第11章 高层建筑筒体结构的计算（续篇）
第8章筒体结构的计算和设计中，已经介绍了框筒和筒中筒结构在水平和扭转荷载下的等效平面法，框筒结构在水平和扭转荷载下的等效连续体法，筒中筒结构在水平和扭转荷载下的等效连续体-力法，及筒体结构设计和构造等问题。框筒和筒中筒的计算方法很多，本章将补充介绍第8章中没有介绍的另外一些计算方法： 框筒结构在水平荷载下的等代角柱法，筒中筒结构在水平荷载下的连续体-微分方程法，框筒和筒中筒结构在扭转荷载下的微分方程法，变截面筒中筒结构在水平荷载和扭转荷载下的计算方法，多边形筒体结构在水平荷载下的计算方法，多孔束筒结构的计算方法等。在通用算法中，第12章将介绍的有限条分析法，也是筒体结构计算的一种常用方法。
11.1 框筒结构在水平荷载下的等代角柱法
11.1.1 计算简图和计算方法  
框筒结构是由高梁密柱组成的空间框架，按空间框架计算太复杂，本节介绍一种矩形平面的框筒结构在水平荷载下的近似算法。平面形状为矩形的框筒结构，在水平荷载下，角柱起着重要的作用。图11-1 (a) 为框筒结构受水平荷载作用的示意图。沿荷载方向的腹板框架在水平力的作用下，其角柱产生轴力、剪力和弯矩。此剪力和弯矩对垂直荷载方向的翼缘框架是出平面的影响，可忽略不计；此轴力将使角柱产生轴向变形，带动整个翼缘框架在其平面内产生变形和内力，从而使翼缘框架在整个框筒结构中参与工作。这种把腹板框架和翼缘框架作为一个共同工作的整体（考虑了两者间在角柱处的竖向协调，并互相传递竖向力）的计算方法，已不是协同工作的计算方法（见8.1节），但也不是完全的空间计算方法，而是一种考虑了部分空间特性的简化算法。
等代角柱法用一个等代角柱来代替原来的角柱与翼缘框架的作用，得到一个能代替原框简结构作用的等效平面框架（见图11-1 (b) ) ，从而使框筒的计算问题变成平面框架的计算问题。
本法的关键是找到每层的恰当的等代角柱截面。选取等代角柱的原则是： 等代以后角柱的轴向变形与等代以前角柱的轴向变形相等，即图11-1 (b）中角柱的轴向变形与原框筒图11-1 (a）中角柱的轴向变形相等。如框筒第j层原角柱面积为Ac，所受轴力为N1；等代角柱的截面积为cj，所受轴力为∑Ni。这里，等代角柱代替了半榀翼缘框架的作用。每层角柱和等代角柱的轴向变形为δ-=N1hEAc
δ-=∑NihEAcj式中： ∑Ni=N1+N2+…--半个翼缘框架柱轴力之和；
N1, N2, N3, …--翼缘框架各柱轴力；
h--层高。
图11-1 原框筒与等效平面框架
由δ=δ-，可得cj=∑NiN1Ac=βAc式中β=∑NiN1  β为等代系数，其数值大小反映框筒结构空间作用的强弱。
等代系数β值不能通过结构的几何参数直接求得，只有在已知柱轴力后才能求出。因此，为了实际应用的方便，从通过电子计算机计算取得的大量典型结构的计算结果中，寻找β值与结构几何参数间的关系。影响β的因素很多，有角柱与翼缘框架其他柱的截面面积比，简称角柱比；翼缘框架梁的线刚度、层高、跨数、总宽度、层数（总高度）；及侧向荷载的分布形式等。但在众多的因素中，起主要作用的是角柱比和梁的线刚度。
文献\收集相当多的不同参数进行回归分析，得出了等代系数的计算公式，并绘制了β值曲线表，本节11.1.2中将给出这些曲线表，可以查用。
有了等代角柱的截面面积cj后，可按平面框架计算等代腹板框架。将算得的端柱轴力作用在带有原角柱截面的翼缘框架，可求出翼缘框架中各杆的内力。对有了等代角柱轴力后，如何求翼缘框架各柱的轴力，文献\制作了数表，见表11-1，可以查用。
11.1.2 图表的制作和使用
1. β值图表  通过对大量不同几何参数的平面框架（翼缘框架）和空间框架进行电子计算机计算结果，绘制成β值曲图11-2 β值曲线线，见图11-2. 
