第1章概率论基础

1.1概率论的基本概念
1.1.1样本空间事件与概率
1. 样本点与样本空间

1) 随机现象
随着对自然科学和社会科学的深入研究，人们发现客观现象虽然多种多样，但大致可以分为两大类： 确定性现象和随机现象。
确定性现象的特点是在准确重复某些条件时，它的结果总是确定的： 必然发生或必然不发生。比如，上抛的石子必然会下落； 同性电荷必然相互排斥； 投掷六面的均匀骰子必然不会出现大于六点的一面，等等。如何研究确定性现象呢? 可以使用几何、代数、微分方程等数学工具。
随机现象的特点是在准确重复某些条件时，其结果可能有许多种，在试验前无法预知，呈现一种偶然性的现象。例如： 
（1） 抛一枚均匀硬币若干次，每次抛之前都不知会出现正面还是反面； 
（2） 投掷一颗骰子，观察出现的点数； 
（3） 在一批灯泡中任意抽取一只测试它的寿命。
如何研究随机现象呢?我们要学会透过现象看本质。对于随机现象，其结果虽然在个别试
验中呈现出不确定性，但人们经过长期深入研究后发现，在大量重复试验时，随机现象的结果呈现出十分明显和稳定的某种规律性。比如，抛硬币时正、反面出现的次数各趋于一半，投掷骰子时每一面出现的次数趋于相同，等等。我们称大量同类随机现象所呈现的这种规律性为随机现象的统计规律性。
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科。它用来研究相继发生或同时发生的大量现象的平均特性，如电子发射、电话呼叫、雷达检测、质量控制、系统故障、机遇游戏、统计力学、湍流、噪声、出生率与死亡率、排队论，等等。
2) 随机试验
所谓试验，指人们对自然现象和社会现象进行观察而安排的各种科学实验。
随机试验，即针对随机现象进行观察而做的试验。其目的就是为了观察试验中出现的各种现象，研究试验的各种可能结果。我们将一个随机试验用E表示，它具有以下特征： 
(1) 在相同条件下试验可重复进行； 
(2) 试验的全部可能结果，在试验前就已明确； 
(3) 一次试验结束之前，不能确定哪个结果会出现。
随机试验的例子很多，如下面所述： 
E1： 将一枚硬币连抛两次，观察正、反面出现的组合结果。
E2： 投掷骰子，观察出现的点数。
E3： 用电压表测量某接收机前端的噪声输出电压。
E4： 在50只同一型号的晶体管中任取一只，记录其中的废品个数。
E5： 测量某团体人员的身高。
E6： 统计网络交换机1s内接收到的数据包数目及到达时刻。
我们通过研究随机试验来研究随机现象，本书中所提到的试验都是指随机试验。
3) 样本点和样本空间
进行试验可以得到试验的各种可能结果。比如2)中的随机试验E2，有{1,2,3,4,5,6}共6种可能的结果； 随机试验E4，其废品个数可能是0，或1，或2，…，或50。
为了形象地表示一个随机试验，我们可以用一个点表示试验中的每一个基本可能结果，称为随机试验的样本点，记为小写英文字母s。

表示为
随机试验的

随机试验的
基本可能结果样本点s（1.1）

随机试验的全部基本试验结果的集合，称为随机试验的样本空间，记为Ω，表示为

Ω＝{随机试验的全部基本试验结果}

＝{s： s为随机试验的基本试验结果}（1.2）

不同的随机试验具有不同的样本点和样本空间，比如2)中的随机试验E1和E2。相同的试验安排是否具有同样的样本空间呢？也不一定。由于试验中研究和观察的对象不同，相同试验安排也可能有不同的试验样本点和样本空间。比如2)中的随机试验E2，目的是观察出现的点数，样本空间有6个样本点； 但如果改成观察出现的点数为偶数，则有{2,4,6}共3种可能的结果，即样本空间有3个样本点。
例1.1观察某个随机电压发生器输出的电压U，测量该电压的数值。若U的数值范围在［u1,u2］上，其中u1和u2为确定量，试分析该实验的样本点和样本空间。
解对随机电压发生器输出的电压U进行测量。某次测量所得到的电压u，根据给定的条件，测得的数值必定满足

