第7章无 穷 级 数
人们认识事物，往往会有一个先近似后精确的过程.在这个认识过程中，常会碰到用简单表示复杂，由有限多个数量相加到无穷多数量相加的问题.对于比较复杂函数的研究，通常的做法就是用比较简单的函数来逼近它.最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想.无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具.无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 本章的主要内容是介绍无穷级数的基本概念，性质和简单的应用.首先我们通过下面问题来体会一下无穷级数的概念. 
问题1:  如何用简单的数的和式来逼近一个较复杂的数?
一个循环小数能够用分数来表述,同时它也可以按照如下方式用简单的数的和式来逼近. 
例如，为了表示0.414141…，记a1=0.41=411100，a2=0.0041=4111002，
a3=0.000041=4111003，…，an=411100n，…. 则0.414141…≈a1+a2+…+an. 当n无限增大时，则a1+a2+…+an的极限就是0414141…. 此时和式中的项数无限增多，就会出现如下无限多个数相加的形式:a1+a2+…+an+….对于无理数，也可以给出类似的表示形式，如e=2.71828…，我们在后面的内容中可以看到，它可以用如下无限多个数的和式来表示1+1+12!+13!…+1n!+….一般地，如果给定数列u1,u2,…,un,…，那么这个数列作和构成的表达式u1+u2+…+un+…，其意义是什么？这个问题的答案我们将在本章的前三节进行详细讨论. 
问题2: 如何用简单的函数的和式逼近一个较复杂的函数？
 在第3章中我们学过，如果y=f(x)在x=x0处可导，则在x0的某邻域U(x0)内，可以用y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线近似表示函数f(x)，即在x=x0的附近，f(x)的线性逼近表达式为f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0). [1]〖2〗[3]经济数学——微积分新编（下）第7章无穷级数[3]为了达到更好的精确度，由泰勒公式可知，若f(x)在x0的某邻域内有直到n+1阶导数，则对该邻域内的任一x，有f(x)≈Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+…+f(n)(x0)n!(x－x0)n，且误差部分为Rn(x)=f(x)－Pn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x－x0)n+1，其中ξ在x0与x之间，即在x0附近可用一多项式逼近f(x). 
    若假设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有任意阶导数，则在形式上，可以让Pn(x)的项数无限增加，则得到如下的无限多项的和式：f(x0)+f′(x0)(x－x0)+…+f(n)(x0)n!(x－x0)n+….那么无穷多项和式的意义又是什么？它能否在某个确定的范围内精确表示f(x)？本章的7.4节内容将会围绕这个问题展开详细讨论. 
上述两个问题中，都涉及无穷多项的和. 读者可以带着无穷项和式的想法来思考下面的问题. 
问题3: 假设银行存款的年利率是10％，若分别以年复利和连续复利计息，应在银行中一次存入多少资金才能够确保从存入之后起，每年都能从银行提取500万元直到永远？
问题4: 如何计算arctan45的近似值，使得在理论上达到任意要求的精度. 
带着上面的问题，我们开始级数理论的学习. 
7.1常数项级数的概念和性质
给定一个数列 u1，u2，…，un，…，则由这数列构成的表达式 u1+u2+…+un+…叫作（常数项）无穷级数（infinite series），简称常数项级数或级数，记为∑∞n=1un，即∑∞n=1un=u1+u2+…+un+…， （7.1.1）其中第n项un叫作级数的一般项（general term）.
该级数定义仅仅是一个形式化的定义，它并未明确无限多个数量相加的意义. 无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项又一项地累加起来就能完成，因为这一累加过程是无法完成的. 为给出级数中无穷多个数相加的数学意义，我们引入部分和概念. 