制作曲线时，不同几何参数的取值范围如下。
角柱比Cn=AcA(11-1)式中： Ac--角柱截面面积；
A--翼缘框架其他柱的截面面积。
Cn取1,  1.5, 2.0, 3.0；梁跨度l取2.00m,2.50m, 3.00m, 3.50m, 4.00m;梁截面尺寸b取0.25～0.45m,hb取0.80～2.50m;层高h取3.0～4.5m;层数n取20～100层。
对以上几何参数组成的框架，经过计算，制成以角柱比Cn与梁的线刚度i为主要参数的β值曲线，如图11-2所示。当Cn值介于图中数值之间时，可用插入法求β值。
图11-2中的β值曲线是按层数为25、层高为3.0m制成。β值是随层数而变的，几何参数相同的框筒结构，层数越多，β值越大。图11-3所示为β与层数关系的曲线。由图中可见，层数在30以下时，β值变化较大；层数在50以上时，β值变化很小。
图11-4是β值的层数修正值曲线，它给出各种层数的βn值与层数为25时的β25值间的差值，即βn-β25。由此图查得β值的层数修正值后，与β25相加，即为所需的βn值。例如： β20＝β25-0.3, β30=β25+0.22. 20层以下可均按20层计算。当层高不为3m时，可用建筑物总高除以3m折算出层数，再按图11-4对β值进行修正。
图11-3 β与层数关系图11-4 β值层数修正2. 求翼缘框架柱轴力的数表
有了β值后，可求得等代角柱的截面面积cj=βAc, 即可按平面框架计算等代腹板框架（见图11-1 (b) ) , 并算得角柱的轴力。此等代角柱的轴力等于图11-1 (a）中半个翼缘框架各柱轴力之和。翼缘框架各柱的轴力按下式求得N2=n2N1, N3=n3N1,  N4=n4N1,
N5=n5N1,  N6=n6N1,  N7=n7N1式中： N1～N7--翼缘框架各柱的轴力（见图11-1 (a) ) ; 
n2～n5--翼缘框架各柱的轴力系数，其数值可查表11-1, n6=0.75n5, n7=0.70n6. 
表11-1中的轴力系数ni是按底层编制的。一般情况下，底层的ni值较小，上层的ni值较大。因此，对中间层（总高一半的层数）需将表11-1中的ni值再乘以层数的修正系数ηi，即ηini；顶层轴力系数为ni(1-2ηi)。其他各层可用插入法求得。ηi的数值也在表11-1中给出。
此外，当所计算的结构总层数不为25时，还应将ni值作层数修正，即轴力系数按βnβ25i-1ni取值。
图11-2中的β值是按中间层的β数值绘制的。同一结构底层比上层的β值小，底层的β值应将图11-2中查得的结果除以η2求得. 
11.1.3 翼缘框架梁弯矩和剪力计算
用图11-2～图11-4和表11-1求出翼缘框架各柱轴力后，各梁端剪力可根据平衡条件求出。自边跨开始，从外而内、自上而下依次由结点的平衡条件（见图11-5）求出Qij=Qi-1,j+Nij-Ni,j-1式中： i--柱号或梁跨号；
j--所计算的层数。
按上式逐跨计算，可求得各梁的剪力。根据剪力可求得梁端弯矩。表11-1 n及η值表
l/min2n3n4n5η2η3η4η5Cn=1/12.00.0492
0.0252
0.0145
0.00750.781
0.752
0.714
0.6060.630
0.602
0.567
0.4700.548
0.518
0.480
0.3800.512
0.480
0.441
0.3491.248
1.279
1.353
1.4651.544
1.585
1.651
1.8091.765
1.813
1.898
1.9621.871
1.910
1.993
2.0712.50.0390
0.0202
0.0116
0.00600.735
0.699
0.658
0.5610.570
0.530
0.484
0.3950.463
0.424
0.381
0.2940.407
0.368
0.326
0.2381.314
1.370
1.387
1.5611.630
1.692
1.715
1.8611.883
1.894
1.945
1.9751.920
1.939
1.975
2.0953.00.0330
0.0168
0.0097
0.00500.680
0.645
0.606
0.5240.497
0.454
0.415
0.3210.385
0.342
0.303
0.2160.321
0.278
0.233
0.1451.349
1.408
1.422
1.5741.648
1.720
1.749
1.9151.906
1.950
1.957
1.9871.954
2.010
2.015
2.1013.50.0280
0.0144
0.0083
0.00430.629
0.600
0.562
0.4850.428
0.391
0.351
0.2790.303
0.270
0.237
0.1740.232
0.200
0.169
0.1161.356
1.413
1.432
1.5921.668
1.737
1.753
1.9201.914
1.960
1.969
2.0941.973
2.012
2.017
2.1714.00.0250
0.0121
0.0073
0.00380.581
0.556
0.521
0.4500.368
0.339
0.301
0.2370.250
0.224
0.188
0.1350.179
0.155
0.125
0.0841.364
1.422
1.443
1.6031.694
1.760
1.780
1.9281.922
1.965
1.971
2.1331.985
2.014
2.020
2.188Cn=1.5/12.00.0492
0.0252
0.0145
0.00750.526
0.508
0.493
0.4630.435
0.413
0.394
0.3590.388
0.362
0.337
0.2990.366
0.338
0.309
0.2601.208
1.246
1.316
1.3871.477
1.542
1.590
1.7031.668
1.742
1.795
1.8311.758
1.801
1.867
1.9072.50.0390
0.0202
0.0116
0.00600.508
0.481
0.457
0.4220.403
0.370
0.343
0.3010.336
0.301
0.275
0.2300.291
0.261
0.235
0.1711.220
1.282
1.355
1.4141.482
1.554
1.618
1.7121.681
1.754
1.810
1.8521.762
1.815
1.889
1.9193.00.0330
0.0168
0.0097
0.00500.483
0.452
0.422
0.3850.355
0.321
0.291
0.2390.282
0.243
0.214
0.1640.239
0.198
0.166
0.1091.252
1.316
1.370
1.4621.518
1.571
1.620
