第2章  平面体系的几何组成分析
　
2.1  概    述
　　杆件结构是由若干杆件相互联结而组成的体系，但组成的不合理体系是不能成为结构的，所以我们要对杆件组成的体系进行分析。只有组成的体系为几何不变的体系方可作为结构。
　　几何不变体系：在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形则体系的几何形状与位置保持不变，如图2.1(a)所示。
　　几何可变体系：在任意荷载作用下，虽不考虑材料的变形，但其几何形状与位置均不能保持不变，如图2.1(b)所示。

图2.1
　　判别体系是否几何不变，这一工作称为体系的几何机动分析，或称几何构造分析。
　　在几何机动分析中，由于不考虑材料的变形，可以把一根杆件或已知是几何不变的一部分体系看成一个刚体。在平面体系中又将刚体称为刚片。
　　工程中的结构必须是几何不变体系(方能承受荷载、传递荷载)。
2.2  平面体系的计算自由度
2.2.1  自由度
　　为了判定体系的几何可变性，有时要先计算它的自由度。
　　物体的自由度：物体运动时独立变化的几何参数的数目称为物体的自由度，也可理解为确定物体位置所需的独立坐标数。
物体的自由度=物体运动的独立参数=确定物体位置所需的独立坐标数
　　平面上的一个点，它的位置用坐标和完全可以确定，它的自由度等于2，如图2.2(a)所示。
　　平面上的一刚片，它的位置用、和完全可以确定，它的自由度等于3，如图2.2(b)所示。

图2.2
2.2.2  联系
　　体系有自由度，加入限制运动的装置可使自由度减少，减少自由度的装置称为联系。能减少一个自由度的装置称为一个联系或一个约束。常用的联系有链杆和铰。
　　1) 链杆
　　一个刚片有3个自由度，加上了一个链杆，自由度为2，减少了一个自由度，则称链杆为一个联系或一个约束，如图2.3(a)所示。
　　2) 铰
　　两个刚片用一个铰连接，可减少两个自由度，我们称连接两个刚片的铰为单铰，相当于两个联系，如图2.3(b)所示。连接几个刚片的铰称为复铰(n>2)，相当于(n-1)个单铰，相当于2×(n-1)个联系，如图2.3(c)所示。

图2.3
2.2.3  体系的计算自由度
　　体系的计算自由度为组成体系各刚片自由度之和减去体系中联系的数目。
　　设体系的计算自由度为w，体系的单铰数为h，支座链杆数为r，体系的刚片数为m，则
　　                           (2-1)
　　【例2.1】  求如图2.4所示体系的计算自由度w。
　　解：体系刚片数m=7，单铰数h=9，支座链杆数r=4(其中固定端支座相当于3个链杆)，则

　　【例2.2】  求如图2.5所示体系的计算自由度w。
                
                           图2.4                              图2.5
　　解：体系刚片数m=9，单铰数h=12，支座链杆数r=3，则
w=3×9-(2×12+3)=0
　　如图2.5所示，这种完全由两端铰结的杆件所组成的体系，称为铰结链杆体系，其自由度除可用式(2-1)计算外，还可用下面的简便公式来计算。
　　设体系的结点数为j，杆件数为b，支座链杆数为r，则体系计算自由度w为
　　                             (2-2)
　　对于例2.2，如按式(2-2)计算，则有
　　
2.2.4  平面体系计算自由度结果分析
　　上面讨论了平面体系的计算自由度的计算方法，那么计算自由度或是否一定表明平面体系几何不变呢？平面体系的计算自由度与体系可变性是什么关系呢？下面结合图2.6来说明这个问题。

图2.6
　　图2.6(a)中，，体系是几何可变的。
　　图2.6(b)中，，体系是几何不变的，且无多余联系。
　　图2.6(c)中，虽是，体系却是几何可变的，有一个多余联系(刚片体系上的A点用两个支座链杆和地基相连就可以了，另一个就是多余的)。
　　图2.6(d)中，，体系是几何不变的，且有一个多余联系。
　　图2.6(e)中，虽，体系却是几何可变的，且有两个多余联系。
　　以上分析可推广到一般情况，即平面体系的计算自由度与体系的可变性的关系有如下3种结论。
　　(1)	，表明体系缺少足够的联系，因此可以肯定体系是几何可变的。
　　(2)	，表明体系具有成为几何不变所需的最少联系数目。
　　(3)	，表明体系具有成为几何不变所需的联系并有多余联系。
　　由上可知，体系成为几何不变需要满足的条件，此条件也是体系成为几何不变的必要条件。
　　前面所讲w是相对于地球而言，工程中常先考虑体系本身(或称体系内部)的几何不变性。当不考虑体系与地球相联的问题，而仅考虑体系本身的几何不变性时，其成为几何不变的必要条件变为。
　　这里还要说明一点，体系的计算自由度和体系的实际自由度是不同的。这是因为实际中每一个联系不一定能使体系减少一个自由度，这与联系的具体布置有关。如图2.6(c)所示，虽，但其实际自由度为1。
　　以上我们知道了判断体系几何不变性的必要条件，其充分条件将在几何不变体系的组成规则中给出。
2.3  几何不变体系的简单组成规则
2.3.1  三刚片规则
　　三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两联接，组成的体系是几何不变的，且无多余联系。
　　如图2.7所示的铰结三角形，每个杆件都可看成一个刚片。若刚片Ⅰ不动(看成地基)，暂把铰C拆开，则刚片Ⅱ只能绕铰A转动，C点只能在以A为圆心以AC为半径的圆弧上运动；刚片Ⅲ只能绕B转动，其上的C点只能在以B为圆心、以BC为半径的圆弧上运动。但由于C点实际上用铰联接，C点不能同时发生两个方向上的运动，它只能在交点处固定不动。
　　如图2.8所示的三铰拱，将地基看成刚片Ⅲ，左、右两半拱可看作刚片Ⅰ、Ⅱ，此体系是由三个刚片用不在同一直线上的三个单铰A、B、C两两相联组成的，为几何不变体系，而且没有多余联系。
         
