dx<ε" .  性质1 设a为瑕点，若∫baf1(x)dx, ∫baf2(x)dx都收敛，则k1,k2,  ∫ba\dx也收敛，且∫ba\dx=k1∫baf1(x)dx+k2∫baf2(x)dx.  性质2 设a为瑕点，则c∈(a,b), ∫baf(x)dx与∫caf(x)dx同时收敛或同时发散，且收敛时，有∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx.  性质3 设a为瑕点，若u>a,f(x)在［u,b］上可积，则∫ba|f(x)|dx收敛∫baf(x)dx收敛，且∫baf(x)dx≤∫ba|f(x)|dx.
证 因为∫ba|f(x)|dx收敛，则ε>0,δ>0,  "u1,u2∈(a,a+δ)∫u2u1|f(x)|dx<ε" ,而∫u2u1f(x)dx≤∫u2u1|f(x)|dx，故∫baf(x)dx收敛.
又u>a, ∫buf(x)dx≤∫bu|f(x)|dx,于是令u→a+得∫baf(x)dx≤∫ba|f(x)|dx.故性质成立.
定义1 如果∫ba|f(x)|dx收敛，则称∫baf(x)dx绝对收敛. 
由性质3知∫baf(x)dx绝对收敛∫baf(x)dx收敛，反之不成立. 
如果∫baf(x)dx收敛，而∫ba|f(x)|dx发散，则称∫baf(x)dx条件收敛.
11.3.2 比较判别法
比较判别法仅应用于绝对收敛的判别.  
定理2 设a为瑕点，若u>a,f(x),g(x)在［u,b］上可积，且x>a, |f(x)|≤g(x), 则∫bag(x)dx收敛∫ba|f(x)|dx收敛;而∫ba|f(x)|dx发散∫bag(x)dx发散.
例1 讨论∫10sinxxdx的敛散性.  
解 显然,x=0为瑕点.因为x>0,sinxx≤1x，而∫101xdx=2, 所以∫10sinxxdx绝对收敛.  
推论(比较判别法的极限形式) 设a为瑕点,若u>a,f(x),g(x)在［u,b］上可积，x>a,g(x)>0，且limx→a+|f(x)|g(x)=c，则:
(1) 当0<c<+∞时，∫ba|f(x)|dx与∫bag(x)dx同时收敛或同时发散；
(2) 当c=0时，∫bag(x)dx收敛∫ba|f(x)|dx收敛；
(3) 当c=+∞时，∫bag(x)dx发散∫ba|f(x)|dx发散.  
当选用∫ba1(x-a)pdx为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法.
定理3(柯西判别法) 设a为瑕点，若u>a>0,f(x)在［u,b］上可积，则：
(1) 当|f(x)|≤1(x-a)p且0<p<1时，∫ba|f(x)|dx收敛；
(2) 当|f(x)|≥1(x-a)p且p≥1时，∫ba|f(x)|dx发散.
定理4(柯西判别法的极限形式) 设a为瑕点，若u>a>0,f(x)在［u,b］上可积，且limx→a+(x-a)p|f(x)|=λ, 则：   
(1) 当0≤λ<+∞且0<p<1时，∫ba|f(x)|dx收敛；
(2) 当0<λ≤+∞且p≥1时，∫ba|f(x)|dx发散.
例2 讨论∫10lnxxdx的敛散性.
解 显然，x=0为瑕点.因为λ=limx→0+x34·lnxx=limx→0+x14lnx=0，即λ=0,p=34，所以∫10lnxxdx收敛.
例3 讨论∫21xlnxdx的敛散性.
解 显然，x=1为瑕点.因为limx→1+(x-1)·xlnx=1，即λ=1,p=1，所以∫21xlnxdx发散.
例4 讨论反常积分Φ(α)=∫+∞0xα-11+xdx (α∈R) 的敛散性.
解 Φ(α)=∫10xα-11+xdx+∫+∞1xα-11+xdx=I(α)+J(α),其中I (α) =∫10xα-11+xdx, J(α)=∫+∞1xα-11+xdx.  对于I (α) =∫10xα-11+xdx，当α≥1时，I(α)=∫10xα-11+xdx为定积分；当α<1时，I (α) =∫10xα-11+xdx为瑕积分，瑕点x=0.
