第一部分同步练习 第1章概率论的基本概念 1.1内容提要 1.1.1随机试验与随机事件 自然界中的各种现象大体上可以分为两大类,即确定性现象和不确定性现象.确定性现象是在一定条件下必然会发生的现象; 作为不确定性现象中的一部分,随机现象是指在相同条件下,试验的结果呈现出不确定性,但在大量的重复试验中结果又具有统计规律性(即在大量重复试验或观测中呈现出来的固有规律)的现象.概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律的一门学科.我们认识统计规律的手段是随机试验,所谓的随机试验是具有以下性质的试验: (1) 试验可以在相同条件下重复进行; (2) 试验可能出现的结果不止一个,且在试验之前知道所有可能的结果; (3) 试验前不能确定具体哪一个结果会出现. 通常用字母E表示随机试验(以后简称试验). 随机试验的全部可能结果组成的集合称为随机试验的样本空间,记为S,S中的元素,即E的每个试验结果,称为样本点,记为e.一般地,试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件,用大写的英文字母A,B,C等表示,由一个样本点构成的单点集,称为基本事件,否则称为复杂事件. 若试验的结果为事件A中的样本点,称在这次试验中事件A发生.由于样本空间S包含了所有的可能结果,每次试验S总是发生的,因此S称为必然事件,而空集不包含任何样本点,每次试验都不发生,因此称为不可能事件. 1.1.2事件的关系与运算 1. 事件的运算 A与B的和事件A∪B={e|e∈A或e∈B},A∪B发生当且仅当A与B至少有一个发生.n个事件A1,A2,…,An的和事件记作A1∪A2∪…∪An或∪ni=1Ai. A与B的积事件A∩B={e|e∈A且e∈B},也简记为AB,A∩B发生当且仅当A与B同时发生.n个事件A1,A2,…,An的积事件记作A1∩A2∩…∩An或∩ni=1Ai. A与B的差事件A-B={e|e∈A且eB},A-B发生当且仅当事件A发生而事件B不发生. 2. 事件的关系 若AB,则称事件B包含事件A,此时事件A发生必然导致事件B发生. 若AB且BA,则称事件A与B相等,记作A=B. 若AB=,则称事件A与B互不相容或互斥,此时事件A与B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的. 若A∪B=S且A∩B=,则称事件A与B互为对立事件或互逆事件,A的对立事件记为.显然对随机试验而言,每次试验事件A与B中必有且仅有一个发生. 若事件A1,A2,…,An两两互不相容,且A1∪A2∪…∪An=S,则称A1,A2,…,An为样本空间S的一个划分(分割). 3. 运算规律 (1) 交换律: A∪B=B∪A; A∩B=B∩A; (2) 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C; (3) 分配率: (A∪B)C=(AC)∪(BC); (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4) 德摩根律: A∪B=∩; ∪∞k=1Ak=∩∞k=1k; A∩B=∪; ∩∞k=1Ak=∪∞k=1k. 注A-B=A-AB=A; (A)∪(AB)=A. 1.1.3频率的定义及性质 设A为试验E中的一个事件,试验E在相同条件下重复进行n次,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数,nAn称为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A),即 fn(A)=nAn. 频率的性质 (1) 0≤fn(A)≤1; (2) fn(S)=1; (3) 设A1,A2,…,Am为m个两两互不相容的事件,则有 fn(A1∪A2∪…∪Am)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(Am). 1.1.4概率的公理化定义及性质 设E是一个随机试验,S是样本空间,对E的每一事件A赋予一个实数,记作P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(·)满足以下3个条件: (1) 非负性: 对任意的事件A,P(A)≥0; (2) 规范性: 对于必然事件S,P(S)=1; (3) 可列可加性: 对于两两互不相容的事件A1,A2,…,有 P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…. 概率的性质 (1) P()=0; (2) 设A1,A2,…,An为n个两两互不相容的事件,则有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An); (3) 若AB,则有P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)≤P(B); (4) 对任一事件A,有P(A)≤1; (5) 对任一事件A,有P(A)=1-P()或P()=1-P(A); (6) 对任意两个事件A与B,有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB); 对任意3个事件A,B,C,有 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). 1.1.5条件概率的定义及性质 设A,B为两个事件,且P(A)>0,则称 P(B|A)=P(AB)P(A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 条件概率的性质 (1) 非负性: 对任意的事件B,P(B|A)≥0; (2) 规范性: 对于必然事件S,P(S|A)=1; (3) 可列可加性: 对于两两互不相容的事件B1,B2,…,有 P∪∞i=1Bi|A=∑∞i=1P(Bi|A); (4) 乘法公式: 若P(A)>0,则P(AB)=P(B|A)P(A). 推论设A,B,C为3个事件,且P(AB)>0,则 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A); (5) 全概率公式: 设S为试验E的样本空间,A为E的一个事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且有P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则 P(A)=∑ni=1P(Bi)P(A|Bi); 推论设S为试验E的样本空间,A为E的一个事件,B1,B2,…,Bn两两互不相容,且有P(Bi)>0(i=1,2,…,n),∑ni=1BiA,则 P(A)=∑ni=1P(Bi)P(A|Bi); (6) 贝叶斯公式: 设S为试验E的样本空间,A为E的一个事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则 P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj),i=1,2,…,n. 1.1.6事件的独立性 1. 两个事件相互独立的定义 设A,B是两个事件,如果满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与B相互独立,简称A与B独立. 2. 两个事件相互独立的性质 (1) 若P(A)>0,则事件A与事件B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B). (2) 若A与B独立,则A与独立,与B独立,与独立. 注当P(A)>0,P(B)>0时,“A与B相互独立”与“A与B互不相容”不能同时成立. 3. 3个事件相互独立的定义 设A,B,C是3个事件,如果满足 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(CA)=P(C)P(A), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称A,B,C相互独立. 4. 3个事件相互独立的性质 (1) 若A,B,C相互独立,将其中任意i个(i=1,2,3)换成其对立事件,得到的3个事件仍然相互独立. (2) 若A,B,C相互独立,则A∪B,AB,A-B均与C相互独立. 一般地,如果事件A1,A2,…,An对于其中任意i(i=2,3,…,n)个事件都满足积事件的概率等于各事件概率相乘,则称事件A1,A2,…,An相互独立.将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件,得到的n个事件仍然相互独立. 1.1.7概率模型 概率模型描述了一类随机试验的特点,并给出事件概率的计算公式. 1. 古典概型(等可能概型) 古典概型满足: 样本空间中样本点有限,并且基本事件均等可能发生.设样本空间S中的样本点总数为n,事件A中包含的样本点数为nA,则 P(A)=nAn=A中的基本事件数S中的基本事件总数. 2. 几何概型 设样本空间是一个测度(如长度、面积、体积等)有限的区域(如长度有限的线段,面积有限的区域等),事件A中的样本点为区域的子集,若事件A发生的可能性大小与A的测度成正比.记样本空间S的测度为L(S),事件A的测度为L(A),则 P(A)=L(A)L(S). 这个概率模型称为几何概型. 3. 伯努利概型 如果试验E只有两个结果A与,则称E为伯努利试验,将试验E在相同条件下独立地重复进行n次所构成的试验称为n重伯努利试验.设P(A)=p,P()=1-p(0