                     图2.7                                  图2.8

2.3.2  二元体规则
　　二元体：两根不在同一直线上的链杆联结成一个新结点的装置，称为二元体。
　　二元体规则：在体系上增加或减少二元体，不会改变原体系的几何构造性质。
　　如图2.9所示，在刚片上增加二元体，原刚片为几何不变，增加二元体后体系仍为几何不变。
　　用二元体规则分析图2.10所示的桁架，可任选一铰结三角形，然后再连续增加二元体而得到桁架，故知它是几何不变体系，而且没有多余联系。此桁架亦可用拆除二元体的方法来分析，可知从桁架的一端拆去二元体最后会剩下一个铰结三角形，因铰结三角形为几何不变，故可判定该桁架为几何不变，而且没有多余联系。
                        
                    图2.9                                    图2.10
2.3.3  两刚片规则
　　规则一：两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，为几何不变体系，且无多余联系。
　　如图2.11所示的体系，显然将链杆看成刚片则满足三刚片规则，为几何不变且无多余联系，至此两刚片规则一成立可证。
　　规则二：两刚片用三根既不完全平行又不完全汇交于一点的链杆相联，为几何不变体系，且无多余联系。
　　为分析两刚片用三根链杆相联的情况，先来讨论两刚片之间用两根链杆相联时的运动情况。如图2.12(a)所示，假定刚片Ⅰ不动，则刚片Ⅱ运动时，链杆AB将绕A点转动，因而刚片Ⅱ上的B点将沿AB杆垂直方向运动；同理，刚片Ⅱ上的D点将沿CD杆垂直方向运动；而整个刚片Ⅱ将绕AB与CD两杆延长线的交点O转动。O点称刚片Ⅰ和Ⅱ的相对转动瞬心。此情形相当于将刚片Ⅰ和Ⅱ在O点用一个铰相联。因此，联结两个刚片的两根链杆的作用相当于在其交点处的一个单铰，不过这个铰的位置是随着链杆的转动而改变的，这种铰称为虚铰。
　　图2.12(b)所示为两个刚片用三根既不完全平行也不完全汇交于一点的链杆相联的情况。此时，可把链杆AB、CD看作是在其交点O处的一个铰。因此，此两刚片又相当于用铰O和链杆EF相联，而铰与链杆不在同一直线上，故为几何不变体系，且无多余联系，因此两刚片规则成立可证。
　　前述二元体规则、三刚片规则和两刚片规则，其实质是一个规则，即三角形稳定性规则。
　　凡是按照基本组成规则组成的体系都是几何不变体系，且无多余联系。
                
                             (a)                               (b)
图2.12
2.4  瞬 变 体 系
　　若一个体系原来为几何可变体系，但经微小位移后即转变为几何不变体系，称为瞬变体系。
　　瞬变体系也是几何可变体系。为区别起见，又可将经微小位移后仍能继续发生刚体运动的体系称为常变体系。
　　如图2.13所示的体系，有三个铰共线，若刚片Ⅲ不动，刚片Ⅰ和Ⅱ分别绕铰A和B转动时，C点在瞬间可沿公切线方向移动，因而是几何可变的。但当C点有了微小移动后，联结刚片的三个铰就不在同一条直线上了，成为几何不变体系，所以该体系为几何瞬变体系。
　　那么瞬变体系能否用于工程呢？我们来分析如图2.14所示的瞬变体系。由平衡条件可知AC和BC杆的轴力为

          
图2.13                                         图2.14
　　当时，故瞬变体系即使在很小的荷载作用下也可产生巨大的内力。因此，工程结构中不能采用瞬变体系，且接近于瞬变的体系也应避免。
　　瞬变体系的几个组成规则如下。
　　(1)	三个刚片用共线的三个单铰两两相联为瞬变体系。
　　(2)	两刚片用完全汇交于一点的三个(或大于三个)链杆相联(但未能组成实铰)为瞬变体系(图2.15(a))。
　　(3)	两刚片用完全平行但不等长的三个(或大于三个)链杆相联为瞬变体系(图2.15(b))。