由limx→0+x1-αxα-11+x=1知，I(α)与∫101x1-αdx同时收敛或同时发散，所以当0<1-α<1，即0<α<1时，I(α)收敛；当1-α≥1，即α≤0时，I(α)发散.
对于无穷限积分J (α) =∫+∞1xα-11+xdx, 由limx→+∞x2-α·xα-11+x=limx→+∞x1+x=1知J(α)与∫+∞11x2-αdx同时收敛或同时发散，故当2-α>1，即α<1时，J(α)收敛；而当2-α≤1，即α≥1时，J(α)发散.
综上可得Φ(α)=∫+∞0xα-11+xdx仅当0<α<1时收敛.
11.3 
1.  讨论瑕积分的收敛性:
(1) ∫201(x-1)2dx;          (2) ∫π0sinxx3dx; 
(3) ∫101xlnxdx;              	(4) ∫10lnx1-xdx; 
(5) ∫10arctanx1-x3dx;             	(6) ∫π201-cosxxmdx(m>0); 
(7) ∫101xαsin1xdx(α>0);              	(8) ∫+∞0e-xlnxdx.
2.  计算下列瑕积分的值:
(1) ∫10(lnx)ndx(n∈R);               	(2) ∫10xn1-xdx(n∈R).
3.  证明瑕积分J=∫π20ln(sinx)dx收敛，且J=-π2ln2(提示: 利用∫π20ln(sinx)dx=∫π20ln(cosx)dx, 并将它们相加).
4. 利用上题的方法，证明: 
(1) ∫π0θln(sinθ)dθ=-π22ln2;  	(2) ∫π0θsinθ1-cosθdθ=2πln2.
11 
总练习题111.  证明下列等式:
(1) ∫10xp-1x+1dx=∫+∞1x-px+1dx,p>0; 
(2) ∫+∞0xp-1x+1dx=∫+∞0x-px+1dx,0<p<1.
2. 证明下列不等式:
(1)  π22<∫10dxx+1<π2;(2) 121-1e<∫+∞0e-x2dx<1+12e.
3. 计算下列反常积分的值:
(1) ∫+∞0e-axcosbxdx(a>0);(2) ∫+∞0e-axsinbxdx(a>0);
(3) ∫+∞0lnx1+x2dx;           (4) ∫π20ln(tanθ)dθ.
4. 讨论反常积分∫+∞0sinbxxλdx(b≠0)在λ取何值时绝对收敛，λ取何值时条件收敛. 
5. 设f(x)在\x→+∞f(x)=k,则∫+∞0f(ax)-f(bx)xdx=(f(0)-k)lnba;
(2) 若∫+∞af(x)xdx收敛，则∫+∞0f(ax)-f(bx)xdx=f(0)lnba.
6. 设f(x)为\
硕士研究生入学试题选录
7. 设f(x)∈C\x∈\n→∞1n∫+∞axf(x)dx=0.(2001数一)
8. (填空题)∫+∞a1xln2xdx=.(2002数一)
9. 证明： 反常积分∫+∞asinx21+xpdx(p≥0) 收敛.(1998数一)
10. 设f(x)为\x→+∞f(x)=0.若∫+∞1f(x)dx收敛，证明： ∫+∞1xf′(x)dx收敛.(1995数一)


第12章 数项级数
12.1 级数的收敛性
12.1.1 级数的基本概念  
定义1 给定一个数列{un}，用加号连接的表达式u1+u2+…+un+…称为数项级数，简称级数，其中un称为通项.级数u1+u2+…+un+…常记为∑∞n=1un, 简记为∑un.ie: ∑∞n=1un=u1+u2+…+un+….  级数∑∞i=1un前n项的和记为Sn=∑nk=1uk=u1+u2+…+un, 称为第n个部分和，简称部分和.
定义2 若级数∑∞n=1un的部分和序列{Sn}收敛于S ，则称级数∑∞n=1un收敛，S称为级数∑∞n=1un的和.记作S=∑∞n=1un.若{Sn}发散，则称级数∑∞n=1un发散.