u∈［u1,u2］

不满足该式的任何电压数值不可能是这一实验的测试结果。因此，u∈［u1,u2］是该实验的基本可能结果。所有这些基本可能结果的集合就是该实验的样本空间Ω： 

Ω={u： u∈［u1,u2］}


其上的基本可能实验结果u可以表示为实轴上的一点，样本空间Ω就是实轴上的一个闭区间［u1,u2］，如图1.1（a）所示。这种空间或集合的几何表示常称为文氏图。


图1.1试验样本空间


（a）  连续样本空间； （b） 离散样本空间



例1.2实验安排与例1.1相同。但是此次观察输出电压u≥u0和u<u0的情况，u0是［u1,u2］上的一个确定数值。试分析实验的样本点和样本空间。
解这一随机实验的可能结果有两个： s1和s2。s1表示u≥u0，s2表示u<u0，其中u0∈［u1,u2］。因此，这时实验的样本点s1，s2和样本空间Ω可以表示成图1.1（b），而且有关系式Ω={s1,s2}。
随机试验中的基本可能结果或者是可以计数的，或者是不可以计数的。由此，样本空间Ω可以分为以下两种： 
有限样本空间： 由有限个样本点构成的样本空间。比如例1.2。
无穷样本空间： 由无穷多个样本点构成的样本空间。比如例1.1。
样本空间这个概念可使研究结果更具广泛性，利于更好地把握随机现象的本质。例如，仅包含两个样本点的样本空间，它既能作为抛硬币出现正反面的模型，也可用来描述射击是否 “中靶”，及产品检验出现“合格品”和“不合格品”等类似问题。尽管现象的实际内容各色各异，但应用样本空间描述后却能归结为相同的概率模型。
2. 事件的关系和运算
1） 随机事件的定义和分类
进行一次随机试验，有这样或那样的事情发生，它们各有不同的特性，彼此之间又有一定的联系，称随机试验中可能发生也可能不发生的事情为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A，B，C，…表示。
事件对应于随机试验中所观察的对象。某个事件可以是某个基本可能结果，也可以是具有某种特征的一类基本可能结果。它是样本空间Ω中的若干个样本点组成的集合，即是样本空间Ω的子集。

实验中事件＝（具有一定条件的基本可能实验结果）
＝（具有一定条件的样本点）
＝ 样本空间的某个子集（1.3）

给定实验中事件的方法有两种： 一种是表列法，列举出属于该事件的所有可能的基本实验结果； 另一种是描述法，指出属于该事件的各个基本实验结果应该具备的条件。前面例1.1中给定Ω的方法是描述法，例1.2中给定Ω的方法是表列法。
例1.3随机试验E2： 投掷骰子，观察出现的点数。每个试验结果1,2,3,4,5,6为其样本点，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}。
样本空间Ω存在很多子集，例如： 

A={1},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6},D=，…

每个子集都表示一个随机事件： A表示“投掷结果为1点”的事件； B表示“投掷结果为偶数”的事件； C表示必然事件； D表示不可能事件。
若某次投掷的结果为2，可以说事件A未发生，事件B发生了，事件C发生了，事件D未发生，等等。
A,B,C,D都是随机事件，用表列法表示。
例1.4在0,1,2,…,9共十个数字中任意选取一个，可有10种不同的结果： 

Ai={取得的数是i},i=0,1,2,…,9

还有其他的可能结果，例如： 

B={取得的数是偶数},C={取得的数小于6},D={取得的数是2的倍数}

B,C,D,Ai（i=0,1,2,…,9）都是随机事件，用描述法表示。
事件可以按其组成和性质分为如下四类： 
（1） 必然事件： 在随机试验中必然发生的事件。比如例1.3中的事件C，例1.4中的事件{取得的数大于等于0}。
（2） 不可能事件： 在随机试验中必然不发生的事件。比如例1.3中的事件D，例1.4中的事件{取得的数小于0}。
（3） 基本事件： 在随机试验中必发生一个且仅发生一个的最简单事件。比如例1.4中的事件Ai,i=0,1,2,…,9。
（4） 复合事件： 由若干基本事件组合而成的事件。比如例1.3中的事件B，例1.4中的事件B，C，D。
2） 随机事件的运算关系
事件是样本空间的子集，因此事件间的关系及运算与集合论中集合的关系及运算是相似的。下面阐述这些关系和运算在概率论中的含义。
设试验的样本空间为Ω，而事件A，B是Ω的子集，用集合论中的文氏图来表示事件的关系和运算。
（1） 包含关系： AB
事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A，如图1.2(a)所示。


图1.2随机事件的关系和运算

（a） AB； （b） A∪B； （c） A∩B； （d） A，B互斥； （e） A-B； （f） 



对任一事件A，都有AΩ。
若AB且BA，则称A与B相等，记为A=B。
（2） 事件的和： A∪B
事件A和B中至少有一个发生，称为事件A与事件B的和,如图1.2(b)中阴影所示。
（3） 事件的积： A∩B或AB
事件A和B同时发生，称为事件A与事件B的积,如图1.2(c)中阴影所示。
（4） 事件的互斥： A∩B=
事件A和B不能同时发生，称事件A与事件B互斥,如图1.2(d)所示。
任意事件A与不可能事件互斥； 同一随机试验的基本事件都是互斥的。
（5）  事件的差： A-B
事件A发生而同时B不发生，称为事件A与事件B的差，如图1.2(e)中阴影所示。
（6） 事件的逆： 
事件A不发生，称为事件A的逆事件,如图1.2(f)中阴影所示。
它们可以推广到有限个或可列无穷多个事件的情形。
在进行事件运算时，常用到下述运算规律： 
（1） 交换律： A∪B=B∪A,AB=BA
（2） 结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A(BC)=(AB)C
（3） 分配律： A(B∪C)=(AB)∪(AC),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A(B-C)=(AB)-(AC)
（4） 吸收律： 若AB，则AB=A,A∪B=B
（5） 德·摩根公式： 

