第一部分 同步练习 第1章行列式 1.1本章知识结构图 1.2内容提要 1.2.1二阶、三阶行列式 用符号a11a12 a21a22代表a11a22-a12a21,即 a11a12 a21a22=a11a22-a12a21, 称其为二阶行列式,其中aij(i=1,2;j=1,2)称为行列式的元素. 二阶行列式的定义可用串线的方式加以记忆.按如下方式对行列式中的元素进行连线, 则二阶行列式等于实线连接的元素的乘积减去虚线连接的元素的乘积. 用符号a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33代表a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,即 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a33-a12a21a33-a13a22a31, 称其为三阶行列式. 三阶行列式的定义也可用串线的方式加以记忆.按如下方式对行列式中的元素进行连线, 则三阶行列式等于每条线上三个元素乘积的代数和,其中实线连接的项带正号; 虚线连接的项带负号. 1.2.2排列 把n个不同的元素排成一列,叫作这n个元素的全排列,简称排列,n个不同元素的所有的排列的种数为Pn=n!. 对于n个不同的元素,先规定各元素之间有个标准次序(常用的标准是从小到大),于是n个不同元素的任一排列中,某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数,逆序数为偶数的排列称为偶排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 特别的,由n个自然数1,2,…,n组成的一个有序的数组称为一个n级排列.n级排列规定的标准次序为从小到大,也称为自然序.n级排列i1i2…in的逆序数记为N(i1i2…in); n级排列的种数共有n!个,其中奇排列、偶排列各占一半. 1.2.3对换 将一个排列中的两个数对调,其余的数不动,就会得到一个新排列,称这样的一种变动为对换. 对换的性质: (1) 经过一次对换,排列的奇偶性发生改变. (2) 任意一个n级排列与排列12…n都可以经过有限次对换互变,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性. 1.2.4n阶行列式 用符号a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积a1j1a2j2…anjn的代数和,称其为n阶行列式,其中j1j2…jn是一个n级排列,定义中的代数和是指每个乘积a1j1a2j2…anjn前都冠以符号(-1)N(j1j2…jn),即 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann=∑j1j2…jn(-1)N(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn, 这里∑j1j2…jn表示对所有的n级排列j1j2…jn求和.n阶行列式也可简记为D=|aij|n或det(aij),其中aij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)称为行列式的元素. 规定一阶行列式等于行列式中的元素,即|a|=a,注意不要与绝对值的记号混淆. 注显然二阶、三阶行列式是n阶行列式的特例. n阶行列式的等价定义 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann=∑i1i2…in(-1)N(i1i2…in)ai11ai22…ainn, =∑j1j2…jn(-1)N(i1i2…in)+N(j1j2…jn)ai1j1ai2j2…ainjn. 1.2.5行列式的性质 (1) 转置记 D=a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann,DT=a11a21…an1 a12a22…an2  a1na2n…ann, DT称为D的转置行列式,行列式与其转置行列式相等,即有D=DT. (2) 换行(列)交换行列式的两行(列),行列式变号.以三阶行列式为例,即 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=-a31a32a33 a21a22a23 a11a12a13. (3) 数乘用数k乘行列式等于将k乘到行列式的某一行(列)中所有元素,反过来一个行列式可以按行(列)提取公因式.以三阶行列式为例,即 ka11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=a11a12a13 a21a22a23 ka31ka32ka33. 