1.7321.691
1.770
1.823
1.8651.765
1.828
1.901
1.9313.50.0280
0.0144
0.0083
0.00430.444
0.418
0.391
0.3450.304
0.279
0.250
0.2030.217
0.196
0.174
0.1290.167
0.150
0.130
0.0781.291
1.330
1.358
1.4921.531
1.610
1.639
1.7431.759
1.796
1.845
1.8951.826
1.842
1.921
1.9554.00.0250
0.0121
0.0073
0.00380.435
0.405
0.364
0.3130.282
0.253
0.215
0.1780.189
0.166
0.136
0.1000.138
0.119
0.093
0.0641.292
1.341
1.371
1.5051.550
1.635
1.683
1.7681.763
1.803
1.861
1.9361.845
1.892
1.932
1.971续表
l/min2n3n4n5η2η3η4η5Cn=2/12.00.0492
0.0252
0.0145
0.00750.426
0.391
0.377
0.3570.358
0.320
0.304
0.2890.319
0.281
0.262
0.2360.311
0.262
0.240
0.2011.173
1.207
1.249
1.3121.313
1.390
1.457
1.4881.506
1.549
1.581
1.6411.674
1.702
1.721
1.7432.50.0390
0.0202
0.0116
0.00600.383
0.368
0.351
0.3320.316
0.285
0.266
0.2490.245
0.232
0.213
0.1820.229
0.205
0.183
0.1451.201
1.245
1.279
1.3281.418
1.459
1.471
1.4981.553
1.582
1.615
1.6821.691
1.716
1.738
1.7543.00.0330
0.0168
0.0097
0.00500.362
0.348
0.325
0.3130.266
0.249
0.232
0.2160.210
0.190
0.169
0.1410.175
0.156
0.136
0.1051.229
1.273
1.302
1.3711.430
1.491
1.506
1.5101.565
1.594
1.662
1.7211.718
1.737
1.749
1.7623.50.0280
0.0144
0.0083
0.00430.341
0.328
0.311
0.2740.235
0.220
0.194
0.1780.171
0.157
0.134
0.1090.132
0.121
0.099
0.0641.243
1.285
1.319
1.4081.503
1.509
1.512
1.5201.595
1.621
1.653
1.7611.736
1.751
1.760
1.7764.00.0250
0.0121
0.0073
0.00380.331
0.307
0.279
0.2410.216
0.194
0.166
0.1330.148
0.129
0.106
0.0790.109
0.090
0.073
0.0501.254
1.301
1.333
1.4691.508
1.513
1.524
1.6371.622
1.663
1.718
1.8011.753
1.761
1.772
1.802Cn=3/12.00.0492
0.0252
0.0145
0.00750.274
0.267
0.258
0.2440.232
0.222
0.212
0.1940.207
0.195
0.184
0.1630.197
0.184
0.171
0.1481.152
1.176
1.213
1.2621.251
1.330
1.395
1.4641.446
1.506
1.543
1.6021.574
1.609
1.630
1.6622.50.0390
0.0202
0.0116
0.00600.261
0.251
0.239
0.2220.206
0.196
0.183
0.1610.170
0.161
0.147
0.1250.153
0.144
0.128
0.1031.157
1.187
1.226
1.3061.317
1.393
1.426
1.5311.510
1.544
1.581
1.6481.580
1.619
1.611
1.6803.00.0330
0.0168
0.0097
0.00500.256
0.244
0.229
0.2070.191
0.178
0.162
0.1470.151
0.139
0.122
0.1030.127
0.116
0.099
0.0711.161
1.197
1.240
1.3421.356
1.408
1.451
1.5741.525
1.552
1.578
1.6791.585
1.631
1.656
1.7023.50.0280
0.0144
0.0083
0.00430.238
0.223
0.216
0.1820.165
0.150
0.134
0.1110.123
0.110
0.094
0.0740.098
0.086
0.070
0.0511.176
1.242
1.267
1.3861.375
1.433
1.470
1.6041.533
1.573
1.585
1.7111.592
1.651
1.672
1.7184.00.0250
0.0121
0.0073
0.00380.227
0.208
0.191
0.1630.152
0.142
0.124
0.0910.105
0.089
0.074
0.0550.079
0.065
0.051
0.0351.207
1.269
1.288
1.4171.401
1.466
1.500
1.6261.571
1.617
1.648
1.7171.595
1.671
1.687
1.73111.1.4 计算步骤与算例
计算步骤为：
 (1)  根据基本数据计算有关参数。按图11-2查得β值，按图11-4对β值进行层数修正，据此求出等代角柱截面。
 (2)  按平面框架（见图11-1 (b) ）计算等代框架，得等代框架内力，其中含等代角柱轴力。
 (3)  按表11-1查得翼缘框架各柱轴力系数，从而求出翼缘框架各柱轴力。由平衡条件，求翼缘框架梁的剪力和弯矩。
图11-5 由柱轴力求梁剪力图11-6 例11-1图  【例11-1】 图11-6 (a）所示框筒，各几何参数为: 角柱截面0.9m×0.9m，中柱截面0.5m×0.9m，柱距3.00m; 梁截面0.35m×0.8m;层高3.00m,共20层；顶部受外荷载为集中力2000kN. 求各柱轴力. 