A∪B=∩,A∩B=∪（1.4）

事件的反复运算生成各种新的事件，各种不同事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F。
例1.5销钉的合格条件是长度和直径皆合格。设事件A1是长度合格，事件A2是直径合格，事件B 是产品合格，事件C 是产品不合格。试找出这几个事件的关系。
解A1B,A2B,B∩C=,B∪C=Ω

B=,B=A1∩A2,C=A1∪A2,A1-B=A1∩

例1.6通信中的QPSK信号v(t,θ)=Vmcos(ω0t+θ)，其相位θ有四种可能取值。
令四个事件A1： θ=0°,A2： θ=90°,A3： θ=180°,A4： θ=270°,试找出这几个事件的关系。
解A1∪A2∪A3∪A4=Ω,A1∩A2=,A1∩A3=,…
3. 概率与概率空间
1) 概率的定义
 随机试验中的随机事件，其发生与否是偶然的、变化的，人们不能事先预知，但它们发生的可能性大小却是一个客观存在的量，比如抛硬币试验中，出现正面和反面的可能性基本相等； 投掷骰子时每个点数出现的可能性基本相等。由于每个随机事件发生的可能性大小都是其内在规律的体现，因此可用一个确定的数值——“概率”来表示。概率是对随机事件发生可能性大小的一个客观度量，事件A的概率记为P(A)。
在概率论的发展过程中，对不同的实际应用，人们从不同的角度去定义和计算概率： 
(1) 概率的古典定义； 
(2)  概率的几何定义； 
(3) 概率的统计定义。
上述三种概率的定义和计算方法均不同，都有其适用范围，以及理论和应用的局限性。人们从这几种定义的共同性质出发，采用数学抽象的方法，给概率赋予了一个新的定义，即概率的公理化定义： 
设随机试验E的样本空间为Ω，若对于E的每一事件A都对应一个实数P(A)，其对应规则满足以下三条： 
(1) 非负性： 对任一事件A，有0≤P(A)≤1； 
(2) 规范性： P(Ω)=1； 
(3) 可列可加性： 对E的互斥事件列A1,A2,…，有

P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai)（1.5）

则称P(A)是事件A的概率。
例1.7一列N个格子，将一只小球随机放入其中任一格子。
求： （1）小球放入第k号格子的概率； （2）前k个格子中有小球的概率。
解(1) 因为小球放入任一格子是等概率的，则

P(小球放入任一格子)=1N

(2) 因为小球放入各个格子是互斥的，则

P(小球放入任意k个格子)=kN

样本空间Ω、事件域F和概率P是概率论中的三个基本概念，它们构成的总体(Ω,F,P)称为随机试验E的概率空间。基于概率论解决实际问题的思路为： 针对问题设计随机试验模型，确定其样本空间，合理地假设其中一些基本事件的概率，由此推导出人们感兴趣的事件概率和特性，圆满解决实际问题。
例1.8抛均匀硬币试验： 一次投掷与相继两次投掷硬币，观察出现正面或反面结果的试验。分析这两个试验的概率空间问题。
解实验1： 一次投掷观察硬币正、反面出现
试验的基本结果是： 正面和反面。对应样本点： s1=正面，s2=反面。
（1） 样本空间： Ω={s1,s2}；
（2） 事件域： F={{s1},{s2},,Ω}；
(3) 由硬币的均匀特性可得，P{s1}=P{s2}=0.5； 而且P()=0，P(Ω)=1。
实验2： 连续两次投掷观察硬币正、反面出现
（1） 样本空间： Ω=(si,i=1,2,3,4)

s1＝（前一次投掷出现正，后一次投掷出现正）＝（正，正）

s2＝（正，反），s3＝（反，正），s4 ＝（反，反）

（2） 事件域： F={{s1},{s2},{s3},{s4},,Ω}
(3) P{s1}=P{s2}=P{s3}=P{s4}=14； 而且P()=0，P(Ω)=1。
2) 概率的性质
给定概率空间(Ω,F,P)，由概率的公理化定义，可以得出概率的部分重要性质如下： 
(1) 不可能事件的概率为0： 