特别的,若行列式中有一行元素为零,则行列式为零. (4) 倍加将行列式某一行(列)的所有元素乘以一个数对应加到另一行(列)的元素上,行列式值不变.以三阶行列式为例,即 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=a11a12a13 a21a22a23 a31+ka11a32+ka12a33+ka13. (5) 分解行列式某一行(列)的元素均为两数之和,可按这一行(列)将其分解为两个行列式相加.以三阶行列式为例,即 a11a12a13 a21+b21a22+b22a23+b23 a31a32a33=a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33+a11a12a13 b21b22b23 a31a32a33. (6) 成比例一个行列式中若有两行(列)的元素对应成比例,则行列式的值为零.特别的,一个行列式中若有两行(列)元素相同,则行列式的值为零. 1.2.6余子式、代数余子式 将行列式D=|aij|n的第i行,第j列元素去掉,剩余元素按原顺序构成的n-1阶行列式,称为元素aij的余子式,记为Mij; 称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式. *1.2.7子式、子式的余子式、子式的代数余子式 在n阶行列式D中任选k行k列,交叉位置的元素按原顺序构成的k阶行列式Dk称为D的一个k阶子式,去掉选定的k行k列元素后余下的元素按原顺序构成的n-k阶行列式称为子式Dk的余子式,记为Mk.若选定的k行k列元素的行标为i1,i2,…,ik,列标为j1,j2,…,jk,则(-1)i1+…+ik+j1+…+jkMk称为子式Dk的代数余子式. 1.2.8行列式展开定理 (1) 按行列展开定理行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和; 行列式任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为零.即若D=aijn,则 ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=D,i=j, 0,i≠j. *(2) 拉普拉斯定理行列式等于它任意选定k行(列)的全部k阶子式与其代数余子式乘积之和.若在n阶行列式D中任意取定k行后得到的子式为M1,M2,…,Mt,它们的代数余子式分别为A1,A2,…,At,则 D=M1A1+M2A2+…+MtAt. 1.2.9特殊的行列式的计算 (1) 上三角形行列式 a11a12…a1n 0a22…a2n  00…ann=a11a22…ann. (2) 下三角形行列式 a110…0 a21a22…0  an1an2…ann=a11a22…ann. (3) 对角形行列式 a110…0 0a22…0  00…ann=a11a22…ann. (4) 分块上三角形行列式 x11…x1ky11…y1m  xk1…xkkyk1ykm 0…0z11…z1m  0…0zm1…zmm=x11…x1k  xk1…xkkz11…z1m  zm1…zmm. (5) 分块下三角形行列式 x11…x1k0…0  xk1…xkk00 y11…y1kz11…z1m  ym1…ymkzm1…zmm=x11…x1k  xk1…xkk·z11…z1m  zm1…zmm. (6) 分块对角形行列式 x11…x1k0…0  xk1…xkk00 0…0z11…z1m  0…0zm1…zmm=x11…x1k  xk1…xkk·z11…z1m  zm1…zmm. (7) 范德蒙德行列式 11…1 a1a2…an a21a22…a2n ………… an-11an-12…an-1n=∏n≥i>j≥1(ai-aj). 1.3典型例题分析 1.3.1题型一排列问题 例1.1若7级排列214i5k6是奇排列,确定i,k的值. 解由于214i5k6为一个7级排列,i,k的可能取值为3、7,当i=3,k=7时N(2143576)=0+1+0+1+0+0+1=3,排列为偶排列,故取i=7,k=3,并且由对换的性质可知排列2147536为奇排列. 例1.2在6阶行列式中元素乘积a21a34a15a63a42a56应该带什么符号? 解法1行标的逆序数N(231645)=0+0+2+0+1+1=4,列标的逆序数N(145326)=0+0+0+2+3+0=5,因此N(231645)+N(145326)=4+5=9,故元素乘积a21a34a15a63a42a56带负号. 解法2由交换律可知,元素乘积a21a34a15a63a42a56与a15a21a34a42a56a63相等,并且交换两个元素就会引起行标的逆序数与列标的逆序数奇偶性各变动一次,这样元素乘积a21a34a15a63a42a56与a15a21a34a42a56a63应带的符号相同,而后者的符号由列标排列的奇偶性决定,N(514263)=0+1+1+2+0+3=7,故元素乘积a21a34a15a63a42a56带负号. 