设∑∞n=1un是一个级数，则sn=∑ni=1ui=u1+u2+…+un，     (7.1.2)称为级数∑∞n=1un的前n项部分和（partial sum），简称前n项和.当n=1,2,3,…时，它们构成一个新的数列:s1=u1，s2=u1+u2，s3=u1+u2+u3，…，sn=u1+u2+…+un，…，这个新的数列{sn}称为级数(7.1.1)的部分和数列. 根据这个数列有没有极限，我们引入无穷级数(7.1.1)收敛与发散的概念. 
如果级数∑∞n=1un的部分和数列{sn}有极限s，即limn→∞sn=s，则称无穷级数∑∞n=1un收敛(convergence)，这时极限s叫作级数的和，并写成s=∑∞n=1un=u1+u2+…+un+….如果部分和数列{sn}没有极限，则称无穷级数∑∞n=1un发散(Divergence).
由级数收敛或发散的定义，级数∑∞n=1un与其前n项部分和数列{sn}同时收敛或同时发散，且∑∞n=1un=limn→∞sn，收敛的级数有和值s，发散的级数没有“和”. 
当级数∑∞n=1un收敛于s时，即sn的极限是s，则其前n项和sn是级数∑∞n=1un的和s的近似值，它们的差rn=s－sn=un+1+un+2+…+un+k+…称为级数∑∞n=1un的余项.显然limn→∞rn=0.用近似值sn代替和s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为rn.
由上述定义，级数与数列极限有着紧密联系.给定级数∑∞n=1un，就有部分和数列{sn};反之，给定{sn}，就有以{sn}为部分和数列的级数，令u1=s1，u2=s2－s1，u3=s3－s2，…，un=sn－sn－1，…，则级数∑∞n=1un的部分和数列为{sn}. 
例1证明级数1+2+3+…+n+…是发散的. 
证明此级数的前n项和为sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2，显然，limn→∞sn=∞，因此所给级数是发散的. 
例2判别无穷级数11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)+…的收敛性.
解由于un=1n(n+1)=1n－1n+1，因此sn=11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)
=1－12+12－13+…+1n－1n+1=1－1n+1，显然limn→∞sn=limn→∞1－1n+1=1，所以级数收敛，它的和是1.
例3证明调和级数∑∞n=11n=1+12+13+…+1n+…是发散的.
证明反证法. 假设该级数收敛，其和为s，于是limn→∞(s2n－sn)=s－s=0，但因为s2n－sn=1n+1+1n+2+…+12n>n2n=12，在上式中令n→∞，便有0≥12，这是不可能的. 故该级数发散. 
例4讨论等比级数(几何级数)∑∞n=0aqn=a+aq+aq2+…+aqn－1+…（7.1.3）的敛散性，其中a≠0，q叫作级数的公比. 
解如果q≠1，则部分和sn=a+aq+aq2+…+aqn－1=a－aqn1－q=a1－q－aqn1－q.当|q|<1时，因为limn→∞sn=a1－q，所以此时级数∑∞n=0aqn收敛，其和为a1－q. 
当|q|>1时，因为limn→∞sn=∞，所以此时级数∑∞n=0aqn发散.
如果|q|=1，则当q=1时，limn→∞sn=limn→∞na=∞，因此级数∑∞n=0aqn发散；
当q=－1时，级数∑∞n=0aqn成为a－a+a－a+…，由于sn随着n为奇数或偶数而等于a或零，所以sn的极限不存在，从而这时级数∑∞n=0aqn也发散.
综上所述，如果|q|<1，则级数∑∞n=0aqn收敛，其和为a1－q.如果|q|≥1，则级数∑∞n=0aqn发散. 
下面利用等比级数来解决本章开始提出的问题3. 
例5假设银行存款的年利率是10%，若分别以年复利和连续复利计息，应在银行中一次存入多少资金才能够确保从存入之日起，每年能从银行提取500万元直到永远？
解（1） 以年复利计息，则支付的第一批存款当年兑现：
第一批存款的现值(单位: 百万元)=5.
第二批在一年后兑现：
第二批现值= 5(1+0.1)1=51.1.
第三批在二年后兑现：
第三批现值= 51.12.
