第一部分考试要点精析

















































第一部分

考试要点精析








第1章实数的概念、性质和运算

第2章整式和分式

第3章方程和不等式

第4章集合与函数

第5章数列

第6章排列组合与概率初步

第7章常见几何图形与解析几何初步












第一部分考试要点精析







 
MBA、MPA、MPAcc管理类联考备考教程数学分册










第1章
























































实数的概念、性质和运算
第一节充 分 条 件
定义如果条件A成立，那么就能推出结论B成立，即AB，这时，我们就说A是B的充分条件．
若A是B的充分条件，也可以说： A具备了使B成立的充分性．若A/B，则说A不是B的充分条件，也可以说： A不具备使B成立的充分性．





特别说明







本书中有一类题叫做条件充分性判断，这里所说的充分性就是指上述概念，只要分析条件是否充分即可，而不必考虑条件是否必要，在这类题中有5个选项，分别为： 
（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分．
（B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分． 
（C） 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分．
（D） 条件（1）充分，条件（2）也充分．
（E） 条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分．
以上规定对全书都适用，未说明者请参阅此处．




第二节实数及其运算
(一) 实数的分类
实数有理数整数（正整数、零和负整数）

分数（正分数和负分数）

无理数（即为无限不循环小数）
1. 自然数和整数
用来表示物体个数的0、1、2、3、…叫做自然数．一个物体也没有就用0表示，1是自然数的单位，0也是自然数，自然数是整数．整数还有以下两种分类方法：


整数偶数2n



奇数2n±1(n∈Z)

正整数1
质数(也称为素数，它只有1和自身两个约数)

合数(有除1和自身以外的约数)


两个相邻整数必为一奇一偶．除了最小质数2是偶数以外，其余质数均为奇数．任何一个合数都能分解为若干个质因数之积．




2. 分数和百分数
(1) 分数
将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数．表示其中一份的数是这个分数的单位．分数有真分数、假分数、带分数等．把“1”平均分成多少份的数，称为分数的分母； 表示取了多少份的数，称为分数的分子．
分子比分母小的分数称为真分数，如12、34．
分子比分母大或者分子、分母相等的分数称为假分数，如43、65、22．
一个整数和一个真分数合成的数，称为带分数，如213、425．

两个自然数相除，它的商可以用分数表示，如a/b＝ab（b≠0）．
两个数的比，也可用分数表示，如a∶b＝ab（b≠0）．
(2) 百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数．百分数也叫百分率或者百分比．百分数通常用百分号“%”来表示．
(3) 分数的基本性质
分数的分子和分母都乘以或者都除以相同的数（零除外），分数的大小不变．即

ab=ambm=ambm（b≠0，m≠0）

3. 约分和通分
把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，称为约分．公约数为1的两个数为互质数．若一个分数的分子、分母是互质数，则这个分数称为最简分数，通过约分可以把分数化为最简分数．
把几个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，称为通分．通分的方法是： 先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成这个最小公倍数作分母的分数．
乘积是1的两个数互为倒数．1的倒数是1，0没有倒数．
4. 有理数
有理数是能表示为nm(n∈Z，m∈Z+)形式的数，这是它与无理数本质的区别．
5. 数的整除
当整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而无余数时，则称a能被b整除，或称b能整除a．当a能被b整除时，也称a是b的倍数，b是a的约数．
约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身．几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，所有公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数．几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，所有公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数．
一个数只有1和它本身两个约数，叫做质数（素数）．一个数，如果除了1和它本身，还有其他约数，叫做合数．公约数只有1的两个数，叫做互质（素）数．分子与分母互质的分数称为最简分数．
个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除； 个位上是5的数都能被5整除； 各位上的数的和能被3整除的数本身也能被3整除．能被2整除的数称为偶数，不能被2整除的数称为奇数．
（二） 实数的基本性质
1. 实数与数轴上的点一一对应．
2. 若a，b是任意两个实数，则在a<b，a=b，a>b中有且只有一个关系成立．
3. 若a是任意实数，则a2≥0成立．
（三） 实数的运算
1. 四则运算的概念