【解】 用等代角柱法计算时的计算图如图11-6 (b) 所示。
角柱比Cn=0.9×0.90.5×0.9=1.8  梁线刚度i=0.35×0.83123.0=0.005  由图11-2(b)，当Cn=1.5时， β=2.59；由图11-2(c)，当Cn=2.0时，β=2.16。用插入法，当Cn=1.8时， β=2.33. 
因层数为20层，按图11-4得，层数修正系数为-0.30，修正后的β20=2.33-0.30=2.03。所以，等代角柱截面为c=0.9×0.9×2.03=1.644 (m2)   根据题给的结构各项参数及等代角柱截面，按平面框架计算图11-6 (b) ，求得等代腹板框架的内力。底层和10层柱1～6的轴力在表11-2中给出；其中柱6的轴力就是端柱轴力，即等代角柱轴力，用括号专门标出。表11-2 框筒结构部分计算结果
柱  号123456789101112等代角柱法轴力
/kN10层022.250.190.4155.2 (840.5) 
395.9166.3108.169.743.923.323.4底层030.168.7122.0190.6(1649.5)
967.4287.3164.495.759.044.531.0空间框架法轴力
/kN10层022.851.191.4150.4396.0167.5111.1070.945.938.126.0底层030.969.7126.4216.4964.2282.2160.998.062.543.135.2  根据端柱6的轴力查表11-1求翼缘框架各柱轴力，过程如下：
当Cn=1.5, l=3.00m, i=0.005，得
底层： n2～n5为： 0.385, 0.239, 0.164, 0.109;
η2～η5为： 1.462, 1.732, 1.865, 1.931. 
10层： η2n2～η5n5为： 0.563, 0.414, 0.306, 0.211. 
当Cn=2.0, l=3.00m, i=0.005，得
底层：  n2～n5为： 0.313, 0.216, 0.141, 0.105;
η2～η5为： 1.371, 1.510, 1.721, 1.762. 
10层： η2n2～η5n5为： 0.429, 0.326, 0.243, 0.185. 
用插入法求得Cn=1.8时的ni与ηini值如下：
底层： n2～n5为： 0.342, 0.225, 0.150, 0.107;
10层： η2n2～η5n5为： 0.483, 0.361, 0.268, 0.195. 
层数修正：
因 β20β25=2.032.33=0.870，各柱轴力系数的层数修正系数分别为0.870, 0.8702, 0.8703, 0.8704。将以上层数修正系数乘前面求得的轴力系数后，得最后的轴力系数i的计算值如下：
底层： 2～7为： 0.297, 0.170, 0.099, 0.061, 0.046, 0.032;
10层： 2～7为： 0.420, 0.273, 0.176, 0.111, 0.084, 0.059. 
