第一单元微积分 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切. ——德·克莱因（1849-1925） 第一章函数、极限与连续 函数是高等数学中最基本的概念之一，连续函数是微积分研究的主要对象，而极限理论是近代微积分学的理论基石，许多重要概念都是用极限作为工具定义的.这些内容是整个高等数学的基础知识. 【基本要求】 1. 理解函数、极限、连续概念，知道相关概念的简单性质； 2. 熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法，掌握将复合函数分解成较简单函数的方法； 3. 熟练掌握极限的的四则运算和两个重要极限； 4. 理解无穷小量与无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，会进行无穷小量阶的比较； 5. 掌握判断函数在一点处连续或间断的方法. 【学习重点】 1. 基本初等函数的基本特征和简单性质，复合函数的复合过程； 2. 求极限的基本方法； 3. 函数的连续性或间断的定义及性质. 第一节函数 在讨论函数的概念之前，我们先来讨论两个实际生活中的例子. 引例1.1某健身中心实行会员制，会员享受健身场地使用价格的八折优惠，但需每年交纳会员费500元. 问若某人只在此健身中心健身，每年花在健身方面的钱至少是多少（按价格计算）才能真正受惠？一年内实际受惠多少钱？ 分析假设按价格计算此人一年内健身所花费用为x元，则获得会员优惠应为0.2x，但因交纳了500元会员费，因此实际获得的优惠y是0.2x-500，即 y=0.2x-500 按此关系式我们可以计算出一些结论，如表1-1所示. 表1-1每年健身所花费用与受惠金额之间的统计表 每年健身 所花费用x 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 受惠金额y -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 从表1-1中我们可以看出，至少需花3000元健身才能真正受惠. 图1-1心电图 引例1.2心电图可以显示病人的心率模式,它是由心电图仪直接根据病人的心率脉动情况绘制的，如图1-1所示.由图形可以看出，它的图像上每一点都代表着相应时间对应的电流活动值.因此，这里的图形又表示了变量与变量间的对应关系. 上述两个例子，都是要确定变量间对应关系的问题，类似的问题还很多，如股票价格曲线、银行利息计算等.变量间的对应关系就是下面要介绍的函数的概念. 一、 函数概念 定义1.1设D是一个非空实数集合，如果对D中的每个元素x，按照对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称y是x的函数，记作 y=f(x) 式中，x称为自变量，y称为因变量（也称函数值），D称为函数的定义域，所有函数值组成的集合S称为函数f的值域. 按照函数定义，给定一个函数，必须给定一个定义域及一个对应规则. 函数常用的表示方法有解析法、图像法和表格法. 如果函数定义不是用一个表达式完成的，而是把整个定义域分成若干个区间段，在不同的区间段内对应的函数值用不同的表达式给出，这种函数我们称之为分段函数. 例1.1求下列函数的定义域. （1） f(x)=1-x2（2） g(x)=23-x+ln(x-1) 解（1） 要想f（x）是实数，必须满足不等式1-x2≥0，所以函数 f（x）=1-x2 的定义域为-1≤x≤1，即［-1,1］. （2） 该函数的定义域应满足不等式组为3-x≠0 x-1>0，即(1,3)∪(3,+∞). 例1.2设f(x)=x2+x，求f(1),f(-1),f(t),f(x+1). 解f(1)=12+1=13，f(-1)=-12-1=-1， f(t)=t2+t，f(x+1)=x+12+(x+1)=x+1x+3. 例1.3火车站行李收费规定： 当行李不超过50kg时，按每千克0.5元收费，当超出50kg时，超重部分按1.5元/kg收费，试分析行李收费（元）与行李重量（kg）之间的函数关系. 解设行李重量为xkg，行李收费为y元，则当0≤x≤50时，y=0.5x； 当x＞50时，y=0.5×50+1.5×(x-50).所求函数表达式为 y=0.5x,0≤x≤50 25+1.5(x-50),x>50 二、 函数的几个特性 （一） 奇偶性 如果函数f（x）的图形关于y轴对称，即对于定义域［-a,a］内的任一元素x，f（x）=f（-x），则称函数f（x）为偶函数； 如果函数f（x）的图形关于原点对称，即对于定义域［-a,a］内的任一元素x，f（x）=-f（-x），则称函数f（x）为奇函数. 如函数f(x)=x2-5是偶函数，函数f（x）=x3是奇函数. 