　　　　　　　　　　　　　　　(a)                           (b)
图2.15
2.5  机动分析举例
　　对体系进行机动分析时，可按下列步骤进行：有时先计算体系的自由度，检查体系是否具备足够的联系。若，可判定体系为几何可变，且为常变体系；若(或只考虑体系本身)，此时具备几何不变的必要条件，但缺少充分条件，需用几何组成规则进一步分析，确定体系是否几何不变。对简单体系也可直接用几何组成规则进行分析，而不必计算自由度。
　　分析时，应尽可能将复杂问题转化为简单问题，亦称简化体系。宜将能直接看出为几何不变的部分当作刚片，使体系简化。若体系中有二元体，亦可先采用加减二元体方法使体系简化。若体系和地基用简支相联，可先去掉地基使体系简化。若能用简单组成规则使刚片扩大，亦可采用扩大刚片法使体系简化，最终使体系简化为两刚片或三刚片，再根据组成规则判定体系的几何不变性。
　　【例2.3】  试对如图2.16所示的体系进行几何组成分析。

图2.16
　　解：首先将地基看成刚片，再将AB看成刚片，AB和地基之间用1、2、3链杆相联，这三根杆既不完全平行，也不完全汇交于一点，满足两刚片组成规则。因此，可将AB与地基合成一个大刚片。接下去可将CE和EF各看成一个刚片，其中CE刚片通过BC杆及4号链杆与大刚片(地基与AB组成的刚片)相联且组成虚铰D。EF刚片则与大刚片通过5、6号链杆相联，且组成虚铰，在无穷远处。而CE与EF两刚片通过铰E相联。三刚片三个铰两两相联，且三个铰不在同一条直线上。整个体系为几何不变且无多余联系。
　　【例2.4】  试对如图2.17(a)所示体系进行几何组成分析。
　　解：此桁架和地基简支相联，可去掉地基，仅需分析体系本身的几何不变性即可。对于体系本身如图2.17(b)所示，分析时可从左、右两边依次去二元体，最后剩下刚片7、8、9、10、7、8组成的刚片，当拆二元体到结点6时，即发现两链杆在一条直线上，故知体系是瞬变的。
　　【例2.5】  试分析如图2.18所示体系的几何组成。
          
  图2.17                                      图2.18
　　解：由基本铰结三角形上增加二元体可得ADCF和BECG两部分都是几何不变的，可视为刚片Ⅰ、Ⅱ。地基可看作刚片Ⅲ。刚片Ⅰ、Ⅲ之间有杆1、2相联组成虚铰O；刚片Ⅱ、Ⅲ之间有杆3、4相联组成虚铰；刚片Ⅰ、Ⅱ则用铰C相联。O、、C三铰不共线，依据三刚片组成规则，此桁架为几何不变且无多余联系。
　　【例2.6】  试对如图2.19所示体系进行几何组成分析。

图2.19
　　解：首先，计算自由度。

具有几何不变的必要条件。需进一步按组成规则判定。
　　此体系与地基不是简支，因而不能去掉地基，此外也无二元体可去，可试用三刚片规则来分析。先将地基作为刚片Ⅲ，△ABD和△BCE作为刚片Ⅰ和Ⅱ，如图2.19(b)所示。接下来的分析我们会发现Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅱ之间都有铰相联，而刚片Ⅱ和Ⅲ之间只有链杆CH相联，此外杆件DF、EF没有用上，显然不符合规则，分析无法进行下去。因此，需另选刚片。地基仍作为刚片Ⅲ，铰A处的两根链杆可看作是地基上增加的二元体，因而同属于地基刚片Ⅲ。于是，从刚片Ⅲ上一共有AB、AD、FG和CH四根链杆联出，它们应该两两分别联到另外两刚片上。这样，可找出相应的杆件DF和△BCE分别作为刚片，如图2.19(c)所示。具体分析如下。
　　刚片Ⅰ、Ⅲ——用链杆AD、FG相联，组成虚铰在F点。
　　刚片Ⅱ、Ⅲ——用链杆AB、CH相联，组成虚铰在C点。
　　刚片Ⅰ、Ⅱ——用链杆BD、EF相联，此两杆平行，组成虚铰O在此两杆延长线的无穷远处。
　　由于虚铰O在EF的延长线上，故C、F、O三铰在同一直线上，因此此体系为瞬变体系。

2.6  几何构造与静定性的关系
　　图2.20(a)所示，是我们熟悉的简支梁，是静定结构，因为由静力平衡条件可知，以梁AB为研究对象，未知反力数是三个，而独立的平衡方程数恰好也是三个，未知力数等于静力平衡方程数，未知力完全可以由平衡方程解出，而从几何组成分析看，该静定结构的几何构造特征是几何不变且无多余联系的。此结论完全可以推广到一般静定结构，即静定结构的几何构造特征是几何不变且无多余联系。
　　图2.20(b)所示是超静定结构，因为未知力数是四个，独立静力平衡方程数是三个，未知力数大于静力平衡方程数，未知力由静力平衡方程不能完全求解，而从几何组成分析看，该超静定结构的几何构造特征是几何不变且有多余联系的(该体系有一个多余联系)。此结论也完全可以推广到一般超静定结构，即超静定结构的几何构造特征是几何不变且有多余联系。

图2.20