（1） 加法
把两个（或几个）数合并在一起，求一共是多少的运算称为加法．
（2） 减法
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，称为减法．
和-（一个加数）＝另一个加数
被减数-减数＝差
（3） 乘法
一个数乘以整数，是求几个相同加数和的简便运算．一个数乘以小数（或分数），是求这个数的几分之几的运算，即
被乘数×乘数＝积

（因数）（因数）
（4） 除法
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，称为除法，即
积一个因数=另一个因数
被除数除数=商
2. 四则运算定律
（1） 加法交换律
a+b＝b+a
（2） 加法结合律
a+b+c＝（a+b）+c＝a+（b+c）
（3） 乘法交换律
a×b＝b×a
（4） 乘法结合律
a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）
（5） 乘法分配律
a×（b+c）＝a×b+a×c
（a-b）×c＝a×c-b×c
3. 四则运算性质
（1） 交换性质
a+b-c＝a-c+ba-b-c＝a-c-b

a×b÷c＝a÷c×ba÷b÷c＝a÷c÷b（b≠0，c≠0）
（2） 结合性质
a+b-c＝a+（b-c）＝a-（c-b）
a-b-c＝a-（c+b）
a×b÷c＝a×（b÷c）（c≠0）
a÷b×c＝a÷（b÷c）（b≠0，c≠0）
a÷b÷c＝a÷（b×c）（b≠0，c≠0）
4. 整数和小数四则混合运算
（1） 在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算．如果既含有第一级运算（加减法），又含有第二级运算（乘除法），则应当先算第二级运算，后算第一级运算．
（2） 在一个有括号的算式里，则先进行括号内运算，运算顺序是先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的算式．如果小括号中再嵌套一个小括号，则先算里面一个小括号，然后算外面的小括号．其余以此类推．
5. 实数的乘方和开方运算
实数的加、减、乘、除四则运算符合加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律．下面着重讨论一下实数的乘方和开方运算．
（1） 乘方运算
① 当实数a≠0时，a0=1， a-n=1an． 
② 负实数的奇数次幂为负数； 负实数的偶数次幂为正数．
（2） 开方运算
① 在实数范围内，负实数无偶次方根； 0的偶次方根是0； 正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根．如： 当a>0时，a的平方根是±a，其中a是正实数a的算术平方根．
② 在运算有意义的前提下， anm=man．
第三节绝对值
（一） 绝对值的定义
实数a的绝对值用|a|表示．

|a|=a，a>0
0，a=0
-a，a<0

（二） 绝对值的性质
实数的绝对值具有以下性质： 
（1） |a|≥0（实数的绝对值是非负实数）； 
（2） |-a|=|a|（互为相反数的两实数绝对值相等）； 
（3） -|a|≤a≤|a|； 
（4） |a·b|=|a|·|b|； 
（5） ba=|b||a|(a≠0)； 
（6） |a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b同号或有一个为零时，等式成立； 
（7） |a-b|≥|a|-|b|，当且仅当a，b同号且|a|>|b|或b为零时，等式成立．
第四节数据分布的统计描述
在日常生活和工作中，最常见的统计描述内容是计算数据分布的中心值和离散度.
数据分布的中心值是指最能代表样本数据的典型值.中心值最常见的是平均值.离散度反映样本数据是集中分布在中心值附近，还是相当于中心值数据分布比较离散，变化较大.衡量数据分布离散度的最常用的参数是方差.
（一） 平均值
1. 算术平均值： 有n个数x1，x2，x3，…，xn，称x1+x2+x3+…+xnn为这n个数的算术平均值，记作x=1n∑ni=1xi．
2. 几何平均值： 有n个正实数x1，x2，x3，…，xn，称nx1x2x3…xn为这n个数的几何平均值，记作xg=n∏ni=1xi．
3. 当n=2时，x1，x2(>0)的几何平均值称为x1和x2的比例中项，即x1∶x1x2=x1x2∶x2．
4. 当x1，x2，…，xn是大于零的数时，它们的算术平均值不小于几何平均值，即

nx1x2…xn≤x1+x2+…+xnn

式中，等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.
（二） 方差
方差是各样本数据值与所有样本数据值的平均值之差的平方的均值．它是一个反映分布与分布平均值绝对离差的平均指标，其表达式为