实质 级数的敛散性是由部分和序列的敛散性确定.
显然有n,un=Sn-Sn-1.如果级数∑∞n=1un收敛，则limn→∞Sn存在，设limn→∞Sn=S, 则limn→∞un=limn→∞(Sn-Sn-1)=0，故级数∑∞n=1un收敛的必要条件为limn→∞un=0.
例1 讨论等比级数(几何级数)∑∞n=1aqn-1的敛散性.
解 因为q≠1时，Sn=a+aq+aq2+…+aqn-1=a(1-qn)1-q，所以:
(1) 当|q|<1时，limn→∞Sn=a1-q，从而∑∞n=1aqn-1=a1-q; 
(2) 当|q|>1时，limn→∞Sn=∞，所以∑∞n=1aqn-1发散；
(3) 当q=1时，Sn=an，所以∑∞n=1aqn-1发散；
(4) 当q=-1时，S2k=0,S2k+1=a，所以∑∞n=1aqn-1发散.
综上可得，当|q|<1时，∑∞n=1aqn-1收敛；当|q|≥1时，∑∞n=1aqn-1发散.
例2 讨论级数∑∞n=11n(n+1)的敛散性.
解 因为Sn=11·2+12·3+…+1n(n+1)
=1-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1.所以limn→∞Sn=limn→∞1-1n+1=1，故∑∞n=11n(n+1)=1.
例3 讨论级数∑∞n=1cos1n的敛散性.
解 因为limn→∞un=limn→∞cos1n=1≠0，所以∑∞n=1cos1n发散.
12.1.2 级数的柯西收敛准则
定理1 级数∑∞n=1un收敛ε>0,N>0, 
 "n>N,p=1,2,…∑n+pk=n+1uk<ε" ; 
  级数∑un发散ε0>0,N>0,n0>N,p0,  "|un0+1+un0+2+…+un0+p0|≥ε0" .  证 由数列的柯西收敛准则即知结论成立.
例4 证明级数∑∞n=11n2收敛.
证 由于对于任意自然数p，有|un+1+un+2+…+un+p|=1(n+1)2+1(n+2)2+…+1(n+p)2
<1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+…+1(n+p-1)(n+p)
=1n-1n+p<1n, 所以ε>0，取N=1ε，当n>N时，有|un+1+un+2+…+un+p|<ε, 故∑∞n=11n2收敛.
例5 证明调和级数∑∞n=11n发散.
证 取p=n时，有|un+1+un+2+…+u2n|=1n+1+1n+2+…+1n+n
≥12n+12n+…+12n=12, 所以取ε0=12,N>0，只要n>N,p=n，就有|un+1+un+2+…+u2n|>12, 故∑∞n=11n发散.
由此例可得limn→∞un=0 \\∑∞n=1un收敛.
12.1.3 收敛级数的性质
性质1 若∑∞n=1un,∑∞n=1vn都收敛，则k1,k2,∑∞n=1(k1un+k2vn)亦收敛，且∑∞n=1(k1un+k2vn)=k1∑∞n=1un+k2∑∞n=1vn.  证 由数列极限的线性运算知结论成立.
性质2 去掉、增加或改变级数的有限项，不改变级数的敛散性.
证 由数列极限的收敛性知结论成立.
性质3 在收敛级数中任意添加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变级数的和.
证 设∑∞n=1un收敛，其和为S，记v1=u1+u2+…+un1, 
v2=un1+1+un1+2+…+un2, 
 
vk=unk-1+1+unk-1+2+…+unk, 则∑∞n=1vk是∑∞n=1un加括号后所得的级数，可见∑∞n=1vk的部分和序列{Snk}是∑∞n=1un的部分和序列{Sn}的子列，故结论成立.
注 添加括号收敛，并不能得到未加括号的级数也收敛，如∑(1-1)=(1-1)+(1-1)+…=0收敛，但∑∞n=1(-1)n-1=1-1+1-1+…发散，实因limn→∞un≠0.