两个偶函数之和、差、积与商仍是偶函数，两个奇函数之和、差仍是奇函数，两个奇函数之积与商是偶函数，奇函数与偶函数之积与商是奇函数. （二） 单调性 函数y=f(x)在区间I上定义，如果对于任何x1,x2∈I，假设x1f(x2)） 则称函数y=f(x)在区间I上单调增（或单调减）. （三） 有界性 函数y=f(x)在区间I上定义，如果存在常数M>0，使得对于任何x∈I都有|f(x)|≤M，则称函数y=f(x)在区间I上有界，否则称函数y=f(x)在区间I上无界. 如函数y=sinx是有界函数，而函数y=x3则是无界函数. （四） 周期性 给定函数f（x）， 如果有实常数l>0，使对于定义域内的任一x，有f（x+l）=f（x），则称函数f（x）是周期为l的周期函数.通常我们说周期函数的周期是指满足上述条件的最小正数. 三、 基本初等函数 基本初等函数是我们中学已经学过的函数，在此，我们仅对它们及它们的图形、性质做以下简要复习. 除了常值函数y=c外，基本初等函数还包括以下几类. （一） 幂函数 形式为f（x）=xa（ a为实常数）的函数称为幂函数， 其定义域与指数a有关，常见的幂函数图形如图1-2所示. 图1-2常见幂函数 （二） 指数函数 形式为f（x）=ax（其中底数a＞0，且a≠1）的函数称为指数函数，其定义域为（-∞,+∞）， 其图形如图1-3所示. 从图1-3可以看到，指数函数f（x）=ax是无界函数，其函数值恒大于0； 当0＜a＜1时，是单调减函数； 当a＞1时，是单调增函数. 常用的指数函数是f（x）=ex，其中e=2.71828…. （三） 对数函数 形式为f（x）=logax（其中底数a＞0，且a≠1）的函数称为对数函数，其定义域为（0,+∞）， 其图形如图1-4所示. 图1-3指数函数 图1-4对数函数 从图1-4中我们可以看到，对数函数f(x)=logax是一个无界函数.当0＜a＜1时，其为单调减函数，当a＞1时，其为单调增函数. 以10为底的对数函数，记作f（x）=lgx，称为常用对数函数，以e为底的对数函数记作f（x）=ln x，称为自然对数函数. （四） 三角函数 1. 正弦函数 y=sin x，定义域为（-∞,+∞），值域为［-1,1］，是周期为2π的奇函数，如图1-5所示. 2. 余弦函数 y=cos x，定义域为（-∞,+∞），值域为［-1,1］，是周期为2π的偶函数，如图1-6所示. 图1-5正弦函数 图1-6余弦函数 3. 正切函数 y=tanx=sinxcosx，定义域为x≠kπ+π2,k∈Z，值域为(-∞,+∞)，是周期为π的奇函数，如图1-7所示. 4. 余切函数 y=cotx，定义域为x≠kπ,k∈Z，值域为(-∞,+∞)，是周期为π的奇函数，如图1-8所示. 图1-7正切函数 图1-8余切函数 5. 正割函数 y=secx=1cosx，如图1-9所示. 6. 余割函数 y=csc x=1sin x，如图1-10所示. （五） 反三角函数 1. 反正弦函数 y=arcsin x，定义域为［-1,1］，值域为 -π2, π2 ，如图1-11所示. 图1-9正割函数 图1-10余割函数 2. 反余弦函数 y=arccos x，定义域为［-1,1］，值域为［0,π］，如图1-12所示. 图1-11反正弦函数 图1-12反余弦函数 3. 反正切函数 y=arctanx，定义域为（-∞,+∞），值域为 -π2, π2 ，如图1-13所示. 4. 反余切函数 y=arccot x，定义域为（-∞,+∞），值域为（0,π），如图1-14所示. 图1-13反正切函数 图1-14反余切函数 四、 复合函数 函数运算包括函数的和、差、积、商及复合，是利用简单函数构造复杂函数的基本方法，在此我们重点介绍函数的复合运算. 定义1.2设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=g(x)，若u=g(x)的值域的全部或部分能使y=f(u)有意义，则称y是通过中间变量u构成的x函数，即y是x的复合函数，记作y=f［g(x)］.其中x是自变量，u是中间变量. 我们讨论的函数通常都可以由简单函数经函数运算得到，如函数 y=sin2 -x+π2 可以通过函数y=u2，u=sin v，v=w+ π2 ，w=-x复合得到，其中u、v、w均为中间变量. 例1.4已知函数f（x）=x2-2x-3，g（x）=x+1，h（x）= 12x， 试求f［g（x）］和 f［h（x）］. 解 f［g（x）］=（x+1）2-2（x+1）-3=x2-4 f［h（x）］= f 12x = 12x 2- 2 12x -3= 14x2-x-3= 14（x-2）2-4 不是任何两个函数都可以进行复合运算的，如f(x)=arcsinx，g（x）=2+x2，因为任意实数x均使g（x）≥2，从而g（x）将不在f（x）的定义域内，所以复合函数f［g（x）］=arcsin（2+x2）是无意义的. 若价格p是产量Q的单调减少函数p(Q)，则总收益函数为 R(Q)=p(Q)·Q 五、 总利润函数 利润L是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即产销平衡时，有