最后两系数用n6=0.75n5, n7=0.7n6计算。
有了表11-2中等代腹板框架端柱轴力1649.5kN后，翼缘框架各柱轴力N6～N12按下述方法求得。
如底层：N6+0.297N6+0.170N6+0.099N6+0.061N6+0.046N6+0.032N6=1649.5(kN)所以N6=967.4 (kN) 
N7=0.297N6=287.3 (kN) 
       底层和10层的计算结果示于表11-2中。为了比较，表中同时给出了按空间框架通过计算机算得的结果。
11.2 筒中筒结构在水平荷载下的连续体-微分方程法
11.2.1 计算简图和计算方法  
筒中筒结构是由外框筒和内筒通过楼板连接在一起的空间结构。本节的计算采用了以下的假设： 外框筒用等效连续的正交异性板代替，其等代关系见12.2节和8.3节；内筒为薄壁筒，沿高度截面相同；楼板在自身平面内刚度为无限大，楼板平面外的刚度很小，可忽略不计；并假设楼板的作用在高度方向上连续化。
本节讨论筒中筒结构受对称轴方向的水平荷载作用时的计算。此时，筒中筒结构只产生侧向位移而没有扭转。
本节方法的计算要点是： 先把框筒视为有弯曲变形和剪切变形的弯剪型构件，内筒视为只有弯曲变形的受弯构件；根据外框筒和内筒在同一标高处水平位移相等的协调条件，以及总外力等于框筒所受侧力和内筒所受侧力之和的平衡条件，建立微分方程；解方程，求出结构的侧向位移和侧向力在框筒和内筒间的分配；有了框筒所受的侧向力后，仍视框筒为等代连续筒，按连续体方法求出框筒的梁柱内力。
11.2.2 微分方程的建立
筒中筒结构如图11-7所示。以筒中筒的侧向位移y为基本未知量。因为有刚性楼板的假设，此y同时也就是内筒和外框筒的侧向位移。
内筒为受弯构件，其侧向位移与内力、荷载间有如下关系EIWy" =-MW(11-2)
EIWy(4)=-pW(11-3)式中： EIW--内筒的弯曲刚度；
pW, MW--内筒所受的侧向力集度、截面弯矩，图11-7中所示方向均为荷载、内力的正方向。
外框筒为弯剪型构件，其侧向位移y可视为由弯曲变形产生的yM和由剪切变形产生的yQ两部分组成，即y=yM+yQ(11-4)此式同时亦可视为内、外筒侧向位移相等的位移协调条件。其中各侧向位移分量与内力、荷载间有如下关系图11-7 筒中筒结构
EIFy" M=-MF(11-5)
y′Q=QFKFh(11-6)
y" Q=pFKFh(11-7)式中： EIF--框筒的弯曲刚度；
KF--框筒的层间剪切刚度，即使框筒楼层间产生单位相对侧移时所需之力；
pF, QF, MF--框筒所受的侧向力集度、截面剪力、截面弯矩。
内、外筒间，除有式（11-4）所示的侧向位移协调条件外，还有下述力的平衡条件p(z)=pW+pF(11-8)
MP=MW+MF(11-9)  式(11-8)表示筒中筒的总侧向荷载p(z)等于框筒的侧向荷载pF与内筒的侧向荷载pW之和；式(11-9)表示荷载对筒中筒截面的总弯矩MP等于框筒截面弯矩MF和内筒截面弯矩MW之和。
将式(11-2)和式(11-5)代入式(11-9)后，有EIFy" M+EIWy" =-MP(11-10)  将式(11-4)对z求导两次，有y" =y" M+y" Q  利用上式将式（11-10）中的y" M表为y" 和y" Q，并代入式（11-7) 、(11-8)，得(EIF+EIW)y" =-MP-EIFKFh(p-pW)]  将式(11-3)代入上式，可得y (4) -KFh1EIW+1EIFy" =KFhEIFEIWMP-pEIW  引入符号λ2=KFhH21EIW+1EIF,  ξ=zH(11-11)λ是结构的刚度特征值，无量纲。它是与内筒的抗弯刚度、外框筒的抗弯刚度和抗剪刚度都有关的一个参数，对筒中筒结构的受力和变形状态有很大的影响。
引用上述符号后，基本微分方程变为d4ydξ4-λ2d2ydξ2=λ2H2∑EIMP-pH4EIW(11-12)式中： ∑EI=EIF+EIW. 
现在说明框筒的弯曲刚度和层间剪切刚度。因为外框筒采用了等效连续筒的计算简图，所以要从其侧向位移的计算公式中去找弯曲刚度和层间剪切刚度。第8章中求出了3种典型荷载作用下的水平位移计算公式。现将其中顶部集中力作用下顶点的水平位移计算公式写出如下un=-PH33EIF-Pc2H2GIFg1-L2γshK10KchK其中第一项是按简单梁弯曲变形引起的水平位移，从中可以看出，等效筒体的惯性矩IF=43tc2(3b+c)+4Acc2就是计算弯曲变形的刚度。公式中的第二项是考虑剪切变形和剪力滞后对水平位移的修正项。从中可以看出，产生单位层间侧移所需的层剪力为KF=2GIFc2g1hcs式中：g1=1+2bc+2Acct
cs=1+L2γshKg110KchK式中： K, L见式（11-43) ,  γ=1-13m(m见11.2.4节)。计算时可取cs=1.02～1.06. 