例1.3若规定排列a1a2…an的逆序数为k,求排列anan-1…a1的逆序数. 解若任意两个元素ai和aj在排列a1a2…an中产生逆序,则在排列anan-1…a1中就不产生逆序,反之亦然.因此排列a1a2…an的逆序数与排列anan-1…a1的逆序数之和等于n个元素中取2个元素的组合数C2n,从而排列anan-1…a1的逆序数为C2n-k. 1.3.2题型二利用定义计算行列式 该题型适用于行列式中零元素足够多的情形,这样取自不同行、不同列的元素乘积可能不为零的项较少.在使用定义计算时应注意两点: 一是找齐取自不同行、不同列的元素乘积可能不为零的项; 二是需要计算出匹配的正负号. 例1.4用行列式的定义计算D4=530x-1 10x-2-1 2x-3-21 x-4413中x4与x3的系数. 解x4与x3来自行列式D4展开中的(-1)N(4321)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),故x4前的系数为(-1)N(4321)=1,而x3前的系数为(-1)N(4321)(-1-2-3-4)=-10. 例1.5用行列式的定义计算D4=0a1a2a3 b10b20 c1xc20 0d100. 解根据行列式的定义,有 D4=(-1)N(4132)a3b1c2d1+(-1)N(4312)a3b2c1d1=-a3b1c2d1-a3b2c1d1. 注选取乘积不为零的项时,为便于思考,元素的选择可不必按行(列)的自然顺序,但写出来的时候要按行标的自然序,这样可以简化乘积项前所带正负号的计算. 例1.6用行列式的定义计算D4=0y0x x0y0 0x0y y0x0. 解根据行列式的定义,有 D4=(-1)N(2143)yxyx+(-1)N(2341)yyyy+(-1)N(4123)xxxx+(-1)N(4321)xyxy =yxyx-yyyy-xxxx+xyxy=2x2y2-y4-x4. 1.3.3题型三利用性质计算行列式 对于更一般的行列式,可利用行列式的性质通过化简建立其与特殊行列式之间的关联.行列式性质中常用的有换行、数乘、倍加; 具体的解题技巧有“扫”“滚动”等,做法是将一般行列式化为特殊行列式. 例1.7已知x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3=2,求行列式D=x1+y1y1+z1z1+x1 x2+y2y2+z2z2+x2 x3+y3y3+z3z3+x3的值. 解法1 D=x1+y1y1+z1z1+x1 x2+y2y2+z2z2+x2 x3+y3y3+z3z3+x3c1+c2+c32(x1+y1+z1)y1+z1z1+x1 2(x2+y2+z2)y2+z2z2+x2 2(x3+y3+z3)y3+z3z3+x3 =2x1+y1+z1y1+z1z1+x1 x2+y2+z2y2+z2z2+x2 x3+y3+z3y3+z3z3+x3c2-c1c3-c12x1+y1+z1-x1-y1 x2+y2+z2-x2-y2 x3+y3+z3-x3-y3 c1+c2+c32z1-x1-y1 z2-x2-y2 z3-x3-y3c1c2-2-x1z1-y1 -x2z2-y2 -x3z3-y3c2c32-x1-y1z1 -x2-y2z2 -x3-y3z3 =2×2=4. 解法2用行列式按列分解的性质,将行列式D分解为C12×C12×C12=8个行列式相加,但其中只有x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3及y1z1x1 y2z2x2 y3z3x3的值不为零,其余的行列式都有两列元素相同,值为零.故 D=x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3+y1z1x1 y2z2x2 y3z3x3=x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3+x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3=2+2=4. 例1.8计算行列式D4=abbb babb bbab bbba. 解根据行列式的性质,有 D4r1+r2+r3+r4a+3ba+3ba+3ba+3b babb bbab bbba=(a+3b)1111 babb bbab bbba r2-br1 r3-br1r4-br1(a+3b)1111 0a-b00 00a-b0 000a-b=(a+3b)(a-b)3. 注在行列式的计算中,一个常用的技巧是“扫”的方法,即首先构造出一个基本行(或基本列),然后利用基本行(或基本列)将其余行(或列)中相同元素化为0,其核心思想是构造出尽量多的0元素.