12.1 
1. 证明下列级数的收敛性并求其和数:
(1) 11·6+16·11+111·16+…+1(5n-4)(5n+1)+…; 
(2) 12+13+122+132+…+12n+13n+…; 
(3) ∑∞n=11n(n+1)(n+2); 
(4) ∑∞n=1(n+2-2n+1+n); 
(5) ∑∞n=12n-12n.
2.  证明: 若级数∑∞n=1un发散，c≠0,则∑∞n=1cun也发散.
3. 设级数∑∞n=1un与∑∞n=1vn都发散，试问∑∞n=1(un+vn)一定发散吗？又若un与vn(n=1,2,…)都是非负数，则能得出什么结论？
4. 证明: 若数列{an}收敛于a，则级数∑∞n=1(an-an+1)=a1-a.
5. 证明: 若数列{bn}有limn→∞bn=∞，则级数∑∞n=1(bn+1-bn)发散；当bn≠0时，级数∑∞n=11bn-1bn+1=1b1.
6. 应用第4、5题的结果求下列级数的和:
(1) ∑∞n=11(a+n-1)(a+n);        (2) ∑∞n=1(-1)n+12n+1n(n+1); 
(3) ∑∞n=12n+1(n2+1)［(n+1)2+1］.
7. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:
(1) ∑∞n=1sin2n2n;           	(2) ∑∞n=1(-1)n+1n22n2+1; 
(3) ∑∞n=1(-1)nn;           	(4) ∑∞n=11n+n2.
8. 证明: 级数∑∞n=1un收敛ε>0, N>0,  "n>N|uN+uN+1+…+un|<ε" .
9. 举例说明: 若级数∑∞n=1un对每个固定的自然数p满足条件limn→∞(un+1+…+un+p)=0, 此级数仍可能不收敛.
10. 设级数∑∞n=1un满足: 加括号后级数∑∞k=1(unk+1+…+unk+1)(n1=0)收敛，且在同一括号中unk+1,unk+2,…,unk+1的符号相同，证明∑∞n=1un也收敛.
12.2 正 项 级 数
12.2.1 正项级数与比较判别法
12.2 正项级数  
定义1 如果n,un≥0，则称∑∞n=1un为正项级数.如果n,un≤0，则称∑∞n=1un为负项级数.
正项级数与负项级数有相同的敛散性，所以我们仅仅讨论正项级数.
由于n,un≥0{Sn}，从而有如下定理.
定理1 正项级数∑∞n=1un收敛部分和序列{Sn}有上界
M>0,  "n,Sn≤M" .
  定理2(比较原则) 设∑∞n=1un,∑∞n=1vn是两个正项级数，如果N>0, c>0,  "n>Nun≤cvn" , 则: 
(1) ∑∞n=1vn收敛∑∞n=1un收敛；
(2) ∑∞n=1un发散∑∞n=1vn发散.
证 (1) 不妨设n,un≤cvn，记S′n=∑nk=1uk, S" n=∑nk=1vk, 则n,S′n≤cS" n，而∑∞n=1vn收敛{S" n}有界{S′n}有界，所以∑∞n=1un收敛；
(2) 为(1)的逆否命题.
例1 考查∑∞n=11n2-n+1的敛散性.
解 因为当n≥2时，1n2-n+1≤1n2-n=2n2+n(n-2)≤2·1n2, 而∑∞n=11n2收敛，所以原级数收敛.
例2 考查∑∞n=11n2-n+1的敛散性.
解 因为1n2-n+1>1n2+1>1n2+n2=12·1n, 而∑∞n=11n发散，所以原级数发散.
定理3(比较判别法的极限形式) 设∑∞n=1un,∑∞n=1vn是两个正项级数，如果limn→∞unvn=l,则：
(1) 当0<l<+∞时，∑∞n=1un与∑∞n=1vn同时收敛或同时发散；
(2) 当l=0时，∑∞n=1vn收敛∑∞n=1un收敛；
(3) 当l=∞时，∑∞n=1vn发散∑∞n=1un发散.
提示 由分母的敛散性获得分子的敛散性.
证 (1) 因为limn→∞unvn=l，所以取ε=l2,