式（11-12）的齐次式与框架-剪力墙结构的基本微分方程的齐次式在形式上是相同的，但等号右边的荷载项有所不同。式（11-12）的通解由齐次解和特解叠加而得，即y=C1+C2ξ+C3shλξ+C4chλξ+y1(11-13)  根据荷载求出式（11-12）的特解y1，代入式（11-13) ；然后根据边界条件确定积分常数。y即为结构的侧向位移。再代入y求出内筒和外框筒所承担的侧向力或截面的弯矩与剪力，据此可求得框筒的梁柱内力。
11.2.3 三种典型荷载作用时的解1. 顶部集中力  当顶部集中力作用时MP=Pz=PHξ, p(z)=0式（11-12）变为d4ydξ4-λ2d2ydξ2=Pλ2H3∑EIξ(11-14)  令y1=Aξ3,代入式（11-14）后，可求得A=-PH36∑EI所以，有y1=-PH36∑EIξ3代入式（11-13) ，得侧移的通解为y=C1+C2ξ+C3shλξ+C4chλξ-PH36∑EIξ3(11-15)对ξ求各阶导数，有dydξ=C2+C3λchλξ+C4λshλξ-PH32∑EIξ2
d2ydξ2=C3λ2shλξ+C4λ2chλξ-PH3∑EIξ
d3ydξ3=C3λ3chλξ+C4λ3shλξ-PH3∑EI(11-16)  下面根据边界条件确定积分常数。
当z=0,  即ξ=0时， 顶部弯矩为零，即 d2ydξ2=0. 
由此求得C4=0  当z=H,  即ξ=1时， 底部侧移和转角为零，即y=0和 dydξ=0。由此求得C2=PH32∑EI-C3λchλ
C1=-PH33∑EI+C3(λchλ-shλ)在上两式中， C1和C2将为待定常数C3所决定。
由于MW=-EIWH2 d2ydξ2=EIW∑EIPHξ-C3λ2EIWH2shλξ由式(11-9)得MF=EIF∑EI PHξ+C3λ2EIWH2shλξ由式(11-5)和上式，对ξ积分一次，得dyMdξ=-PH3∑EI ξ22-C3λEIWEIFchλξ+B(11-17)  当ξ=1时，dyMdξ=0。由此得B=PH32∑EI+C3λEIWEIFchλ  当z=0,  即ξ=0时，顶部总剪力等于P，即QF+QW=P或dyQ(0)dξKFhH2-EIWd3y(0)dξ3=PH3由此可得dyQ(0)dξ=1KFhH2EIF∑EIPH3+C3λ3EIW  由式（11-16）的第一式和式（11-17) ，有dy(0)dξ-dyM(0)dξ=C3λ(1-chλ)∑EIEIF上两式应相等。由此求得C3=-PH3EIFλ3EIW∑EIchα因此有C2=PH312∑EI+EIFλ2EIW∑EI
C1=-PH33∑EI-PH3EIFλ2EIW∑EI1-thλλ  有了积分常数C1～C4，可得侧移及结构内力，给出有关结果如下：
顶点侧移为y(0)=-PH33∑EI-PH3EIFλ2EIW∑EI1-thλλ(11-18)  任意截面处的弯矩为MW=EIW∑EIPHξ+Mc
MF=EIF∑EIPHξ-Mc(11-19)式中Mc=PHλchλshλξEIF∑EI(11-20)  任意截面处的剪力为QW=EIW∑EIP+Qc
QF=EIF∑EIP-Qc(11-21)式中Qc=PEIFchλ∑EIchλξ(11-22)2. 均布荷载
解法与前类似。
顶点侧移为y(0)=-qH48∑EI-qH4λ21EIW-1∑EI×12+1λ2-λshλ+1λ2chλ(11-23)  任意截面处的弯矩为MW=EIW2∑EIqH2ξ2+Mc
MF=EIF2∑EIqH2ξ2-Mc(11-24)式中Mc=-EIF∑EIqH21λ2(1-chλξ)-1λ×1-shλλshλξchλ](11-25)  任意截面处的剪力为QW=EIW∑EIqHξ+Qc
QF=EIF∑EIqHξ-Qc(11-26)式中Qc=EIF∑EIqHshλξλ+1-shλλchλξchλ](11-27)3. 倒三角形荷载
顶点位移为y(0)=-11pH4120∑EI-pH4λ21EIW-1∑EI13+1λchλ1λ2-12shλ-1λ](11-28)  任意截面处的弯矩为MW=EIW∑EIpH212ξ2-16ξ3+Mc
MF=EIF∑EIpH212ξ2-16ξ3-Mc(11-29)式中Mc=-EIFpH2∑EIλ21-ξ-chλξ-λ2-shλ-1λshλξchλ](11-30)  任意截面处的剪力为QW=EIW∑EIpHξ-12ξ2+Qc