如此连续地下去直到永远:
总现值(单位: 百万元)= 5+51.1+51.12+…+51.1n+…. 
这是一个以a=5，公比q=11.1的等比数列，显然其收敛. 则由等比级数的和公式得
总现值(单位: 百万元)=51－11.1=55.
也就是说若按年复利10％计息，需要一次性存入55百万元资金即可保证以后每年都能从银行提取500万元直到永远. 
（2） 以连续复利计算利息，则
第一批现值(单位: 百万元)=5,
第二批现值= 5e－0.1，
第三批现值= 5(e－0.1)2.
如此连续地下去直到永远，则
总现值(单位: 百万元)= 5+5e－0.1+5(e－0.1)2+…. 
这是一个以a=5，公比为e－0.1的等比数列，显然其收敛. 则由等比级数的和公式得
总现值(单位: 百万元)=51－e－0.1≈52.5416597.
也就是说若按年复利计息，需要一次性存入52.5416597百万元资金即可保证以后每年能从银行提取500万元直到永远. 
收敛级数的基本性质
定理7.1.1设k是任意的非零常数，则级数∑∞n=1un与级数∑∞n=1kun同时收敛或同时发散，即级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的敛散性不变；当级数∑∞n=1un收敛时，有∑∞n=1kun=k∑∞n=1un. 证明设级数∑∞n=1un与∑∞n=1kun级数的前n项和分别为sn和σn，则σn=k·u1+k·u2+…+k·un=k·(u1+u2+…+un)=k·sn.于是，limn→∞σn=limn→∞k·sn=k·limn→∞sn；当k≠0时，limn→∞σn与limn→∞sn同时存在或同时不存在，即级数∑∞n=1un与级数∑∞n=1kun同时收敛或同时发散. 
当级数∑∞n=1un收敛时，由limn→∞σn=limn→∞k·sn=k·limn→∞sn即得∑∞n=1kun=k∑∞n=1un. 定理7.1.2设有级数∑∞n=1un与∑∞n=1vn分别收敛于s与σ，则级数∑∞n=1(un±vn)也收敛，且收敛于s±σ. 
证明设级数∑∞n=1un、∑∞n=1vn的前n项部分和分别为sn、σn，则级数∑∞n=1(un±vn)的前n项部分和zn=(u1±v1)+(u2±v2)+…+(un±vn)
=(u1+u2+…+un)±(v1+v2+…+vn)
=sn±σn,所以 limn→∞zn=limn→∞(sn±σn)=limn→∞sn±limn→∞σn=s±σ.即级数∑∞n=1(un±vn)收敛且收敛于s±σ. 
由定理7.1.2，容易得到以下几个结论: 
（1） 若∑∞n=1un与∑∞n=1vn收敛，则∑∞n=1(un±vn)=∑∞n=1un±∑∞n=1vn，即两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减. 
（2） 若级数∑∞n=1un收敛，而级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1(un±vn)必发散.
证明假设∑∞n=1(un±vn)收敛，已知∑∞n=1un收敛，则由定理7.1.2可得∑∞n=1［(un±vn)－un］亦收敛，即±∑∞n=1vn收敛，这与已知相矛盾，故级数∑∞n=1(un±vn)发散.
（3） 若级数∑∞n=1un、∑∞n=1vn均发散，那么∑∞n=1(un±vn)可能收敛，也可有发散.
如取un=1，vn=n，则∑∞n=1(un±vn)=∑∞n=1(1±n)，显然是发散的.
如取un=1，vn=－1，则∑∞n=1(un+vn)=∑∞n=1(1－1)=0+0+…+0+…，显然是收敛的. 
例6求级数∑∞n=11n(n+2)+12n的和.
