第1章点的投影






本章知识要点
理解并熟记下列关于点的投影规律。
1. 某点的三面投影，一定分别在同一条垂直于相应投影轴的投影连线上，如图1-1中的a′，a，a″。
2. 某点的H面投影，到OX轴的距离，等于该点的W面投影到OZ轴的距离，如图1-1中的两个y值相等。


图1-1

3. 某点的一个投影在投影面上，该点的其他两投影，一定在相应的投影轴上。如图1-2中的a′在V面上，b在H面上，则该两点的其他投影都在相应的投影轴上。



图1-2


1.1点的三面投影
例题1.1根据点A，B的空间位置（图1-3（a）），画出其三面投影图。


图1-3

分析：  点A是空间点，按上述点的第1、2条投影规律画图。点B是W面上的点，按上述的第3条规律画图。
解：  画点的投影图时，各投影面上的投影点的位置，应到立体投影体系中量取，两点三面投影图如图1-3（b）所示。

例题1.2根据点A，B的投影图（图1-4（a））画出其在立体投影体系中的空间位置。


图1-4


分析：  A点在三个投影面上都有其投影，说明它是空间上的点。B点只有b′在V面上，而其他两投影均在投影轴上，说明它是V面上的点。
解：  画出三面立体投影体系后，在投影图上分别量取A，B两点各投影在投影轴上的尺度，移植到立体投影体系中，即可得两点的空间位置，如图1-4（b）所示。
例题1.3根据点A，B的两面投影，求出它们的第三投影，如图1-5（a）所示。


图1-5

分析：  A点在H，W面上有投影，必存在其V面的投影。B点的H面投影在OX轴上，说明其是V面上的点，其W面投影必在OZ轴上，如图1-5（b）所示。
解：  根据点的第1、2条投影规律画出A点的V面投影a′。根据第3条规律画出B点的W面投影b″，在Z轴上，如图1-5（b）所示。
例题1.4根据点A（15，15，20）和点B（20，10，30）的坐标值画出其投影图和立体图。
分析：  这是一道将投影体系转换成坐标体系的例题。投影轴成为坐标轴，其上应标有尺度数字，投影轴的交点O，成为坐标的原点。
解：  画出投影轴后，标上尺度。A点按X=15，Y=15，Z=20作出其三面投影图。B点按X=20，Y=10，Z=30作出其三面投影图，如图1-6（a）所示。
画出立体坐标体系后，在其轴上标出尺度。点A，B按上述X，Y，Z值，在立体坐标体系中作出其空间位置，如图1-6（b）所示。



图1-6


1.2两点的相对位置
例题1.5根据A，B两点的立体空间位置，画出其投影图，如图1-7（a）所示。


图1-7

分析：  这是关于重影点的问题。如果两个点或多个点在某投影面上的投影重合为一点，就称它为多点的重影点。显然，从图1-7（a）看出，A，B两点在H面形成重影点。其他两投影面的投影都在同面的投影连线上。
解：  根据立体图，首先确定H面A，B重影点a(b)的位置，再画投影连线，确定V，W面两点的投影，如图1-7（b）所示。
例题1.6根据A，B两点的立体空间位置，画其投影图，如图1-8（a）所示。


图1-8


分析：  同上题一样，这也是重影点的问题，该题A，B两点的重影点在V面上，为a′(b′),其他两投影面（V，W）的投影，都在同面的投影连线上。
解：  按立体图a′(b′)位置，在V面画出a′(b′)，再画投影连线，画出H，W面A，B两点的投影，如图1-8（b）所示。
还有一种可能的情况，就是重影点在W面上，其立体图和投影图望读者思考并完成。
例题1.7根据A，B两点的两面投影，求出其第三面投影，并判定它们的相对位置，如图1-9所示。


图1-9

分析：  在《画法几何与建筑制图》的学习中，读者已对三个投影面的形成及其上表示形体上下、左右、前后的方位有所了解，如图1-10所示。


图1-10

解：  首先根据点的投影规律，求出a″，b的位置,再按图1-10所示将A，B两点的相对位置注在图1-11上。


图1-11

例题1.8已知点A的三面投影，如图1-12（a）所示。又知B在A之上1，B在A之后2，B在A之右2。试完成B的三面投影。


图1-12

分析：  按A点在坐标体系中的位置，确定B的位置为Z=2，X=1，Y=1，并画在坐标图上。
解：  按上述分析画出B点的投影，如图1-12（b）所示。




第2章直线的投影






本章知识要点
1. 一般位置线、特殊位置线的投影特点。
2. 一般位置线的实长和倾角。
3. 直线上点的投影。
上述知识要点，将在本章的例题分析中分别给予阐述。
2.1一般位置直线、特殊位置直线的投影
直线可以看成是由两端点连结而成。所以按照求点的方法，即可求出直线的投影，如图2-1所示。


图2-1

一般位置线，即对三个投影面都倾斜的直线。因此它在三个投影面上的投影，均不反映实长。其对三个投影面倾角的投影亦不反映实形。如果见到一线段的两个投影面的投影是倾斜的线段，即可判定其是一般位置直线。一般位置线在立体空间的投影状况，如图2-2所示。