QF=EIF∑EIpHξ-12ξ2-Qc(11-31)式中Qc=EIFpH∑EIλ1λ+shλξ+λ2-shλ-1λchλξchλ](11-32)  至此，内、外筒间荷载分配已经解决。
11.2.4 外框筒的内力计算
求出了外框筒所受的荷载（MF, QF) ，进一步求外框筒内力的计算方法与第8章中求等代连续筒的内力的计算方法是类似的。
设等效法向面板中的竖向应力σz为二次抛物线分布（坐标见图11-8) 。注意，这里仍采用了外框筒分析图11-8 外框筒
时所用坐标，与图11-7 所用坐标不同。σz=MFIFc+S0(z)+yb2S(z)(11-33)式中： S0(z), S(z)--应力调整参数，是z的函数。
设侧向面板中的竖向应力σ′z为三次曲线分布（坐标见图11-8) σ′z=MFIFx+xc3S1(z)(11-34)式中： S1(z)--另一个应力调整参数。
根据在角隅处，法向面板和侧向面板的竖向应变协调条件σz(±b,z)E=σ′z(c,z)E  将式(11-33)和式(11-34)代入上式，可得S1=S0+S(11-35)  根据在任意高度处，总的力矩的平衡条件2∫b-bσztcdy+2∫c-cσ′ztxdx+4Accσc=MF式中： Ac--角柱的加强面积，即角柱截面面积Ac1与中柱截面面积A0之差;
σc--角柱的竖向应力，可由y=b代入式（11-33)求得。
将式（11-33) ～式（11-35）代入上式，可求得S0=-13mS其中m=5b+3c+15Act5b+c+5Act于是，竖向应力σz和σ′z可用单一的应力调整参数S(z)来表示σz=MFIFc-13m-yb2]S(11-36)
σ′z=MFIFx+1-13mxc3S(11-37)  角柱的应力为σc=σ|y=b=MFIFc+1-13mS(11-38)  微元的平衡微分方程式为σzz+τyzy=0, σ′zz+τxzx=0由上式积分，可求得τyz=-ycIF·dMFdz-13m-yb2]dSdz(11-39)
τxz=c22IF1+2bc+2Acct-xc2]dMFdz+1-13m·c415-xc4]dSdz(11-40)  积分时的积分常数由下列边界条件求出：
(1) 当y=0时， τyz=0. 
 (2)  在角柱处的平衡方程τxz|x=c+τyz|y=b=Act σcz
由于楼板在平面内刚度很大，可以忽略水平应变，因而水平方向的正应力σx和σy产生的应变能也可略去，故结构中的总应变能为U=t∫H0∫b-bσ2zE+τ2yzGdy+∫c-cσ′2zE+τ2xzGdxdz+4Ac2E∫H0σ2cdz  将式（11-36) 、式（11-40）代入上式，对x和y积分后，应变能U可表示为U=∫H0fz,S,dSdzdz  根据最小余能原理，使以上积分值为驻值，可得出下面的控制微分方程和边界条件d2Sdz2-KH2S=L2d2σbdz2
当z=0时， S=0
当z=H时， dSdz-L2dσbdz=0或改写为d2Sdξ2-K2S=L2d2σbdξ2(11-41)
当ξ=0时， S=0
当ξ=1时， dSdξ-L2dσbdξ=0(11-42)式中K2=15GH2Eb2 15(5m2-10m+9)+(3-m)2cb17+Acct17(35m2-42m+15)+115cb3(3-m)2
L2=3(5m-3)-17cb3(3-m)17(35m2-42m+15)+115cb3(3-m)2
σb=MFcIF(11-43)  当角柱与其他柱截面相同时，角柱可作为等效正交板的一部分包括在内，这时Ac=0，参数K2和L2可简化为K2=9GH2Eb2 (5m2+15m-6)(3-m)35m3-42m2+51m-20
L2=-945m3-72m2-33m+32(3-m)(35m3-42m2+51m-20)(11-44)  对筒中筒结构在三种典型荷载作用下的外筒弯矩MF，上段中已求出其表达式。将它们代入式(11-41)和式(11-42)求解，即可求出应力调整参数S的表达式。
1. 顶部集中力
由式（11-19）和式（11-20) ，可得σb及其导数为σb=PHc∑Iξ-1λchλshλξ
dσbdξ=PHc∑I1-1chλchλξ
d2σbdξ2=-PHcλ∑Ichλshλξ(11-45)据此，式（11-41）的齐次解和特解为S=AchKξ+BshKξ-L2PHcλ(λ2-K2)∑Ichλshλξ由式（11-42）的第一条件，求得A=0. 