解∑∞n=11n(n+2)=34是收敛的(类似例2，详细过程留给读者完成)，∑∞n=112n是公比为12的等比数列，因此也是收敛的且和为1，则由定理7.1.2可得∑∞n=11n(n+2)+12n=1+34=74.定理7.1.3在一个级数的前面去掉有限项、加上有限项或改变有限项，不会影响级数的敛散性；在收敛时，一般来说级数的收敛值是会改变的. 
证明设级数为u1+u2+…+uk+uk+1+uk+2+…+uk+n+…，则去掉其前k项得到的新级数为uk+1+uk+2+…+uk+n+…,那么该新级数的前n项部分和为σn=uk+1+uk+2+…+uk+n=sk+n－sk，其中sk+n是原级数的前k+n项的部分和，而sk是原级数前k项之和(它是一个常数). 故当n→∞时，σn与sk+n有相同的敛散性，且在收敛时，其收敛的和有关系式σ=s－sk成立，其中σ=limn→∞σn，s=limn→∞sn，sk=∑ki=1ui.
完全类似地，可以证明在级数的前面增加有限项、改变有限项也不会改变级数的敛散性.比如，级数11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)+…是收敛的，级数100+11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)+…也是收敛的，级数13·4+14·5+…+1n(n+1)+…也是收敛的. 
定理7.1.4将收敛级数中任意加括号之后所得到的新级数仍收敛于原来收敛级数的和. 
证明设级数∑∞n=1un=u1+u2+…+un+…收敛于s，它任意加括号后所成的新级数为(u1+…+un1)+(un1+1+…+un2)+…+(unk－1+1+…+unk)+…=∑∞k=1vk，其中v1=u1+…+un1，v2=un1+1+…+un2，…，vk=unk－1+1+…+unk.用σk表示这一新级数∑∞k=1vk的前k项部分和，而实际它是原级数∑∞n=1un的前nk项部分和snk（其中k<nk）；显然，当k→∞时，有n→∞，则有limk→∞σk=limk→∞snk=s，即新级数∑∞k=1vn是收敛的且还是收敛于s.注释: 
(1) 如果级数按某一方法加括号之后所形成的新级数是发散的，则该级数也一定发散. （显然这是定理7.1.4的逆否命题）
(2) 收敛的级数去括号之后所形成的新级数不一定收敛. 这一事实也可以反过来表述: 即使级数加括号之后收敛，它也不一定就收敛. 
如级数
（1-1）+（1-1）+…
收敛于0，但去括号之后所得新级数
1-1+1-1+…+(-1)n-1+(-1)n+…
是发散的. 
定理7.1.5（级数收敛的必要条件）若∑∞n=1un收敛，则limn→∞un=0. 
证明级数∑∞n=1un的前n项部分和为sn=∑nn=1uk，因此un=sn－sn－1，因为该级数收敛于和s，所以limn→∞un=limn→∞(sn-sn-1)=limn→∞sn-limn→∞sn-1=s-s=0.注释: 
(1)  级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件；
(2) 级数的一般项不趋向于零则级数一定发散（即定理7.1.5的逆否命题）. 
由级数的定义和数列的柯西收敛准则(定理2.3.7)我们可以直接得到下面的结论,对于它的证明留给读者作为练习. 
定理7.1.6（级数收敛的柯西准则）级数∑∞n=1un收敛的充要条件是: 对于任意ε>0，存在正整数N,使得当n>N时,对于任意的正整数p有|un+1+un+2+…+un+p|<ε. 
练习
1. 填空题
（1） ∑∞n=1an收敛，且Sn=a1+a2+…+an，则limn→∞(Sn+1+Sn－1－2Sn)=.
（2） 12+13+122+132+123+133+…的和是.
（3） 若∑∞n=1un的和是3，则∑∞n=3un的和是.
（4） 若∑∞n=1tn的和是2，则∑∞n=1tn2的和是.
（5） 当|x|<1时，∑∞n=1xn的和是.
2. 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性.
(1) ∑∞n=11(2n－1)(2n+1);(2) ∑∞n=1n+1－n;
(3) ∑∞n=1sinnπ6.