D=∑Ni=1Xi-2/N

式中： D表示方差，Xi表示样本数据，表示样本数据平均值，N为样本数据的总数．
方差的平方根称为标准差，它是离差平方均数的平方根，反映一个分布相对于分布平均值的平均离差．其表达式为

σ=∑Ni=1Xi-2/N


第五节比 和 比 例
（一） 比的定义

两个数a与b相除称为a与b的比，记为a∶b．这里a∶b=ab， a为比的前项，b为比的后项，ab为比值．
（二） 比例的定义
两比相等称为比例，记为a∶b=c∶d．其中a，d称为比例的外项，b，c称为比例的内项，也记为ab=cd．
（三） 比的基本性质

a∶b=(ac)∶(bc)(c≠0)

（四） 比例的性质
如果a∶b=c∶d，则
（1） a×d=b×c
（2） a∶c=b∶d， d∶b=c∶a
（3） a+bb=c+dd
（4） a+ba-b=c+dc-dab=cd≠1
（5） a-bb=c-dd
（6） 设a∶a1=b∶b1=c∶c1，则

a+b+ca1+b1+c1=aa1=bb1=cc1(a1+b1+c1≠0)

注： 若y与x成正比，则y∶x=k或y=kx，其中k称为比例系数．
若y与x成反比，则y∶1x=k或y=kx，其中k称为比例系数．



要点提示







（1） 关于条件充分性判断的考题，考生应该注意： 从给定的条件去分析，看结论是否成立，而不能从结论出发去求解．那样只能得出“条件”对结论的“必要性”，而与“充分性判断”相背离．
（2） 在解答有关百分比的问题时，考生应该找准百分比的标准量是什么，这是十分重要的，尤其在不同的百分比各自有不同的标准量时更要引起重视．
（3） 解决有关比和比例的问题时，考生可以借助于比例系数，这样很容易解决问题．




典型题分析
例1分别求适合下列条件的x的值，即x的取值范围： 
（1） |x+3|=5； （2） |x-3|≤4； （3） |x-4|≥1.
解析用绝对值的定义和运算法则来求解．
（1） x+3=±5， 得x=2或x=-8； 
（2） 由-4≤x-3≤4， 得-1≤x≤7； 
（3） 由x-4≤-1或x-4≥1， 得x≤3或x≥5．
例2求3、8、9这三个数的算术平均值和几何平均值．
解析它们的算术平均值为

x=13∑3i=1xi=13(3+8+9)=203

几何平均值为

3∏3i=1xi=33×8×9=6


例3公司共有职工50人，理论知识考核平均成绩82分，其中科室职工平均成绩为91分，车间职工平均成绩为76分，求车间职工的人数．
解析因为50人的总平均分为82分，所以50人所得总分为50×82=4100（分），设车间职工有x人，则科室职工有（50-x）人，其中车间职工所得总分为76x，科室职工所得总分是91×(50-x)分，这两项相加应等于全公司职工所得总分，即

76x+91×(50-x)=4100

x=30

所以，车间职工有30人．
例4公司有职工50人，某次考核平均成绩为81分，按成绩将公司职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩为75分，则非优秀职工的人数为（）人．
（A） 30（B） 25
（C） 20
（D） 无法确定（E） A、B、C、D都不正确
解析本例题考查的是平均值的概念与性质，与例3相似，不难得出正确答案为（A）．

例5一件夹克衫标价为a元，现按标价7折出售，则售价用代数式表示为（）元．
（A） 7a（B） 0.7a（C） 1a
（D） 0.5a（E） A、B、C、D都不正确
解析一件夹克衫标价为a元，现按标价的7折出售，即按现价a元的70%出售，则售价用代数式表示为a×70100=0.7a（元）．
故正确答案为（B）．


例6已知x+13=2，求x的值．
解析由绝对值定义得

x+1=6或x+1=-6

解得x=5或x=-7.