由式（11-42）的第二条件，求得B=L2PHcλ2K∑I(λ2-K2)chK所以S=L2λ2PHc(λ2-K2)∑I1KchKshKξ-1λchλshλξ(11-46)2. 均布荷载
由式（11-24）和式（11-25) ，可得σb及其导数为式中： σb=qH2c∑I12ξ2+1λ2(1-chλξ)-F11λshλξ]
F1=1-shλλ1chλ
dσbdξ=qH2c∑Iξ-1λshλξ-F1chλξ
d2σbdξ2=qH2c∑I1-chλξ-F1λshλξ(11-47)据此，求得式（11-41）的解为S=AchKξ+BshKξ-L2qH2c∑I1λ2-K2chλξ+F1λshλξ+1K2](11-48)由边界条件式（11-42）的第一式，求得A=L2qH2c∑I·λ2K2(λ2-K2)(11-49)由边界条件式（11-42）的第二式，求得B=L2qH2c∑IchK1K+Kλ2-K2-λ2K2(λ2-K2)shK](11-50)3. 倒三角形荷载
由式（11-29）和式（11-30) ，可得σb及其导数为σb=pH2c∑I12ξ-16ξ3+1λ2(1-ξ)-1λ2(chλξ+F2shλξ)]
dσbdξ=pH2c∑Iξ-12ξ2-1λ2-1λ(shλξ+F2chλξ)]
d2σbdξ2=pH2c∑I (1-ξ-chλξ-F2shλξ) (11-51)式中F2=λ2-shλ-1λchλ据此，求得式（11-41）的解为S=AchKξ+BshKξ-L2pH2c∑I1λ2-K2chλξ+F2λ2-K2shλξ+1K2(1-ξ)](11-52)由边界条件式（11-42）的第一式，求得A=L2pH2c∑I λ2K2(λ2-K2)(11-53)由边界条件式(11-42)的第二式，求得B=L2pH2cKchK∑I12-1λ2-1K2+Kλ(λ2-K2)λ2-1λ-λ2K(λ2-K2)shK](11-54)  以上求得了筒中筒结构在三种典型荷载作用下外筒的应力调整参数S的表达式。将它们代入式（11-36) ～式（11-40) ，即可得各应力分量。
有了各应力分量，可以按下述公式计算框筒柱的轴力梁的剪力。
由式（11-36）求得法向框架中位于yi处的柱轴力（见图11-8）为Ni=t∫yi+d2yi-d2σzdy=tdσb(z)-13m-1b23y2i+d24]S(z)(11-55)式中： d--柱间距。
由式（11-37）得侧向框架中位于xi处的柱轴力为Ni=t∫xi+d2xi-d2σ′zdx=tdxicσb(z)+1-13m1c2x2i+d24S(z)](11-56)  由式（11-36）和式（11-37）可求出角柱轴力。当角柱截面与中柱截面相同时，即加强截面Ac=0时Nco=t∫bb-d2σzdy+t∫cc-d2σ′zdx=td12+12cc-d4]σb(z)
-16m-12-d4b+d224b2-1-13m12-3d8c+d28c2-d364c3]S(z)(11-57)当角柱截面加强时Nc=Acσb(z)+1-13mS(z)]+Nco(11-58)  由式（11-40) ，得侧向框架中位于xi处， zi水平面上柱的剪力为Qci=t∫xi+d2xi-d2τxzdx=tcd2H1+2bc+2Acct-13c23x2i+d24]dσbdξ
+1101-m31-1c45x4i+52d2x2i+d416]dSdξ(11-59)侧向框架中，位于xi处、zi水平面上梁的剪力为Qbi=t∫xi+h2xi-h2τxzdz                  
=tc21+2bc+2Acct-xic2]σbzi+h2-σbzi-h2]
+121-m315-xic4]×Szi+h2-Szi-h2](11-60)  由式（11-39）得法向框架中位于yi处、zi水平面上梁的剪力为Qbi=∫zi+h2zi-h2τyzdz
=-yitσbzi+h2-σbzi-h2
-13m-yib2]×Szi+h2-Szi-h2](11-61)以上公式中，σb(z), σbzi+h2, σbzi-h2, Szi+h2, Szi-h2等均代表函数值。
11.2.5 计算步骤与算例1. 根据基本数据计算有关参数  主要参数有： 内筒的弯曲刚度EIW，外筒的等效惯性矩IF及外筒的弯曲刚度EIF，外筒的层间剪切刚度KF。据此，由式（11-11）计算结构的刚度特征值λ. 
2. 侧向位移计算
顶部集中力、均布荷载及倒三角形荷载三种典型荷载作用下的顶点侧向位移分别按式（11-18) 、式（11-23) 和式（11-28）计算。
3. 内、外筒任意截面处的总弯矩、总剪力计算
三种典型荷载作用下内、外筒任意截面处的总弯矩和总剪力分别由式（11-19) ～式（11-22) 、式（11-34) ～式（11-27) 和式（11-29) ～式（11-32）计算。
至此，内、外筒已经分开。内筒各肢的弯矩、剪力可由其总弯矩、总剪力求得。
4. 外框筒梁、柱内力计算
 (1)  按式（11-43）或式（11-44）计算外筒的综合参数K和L. 
 (2)  在3种典型荷载作用下分别按式（11-45) 、式（11-47）和式（11-51）求得荷载作用时的应力函数σb及其导数；按式（11-46) 、式（11-48）和式（11-52）求得应力调整参数S. 
 (3)  由式（11-55) ～式（11-61）计算各柱和各梁的轴力和剪力。
【例11-2】 图11-9所示为筒中筒结构的平面图。层高： 底层为3.9m，其他均为3.6m，共21层。总高度为75.9m。外筒柱截面尺寸为45cm×40cm，梁截面尺寸为30cm×55cm。内筒为4个槽形薄壁杆，总惯性矩IW=251.795m4. 图11-9 例11-2的筒中筒结构
平面图（单位： cm)混凝土弹性模量E=3×107kPa。求沿y方向倒三角形分布水平荷载（顶