3. 判断下列级数的敛散性.
(1)  ∑∞n=1(－1)n－1;(2) ∑∞n=1(－1)n－145n;
(3) 32+3222+3323+…+3n2n+…; (4) ∑∞n=21na(a>0);
(5) ∑∞n=12n+3n6n;(6) 12+110+14+120+…+12n+110n….
4. 将循环小数0.545454…写成无穷级数形式并用分数表示. 
5. 由合同规定，从签约之日起，由甲方永不停止地每年支付给乙方300万元人民币，设利率为每年5%，若以连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？
7.2正项级数的审敛法
一般情况下，利用定义或级数的性质来判别级数的敛散性是很困难的，那么是否有更简单易行的判别方法呢？下面我们先来讨论一类一般项比较特殊的级数，即所有的项是正数或零的级数——正项级数. 并且通过学习后面的内容我们会发现一般级数的敛散性可较好地归结为正项级数的敛散性问题，因而正项级数的敛散性判定是十分重要的. 
定义7.2.1各项都是正数或零的级数称为正项级数（Postitive term series）. 
定理7.2.1(基本定理)正项级数∑∞n=1un收敛的充要条件是它的部分和数列{sn}有界.
证明级数∑∞n=1un是一个正项级数，由于un≥0(n=1,2,…)，所以部分和数列{sn}是一个单调增加的数列s1≤s2≤…≤sn≤…. 充分性. 若数列{sn}有界，即存在某个常数M，使得0≤sn≤M，根据单调有界数列必有极限的准则可知，limn→∞sn=s且0≤s≤M，即∑∞n=1un收敛且其和为s.
必要性. 若正项级数∑∞n=1un(un≥0)收敛于和s，即limn→∞sn=s，根据有极限的数列必有界的性质可知，数列{sn}有界. 
例1讨论p级数∑∞n=11np=1+12p+13p+14p+…+1np+…的敛散性，其中常数p>0.解记前n项和为sn(p)=1+12p+…+1np.(1) 若p=1，这时原级数为调和级数∑∞n=11n，从上节例子可知它是发散的，它又是正项级数，由定理7.2.1可知sn(1)=1+12+…+1n无上界. 
(2) 当p<1时，这时1np>1n，则sn(p)=1+12p+…+1np>1+12+…+1n=sn(1)，由sn(1)无上界可知sn(p)也无上界，从而由定理7.2.1可知，当p<1时∑∞n=11np发散.
(3) 当p>1时，对于任意的k－1≤x≤k(k≥2)，有1kp≤1xp，所以1kp=∫kk－11kpdx≤∫kk－11xpdx=1p－1［1(k－1)p－1－1kp－1］，k=2,3,….从而sn(p)=1+∑nk=21kp≤1+∑nk=2∫kk－11xpdx=1+∫n11xpdx
=1+1p－1(1－1np－1)<1+1p－1，对于n=2,3,….这表明数{sn(p)}当p>1时有界，因此当p>1时原级数收敛. 
综上所述，对于p级数，当p>1时收敛，当p≤1时发散. 这个结果非常重要，在以后级数敛散性的判定中，经常会用到它. 
由例1可以看到，对于正项级数∑∞n=1un，通过估计部分和数列{sn}是否有界来判定级数的收敛性一般比较困难. 但由例1解题过程中所用到的比较大小的方法，根据定理72.1可以得到如下正项级数的一个基本审敛法. 
定理7.2.2(比较审敛法)设∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正项级数，且un≤vn,n=1,2,…. 
(1) 若级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛;
(2) 若级数∑∞n=1un发散，则级数∑∞n=1vn发散.
证明(1) 设级数∑∞n=1vn收敛于和σ，则级数∑∞n=1un的前n项和
sn=u1+u2+…+un≤v1+v2+…+vn≤σ，n=1,2,….
即前n项和数列{sn}有界，由定理7.2.1知级数∑∞n=1un收敛.