图2-2

特殊位置线是指对投影面处于特殊位置的线段，即投影面的垂直线和投影面的平行线。
垂直于V，H，W面的垂直线，分别称为正垂线、铅垂线和侧垂线，它们的投影特点是，在直线所垂直的投影面上的投影积聚为一点，而其他两投影面上的投影则是垂直于相应投影轴的直线，如图2-3（a）、（b）、（c）所示。


图2-3

平行于V，H，W面的平行线，分别称为正平线、水平线和侧平线。其投影特点是在直线所平行的投影面上的投影，反映实长。其他两投影则是平行于相应投影轴的直线，如图2-4（a）、（b）、（c）所示。反映实长的投影，其对两投影面的倾角，均反映实形。


图2-4

例题2.1作出一般位置线AB的第三面投影，如图2-1（a）所示。
分析：  两投影都是倾斜的直线，属一般位置线，其第三面投影也必是一条倾斜的直线。
解：  按点的投影规律作出a″，b″，连线即可，如图2-1（b）所示。
例题2.2根据立方体的投影图，判断AB，AC，BC是什么线，如图2-5所示。


图2-5

分析：  AB在H面积聚为一点a(b)，属铅垂线； AC在W面积聚为一点a″(c″)，属侧垂线； CD在V面积聚为一点c′(d′)，属正垂线。
解：  将上述分析答案，填入图2-5中即可。
例题2.3注全AB，AC，AD的三面投影，并注明它们是什么线，如图2-6（a）所示。
分析：  AB的H面投影平行于V面，判定其是正平线。AC的V面投影平行于W面，判定其为侧平线，AD的V面投影平行于H面，判定其为水平线。
解：  根据点的投影规律，将A，B，C，D四点的其余投影补全，并将线段的判断填上即可，如图2-6（b）所示。


图2-6

2.2线段的实长和倾角
如前所述，一般线的三个投影均不反映实长，其倾角的投影亦不反映实形。但可以用下述三个方法求得它的实长及其对投影面的倾角。
1. 直角三角形法求线段的实长和倾角
如图2-7（a）所示，为AB线的两面投影，属一般位置线。如果求其实长及其对H面的倾角α,可利用H面投影ab作为一直角边，V面投影a′b′两端点的高度差为另一直角边，在H面作直角三角形，则斜边为实长、所对高差的角度为该线对H面的倾角α，如图2-7所示。


图2-7

如果求其实长及其对V面的倾角β，可利用V面投影a′b′作为一直角边，H面投影ab两端点的前后宽度差作另一直角边，在V面作直角三角形，其斜边即为实长，其宽度差所对角度，即为该线段对V面的倾角β，如图2-8所示。


图2-8

线段在W面投影既有高度差，又有宽度差，如何用其求实长和倾角，读者可自习之。
例题2.4已知线段AB的V面投影a′b′，A点的水平投影a,且知AB对H面的倾角α=30°。求AB的H面投影ab，如图2-9（a）所示。


图2-9


分析：  a′b′的高度差已给出，α角等于30°，所以用直角三角形法可求出AB的实长。已知a点，而b一定在b′的投影连线上。
解：  自b′作a′b′高度差b′c，此为一直角边。自b′作60°角，使得该直角边b′c所对角度α＝30°。则另一直角边dc即为H面投影的长度。在H面以a为圆心，cd为半径画弧，交自b′所画投影连线于b，此处有两解，选任一均正确，如图2-9所示。
例题2.5已知点A和正平线BC的两投影，试求点A到BC的距离，如图2-10（a）所示。


图2-10


分析：  AB是正平线，V面反映其实长及其实际的走向，自a点作bc的垂线，则是两距离的V面投影，进而可知H面距离的投影。实际距离可用直角三角法求得。
解：  如图2-10（b）所示，自a′点作b′c′的垂线，垂足k′投到H面bc上为k点，连ak、以ak为一直角边，a′k′的高度差为另一直角边，在H面作直角三角形，其斜边即为距离。
例题2.6已知K点在AB线上，求K点的H面投影k和K点到CD线的距离，如图2-11（a）所示。


图2-11


分析：  由图2-11（a）可知，CD线为水平线，AB线为侧平线。H面ab上的k点，可用平行投影中的定比性求得。进而可作出距离的投影，与上题相似。再用直角三角形法求得距离的实长。
解：  求k点，自b点作辅助线，截取b1等于b′k′，12等于k′a′。连2，a两点，自1作2a平行线交ab于k点。k点即为所求。
求距离，自k点作cd垂线得ke，垂足eV面投影得k′e′，ke和k′e′即为所求距离的两面投影。取H面k,e两点的前后宽度差为一直角边，V面k′e′为另一直角边，在V面作直角三角形，斜边即为所求距离，如图2-11（b）所示。

2. 辅助投影面法求线段的实长和倾角
一般位置线在投影体系中是处于对各投影面都倾斜的状态,均不反映实长和真实的倾角。如果平行于该线段设立一新的投影面，在新的投影面上反映出该线段的实长及对其他倾斜投影面的真实倾角，如图2-12所示。V1面为新设的辅助投影面。其上的a′1b′1反映AB实长，α反映对H面真实的倾角。如果将图2-12画成投影图，如图2-13所示。此时V1