P()=0

(2) 有限可加性： 若试验E的事件组A1,A2,…,Am互斥，则有

P∪mi=1Ai=∑mi=1P(Ai)

(3) 对任何事件A有： P(A)+P()=1
(4) 单调性： 若事件A和B为包含关系AB，则

P(A)≤P(B)和P(B-A)≤P(B)-P(A)成立

(5) 加法定理： 对试验E的任意两个事件A和B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)（1.6）

例1.9从1~200中任取一整数，求取到的整数能被6或者8整除的概率。
解设事件A={取得的整数能被6整除}，事件B={取得的整数能被8整除}，所求概率为

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

由于

33<2006<34，2008=25

表明A与B所含基本事件数分别为33和25，则

P(A)=33200，P(B)=25200

同时能被6和8整除的数，即为能被24整除的数，由于

8<20024<9

表明 AB的基本事件数为8，则

P(AB)=8200

最后得所求概率为

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=33200+25200-8200=14

概率的公理化定义及性质是概率论的基石，它们源于科学实践，可以合理地表述与解释客观世界，并能有效地解决实际问题，为概率的计算提供了更完善的理论依据和极大的便利。
1.1.2条件事件和独立事件
1. 条件事件和条件概率


在以前讨论的随机试验中，研究的主要对象是随机事件自身的发生情况。由于诸事件之间往往有一定联系，一个事件的发生可能不是独立的，而是在一定条件下发生。例如，一个事件A发生的条件下，另一个事件B的发生情况。这种事件即为条件事件，可以记为B|A。

B|A＝事件A发生条件下的事件B（1.7）

B|A通常又称为以A为条件的事件B，或简称条件事件B|A。示意图见图1.3。


图1.3条件事件的示意图



1) 条件事件的概率
条件事件发生的概率称为条件概率。上述条件事件B|A的概率，就是在已知事件A发生的条件下，事件B发生可能性大小的客观度量，记为P(B|A)。
在研究条件事件B|A时，通常假定作为条件的事件A的概率P(A)>0。条件事件B|A的概率定义为

P(B|A)=P(A∩B)P(A)（1.8）

条件概率P(A|B)一般不等于概率P(B)。
例1.10检验某种元件的两个指标Q1和Q2，两个指标必须均合格才认为元件合格。现有100件产品，其中合格品有30件，而Q1指标合格的有50件。从Q1指标合格品中任意取出一件，求它是合格品的概率。
解设事件A={抽出合格产品}，B={抽出的产品Q1指标合格}，得

P(A)=P(AB)=30100

所求概率为

P(A|B)=3050=30/10050/100=P(AB)P(B)

例1.11盒内有三个绿球a1,a2,a3和两个红球b1,b2，我们随机地相继取出两个球。问第一个是绿球第二个是红球的概率是多少?
解设事件A1={第一个为绿球}，其概率为

P(A1)=35

如果已取出一个绿球，剩下的为两个绿球和两个红球，设事件B2={第二个为红球}，
在假定A1发生的情况下，事件B2的条件概率为

P(B2|A1)=24=12

设事件A1B2={第一个为绿球,第二个为红球}，其概率为

P(A1B2)=P(B2|A1)P(A1)=12×35=310

2) 条件概率的公式
下面介绍三个和条件概率有关的基本公式，它们在概率论及其应用中起着重要作用。
(1) 概率乘法公式： 事件A和B之积运算得到的积事件A∩B的概率，由条件概率定义式（1.8），我们有

P(A∩B)=P(A)P(B|A)，P(A)>0

=P(B)P(A|B)，P(B)>0（1.9）

上两式可用来计算两个事件乘积的概率，对任意有限个事件之积的情形，可用乘法公式进行推广，即得概率的链式规则： 
m个事件A1,A2,…,Am之积（也就是同时发生的事件），可以写为

∩mi=1Ai=A1∩A2∩…∩Am=A1A2…Am（1.10）

这一事件的概率P∩mi=1Ai有关系式


P∩mi=1Ai=P(A1|A2A3…Am)P(A2|A3A4…Am)…P(Am-1|Am）P（Am)（1.11）

证明连续运用概率乘法公式，容易证明这一概率链式规则。首先，

P(Am-1|Am)P(Am)=P(Am-1Am)

继续运用概率乘法定理，有

P(Am-2|Am-1Am)P(Am-1|Am)P(Am)=P(Am-2Am-1Am)

依此类推，概率链式规则（1.11）最后得到证明。
例1.12一批零件共100个，次品率为10%。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。
解设事件A1={第一次取出零件为次品}，A2={第二次取出零件为次品}，A3={第三次取出零件为合格品}，可知

P(A1)=10100，P(A2|A1)=999，P(A3|A1A2)=9098

由乘法公式可得所求概率为